初中数学北师大版（2024）八年级上册4 数据的离散程度教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册4 数据的离散程度教案设计，共7页。

1.能够理解一组数据的极差、方差、标准差,并能用它们对数据的离散程度作出判断.
2.根据描述计算一组数据极差、方差、标准差的大小,对实际问题做出解释,培养学生解决问题的能力.
3.通过实验和探索,体会用三个统计量表示数据波动情况的合理性,并能用它们解决有关实际问题.
4.通过解决现实情境中的问题,提高学生数学统计的素养,用数学的眼光看世界.通过小组活动,培养学生的合作意识和能力.
学习重点
了解极差、方差、标准差的意义,并根据它们的概念计算一组数据的极差、方差、标准差.
学习难点
利用方差解决实际问题,具体问题具体分析.
课时活动设计
情境引入
为了提高农副产品的国际竞争力,一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿,现有2个厂家提供货源,它们的价格相同,鸡腿的品质也相近.
质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿,它们的质量(单位:g)如下:
甲厂:75,74,74,76,73,76,75,77,77,74,
74,75,75,76,73,76,73,78,77,72;
乙厂:75,78,72,77,74,75,73,79,72,75,
80,71,76,77,73,78,71,76,73,75;
把这些数据表示成下图:
(1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质量吗?
(2)求甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质量,并在图中分别画出纵坐标等于平均质量的直线.
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少?最小值又是多少?它们相差几克?从乙厂抽取这20只鸡腿质量的最大值又是多少?最小值呢?它们相差几克?
(4)如果只考虑鸡腿的规格,你认为外贸公司应购买哪家厂家的鸡腿?说明你的理由.
解:(1)能,估计均为75 g.
(2)甲的平均质量=(72+73×3+74×4+75×4+76×4+77×3+78)÷20=75(g),
乙的平均质量=(71×2+72×2+73×3+74+75×4+76×2+77×2+78×2+79+80)
÷20=75(g).
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是78 g,最小值72 g,它们相差78-72=6(g);从乙厂抽取这20只鸡腿质量的最大值是80 g,最小值71 g,它们相差80-71=9(g).
(4)如果只考虑鸡腿的规格,我认为外贸公司应购买甲厂的鸡腿.因为甲厂鸡腿质量相差不大,比较均匀.
教师归纳:一组数据中最大数据与最小数据的差称作极差.极差是刻画数据离散程度的一个统计量.
设计意图:让学生感受到平均值的局限性,让原有的知识与新的问题情境产生碰撞,使学生能够更好地理解概念.
探究新知
如果丙厂也参与了竞争,从该厂抽样调查了20只鸡腿,它们的质量数据如下图:
(1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少?
(2)如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距?分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距.
(3)在甲、丙两厂中,你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求?为什么?
分析:可以大致先估计丙厂这20只鸡腿质量的平均数,然后再具体计算.刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距时,教师引导学生可分别用这20只鸡腿的质量与其平均数的差的绝对值刻画.
解:(1)平均数为(72×3+73×2+74×4+75×2+76×3+77×3+78×2+79×1)÷20=75.1(g),极差为79-72=7(g).
(2)可分别用这20只鸡腿的质量与其平均数差的绝对值刻画.
甲厂的20只鸡腿的质量与其平均数差的绝对值(单位:g)依次为0,1,1,1,2,1,0,2,2,1,1,0,0,1,2,1,2,3,2,3.
丙厂相应的数据为0.1,1.1,2.1,2.9,3.1,0.9,1.1,0.9,1.1,0.1,1.1,3.1,2.1,3.1,2.9,0.9,1.9,1.9,1.9,3.9.
(3)一般认为,甲厂的鸡腿质量更符合要求.这可以从统计图直观看出,也可以用上面所说的差距的和来说明.
教师归纳:所以,数据的离散程度除了极差,还可以用方差或标准差来刻画.
1.方差(s2)是各个数据与平均数差的平方的平均数,即
s2=1nx1-x-2+x2-x-2+...+xn-x-2,
2.标准差就是方差的算术平方根.而一般说来,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定.
问题延伸:计算从甲厂抽取的20只鸡腿质量的方差.
解:s2=120[72-752+73-752×3+74-752×4+(75-75)2×4+(76-75)2×4+(77-75)2×3+(78-75)2]=2.5.
拓展补充:用计算器求标准差的步骤:1.按“MODE”键启动统计功能;
2.再输入“2”之后就可以输入数据,每输入一个数据按“M+”键,如是重复.
3.输入完毕点“SHIFT”键,按数字提示选择“2”,再按“=”键,就得到了标准差.
设计意图:通过丙厂与甲、乙两厂的对比,发现有时仅有极差还难以精确地刻画一组数据的离散程度,从而引入刻画一组数据离散程度的另外两个量:方差和标准差.
典例精讲
例 某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛,对他们进行了8次测试,测试成绩(单位:环)如下表:
(1)根据表格中的数据,计算出甲的平均成绩是 9 环,乙的平均成绩是 9 环.
(2)分别计算甲、乙两名运动员8次测试成绩的方差.
(3)根据(1)(2)计算的结果,你认为推荐谁参加全国比赛更合适?并说明理由.
分析:计算甲和乙的方差,方差越小越稳定,更适合参加全国比赛.
解:(2)甲的方差=1810-92×3+8-92×3+9-92×2=0.75,
乙的方差=1810-92×4+9-92+8-92×2+(7-9)2=1.25.
(3)推荐甲参加全国比赛更合适.因为9=9,0.75<1.25,甲、乙的平均成绩相同,但甲的方差小,所以甲比较稳定,故推荐甲参加全国比赛更加合适.
教师归纳:
1.在解决实际问题时,方差可以反应数据的波动大小,方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.可以用样本的方差估计总体的方差,但不能认为方差越小就表示这组数据越好,而是认为方差越小表示这组数据越稳定,至于数据的好坏,则要根据具体的情况进行具体分析.
2.运用方差解决实际问题的一般步骤:
(1)计算数据样本平均数.
(2)两组数据的平均数相等或相近时,利用样本方差来估计总体数据的波动情况.
(3)在实际应用中,不是数据越稳定就越好,要根据实际情况进行具体分析.
设计意图:通过学生计算方差的练习,理解方差对数据波动的影响程度,能够对实际问题做出具体分析,培养学生解决问题的能力.
巩固训练
1.观察下列统计图,回答问题.
(1)从下面两幅图中,你能分别“读”出甲、乙两队员射击成绩的平均数吗?
(2)通过估计比较甲、乙两队员射击成绩的方差的大小,说说你的估计过程.
(3)分别计算甲、乙两队员射击成绩的方差,看看刚才自己的估计是否正确.
解:(1)甲10次射击成绩的平均数=(6+3×7+2×8+3×9+10)÷10=8(环),
乙10次射击成绩的平均数=(6+2×7+4×8+2×9+10)÷10=8(环).
(2)乙的方差<甲的方差,因为乙的射击成绩中,位于平均数的次数多,故乙的方差小.
(3)甲队的方差=110[(6-8)2+3×(7-8)2+2×(8-8)2+3×(9-8)2+(10-8)2]=1.4;
乙队的方差=110[(6-8)2+2×(7-8)2+4×(8-8)2+2×(9-8)2+(10-8)2]=1.2.
所以甲的方差是1.4,乙的方差是1.2,估算正确.
2.甲、乙、丙三人的射击成绩如下图:
三人中,谁的射击成绩更好,谁更稳定?你是怎么判断的?
解:甲的平均数为7.9,方差为3.29;
乙的平均数为7.9,方差为0.49;
丙的平均数为5.2,方差为0.36.
从平均成绩看,甲和乙的成绩比较好;从方差看,乙和丙发挥的都比甲稳定,但结合平均成绩看,乙的水平更高.
设计意图:通过练习,及时巩固本节课所学内容.并考查学生的知识应用能力,使教师及时了解学生对刻画数据离散程度的三个量极差、标准差和方差的理解情况,以便教师及时对学生进行矫正.
课堂小结
1.本节课描述数据的离散程度学习了几个统计量?
2.在解决实际问题时,方差的作用与一般步骤是什么?
3.一组数据方差越小,这组数据就越稳定,是不是方差越小表示这组数据越好?
设计意图:通过小结,总结回顾本节课学习内容,帮助学生梳理归纳、巩固所学知识.
课堂8分钟.
1.教材第151,152页习题6.5第1,2题,第155,156页习题6.6第1,2,3题.
2.七彩作业.
教学反思


第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第八次
甲
10
8
9
8
10
9
10
8
乙
10
7
10
10
9
8
8
10