01 第40讲　空间几何体 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)平行 全等 平行 平行且相等 一点 一点
平行四边形 三角形 梯形
(2)垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形
圆 矩形 扇形 扇环
2.(1)45°或135° 90° (2)平行于坐标轴 不变 原来的一半
3.2πrl πrl π(r+r')l
4.S底h 13S底h 4πR2 43πR3
【对点演练】
1.④ [解析] 对于①,经过不共面的四点的球,即为由这四个点组成的四面体的外接球,有且仅有一个,故①中说法正确;对于②,平行六面体的每个面都是平行四边形,故②中说法正确;对于③,正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直,故③中说法正确;对于④,棱台的每条侧棱延长后交于一点,侧棱有可能与底面垂直,故④中说法错误.
2.4+22 [解析] 由题意可得A'O'=B'O'2+B'A'2=12+12=2,由直观图可得原图,如图所示,可知∠AOB=90°,BO=B'O'=1,AO=2A'O'=22,可得AB=BO2+AO2=12+(22)2=3,所以原三角形ABO的周长为BO+AO+AB=1+22+3=4+22.
3.14π [解析] 设该球的半径为R,易知长方体的体对角线为球的直径,则2R=12+22+32=14,故该球的表面积S=4πR2=π(2R)2=14π.
4.65 [解析] 设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,因为圆锥的侧面展开图是圆心角为4π3,半径为18的扇形,所以l=18,且18×4π3=2πr,解得r=12,故圆锥的高h=l2-r2=182-122=65.
5.1∶47 [解析] 设长方体的过同一顶点的三条棱的长分别为a,b,c,则截出的棱锥的体积V1=13×12×12a×12b×12c=148abc,剩下的几何体的体积V2=abc-148abc=4748abc,所以V1∶V2=1∶47.
6.24π2或36π2 [解析] 设圆柱的底面半径为r.若圆柱的母线长是6π,则4π=2πr,所以r=2,所以圆柱的体积为π×22×6π=24π2.若圆柱的母线长是4π,则6π=2πr,所以r=3,所以圆柱的体积为π×32×4π=36π2.故圆柱的体积是24π2或36π2.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 分析可知,原平面图形为一个直角梯形,根据斜二测画法的规则求出上底、下底、高,最后利用梯形的面积公式求解即可.
C [解析] 如图①,过点A'作A'E'⊥C'D'于点E',因为∠A'D'C'=45°,所以A'D'=2A'E'=2B'C'=2,C'D'=C'E'+D'E'=C'E'+A'E'=A'B'+B'C'=2,则原平面图形中AD=22,AB=A'B'=1,CD=C'D'=2,作出原平面图形,如图②所示,则原平面图形的面积为12(CD+AB)×AD=32,故选C.
变式题 (1)D (2)AD [解析] (1)设A'B'的中点为D',连接C'D',如图所示,则△A'B'C'的高h=C'D'sin 45°=12×2×sin 60°×sin 45°=64,A'B'=AB=2,所以△A'B'C'的面积S=12A'B'·h=12×2×64=64.故选D.
(2)由题意得,原三角形ABC的平面图如图所示,其中AD⊥BC,BD>DC,∴AB>AC>AD,∴最长的是AB,最短的是AD,故选AD.
例2 [思路点拨] (1)根据圆锥的侧面展开图的特点即可得到方程,求出结果.(2)作出图形,将原问题转化为平面上两点间的距离最短问题,进而得解.
(1)B (2)B [解析] (1)设圆锥的母线长为l,则2π×2=πl,解得l=22.故选B.
(2)将展开图还原成立体图形得到三棱柱ADI-BCJ,如图①.由已知可得,AI=4,DI=3,AD=5,易知△ADI为直角三角形且∠AID=90°.将三棱柱的上底面ADI沿DI翻折至平面IDCJ上,A,C在DI两侧,连接AC,如图②所示.因为AJ=8,CJ=3,所以AC=32+82=73,则AK+CK的最小值为73.故选B.
变式题 (1)D (2)22 [解析] (1)设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则由题意得135°=3π4=2πrl,所以l=83r,可得圆锥的表面积A=πr2+πrl=113πr2,扇形的面积B=12×2πrl=83πr2,所以A∶B=11∶8.故选D.
(2)由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示,连接AA',则△AED的周长为AD+DE+EA',因为两点之间线段最短,所以当A,D,E,A'在一条直线上时,截面三角形AED的周长最小,最小值为AA'的长.因为∠APB=∠BPC=∠CPA'=30°,所以∠APA'=90°,因为PA=PA'=2,所以AA'=PA2+PA'2=4+4=22,所以截面三角形AED周长的最小值为22.
例3 [思路点拨] (1)根据题意画出图形,结合图形求出圆锥的母线长和底面半径,即可求出圆锥的侧面积.(2)设正六边形的边长为a,根据正六边形的面积求出a2的值,结合题意知原正四面体的棱长为3a,即可计算出原正四面体的表面积.
(1)2π (2)12 [解析] (1)如图所示,因为三棱锥O-PAB为正三棱锥,所以PA=PB=AB=2,OA=OB=OP.因为PO⊥AO,PO⊥OB,所以由勾股定理得OA=OB=OP=1,则圆锥的底面半径r=1,母线长l=2,则该圆锥的侧面积为πrl=2π.
(2)设正六边形的边长为a,根据题意得6×34a2=2,解得a2=863=439,由题意可知原正四面体的棱长为3a,故原正四面体的表面积S=34×(3a)2×4=12.
变式题 (1)C (2)D [解析] (1)设圆柱的高是h,则由题意得πR2h+12×43πR3=113πR3,所以h+12×43R=113R,可得h=3R,则酒杯内壁的面积为2πRh+12×4πR2=2πR·3R+12×4πR2=8πR2,故选C.
(2)设圆台的母线长为l,因为该圆台的侧面积为35π,所以由圆台的侧面积公式可得πl(1+2)=3πl=35π,所以l=5.设截去的小圆锥的母线长为l',则由三角形相似可得l'l'+5=12,解得l'=5,所以原圆锥的母线长为l'+l=5+5=25,故选D.
例4 [思路点拨] (1)由展开图的相关数据求出上下底面的半径,进而求出圆台的母线、高,最后由圆台的体积公式求解.(2)思路一:由大正四棱锥的体积减去小正四棱锥的体积可解;思路二:分析得出正四棱台的高与上、下底面的边长,再代入体积公式计算即可.(3)将四面体补成平行六面体,再用等体积法求解.
(1)C (2)28 (3)32 [解析] (1)设圆台上底面的半径为r1,下底面的半径为r2,依题意得2πr1=2π3×1,且2πr2=2π3×3,解得r1=13,r2=1.因为圆台的母线长l=AD=3-1=2,所以圆台的高h=l2-(r2-r1)2=4-232=423,所以圆台的体积V=π3h(r12+r1r2+r22)=π3×423×132+13×1+12=522π81.故选C.
(2)方法一:依题意可知,原正四棱锥的高为6,故棱台的体积V=V大正四棱锥-V小正四棱锥=13×42×6-13×22×3=28.
方法二:由题可知所得棱台的高为3,上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,由棱台的体积公式可得棱台的体积V=13×(42+22+42×22)×3=28.
(3)如图所示,把四面体ABCD补成一个平行六面体,连接EF,DE,设P,Q分别在AB,CD上,且PQ为异面直线AB与CD的公垂线段,即PQ⊥AB,PQ⊥CD,则PQ=3.在平行六面体中,可得AB∥CE,所以PQ⊥CE,又因为CD∩CE=C且CD,CE⊂平面CDFE,所以PQ⊥平面CDFE,易知AB∥平面CDFE,所以点A到平面CDFE的距离d=3.因为AB∥CE且直线AB与CD所成的角为60°,所以CE与CD所成的角为60°,又AB=CE=1,CD=2,所以VA-BCD=VD-AEF=VA-CDE=13×12CD×CEsin 60°×3=13×12×2×1×sin 60°×3=32,即四面体ABCD的体积为32.
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变式题 (1)D (2)B (3)AC [解析] (1)设弧AD所在圆的半径为R,弧BC所在圆的半径为r,∵弧AD的长度是弧BC长度的3倍,底面扇环所对的圆心角为π2,∴π2R=3×π2r,即R=3r,∴CD=R-r=2r=2,解得r=1,则R=3,∴该几何体的体积V=14πR2-14πr2×AA1=9π4-π4×5=10π.故选D.
(2)沙漏中的细沙对应的圆锥的底面半径为23×3=2(cm),高为6×23=4(cm),则细沙的体积为13×π×22×4=16π3(cm3),所以该沙漏的一个沙时为16π30.02≈837(s),故选B.
(3)如图,取AC的中点D,连接OD,PD,PO,则OD⊥AC,PD⊥AC,故∠PDO为二面角P-AC-O的平面角,得∠PDO=45°.因为∠APB=120°,PA=2,所以AB=23,PO=1,故圆锥的体积V=13×π×(3)2×1=π,故A正确;S圆锥侧=π×3×2=23π,故B错误;由∠PDO=45°,可得DO=1,故AC=2×3-1=22,故C正确;易知PO⊥DO,由PO=1,DO=1,得PD=2,则S△PAC=12×22×2=2,故D错误.故选AC.