03 第49讲　圆的方程 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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【知识聚焦】
1.(x-a)2+(y-b)2=r2 (a,b) rx2+y2+Dx+Ey+F=0
2.(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2 (2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(3)(x0-a)2+(y0-b)20,12+22+m-2×2+2>0,解得-30即可)
(3)圆(x-2)2+(y-1)2=3的圆心为(2,1),半径为3,设对称圆的圆心为(a,b),由题意得b-1a-2=53,3×a+22+5×b+12+6=0,
解得a=-1,b=-4,即对称圆的圆心为(-1,-4),又对称圆的半径也为3,所以对称圆的方程为(x+1)2+(y+4)2=3.
例2 [思路点拨] 根据yx的几何意义,结合图形可求得yx的最值,由此判断A,B;根据x2+y2的几何意义求其最值,即可判断C;利用三角换元,结合正弦函数的性质求x+y的最大值,即可判断D.
ABD [解析] 由实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,可得点(x,y)在圆(x-2)2+(y-1)2=1上,设圆心为C,作出圆C如图所示.yx表示点(x,y)与坐标原点O连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx,则|2k-1|k2+1=1,解得k=0或k=43,所以yx∈0,43,所以yxmax=43,yxmin=0,故A,B正确;x2+y2表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|+1,所以x2+y2的最大值为(|OC|+1)2,又|OC|=22+12,所以x2+y2的最大值为6+25,故C错误;因为x2+y2-4x-2y+4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=1,所以可设x=2+cs θ,y=1+sin θ,所以x+y=2+cs θ+1+sin θ=3+2sinθ+π4,所以x+y的最大值为3+2,故D正确.故选ABD.
变式题 解:将方程x2+y2-8x-6y+21=0变形可得(x-4)2+(y-3)2=4,则实数对(x,y)表示以点C(4,3)为圆心,2为半径的圆上任意一点.
(1)根据题意,当x≠3时,p=y+1x-3的几何意义为圆上任意一点与点(3,-1)连线的斜率.
设Q(3,-1),过点Q的圆C的切线斜率为k,则切线方程为y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,则点C到切线的距离d=|4k-3-3k-1|1+k2=2,解得k=-4±2133,故p的取值范围为-∞,-4-2133∪-4+2133,+∞.
(2)由s=2x-y,得2x-y-s=0,该方程表示一条直线,
易知当直线和圆相切时,s取得最大值和最小值.
当直线与圆相切时,|5-s|1+4=2,解得s=5-25或s=5+25,则s的最小值为5-25,最大值为5+25.
(3)w=x2+y2-10x+2y+26=(x-5)2+(y+1)2,设t=(x-5)2+(y+1)2,则t的几何意义为圆C上任意一点与点(5,-1)间的距离,设N(5,-1),则|CN|=17,则有17-2≤t≤17+2,所以21-417≤w≤21+417,故w的取值范围为[21-417,21+417].
例3 [思路点拨] (1)思路一:设P(3+cs θ,4+sin θ),根据题中条件及辅助角公式可得m的最大值;思路二:根据圆心C到原点O(0,0)的距离为5,可得圆C上的点到原点O的距离的最大值为6,再由∠APB=90°,可得|OP|=m,可得m≤6,从而得到答案.(2)先求出向量的坐标表示,再利用向量数量积的坐标公式及圆的方程求解.
(1)B (2)0 [解析] (1)方法一:设点P的坐标为(x0,y0),由(x-3)2+(y-4)2=1,可设x0=3+csθ,y0=4+sinθ.∵∠APB=90°,∴PA·PB=0,可得(x0+m)(x0-m)+y02=0,∴m2=x02+y02=26+6cs θ+8sin θ=26+10sin(θ+φ)tanφ=34,∴4≤m≤6,∴m的最大值为6.故选B.
方法二:设O为坐标原点,连接OP,OC,在Rt△APB中,原点O为斜边的中点,|AB|=2m(m>0),∴m=|OP|≤|OC|+r(r为圆C的半径),又C(3,4),r=1,∴|OP|≤6,即m≤6.故选B.
(2)由题意知PA=(2-x,-y),PB=(-2-x,-y),所以PA·PB=x2+y2-4,因为点P(x,y)是圆上的点,所以其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,即x2=-(y-3)2+1,所以PA·PB=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.由圆的方程为x2+(y-3)2=1,可知2≤y≤4,所以当y=2时,PA·PB的值最小,最小值为6×2-12=0.
变式题 (1)B (2)1-2 [解析] (1)方法一:易得|PA|2+|PB|2=4,可得|PA|+|PB|22≤|PA|2+|PB|22=2,当且仅当|PA|=|PB|=2时取等号,所以|PA|+|PB|≤22.故选B.
方法二:易得|PA|2+|PB|2=4,设∠PAB=θ0≤θ