人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算随堂练习题，共31页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3026" 【题型1 空间向量概念的理解】 PAGEREF _Tc3026 \h 2
\l "_Tc15117" 【题型2 空间向量的加减运算】 PAGEREF _Tc15117 \h 3
\l "_Tc23021" 【题型3 空间向量的线性运算】 PAGEREF _Tc23021 \h 3
\l "_Tc900" 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 PAGEREF _Tc900 \h 4
\l "_Tc4164" 【题型5 向量共线的判定及应用】 PAGEREF _Tc4164 \h 6
\l "_Tc14570" 【题型6 由空间向量共线求参数】 PAGEREF _Tc14570 \h 8
\l "_Tc20476" 【题型7 向量共面的判定及应用】 PAGEREF _Tc20476 \h 9
\l "_Tc7846" 【题型8 由空间向量共面求参数】 PAGEREF _Tc7846 \h 10
【知识点1 空间向量的概念】
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(4)几类特殊的空间向量
【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；
(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.
【题型1 空间向量概念的理解】
【例1】（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果a=0，则a=0
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；③若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是（ ）.
A．1B．2C．3D．4
【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量a,b满足a=b，则a=b；
④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p，则m=p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3
C．2D．1
【知识点2 空间向量的线性运算】
1．空间向量的线性运算
【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.
(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.
(3)空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.
【题型2 空间向量的加减运算】
【例2】（2023春·高二课时练习）在四面体OABC中，OA+AB−CB等于（ ）
A．OAB．ABC．OCD．AC
【变式2-1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体ABCD−A1B1C1D1中，化简AB+BD−AC1=（ ）
A．C1BB．BC1C．C1DD．DC1
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其重心，则AB+12BC−32DE−AD=（ ）
A．ABB．2BDC．0D．2DE
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是
A．EB+BF+EH+GH=0→B．EB+FC+EH–EG=0→
C．EF+FG+EH+GH=0→D．EF–FB+CG+GH=0→
【题型3 空间向量的线性运算】
【例3】（2023春·高二单元测试）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A．AB+2BC+2CD+DC
B．2AB+2BC+3CD+3DA+AC
C．AB+DA+BD
D．AB−CB+CD−AD
【变式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体ABCD−A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF=12EF，则AF等于（ ）．
A．AA′+12AB+12ADB．12AA′+12AB+12AD
C．12AA′+16AB+16ADD．13AA′+16AB+16AD
【变式3-2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E满足AE=−13AA1+AB1+13AD1，则（ ）
A．3B1E=B1C1B．3B1E=2B1C1C．B1E=3B1C1D．2B1E=3B1C1
【变式3-3】（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F分别是BC、CC1的中点，G为△ABC的重心，则GF=（ ）
A．−13AB+23AC+12AA1B．13AB+23AC+12AA1
C．−23AB+13AC−12AA1D．13AB−23AC+12AA1
【题型4 由空间向量的线性运算求参数】
【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考开学考试）如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA,N为BC的中点，MN→=xa→+yb→+zc→，则x,y,z的值分别为（ ）
A．12,−23,12B．12,12,−23
C．−23,12,12D．23,23,−12
【变式4-1】（2023秋·湖南娄底·高二校联考期末）在三棱柱ABC−A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且DF=αAB+βAC，则
A．α=12, β=−1B．α=−12, β=1
C．α=1, β=−12D．α=−1, β=12
【变式4-2】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若BE=AA1+xAB+yAD，则（ ）
A．x=−12,y=12B．x=12,y=−12
C．x=−12,y=−12D．x=12,y=12
【变式4-3】（2023春·高二课时练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点P在A1C上，且A1P=14A1C，若AP=xAA1+yAB+zAD，则x+y+z=（ ）
A．34B．1C．54D．74
【知识点3 共线向量与共面向量】
1．共线向量
(1)空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.
(3)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；
②证明三点共线.
【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.
2．共面向量
(1)共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
(2)向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)共面向量定理的用途：
①证明四点共面；
②证明线面平行.
【题型5 向量共线的判定及应用】
【例5】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断CE与MN是否共线？
【变式5-1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2ED1，F在对角线A1C上，且A1F=23FC.若AB=a,AD=b,AA1=c.
（1）用a,b,c表示EB.
（2）求证：E，F，B三点共线.
【变式5-2】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知空间四边形ABCD，点E，H分别是AB，AD的中点，点F，G分别是CB，CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD.用向量法求证：四边形EFGH是梯形.
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k≠0,m≠0.
求证：（1）AC//EG；
（2）OG=kOC.
【题型6 由空间向量共线求参数】
【例6】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+e3，CD=4e1+8e2+4e3，若A，C，D三点共线，则λ=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校联考期末）如果空间向量a,b不共线，且a−yb=xa+3b，那么x,y的值分别是（ ）
A．x=−1,y=3B．x=−1,y=−3
C．x=1,y=−3D．x=1,y=3
【变式6-2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a+2b−3c，n=x(a+b)−y(b+c)+3(a+c)，若m∥n，则xy=（ ）
A．−3B．−13C．3D．13
【变式6-3】（2023春·高二课时练习）已知非零向量a=3m−2n−4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且m、n、p不共面．若a//b，则x+y=（ ）
A．−13
B．−5
C．8
D．13
【题型7 向量共面的判定及应用】
【例7】（2023春·高一课时练习）已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．
(1)OB+OM=3OP−OA；
(2)OP=4OA−OB−OM．
【变式7-1】（2023秋·高二课时练习）已知i,j,k是不共面向量，a=i−2j+k,b=−i+3j+2k,c=−3i+7j，证明这三个向量共面.
【变式7-2】（2023春·高二课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
【变式7-3】（2023秋·高二课时练习）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC，OH=kOD.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)平面AC∥平面EG.
【题型8 由空间向量共面求参数】
【例8】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知O为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，但任意三点不共线．如果BP=mOA+OB+OC，则m的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x,y满足OD=xOA+yOB−OC，则x2+y2的最小值为（ ）
A．45B．255C．1D．2
【变式8-2】（2023春·高一课时练习）已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若OM=2λOA+25OB+16OC，则A,B,C,M四点共面的充要条件是（ ）
A．λ=1360B．λ=1760C．λ=−1760D．λ=−1360
【变式8-3】（2023春·高二课时练习）如图,平面ABC内的小方格均为正方形,点P为平面ABC内的一点,O为平面ABC外一点,设OP=mOA+nOB+2OC,则m+n的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3026" 【题型1 空间向量概念的理解】 PAGEREF _Tc3026 \h 2
\l "_Tc15117" 【题型2 空间向量的加减运算】 PAGEREF _Tc15117 \h 4
\l "_Tc23021" 【题型3 空间向量的线性运算】 PAGEREF _Tc23021 \h 6
\l "_Tc900" 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 PAGEREF _Tc900 \h 8
\l "_Tc4164" 【题型5 向量共线的判定及应用】 PAGEREF _Tc4164 \h 11
\l "_Tc14570" 【题型6 由空间向量共线求参数】 PAGEREF _Tc14570 \h 14
\l "_Tc20476" 【题型7 向量共面的判定及应用】 PAGEREF _Tc20476 \h 16
\l "_Tc7846" 【题型8 由空间向量共面求参数】 PAGEREF _Tc7846 \h 18
【知识点1 空间向量的概念】
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(4)几类特殊的空间向量
【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；
(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.
【题型1 空间向量概念的理解】
【例1】（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果a=0，则a=0
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【解题思路】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.
【解答过程】对于A，零向量0的相反向量是它本身，A错误；
对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；
对于C，如果a=0，则a=0，C正确；
对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.
故选：A.
【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
【解题思路】取零向量可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项.
【解答过程】对于A选项，零向量与它的相反向量相等，A错；
对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；
对于C选项，同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C对；
对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错.
故选：C.
【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；③若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是（ ）.
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据单位向量的模长为1可判断①的真假；根据空间向量的相等的定义，可判断②③；由单位向量的定义可判断④的真假；根据零向量的规定可判断⑤的真假，即可得出结论.
【解答过程】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，
则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.
②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，
而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同.
③真命题.向量的相等具有传递性.
④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，
但方向不一定相同，以不一定相等.
⑤假命题.零向量的方向是任意的.
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量a,b满足a=b，则a=b；
④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p，则m=p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3
C．2D．1
【解题思路】根据空间向量的有关定义判断可得答案.
【解答过程】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错误；
命题④显然正确；
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．
故选：D.
【知识点2 空间向量的线性运算】
1．空间向量的线性运算
【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.
(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.
(3)空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.
【题型2 空间向量的加减运算】
【例2】（2023春·高二课时练习）在四面体OABC中，OA+AB−CB等于（ ）
A．OAB．ABC．OCD．AC
【解题思路】利用空间向量线性运算法则化简.
【解答过程】OA+AB−CB=OA+AB+BC=OB+BC=OC.
故选：C.
【变式2-1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体ABCD−A1B1C1D1中，化简AB+BD−AC1=（ ）
A．C1BB．BC1C．C1DD．DC1
【解题思路】根据空间向量的线性运算求解即可.
【解答过程】AB+BD−AC1=AD−AC1=C1D.
故选：C.
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其重心，则AB+12BC−32DE−AD=（ ）
A．ABB．2BDC．0D．2DE
【解题思路】根据向量的加减法运算法则即可求解.
【解答过程】
取BC的中点为F,则12BC=BF,
又因为E 为△BCD的重心，即DF上靠近F的三等分点，
32DE=DF,
则AB+12BC−32DE−AD=AB+BF−DF−AD=AF+FD−AD=AD−AD=0.
故选:C.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是
A．EB+BF+EH+GH=0→B．EB+FC+EH–EG=0→
C．EF+FG+EH+GH=0→D．EF–FB+CG+GH=0→
【解题思路】根据空间向量的加减法运算法则即可求解.
【解答过程】画出图形，如图所示，
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，∴FC=BF，GH=FE，
对于A，EB+BF+EH+GH=EF+EH+GH=HG+EH+GH=EH；
对于B，EB+FC+EH–EG=EB+BF+（EH–EG）=EF+GH=EF–EF=0→；
对于C，EF+FG+EH+GH=EF+FG+GH+EH=EH+EH=2EH；
对于D，EF–FB+CG+GH=EF+BF+CG+GH=EF+FC+CG+GH=EH．
故选B．
【题型3 空间向量的线性运算】
【例3】（2023春·高二单元测试）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A．AB+2BC+2CD+DC
B．2AB+2BC+3CD+3DA+AC
C．AB+DA+BD
D．AB−CB+CD−AD
【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.
【解答过程】对于A，AB+2BC+2CD+DC=AB+BC+BC+CD+CD+DC=AC+BD；
对于B，2AB+2BC+3CD+3DA+AC=2AB+BC+3CD+DA+AC=3AC+3CA=0；
对于C，AB+DA+BD=DA+AB+BD=DB+BD=0；
对于D，AB−CB+CD−AD=AB−AD+CD−CB=DB+BD=0.
故选：A.
【变式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体ABCD−A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF=12EF，则AF等于（ ）．
A．AA′+12AB+12ADB．12AA′+12AB+12AD
C．12AA′+16AB+16ADD．13AA′+16AB+16AD
【解题思路】作图分析，根据空间向量的线性运算可得AF=13AE，AE=AA′+A′E，A′E=12A′C′，A′C′=A′D′+A′B′，A′D′=AD，A′B′=AB，代入AF=13AA′+12A′C′化简即可得出答案．
【解答过程】如图所示，
由于AF=12EF，故AF=13AE，AE=AA′+A′E，A′E=12A′C′，
A′C′=A′D′+A′B′，A′D′=AD，A′B′=AB，
∴AF=13AE=13AA′+12A′C′=13AA′+16(A′B′+A′D′)
=13AA′+16AB+AD=13AA′+16AB+16AD，
故选：D．
【变式3-2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E满足AE=−13AA1+AB1+13AD1，则（ ）
A．3B1E=B1C1B．3B1E=2B1C1C．B1E=3B1C1D．2B1E=3B1C1
【解题思路】利用向量的线性运算全部转化为用B1作为起点的向量来表示，然后整理即可.
【解答过程】由AE=−13AA1+AB1+13AD1得B1E−B1A=−13B1A1−B1A−B1A+13B1D1−B1A，
整理得3B1E=B1D1−B1A1=A1D1=B1C1.
故选：A.
【变式3-3】（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F分别是BC、CC1的中点，G为△ABC的重心，则GF=（ ）
A．−13AB+23AC+12AA1B．13AB+23AC+12AA1
C．−23AB+13AC−12AA1D．13AB−23AC+12AA1
【解题思路】根据向量的数乘及加、减运算求解即可.
【解答过程】解：由题意可得：
GF=GE+EF
=13AE+12BC1
=13×12(AB+AC)+12(BC+BB1)
=16AB+16AC+12(AC−AB+BB1)
=−13AB+23AC+12BB1
=−13AB+23AC+12AA1.
故选：A.
【题型4 由空间向量的线性运算求参数】
【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考开学考试）如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA,N为BC的中点，MN→=xa→+yb→+zc→，则x,y,z的值分别为（ ）
A．12,−23,12B．12,12,−23
C．−23,12,12D．23,23,−12
【解题思路】利用空间向量的线性运算求解即可.
【解答过程】MN=ON−OM=12OB+OC−23OA=−23a+12b+12c，
所以x=−23,y=12,z=12，
故选：C.
【变式4-1】（2023秋·湖南娄底·高二校联考期末）在三棱柱ABC−A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且DF=αAB+βAC，则
A．α=12, β=−1B．α=−12, β=1
C．α=1, β=−12D．α=−1, β=12
【解题思路】根据向量加法的多边形法则可得， DF=DC+CB+BF=12CC1+CB+12BA1=12A1A+AB−AC+12BA+12AA1=12AB−AC 从而可求α，β，
【解答过程】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，
DF=DC+CB+BF=12CC1+CB+12BA1=12A1A+AB−AC+12BA+12AA1=12AB−AC，
∴α=12，β=﹣1，
故选A．
【变式4-2】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若BE=AA1+xAB+yAD，则（ ）
A．x=−12,y=12B．x=12,y=−12
C．x=−12,y=−12D．x=12,y=12
【解题思路】根据空间向量的线性运算即可求解.
【解答过程】根据题意，得；BE=BB1+12(BA+BC)
=AA1+12BA+12BC
=AA1−12AB+12AD,
又∵BE=AA1+xAB+yAD
∴x=−12,y=12,
故选：A.
【变式4-3】（2023春·高二课时练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点P在A1C上，且A1P=14A1C，若AP=xAA1+yAB+zAD，则x+y+z=（ ）
A．34B．1C．54D．74
【解题思路】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求解.
【解答过程】
如图，AP=AA1+A1P=AA1+14A1C=AA1+14(AC−AA1)
=34AA1+14AB+AD=34AA1+14AB+14AD,
所以x=34,y=14,z=14，
所以x+y+z=54，
故选:C.
【知识点3 共线向量与共面向量】
1．共线向量
(1)空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.
(3)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；
②证明三点共线.
【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.
2．共面向量
(1)共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
(2)向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)共面向量定理的用途：
①证明四点共面；
②证明线面平行.
【题型5 向量共线的判定及应用】
【例5】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断CE与MN是否共线？
【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断.
【解答过程】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形，
所以MN=MA+AF+FN=12CA+AF+12FB.
又MN=MC+CE+EB+BN=−12CA+CE−AF−12FB，
所以12CA+AF+12FB=−12CA+CE−AF−12FB.
所以CE=CA+2AF+FB=2MA+AF+FN=2MN，
即CE=2MN，即CE与MN共线.
【变式5-1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2ED1，F在对角线A1C上，且A1F=23FC.若AB=a,AD=b,AA1=c.
（1）用a,b,c表示EB.
（2）求证：E，F，B三点共线.
【解题思路】（1）由已知得EB=EA1+A1A+AB=23D1A1+A1A+AB，由此可得答案；
（2）由已知得FB =35EB，由此可得证.
【解答过程】解：（1）因为A1E=2ED1， AB=a,AD=b,AA1=c，
所以EB=EA1+A1A+AB=23D1A1+A1A+AB=−23b−c+a，
所以EB=a−23b−c；
（2）A1F=23FC.
FB=FA1+A1A+AB=25CA1+A1A+AB
=25(CB+BA+AA1)+A1A+AB
=25(−b−a+c)−c+a
=35a−25b−35c=35(a−23b−c)=35EB，
又EB与FB相交于B，所以E，F，B三点共线.
【变式5-2】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知空间四边形ABCD，点E，H分别是AB，AD的中点，点F，G分别是CB，CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD.用向量法求证：四边形EFGH是梯形.
【解题思路】根据题意得出EH∥BD，利用空间向量共线定理证明即可.
【解答过程】证明：连接BD.
∵点E，H分别是边AB，AD的中点，且CF=23CB，CG=23CD，
∴ EH=12BD=12(CD−CB)=12(32CG−32CF)=34(CG−CF)=34FG，
∴ EH∥FG且|EH|=34|FG|≠|FG|.
又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形.
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k≠0,m≠0.
求证：（1）AC//EG；
（2）OG=kOC.
【解题思路】（1）由题意，EG=EH+mEF，转化EH=OH−OE,EF=OF−OE，代入结合题干条件运算即得证；
（2）由题意，OG=OE+EG，又OE=kOA,EG=kAC，运算即得证
【解答过程】证明：（1）EG=EH+mEF=OH−OE+m(OF−OE)
=k(OD−OA)+km(OB−OA)
=kAD+kmAB=kAD+mAB=kAC
∴AC//EG.
（2）OG=OE+EG=kOA+kAC=kOA+AC=kOC.
【题型6 由空间向量共线求参数】
【例6】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+e3，CD=4e1+8e2+4e3，若A，C，D三点共线，则λ=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据A，C，D三点共线，可得AC//CD，则存在唯一实数μ，使得AC=μCD，再根据空间向量共线定理即可得解.
【解答过程】由AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+e3，
得AC=AB+BC=2e1+1+λe2+2e3，
因为A，C，D三点共线，所以AC//CD，
则存在唯一实数μ，使得AC=μCD，
则2=4μ1+λ=8μ2=4μ，解得μ=12λ=3.
故选：C.
【变式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校联考期末）如果空间向量a,b不共线，且a−yb=xa+3b，那么x,y的值分别是（ ）
A．x=−1,y=3B．x=−1,y=−3
C．x=1,y=−3D．x=1,y=3
【解题思路】根据向量的相等,可得方程，即可求得答案.
【解答过程】由题意可知空间向量a,b不共线，且a−yb=xa+3b，即(x−1)a−(y+3)b=0，
则x−1=0,−(y+3)=0，即x=1,y=−3，
故选：C.
【变式6-2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a+2b−3c，n=x(a+b)−y(b+c)+3(a+c)，若m∥n，则xy=（ ）
A．−3B．−13C．3D．13
【解题思路】由m∥n，可得存在实数λ，使n=λm，然后将m,n代入化简可求得结果
【解答过程】m=a+2b−3c，n=x(a+b)−y(b+c)+3(a+c)=(x+3)a+(x−y)b+(3−y)c，
因为m∥n，所以存在实数λ，使n=λm，
所以(x+3)a+(x−y)b+(3−y)c=λ(a+2b−3c)，
所以x+3=λx−y=2λ3−y=−3λ，
所以x−y=2(x+3)3−y=−3(x+3)，得2x+2y=3x−y，x=3y，
所以xy=3，
故选：C.
【变式6-3】（2023春·高二课时练习）已知非零向量a=3m−2n−4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且m、n、p不共面．若a//b，则x+y=（ ）
A．−13
B．−5
C．8
D．13
【解题思路】先由向量平行，得到b=λa，利用系数对应相等构建关系，即求得x，y，即得结果.
【解答过程】∵a//b且a≠0，∴b=λa，即(x+1)m+8n+2yp=3λm−2λn−4λp，
又m、n、p不共面，∴x+1=3λ8=−2λ2y=−4λ，解得x=−13，y=8，x+y=−5.
故选：B.
【题型7 向量共面的判定及应用】
【例7】（2023春·高一课时练习）已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．
(1)OB+OM=3OP−OA；
(2)OP=4OA−OB−OM．
【解题思路】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
【解答过程】（1）解：因为A,B,M三点不共线，可得A,B,M三点共面，
对于平面ABM外的任意一点O，若OB+OM=3OP−OA，
即OP=13OA+13OB+13OM，
又因为13+13+13=1，根据空间向量的共面定理，可得点P与A,B,M共面.
（2）解：因为A,B,M三点不共线，可得A,B,M三点共面，
对于平面ABM外的任意一点O，若OP=4OA−OB−OM，此时4−1−1=2≠1，
根据空间向量的共面定理，可得点P与A,B,M不共面．
【变式7-1】（2023秋·高二课时练习）已知i,j,k是不共面向量，a=i−2j+k,b=−i+3j+2k,c=−3i+7j，证明这三个向量共面.
【解题思路】由空间向量基本定理可得答案.
【解答过程】由i,j,k是不共面向量，得a与b不共线，
设a=xb+yc，则i−2j+k=x−i+3j+2k+y−3i+7j，
所以1=−x−3y−2=3x+7y1=2x，解得x=12y=−12，所以a=12b−12c，
所以这三个向量共面.
【变式7-2】（2023春·高二课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
【解题思路】（1）要证E，F，G，H四点共面，只需证明向量EG，EF，EH共面，结合向量的线性运算及共面向量定理证明即可；
（2）由向量共线结合线面平行的判定定理证明．
【解答过程】（1）如图，连接EG，BG．
因为EG＝EB＋BG＝EB＋12(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，
由向量共面的充要条件可知，向量EG，EF，EH共面，
又EG，EF，EH过同一点E，从而E，F，G，H四点共面．
（2）因为EH＝AH－AE＝12AD－12AB＝12(AD－AB)＝12BD，
又E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD，
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH．
【变式7-3】（2023秋·高二课时练习）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC，OH=kOD.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)平面AC∥平面EG.
【解题思路】（1）根据向量的线性运算可得EG=EF+EH,由空间向量,可判断向量共面,进而可得点共面.（2）根据向量共线可得直线与直线平行,进而可证明线面平行,进而可证明面面平行.
【解答过程】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=AB+AD，
∵EG=OG−OE，
=k⋅OC−k⋅OA=kOC−OA=kAC=kAB+AD
=kOB−OA+OD−OA=OF−OE+OH−OE=EF+EH
∴E、F、G、H四点共面；
（2）∵EF=OF−OE=kOB−OA=k⋅AB，∴EF∥AB
又因为EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD
又∵EG=k⋅AC，∴EG∥AC，
EG⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD,EG∥平面ABCD，
又EF∩EG=E，EF,EG⊂平面EG
所以，平面EG∥平面AC.
【题型8 由空间向量共面求参数】
【例8】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知O为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，但任意三点不共线．如果BP=mOA+OB+OC，则m的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【解题思路】由题设条件推得OP=mOA+2OB+OC，再由四点共面可求得m=−2
【解答过程】因为BP=OP−OB，
所以由BP=mOA+OB+OC
得OP−OB=mOA+OB+OC，
即OP=mOA+2OB+OC，
因为O为空间任意一点，A,B,C,P满足任意三点不共线，且四点共面，
所以m+2+1=1，故m=−2.
故选：A.
【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x,y满足OD=xOA+yOB−OC，则x2+y2的最小值为（ ）
A．45B．255C．1D．2
【解题思路】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.
【解答过程】因为OD=xOA+yOB−OC，点D在△ABC确定的平面内，
所以x+y−1=1，即x=2−y，所以x2+y2=(2−y)2+y2=2y2−4y+4=2(y−1)2+2≥2，
所以当y=1时，x2+y2的有最小值2．
故选：D.
【变式8-2】（2023春·高一课时练习）已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若OM=2λOA+25OB+16OC，则A,B,C,M四点共面的充要条件是（ ）
A．λ=1360B．λ=1760C．λ=−1760D．λ=−1360
【解题思路】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.
【解答过程】A,B,C,M四点共面的充要条件是AM=xBM+yCM，OM−OA=xOM−OB+yOM−OC，整理可得1−x−yOM=OA−xOB−yOC，
由OM=2λOA+25OB+16OC，则1−x−y=z1=2λz−x=25z−y=16z，解得λ=1360，
故选：A.
【变式8-3】（2023春·高二课时练习）如图,平面ABC内的小方格均为正方形,点P为平面ABC内的一点,O为平面ABC外一点,设OP=mOA+nOB+2OC,则m+n的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【解题思路】先将OP写为OA+AP,再根据平面向量基本定理,将AP写为xAB+yAC,代入OP中,利用向量的加减,化为OA,OB,OC的形式,跟题中对比相等,即可得出结果.
【解答过程】由题知OP=OA+AP，
∵A,P,B,C四点共面,
根据平面向量基本定理,
不妨设AP=xAB+yAC,x,y∈R，
则OP=OA+xAB+yAC
=OA+x(OB−OA)+y(OC−OA)
=1−x−yOA+xOB+yOC,
∵OP=mOA+nOB+2OC，
∴1−x−y=mx=ny=2,
∴m+n=1−x−y+x =1−y=−1.
故选:B.名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
空间向量的线性运算
加法
a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝eq \(OB,\s\up6(→))
减法
a－b＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))
数乘
当λ>0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
当λ0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
当λ