2024-2025学年山东省泰安二中高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省泰安二中高二（上）开学数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.空间任意四个点A、B、C、D，则DA+CD−CB等于( )
A. DBB. ACC. ABD. BA
2.已知MA，MB是空间两个不共线的向量，MC=3MA−2MB，那么必有( )
A. MA，MC共线B. MB，MC共线
C. MA，MB，MC共面D. MA，MB，MC不共面
3.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，则MN=( )
A. 12a−23b+12cB. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12cD. 23a+23b−12c
4.已知是e1，e2夹角为60°的两个单位向量，则a=e1+e2与b=e1−2e2的夹角是( )
A. 60°B. 120°C. 30°D. 90°
5.已知|b|=3，向量a在向量b上的投影向量为32b，则a⋅b等于( )
A. 3B. 92C. 32D. 272
6.空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=π3，则cs的值是( )
A. 12B. 22C. −12D. 0
7.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是( )
A. BC⊥平面PAC
B. AE⊥EF
C. AC⊥PB
D. 平面AEF⊥平面PBC
8.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为( )
A. 25B. 55
C. 105D. 155
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若{a,b,c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是( )
A. {a,2b,3c}B. {a+b,b+c,c+a}
C. {a+2b,2b+3c,3a−9c}D. {a+b+c,b,c}
10.设a,b,c是任意三个非零向量且互不共线，下列各式不正确的是( )
A. (a⋅b)2=a2⋅b2B. a⋅ba2=ba
C. (a⋅b)⋅c=(a⋅c)⋅b=0D. |a⋅b|≤|a|⋅|b|
11.如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=a，AD=b，AA′=c.若CM=MD′，A′P=12A′C，则( )
A. A′C=a+b+c
B. AM=12a+b+12c
C. A，P，D′三点共线
D. A，P，M，D四点共面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若a,b,c为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则|a+2b−3c|= ______．
13.已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP=15OA+23OB+λOC确定的点P与A，B，C共面，那么λ=______．
14.已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则P在平面△ABC内的射影是△ABC的______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四面体OABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，G为△ACB的重心，以{a,b,c}为空间基底表示向量BE，OG．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PCD，AD//BC，AB=BC=12AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．
(1)求证：AP//平面BEF；
(2)求证：平面BEF⊥平面PAC．
17.(本小题15分)
如图所示，已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为AB1的中点，F为A1D1的中点.计算：
(1)BC⋅ED1；
(2)BF⋅AB1；
(3)EF⋅FC1．
18.(本小题17分)
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4，E，F，G分别为棱DD1，A1D1，BB1的中点．
(1)求CG⋅EF的值；
(2)证明：C，E，F，G四点共面．
19.(本小题17分)
如图，已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，
(1)证明：C1C⊥BD；
(2)当CDCC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.B
5.D
6.D
7.C
8.C
9.ABD
10.ABC
11.BD
12. 21
13.215
14.外心
15.解：由G为△ACB的重心可知E为AC的中点，
所以BE=12(BA+BC)=12[(OA−OB)+(OC−OB)]=12[(a−b)+(c−b)]=12(a−2b+c)，
OG=OB+BG=b+23BE=b+13(a−2b+c)=13(a+b+c).
16.证明：(1)连接CE，由已知AD//BC，BC=12AD，E为线段AD的中点，
可得四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，
设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，
∵F为线段PC的中点，∴PA//OF，
∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，
∴AP/​/平面BEF；
(2)∵BCDE是平行四边形，∴BE/​/CD，
∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，
∴BE⊥AP，
∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，
∴四边形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，
∵AP∩AC=A，∴BE⊥平面PAC，
而BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC．
17.解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
(1)B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，
所以BC=(0,4,0),ED1=(−1,4,1)，故BC⋅ED1=16．
(2)B(2,0,0)，F(0,2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，
所以BF=(−2,2,2),AB1=(2,0,2)，所以BF⋅AB1=0．
(3)C1(2,4,2)，EF=(−1,2,1)，FC1=(2,2,0)，所以EF⋅FC1=2．
18.解：以点A为坐标原点，直线AD，AA1，AB分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(2,0,2)，E(2,2,0)，F(1,4,0)，G(0,2,4)．CG=(−2,2,2)，EF=(−1,2,0)．

(1)CG⋅EF=6．
(2)证明：CE=(0,2,−2)．
令CE=mCG+nEF，根据向量的坐标的对应关系，整理得0=−2m−n2=2m+2n−2=2m，
解得m=−1n=2，所以CE=−CG+2EF．
故C，E，F，G四点共面．
19.(1)证明：如图，连接A1C1、AC和BD交于O，连接C1O.

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC=CD．
又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，
∴△C1BC≌△C1DC，
∴C1B=C1D，
∵DO=OB
∴C1O⊥BD，(3分)
又AC⊥BD，AC∩C1O=O，
∴BD⊥平面AC1，
又C1C⊂平面AC1，
∴C1C⊥BD.(6分)
(2)当CDCC1=1时，能使A1C⊥平面C1BD．
∵CDCC1=1，
∴BC=CD=C1C，
又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，
由此可推得BD=C1B=C1D.
∴三棱锥C−C1BD是正三棱锥．(9分)
设A1C与C1O相交于G．
∵A1C1/​/AC，且A1C1：OC=2：1，
∴C1G：GO=2：1．
又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，
∴点G是正三角形C1BD的中心，
∴CG⊥平面C1BD，
即A1C⊥平面C1BD.(12分)