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初中数学青岛版（2024）八年级上册第3章 分式3.7 可化为一元一次方程的分式方程教案设计
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这是一份初中数学青岛版（2024）八年级上册第3章 分式3.7 可化为一元一次方程的分式方程教案设计，共9页。教案主要包含了课时安排，第一课时，第二课时，第三课时，第四课时等内容，欢迎下载使用。
【课时安排】
4课时
【第一课时】
【第二课时】
【第三课时】
【第四课时】
教学目标
1．经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程，体会分式方程的模型思想。
2．了解分式方程的意义，会判断一个方程是否是分式方程。
教学重点
根据题意找出能够表示问题中全部含义的一个相等关系。
教学难点
根据题意找出能够表示问题中全部含义的一个相等关系。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
复习导入
探索新知
（一）根据题意，列出下列方程。
1．停车场上共停了35辆小轿车和两轮摩托车，地面上数一共有100个轮子，请问小轿车和摩托车各有多少辆？
2．学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31棵，其中甲班植树数比乙班植树数的2倍多一棵，求两班各植树多少棵？
（二）交流与发现
思考下面的问题，并与同学交流：
1．王师傅承担了310个工件的焊接任务，加工了100个工件后开始采用焊接新工艺，工效提高到原来的1.5倍，共用8天完成了任务。如果采用新工艺，王师傅还需要多少天才能完成任务？
分析：解决这个问题的关键，是求出采用新工艺前王师傅每天焊接多少个工件。
如果设采用新工艺前王师傅每天焊接x个工件，那么加工100个工件需要_______天；采用新工艺后王师傅每天加工_______个工件，加工剩余的工件用了_______天。
问题中给出的等量关系是：______________。
焊接100个工件用的时间+焊接剩余工件用的时间=8天。
由此得到方程______________。
思考：这是一个怎样的方程？是一元一次方程吗？
2．甲、乙两班的同学参加植树，乙班每小时比甲班植60棵树，乙班植了66棵树，甲、乙两班每小时各植树多少棵？
（1）在这个问题中，哪些是已知量，哪些是未知量？
（2）如果选取一个未知量用x表示，那么其他量能用x表示吗？
（3）在这个问题中，给出的等量关系是什么？
（4）选择哪个等量关系可以得到关于未知数x的方程？
（5）你得到的方程是一元一次方程吗？
（三）总结：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（四）练一练：
1．下列方程中，哪些是分式方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
2．一个分数的分子比分母小2，当分子与分母都加上3时，这个分数等于，求这个分数。（只列方程）
（五）点拨：
1．分式方程中分母中一定要有未知数。
2．问题中有关的量用已知量或含有未知数的量的代数式表示出来，根据问题中的等量关系，列出方程。
学生做在练习本上。
学生阅读课本，然后回答问题，得出题目中的等量关系。
分析得出的方程和一元一次方程的区别和联系。
学生阅读课本，并回答问题。
得出等量关系，小组间交流讨论。
总结分式方程的概念。
学生直接回答问题。
学生列出方程。
教师分析，学生记忆。
巩固练习
小结
（一）填空题
1．分母中_______的方程叫做分式方程。
2．一个正多边形的每个内角都是135°，求它的边数，如果设这个正多边形的边数为，则得到方程_______。
3．甲、乙两个火车站相距1280千米。采用“和谐号”动车组提速后，列车行驶的速度是原来的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度，如果设列车原来行驶的速度为x千米/时，那么提速后的速度是_______千米/时，得到的方程是_______。
4．一名工人已加工零件1500个，由于改造了工作方法，效率提高了2.5倍，再加工1500个零件少用18h，现在每小时加工多少个零件？
若设该工人原来每小时加工x个零件，那么现在每小时加工_______个，原来和现在加工1500个零件分别用_______h和_______h，根据题意，可得方程______________。
（二）解答题
1．A、B两地相距30千米，甲、乙两人同时从A地骑车去B地。已知甲每小时比乙多行2千米，且比乙早半小时到达，求甲乙二人的速度（设甲的速度为千米/时，只列出方程）。
2．一台甲型拖拉机4天耕完一块耕地的一半，加一台乙型拖拉机，两台拖拉机合耕1天耕完这块地的另一半。设乙型拖拉机单独耕这块地需要x天，则x应满足怎样的方程？
这节课你有什么收获？
学生做在练习本上。
教学目标
1．经历探索分式方程的解法的过程，体会把分式方程化为整式方程求解的转化思想。
2．会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。
教学重难点
会解可化为一元一次方程的分式方程。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
复习导入
探索新知
巩固练习
小结
1．解下列方程：
（1）
（2）
2．交流与发现：
思考在上节课中，我们得到的两个分式方程：
交流怎样解这个方程？
3．点拨：
解分式方程的基本思路是：去分母，把分式方程化为整式方程。
4．例题讲解
例1：解方程
提示：如何把分式方程中的分母去掉是关键。
例2：
点拨：
要解分式方程重点是把分式方程转化为整式方程。解得出方程的解时一定要进行验根。
解分式方程的一般思路是：去分母，把分式方程化为整式方程。
5．练一练：
（1）解下列分式方程：
a．
b．
（2）解下列分式方程：
a．
b．
c．
d．
今天你有什么收获？
学生做在练习本上。
学生思考，并交流解方程的方法。
师生讨论怎样去分母。
学生板书。
师生分析，学生板书。
教师总结。
学生做在练习本上。
教学目标
1．了解分式方程增根的含义和产生增根的原因，并会检验分式方程的根。
2．掌握分式方程的一般步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程。
教学重难点
掌握分式方程的一般步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程。
教学过程
复习导入
探索新知
1．解分式方程的基本思路是什么？
2．解下列分式方程：
（1）
（2）
3．例题讲解：
例1：解方程：。
解：方程两边都乘得：
解这个一元一次方程，得：。
检验可知，当时，分式与的分母都为0。
所以，不是原方程的根，应当舍去。
原方程没有解。
分析：事实上，原方程可以写成：
，即。
由此看出这个方程无解。
总结：____________________
增根：____________________
在方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做方程的增根。
增根应当舍去。
想一想：
（1）解分式方程为什么要验根？
（2）怎样验根？
点拨：
与解一元一次方程不同，解分式方程可能出现增根，这是因为分式方程不允许未知数取分母的值为零的那些数，把原方程转化成整式方程后，方程中未知数的允许值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰使原方程中的分母为零，那么就会出现增根。所以解完方程后要检验是很必要的。
学生回答问题，并做在练习本上。
师生分析，然后学生板书。
分析方程无解的原因，引导学生学习增根。
师生分析，然后学生板书。
学生思考，然后小组交流讨论。
教师点拨。
巩固练习
小结
1．验根的方法：
（1）把求出的根代入原方程检验。如果求出的根使原方程的一个分母的值是0，那么这个根就是方程的增根。
（2）把求出的根代入解分式方程时两边同乘的整式，如果那个整式的值为零，那么这个根就是增根，应当舍去。
2．练一练：
（1）解下列分式方程：
a．
b．
c．
d．
（2）小亮从图书馆借了一本书，共280页，借期是两周。当他读完书的一半时，发现以后平均每天读书的页数必须增加1倍才能在借期内读完。小亮读前半本书时平均每天读多少页？
今天你有什么收获？
教师总结。
学生做在练习本上。
教学目标
1．经历“实际问题→分式方程模型→求解→解释解的合理性”的过程，提高分析问题、解决问题的能力。
2．会利用分式方程解决相关的实际问题。
教学重难点
会利用分式方程解决相关的实际问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
复习导入
探索新知
1．回忆列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
列一元一次方程解应用题的步骤：
（1）审清题意；
（2）设未知数，用含未知数的式子表示其他未知量；
（3）根据题意找出等量关系，列出方程；
（4）解方程，并检验；
（5）写出答案。
2．例题讲解
例1：甲、乙两地相距360千米，张老师和王老师分别乘坐早7时发出的普通客车和8时15分发出的豪华客车从甲地去乙地，恰好同时到达。已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是4∶3，求两车的平均速度。
分析：问题中的等量关系是：
普通客车所用时间－豪华客车所用时间=时。
解：设豪华客车的平均速度为4x千米/时，普通客车的平均速度为3x千米/时。于是豪华客车从甲地乙地所用的时间为时，普通客车从甲地到乙地所用的时间为时。根据题意，得方程。
解这个方程，得。
检验可知，是这个方程的根。
因为（千米/时），（千米/时），所以，豪华客车的平均速度为96千米/时，普通客车的平均速度为72千米/时。
想一想：
（1）从例题的条件出发，还可以求出哪些未知量？
（2）列分式方程解应用题的步骤是什么？
例2：阳光小区有A型和B型两种住宅出售，A型与B型住宅每平方米的价格分别是全楼每平方米平均价格的1.1倍与0.9倍，而且A型比B型的面积少40平方米。如果A型比B型的面积的售价分别为33万元与36万元，求全楼每平方米的平均价格。
根据题意，思考下列问题：
（1）如果设全楼每平方米的平均价格为x元，那么A型住宅与B型住宅每平方米的价格分别是多少？
（2）A型住宅与B型住宅的面积分别是多少？
（3）根据“A型住宅比B型住宅的面积少40平方米”这个等量关系，列出的方程是____________。
试着解这个方程。
（4）去分母，即两边都乘____________，得到____________。
解这个方程，得x=____________。
（5）检验它是否是方程的根？
根据例题中提供的信息，每小组编制出另一个用分式方程解决的问题？
想一想：列分式方程解应用题检验的意义是什么？
学生回忆，并回答问题。
师生共同分析问题，然后学生回答问题。
学生板书。
小组讨论问题，并回答问题。
师生分析问题，然后学生回答问题。
小组讨论列分式方程解应用题的检验意义：
1．检验所得到的根是否为原方程的根；
2．检验原方程的根是否符合题意。
巩固练习
1．假日里，小亮、小莹、大刚去离家18千米的某村进行社会调查。他们先步行了8千米，然后乘汽车前往，共用2小时到达。如果汽车的速度是步行速度的10倍，求他们步行的速度。
2．甲、乙两地相距180千米，一辆客车从甲地出发开往乙地，1小时后有一辆轿车也从甲地开往乙地。如果轿车的速度是客车速度的3倍，且轿车比客车早1小时到达，求两车行驶的速度。
3．大刚家、王老师家与学校在同一条马路上。大刚家距王老师家3千米，王老师家距学校0.5千米。大刚的腿摔伤以后，王老师每天骑自行车接大刚上学。已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，他每天比平时步行上班多用20分钟，求王老师步行的速度与自行车的速度。
学生做在练习本上。
小组讨论，然后回答问题。
教师提示：分为两种情况进行分析。
小结
1．列分式方程解应用题的步骤是什么？
2．列分式方程解应用题的检验的意义是什么？
【课时安排】
4课时
【第一课时】
【第二课时】
【第三课时】
【第四课时】
教学目标
1．经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程，体会分式方程的模型思想。
2．了解分式方程的意义，会判断一个方程是否是分式方程。
教学重点
根据题意找出能够表示问题中全部含义的一个相等关系。
教学难点
根据题意找出能够表示问题中全部含义的一个相等关系。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
复习导入
探索新知
（一）根据题意，列出下列方程。
1．停车场上共停了35辆小轿车和两轮摩托车，地面上数一共有100个轮子，请问小轿车和摩托车各有多少辆？
2．学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31棵，其中甲班植树数比乙班植树数的2倍多一棵，求两班各植树多少棵？
（二）交流与发现
思考下面的问题，并与同学交流：
1．王师傅承担了310个工件的焊接任务，加工了100个工件后开始采用焊接新工艺，工效提高到原来的1.5倍，共用8天完成了任务。如果采用新工艺，王师傅还需要多少天才能完成任务？
分析：解决这个问题的关键，是求出采用新工艺前王师傅每天焊接多少个工件。
如果设采用新工艺前王师傅每天焊接x个工件，那么加工100个工件需要_______天；采用新工艺后王师傅每天加工_______个工件，加工剩余的工件用了_______天。
问题中给出的等量关系是：______________。
焊接100个工件用的时间+焊接剩余工件用的时间=8天。
由此得到方程______________。
思考：这是一个怎样的方程？是一元一次方程吗？
2．甲、乙两班的同学参加植树，乙班每小时比甲班植60棵树，乙班植了66棵树，甲、乙两班每小时各植树多少棵？
（1）在这个问题中，哪些是已知量，哪些是未知量？
（2）如果选取一个未知量用x表示，那么其他量能用x表示吗？
（3）在这个问题中，给出的等量关系是什么？
（4）选择哪个等量关系可以得到关于未知数x的方程？
（5）你得到的方程是一元一次方程吗？
（三）总结：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（四）练一练：
1．下列方程中，哪些是分式方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
2．一个分数的分子比分母小2，当分子与分母都加上3时，这个分数等于，求这个分数。（只列方程）
（五）点拨：
1．分式方程中分母中一定要有未知数。
2．问题中有关的量用已知量或含有未知数的量的代数式表示出来，根据问题中的等量关系，列出方程。
学生做在练习本上。
学生阅读课本，然后回答问题，得出题目中的等量关系。
分析得出的方程和一元一次方程的区别和联系。
学生阅读课本，并回答问题。
得出等量关系，小组间交流讨论。
总结分式方程的概念。
学生直接回答问题。
学生列出方程。
教师分析，学生记忆。
巩固练习
小结
（一）填空题
1．分母中_______的方程叫做分式方程。
2．一个正多边形的每个内角都是135°，求它的边数，如果设这个正多边形的边数为，则得到方程_______。
3．甲、乙两个火车站相距1280千米。采用“和谐号”动车组提速后，列车行驶的速度是原来的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度，如果设列车原来行驶的速度为x千米/时，那么提速后的速度是_______千米/时，得到的方程是_______。
4．一名工人已加工零件1500个，由于改造了工作方法，效率提高了2.5倍，再加工1500个零件少用18h，现在每小时加工多少个零件？
若设该工人原来每小时加工x个零件，那么现在每小时加工_______个，原来和现在加工1500个零件分别用_______h和_______h，根据题意，可得方程______________。
（二）解答题
1．A、B两地相距30千米，甲、乙两人同时从A地骑车去B地。已知甲每小时比乙多行2千米，且比乙早半小时到达，求甲乙二人的速度（设甲的速度为千米/时，只列出方程）。
2．一台甲型拖拉机4天耕完一块耕地的一半，加一台乙型拖拉机，两台拖拉机合耕1天耕完这块地的另一半。设乙型拖拉机单独耕这块地需要x天，则x应满足怎样的方程？
这节课你有什么收获？
学生做在练习本上。
教学目标
1．经历探索分式方程的解法的过程，体会把分式方程化为整式方程求解的转化思想。
2．会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。
教学重难点
会解可化为一元一次方程的分式方程。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
复习导入
探索新知
巩固练习
小结
1．解下列方程：
（1）
（2）
2．交流与发现：
思考在上节课中，我们得到的两个分式方程：
交流怎样解这个方程？
3．点拨：
解分式方程的基本思路是：去分母，把分式方程化为整式方程。
4．例题讲解
例1：解方程
提示：如何把分式方程中的分母去掉是关键。
例2：
点拨：
要解分式方程重点是把分式方程转化为整式方程。解得出方程的解时一定要进行验根。
解分式方程的一般思路是：去分母，把分式方程化为整式方程。
5．练一练：
（1）解下列分式方程：
a．
b．
（2）解下列分式方程：
a．
b．
c．
d．
今天你有什么收获？
学生做在练习本上。
学生思考，并交流解方程的方法。
师生讨论怎样去分母。
学生板书。
师生分析，学生板书。
教师总结。
学生做在练习本上。
教学目标
1．了解分式方程增根的含义和产生增根的原因，并会检验分式方程的根。
2．掌握分式方程的一般步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程。
教学重难点
掌握分式方程的一般步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程。
教学过程
复习导入
探索新知
1．解分式方程的基本思路是什么？
2．解下列分式方程：
（1）
（2）
3．例题讲解：
例1：解方程：。
解：方程两边都乘得：
解这个一元一次方程，得：。
检验可知，当时，分式与的分母都为0。
所以，不是原方程的根，应当舍去。
原方程没有解。
分析：事实上，原方程可以写成：
，即。
由此看出这个方程无解。
总结：____________________
增根：____________________
在方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做方程的增根。
增根应当舍去。
想一想：
（1）解分式方程为什么要验根？
（2）怎样验根？
点拨：
与解一元一次方程不同，解分式方程可能出现增根，这是因为分式方程不允许未知数取分母的值为零的那些数，把原方程转化成整式方程后，方程中未知数的允许值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰使原方程中的分母为零，那么就会出现增根。所以解完方程后要检验是很必要的。
学生回答问题，并做在练习本上。
师生分析，然后学生板书。
分析方程无解的原因，引导学生学习增根。
师生分析，然后学生板书。
学生思考，然后小组交流讨论。
教师点拨。
巩固练习
小结
1．验根的方法：
（1）把求出的根代入原方程检验。如果求出的根使原方程的一个分母的值是0，那么这个根就是方程的增根。
（2）把求出的根代入解分式方程时两边同乘的整式，如果那个整式的值为零，那么这个根就是增根，应当舍去。
2．练一练：
（1）解下列分式方程：
a．
b．
c．
d．
（2）小亮从图书馆借了一本书，共280页，借期是两周。当他读完书的一半时，发现以后平均每天读书的页数必须增加1倍才能在借期内读完。小亮读前半本书时平均每天读多少页？
今天你有什么收获？
教师总结。
学生做在练习本上。
教学目标
1．经历“实际问题→分式方程模型→求解→解释解的合理性”的过程，提高分析问题、解决问题的能力。
2．会利用分式方程解决相关的实际问题。
教学重难点
会利用分式方程解决相关的实际问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
复习导入
探索新知
1．回忆列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
列一元一次方程解应用题的步骤：
（1）审清题意；
（2）设未知数，用含未知数的式子表示其他未知量；
（3）根据题意找出等量关系，列出方程；
（4）解方程，并检验；
（5）写出答案。
2．例题讲解
例1：甲、乙两地相距360千米，张老师和王老师分别乘坐早7时发出的普通客车和8时15分发出的豪华客车从甲地去乙地，恰好同时到达。已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是4∶3，求两车的平均速度。
分析：问题中的等量关系是：
普通客车所用时间－豪华客车所用时间=时。
解：设豪华客车的平均速度为4x千米/时，普通客车的平均速度为3x千米/时。于是豪华客车从甲地乙地所用的时间为时，普通客车从甲地到乙地所用的时间为时。根据题意，得方程。
解这个方程，得。
检验可知，是这个方程的根。
因为（千米/时），（千米/时），所以，豪华客车的平均速度为96千米/时，普通客车的平均速度为72千米/时。
想一想：
（1）从例题的条件出发，还可以求出哪些未知量？
（2）列分式方程解应用题的步骤是什么？
例2：阳光小区有A型和B型两种住宅出售，A型与B型住宅每平方米的价格分别是全楼每平方米平均价格的1.1倍与0.9倍，而且A型比B型的面积少40平方米。如果A型比B型的面积的售价分别为33万元与36万元，求全楼每平方米的平均价格。
根据题意，思考下列问题：
（1）如果设全楼每平方米的平均价格为x元，那么A型住宅与B型住宅每平方米的价格分别是多少？
（2）A型住宅与B型住宅的面积分别是多少？
（3）根据“A型住宅比B型住宅的面积少40平方米”这个等量关系，列出的方程是____________。
试着解这个方程。
（4）去分母，即两边都乘____________，得到____________。
解这个方程，得x=____________。
（5）检验它是否是方程的根？
根据例题中提供的信息，每小组编制出另一个用分式方程解决的问题？
想一想：列分式方程解应用题检验的意义是什么？
学生回忆，并回答问题。
师生共同分析问题，然后学生回答问题。
学生板书。
小组讨论问题，并回答问题。
师生分析问题，然后学生回答问题。
小组讨论列分式方程解应用题的检验意义：
1．检验所得到的根是否为原方程的根；
2．检验原方程的根是否符合题意。
巩固练习
1．假日里，小亮、小莹、大刚去离家18千米的某村进行社会调查。他们先步行了8千米，然后乘汽车前往，共用2小时到达。如果汽车的速度是步行速度的10倍，求他们步行的速度。
2．甲、乙两地相距180千米，一辆客车从甲地出发开往乙地，1小时后有一辆轿车也从甲地开往乙地。如果轿车的速度是客车速度的3倍，且轿车比客车早1小时到达，求两车行驶的速度。
3．大刚家、王老师家与学校在同一条马路上。大刚家距王老师家3千米，王老师家距学校0.5千米。大刚的腿摔伤以后，王老师每天骑自行车接大刚上学。已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，他每天比平时步行上班多用20分钟，求王老师步行的速度与自行车的速度。
学生做在练习本上。
小组讨论，然后回答问题。
教师提示：分为两种情况进行分析。
小结
1．列分式方程解应用题的步骤是什么？
2．列分式方程解应用题的检验的意义是什么？
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