06 第39讲　双数列问题 【答案】作业高考数学练习

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2.B [解析] 设等差数列{an}的公差为d,则B-A=15d=45,所以d=3.因为2A=B+615,所以2A=A+45+615,则A=660.等差数列{an}的奇数项是以a1为首项,2d为公差的等差数列,等差数列{an}的前30项中奇数项有15项,所以A=15a1+15×142×6=660,得a1=2,所以an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1.故选B.
3.A [解析] 数列{an}满足an=n,在an,an+1之间插入n个1,构成数列{bn}:a1,1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4,…,所以数列{bn}中,从a1到ak的项数为k+[1+2+…+(k-1)]=k+(k-1)(1+k-1)2=12k(k+1),当k=13时,12×13×14=91,当k=14时,12×14×15=105,因为ak=k,所以S100=(a1+a2+…+a13)+(100-13)×1=(1+13)×132+87=178.故选A.
4.B [解析] 因为a1=1,2Sn=an+1an,a1=S1,所以当n=1时,可得a2=2,当n≥2时,2Sn-1=anan-1,与2Sn=an+1an相减可得an+1-an-1=2(n≥2).所以当n=2k-1(k∈N*)时,数列{a2k-1}是以1为首项,2为公差的等差数列,则a2k-1=2k-1,当n=2k(k∈N*)时,数列{a2k}是以2为首项,2为公差的等差数列,则a2k=2k,所以当n为正整数时,an=n,则S20=1+2+3+…+20=210.故选B.
5.A [解析] 设等差数列{an}的公差为d.由S4=4S2,a2n=2an+1,得4a1+6d=8a1+4d,a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1,解得a1=1,d=2,因此an=2n-1,n∈N*,所以bn=aan=2an-1=2(2n-1)-1=4n-3,则1bnbn+1=1(4n-3)(4n+1)=1414n-3-14n+1,所以1b1b2+1b2b3+1b3b4+…+1b9b10=14×1-15+15-19+…+133-137=14×1-137=937,故选A.
6.56 [解析] 根据题意可得,a2=a1-1=2-1=1,a3=2a2+2=2+2=4,a4=a3-1=4-1=3,a5=2a4+2=6+2=8,a6=a5-1=8-1=7,a7=2a6+2=14+2=16,a8=a7-1=16-1=15,则{an}的前8项和为2+1+4+3+8+7+16+15=56.
7.C [解析] 因为数列{an}的各项均为正数,{bn}满足an2=bnbn+1,an+an+1=2bn+1,所以对任意的n∈N*,bn+1=an+an+12>0,则bn=an2bn+1>0,所以数列{bn}的每一项都是正数,所以bnbn+1+bn+1bn+2=2bn+1,可得bn+bn+2=2bn+1,所以数列{bn}是等差数列,故选C.
8.C [解析] 将在ak与ak+1之间插入的k个相同的数看成一组,则插入的n组数共n(n+1)2个,因为12×132=78,78+13+9=100,所以数列{bn}的前100项依次为1,-11个,2,2,22个,22,-3,-3,-33个,23,…,211,12,…,1212个,212,-13,…,-139个.因为-n2+(n+1)2=2n+1,所以-1+22-32+42-…-112+122-9×13=3+7+11+15+19+23-9×13=(3+23)×62-117=-39,又数列{an}的前13项和为a1+a2+…+a13=1×(213-1)2-1=213-1=210×8-1=1024×8-1=8191,所以T100=8191-39=8152.故选C.
9.D [解析] 因为a1-a2=0,所以数列{an-an+1}不是等比数列,A错误.由题意得,a3=2a2+3a1=5,a4=2a3+3a2=10+3=13, 则a2+2a1=1+2=3,a3+2a2=5+2=7,a4+2a3=13+10=23,因为73≠237,所以数列{an+1+2an}不是等比数列,B错误.当n≥3时,an=2an-1+3an-2,则an+an-1=3(an-1+an-2),又a1+a2=1+1=2,所以{an+1+an}为等比数列,首项为2,公比为3,所以an+1+an=2×3n-1,故a2+a1=2,a4+a3=2×32,…,a40+a39=2×338,以上20个式子相加得,S40=2×(1+32+34+…+338)=2×1-3401-9=340-14,C错误.因为an+1+an=2×3n-1,所以an+2+an+1=2×3n,两式相减得,an+2-an=2×3n-2×3n-1=4×3n-1.当n=2k(k≥2,k∈N*)时,a2k-a2k-2=4×32k-3,a2k-2-a2k-4=4×32k-5,…,a4-a2=4×3,以上式子相加得a2k-a2=4×(3+33+…+32k-3)=4×3-32k-11-9=32k-1-32(k≥2,k∈N*),故a2k=32k-1-32+a2=32k-1-12(k≥2,k∈N*),而a2=1也符合该式,故a2k=32k-1-12(k∈N*),令2k=n(k∈N*),得an=3n-1-12=3n-1+(-1)n-12;当n=2k-1(k≥2,k∈N*)时,a2k-1-a2k-3=4×32k-4,a2k-3-a2k-5=4×32k-6,…,a3-a1=4×30,以上式子相加得a2k-1-a1=4×(32k-4+32k-6+…+30)=4×1-32k-21-9=32k-2-12(k≥2,k∈N*),故a2k-1=32k-2-12+a1=32k-2+12(k≥2,k∈N*),而a1=1也符合该式,故a2k-1=32k-2+12(k∈N*),令2k-1=n(k∈N*),得an=3n-1+(-1)n-12.综上,an=3n-1+(-1)n-12,D正确.故选D.
10.AD [解析] 设a2023介于第n个1与第n+1个1之间或者为这两个1当中的一个,则从新数列的第1个1到第n个1一共有(n+1)n2项,从新数列的第1个1到第n+1个1一共有(n+2)(n+1)2项,所以(n+1)n2≤2023≤(n+2)(n+1)2,可得n=63,而(63+1)×632=2016,所以a2023=27,故A正确,B错误;S2023=1×63+62×21+61×22+60×23+…+1×262+21+22+23+24+25+26+27=317+62×21+61×22+60×23+…+1×262,令T=62×21+61×22+60×23+…+1×262,则2T=62×22+61×23+60×24+…+1×263,2T-T=-62×21+22+23+24+…+262+263,即T=264-128,所以S2023=264+189,故D正确,C错误.故选AD.
11.ACD [解析] 对于A,a2=a1+2=4,a3=2a2=8,a4=a3+4=12,则a5=2a4=24,故A正确;对于B,由题意,b1=a2=4,当n≥2时,bn=a2n=a2n-1+(2)2n=2a2n-2+2n=2bn-1+2n,所以bn2n-bn-12n-1=1,则bn2n是以1为公差,b12=2为首项的等差数列,则bn2n=2+(n-1)=n+1,则bn=(n+1)·2n,故B错误;对于C,Tn=b1+b2+…+bn,即Tn=2×21+3×22+4×23+…+(n+1)×2n,所以2Tn=2×22+3×23+…+n×2n+(n+1)×2n+1,两式相减得-Tn=4+(22+23+…+2n)-(n+1)×2n+1=4+4(1-2n-1)1-2-(n+1)×2n+1=-n×2n+1,所以Tn=n·2n+1,故C正确;对于D,S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=[a2-(2)2]+[a4-(2)4]+…+[a2n-(2)2n]+(a2+a4+…+a2n)=2(a2+a4+…+a2n)-(2+22+…+2n)=2(b1+b2+…+bn)-2(1-2n)1-2=2Tn+2-2n+1=2n×2n+1+2-2n+1=2n+1(2n-1)+2,故D正确.故选ACD.
12.74 [解析] 数列{2n-1}和数列{3n-2}的公共项从小到大构成的一个新数列为1,7,13,…,该数列是首项为1,公差为6的等差数列,所以an=6n-5,所以bn=6n-52n.因为bn+1-bn=6n+12n+1-6n-52n=11-6n2n+1,所以当n≥2时,bn+1-bnb3>b4>…,又b1250,可得n≥48,则S96>250,S940.又因为S95=S94+a95=247+3-10×47-8+a96-2=250-484+249>250,所以n的最小值为95.
15.解:(1)证明:∵an+1=12an+12bn,1bn+1=12·1an+12·1bn,∴2an+1=an+bn,1bn+1=an+bn2anbn,∴bn+1=2anbnan+bn,∴bn+1=2anbn2an+1,∴当n≥2时,anbn=an-1bn-1=…=a1b1,∴数列{an·bn}是常数列.
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所以an=a1+(n-1)d=n,bn=b1·qn-1=2n.
(2)若选①lg4bm=ak,则有lg42m=k,可得m=2k,k∈N*,所以{bn}剩余的项就是原数列的奇数项,
相当于{cn}是以2为首项,4为公比的等比数列,
所以S20=2×(1-420)1-4=23(240-1).
若选②bm=3ak+1,则有2m=3k+1,
因为m∈N*,k∈N*,所以当m=2n,n∈N*时,对应的k=4n-13=(3+1)n-13为整数,满足题意,当m=2n-1,n∈N*时,对应的k=4n2-13=(3+1)n-26不为整数,不满足题意,所以{bn}剩余的项就是原数列的奇数项,
相当于{cn}是以2为首项,4为公比的等比数列,
所以S20=2×(1-420)1-4=23(240-1).