2024-2025学年湖南省株洲二中高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省株洲二中高二（上）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={(a,b)|ab=16，a，b∈N∗}，则M中元素的个数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
2.已知直线l1：ax+4y−2=0与直线l2：2x−5y+b=0互相垂直，垂足为(1,c)，则a+b+c的值为( )
A. −4B. 20C. 0D. 24
3.已知△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，a=bcsC，则△ABC形状一定是( )
A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形
4.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为( )
①若m⊂α，n//α，则m，n为异面直线 ②若α//γ，β//γ，则α//β
③若m⊥β，m⊥γ，α⊥β，则α⊥γ ④若m⊥α，n⊥β，m//n，则α⊥β
⑤若l⊥α，n//β，α//β，则l⊥n
A. ②③⑤B. ①②⑤C. ④⑤D. ①③
5.已知点P(0,−1)关于直线x−y+1=0对称的点Q在圆C：x2+y2+mx+4=0上，则m=( )
A. 4B. 92C. −4D. −92
6.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是( )
A. 甲：中位数为2，众数为3B. 乙：总体均值为3，中位数为4
C. 丙：总体均值为2，总体方差为3D. 丁：总体均值为1，总体方差大于0
7.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段B1C上的动点，则下列结论错误的是( )
A. 直线A1P与BD所成的角不可能是π6
B. 当B1P=2PC时，点D1到平面A1BP的距离为23
C. 当B1P=2PC时，AP=2 143
D. 若B1P=13B1C，则二面角B−A1P−B1的平面角的正弦值为 36
8.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1−csθ为角θ的正矢，记作versinθ；定义1−sinθ为角θ的余矢，记作cversθ，则下列命题正确的是( )
A. 函数f(x)=versinx−cversx+1的对称中心为(kπ−π4,1)k∈Z
B. 若g(x)=versinx⋅cversx−1，则g(x)的最大值为 2+1
C. 若ℎ(x)=versin2x−cversx+1，ℎ(α)=1且0<α<π2，则圆心角为α，半径为3的扇形的面积为4π3
D. 若versinx−1cversx−1= 22，则cvers3x−1cversx−1=13
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中，是真命题的是( )
A. ∀x∈R且x≠0，x+1x≥2
B. ∃x∈R，使得x2+1≤2x
C. 若x>0，y>0， x2+y22≥2xyx+y
D. 若x≥52，则x2−4x+52x−4的最小值为1
10.设复数z的共轭复数为z−，i为虚数单位，则下列命题错误的是( )
A. z2=|z|2
B. 若z=cs2+isin2，则z−在复平面内对应的点位于第二象限
C. z=2−i1+2i是纯虚数
D. 若|z−3+4i|=1，则|z|的最大值是6
11.设a为正实数，定义在R上的函数f(x)满足f(0)+f(a)=1，且对任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)f(a−y)+f(y)f(a−x)则成立，则( )
A. f(a)=12或f(a)=1B. f(x)关于直线x=a对称
C. f(x)为奇函数D. f(x+4a)=f(x)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”.若在每局比赛中甲获胜的概率为14，乙获胜的概率为34，则乙获得冠军的概率为______．
13.已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为16π3，则圆锥的高为______．
14.规定：Max{a,b}=a,a≥b,b,a0)，若函数f(x)在(π3,π2)上单调递增，则实数ω的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知点A(12, 32)为圆C上的一点，圆心C坐标为(1,0)，且过点A的直线l被圆C截得的弦长为 3．
(1)求圆C的方程；
(2)求直线l的方程．
16.(本小题12分)
2024年8月12日，巴黎奥运会在法国巴黎成功举行闭幕式.组委会抽取100名观众进行了奥运会知识竞赛并记录得分(满分：100，所有人的成绩都在[40.100]内)，根据得分将他们的成绩分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)估计这100人竞赛成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)、众数及中位数．
17.(本小题12分)
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为梯形，AD//BC，AB=AD=2，BD=2 2,BC=4．
(1)证明：A1B1⊥AD1；
(2)若直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为 66，点M为线段BD上一点，求点M到平面B1CD1的距离．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2xcsφ−cs2xcs(π2+φ)(0<|φ|<π2)，对∀x∈R，有f(x)≤|f(π3)|
(1)求φ的值及f(x)的单调递增区间：
(2)在△ABC中，已知a=4，f(B)=1，其面积为5 3，求b；
(3)将函数y=f(x)图象上的所有点，向右平移π24个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g(x)的图象，若∃x∈[0,π], 2g(x)+sin2x≤2m2−3m，求实数m的取值范围
19.(本小题12分)
已知集合A={1,2,3,…,n}(n∈N，n≥3)，W⊆A且W中元素的个数为m(m≥2).若存在u，v∈W(u≠v得u+v为2的正整数指数幂，则称W为A的弱P(m)子集；若对任意的s，t∈W(s≠t)，s+t均为2的正整数指则称W为A的强P(m)子集．
(Ⅰ)请判断集合W1={1,2,3}和W2={2,3,4}是否为A的弱P(3)子集，并说明理由；
(Ⅱ)是否存在A的强P(3)子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由；
(Ⅲ)若n=11，且A的任意一个元素个数为m的子集都是A的弱P(m)子集，求m的最小值．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.A
5.B
6.C
7.D
8.D
9.BCD
10.AB
11.AD
12.2732
13. 3
14.[34,1]∪[154,4]
15.解：(1)设圆C的半径为r，
则|AC|=r= (12−1)2+( 32−0)2=1，
则圆C的方程为(x−1)2+y2=1；
(2)因为圆C的半径为1，
所以当直线l与圆相交所得的弦长为 3时，圆心C到直线l的距离为 1−34=12，
当直线l的斜率不存在时，直线l：x=12，此时圆心C到直线l的距离为12，满足题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l：y− 32=k(x−12)，即2kx−2y+ 3−k=0，
则|2k+0+ 3−k| (2k)2+(−2)2=12，
解得k=− 33，
代入①得：x+ 3y−2=0，
综上，直线l的方程为x=12或x+ 3y−2=0．
16.解：(1)由题意知(0.005+a+0.020+0.030+0.025+0.005)×10=1，
即0.085+a=0.1，得a=0.015．
(2)由频率分布直方图可知这100人竞赛成绩的平均数约为45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.25+95×0.05=72分，
众数约为70+802=75分，
前3组的频率为0.05+0.15+0.2=0.4，
前4组的频率为0.05+0.15+0.2+0.3=0.7，
所以中位数为70+0.5−0.40.3×10=70+103=2203分．
17.(1)证明：因为AB=AD=2，BD=2 2，
所以AB2+AD2=8=BD2，所以AB⊥AD，
因为ABCD−A1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥AB，
因为A1A∩AD=A，A1A，AD⊂平面ADD1A1，
所以AB⊥平面ADD1A1，
因为A1B1/​/AB，所以A1B1⊥平面ADD1A1，
因为AD1⊂平面ADD1A1，所以A1B1⊥AD1；
(2)解：由(1)及题意知，AB，AD，A1A两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则AB=AD=2，BD=2 2,BC=4，设A1A=ℎ(ℎ>0)，
所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，B1(2,0,ℎ)，C(2,4,0)，D1(0,2,ℎ)，D(0,2,0)，
所以AB=(2,0,0),CB1=(0,−4,ℎ),CD1=(−2,−2,ℎ),BC=(0,4,0),BD=(−2,2,0)，
设平面B1CD1的一个法向量为n=(x,y,z)，
则由n⊥CB1，n⊥CD1，有n⋅CB1=−4y+ℎz=0n⋅CD1=−2x−2y+ℎz=0，
令z=4，则x=y=ℎ，可得n=(ℎ,ℎ,4)，
设直线AB与平面B1CD1所成的角为θ，
则sinθ=|cs|=|AB⋅n||AB||n|=|2ℎ|2× 2ℎ2+16= 66，
解得ℎ=2，所以n=(2,2,4)，
所以点B到平面B1CD1的距离d=|BC⋅n||n|=82 6=2 63，
因为BD⋅n=−2×2+2×2+4×0=0，所以BD⊥n，
因为BD⊄平面B1CD1，所以BD/​/平面B1CD1，
因为M在线段BD上，
所以点M到平面B1CD1的距离等价于点B到平面 B1CD1的距离，
故点M到平面B1CD1的距离为2 63．
18.解：(1)f(x)=sin2xcsφ−cs2xcs(π2+φ)=sin2xcsφ+cs2xsinφ=sin(2x+φ)，
对∀x∈R，有f(x)≤|f(π3)|，故f(π3)=sin(2π3+φ)=±1，
所以2π3+φ=π2+kπ,k∈Z，解得φ=−π6+kπ,k∈Z，
因为0<|φ|<π2，故只有当k=0时，满足要求，故φ=−π6，
f(x)=sin(2x−π6)，令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k∈Z，
解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ],k∈Z；
(2)f(B)=sin(2B−π6)=1，
因为B∈(0,π)，所以2B−π6∈(−π6,11π6)，即2B−π6=π2，解得B=π3，
a=4,S△ABC=12acsinB=5 3，即2c⋅ 32=5 3，解得c=5，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=16+25−2×4×5×12=21，
解得b= 21；
(3)y=f(x)图象上的所有点，向右平移π24个单位后，得到y=sin(2x−π6−π12)=sin(2x−π4)，
再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)=sin(x−π4)，
∃x∈[0,π], 2sin(x−π4)+sin2x≤2m2−3m，
即∃x∈[0,π]，sinx−csx+2sinxcsx≤2m2−3m，
令sin x−cs x=t，则t= 2sin(x−π4)∈[−1, 2]，
则2sinxcsx=1−(sinx−csx)2=1−t2，
故∃t∈[−1, 2],−t2+t+1≤2m2−3m，
其中−t2+t+1=−(t−12)2+54，当t=−1时，−t2+t+1取得最小值，最小值为−1，
所以−1≤2m2−3m，解得m≥1或m≤12，
所以实数m的取值范围是(−∞,12]∪[1,+∞)．
19.解：(Ⅰ)W1是A的弱P(3)子集，W2不是A的弱P(3)子集．
理由如下：1+3=22，W1中存在两个元素的和是2的正整数指数幂，所以W1是A的弱P(3)子集．
2+3=5，3=4=7，2+4=6，W2中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂，所以W2不是A的弱P(3)子集．
(Ⅱ)不存在A的强P(3)子集．
理由如下：假设存在A的强P(3)子集W={a,b,c}，不妨设aa+b=2k1，a+c=2k2，b+c=2k3，则k1则b=2k1−a，c=2k2−a，代入b+c=2k3中，所以a=2k1−1+2k2−1−2k3−1<2k2−1+2k2−1−2k3−1=2k2−2k3−1≤0，
所以a<0，与a为正整数矛盾，所以不存在A的强P(3)子集．
(Ⅲ)设A1={1,3}，A2={5,11}，A3={6,10}，A4={7,9}，B1={2}，B2={4}，B3={8}，
若W不是A的弱P(m)子集，则W最多能包含A1，A2，A3，A4中的一个元素以及B1，B2，B3中的元素，一共7个元素，
令W0={3,11,10,9,2,4,8}，W0中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂，所以W0不是A的弱P(7)子集，
当m≤7时，W0的任意一个元素个数为m的子集都不是A的弱P(m)子集，
当m≥8时，A1，A2，A3，A4中至少有一个集合是W的子集，此时W中一定存在两数之和为2的正整数幂，
即A的任意一个元素个数为m的子集都是A的弱P(m)子集，所以m的最小值为8．