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第七章随机变量及其分布检测练习 高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册
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这是一份第七章随机变量及其分布检测练习 高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册，共19页。
第七章 随机变量及其分布 检测练习一、单选题1．设随机变量的分布列为，则A．3 B．4 C．5 D．62．篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为，则（ ）A．， B．，C．， D．，3．已知随机变量，满足，若，，则，分别为A．， B．，C．， D．，4．若离散型随机变量的标准差，则随机变量的标准差为（ ）A．8 B．15C．16 D．325．若X的概率分布列为：则等于（ ）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.256．随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝( )A．0.36 B．0.52C．0.49 D．0.687．设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）A．对任意正实数，B．对任意正实数，C．D．8．已知随机变量ξ的分布列为：若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于（ ）A．0 B．2 C．4 D．无法计算二、多选题9．（多选）设，随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（ ）A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小C． D．的值最大10．下列说法正确的为（ ）A．当总体是由差异明显的几个部分组成时，通常采用分层抽样B．若m为数据的中位数，则C．回归直线可能不经过样本点的中心D．若随机变量，且随机变量，则11．甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A． B．C． D．12．已知，且，则（ ）附：若，则.A． B．C． D．三、填空题13．已知随机变量ξ服从正态分布，若，则 .14．设随机变量，则X的密度函数为 ， ， ， ， ．（精确到0.0001．）15．已知某地居民中青少年、中年人、老年人暑期去广西桂林旅游的概率分别为0.1，0.2，0.15，且该地居民青少年、中年人、老年人的人数比例为4:3:3，若从该地居民（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，则此人暑期去桂林旅游的概率为 ．16．高二年级体锻课时间提供三项体育活动，足球､篮球､乒乓球供学生选择.甲､乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为 .四、解答题17．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大?(2)从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差；(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好时的概率（不用化简）及Y的方差.18．为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．19．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户.注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.(1)记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）；(2)从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.20．网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响·(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；(2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望；(3)从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小．（结论不要求证明）21．从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图.（1）求，，的值；（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中已计算得.如果产品的质量指标值位于区间，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记为抽取的20件产品所获得的总利润，求.附：，，.22．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中.(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值，在此基础上，设进入决赛的人数为，求的分布列及数学期望. X01Pa0.5ξ01xPpξmnPa012分组频数频率20.0020.0541060.1061490.1493521900.1901000.100470.047合计10001.000参考答案：1．C【详解】分析：根据方差的定义计算即可.详解：随机变量的分布列为，则则 、故选C点睛：本题考查随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．2．D【分析】根据给定条件，列出分布列，再利用期望、方差定义计算作答.【详解】依题意，的分布列为：因此.故选：D3．C【解析】利用，，及可得选项.【详解】因为，所以，，又，，所以，.故选：C.【点睛】本题主要考查随机变量期望和方差的求解，利用公式是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4．C【分析】根据方差的性质直接运算即可.【详解】.故选：C5．C【分析】由分布列的性质求得a，再求数学期望.【详解】由，得，∴．故选：C．6．C【详解】根据，由，故.7．B【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性即可求解.【详解】依题意，由图可得，对任意正实数，，因为，所以，故A错误，B正确；，故C错误；因为，所以，故D错误；故选：B.8．D【分析】根据题意，结合期望和方差的计算公式，即可求解.【详解】由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝2(n－2)2，当n＝2时，D(ξ)取得最小值，此时m＝2，不符合题意，故D(ξ)无法取得最小值．故选：D9．BC【分析】求出后可其变化规律，比较各概率大小可得C是否正确，举例说明D错误．【详解】由题意，由于，所以随着的增大而减小，A错，B正确；又，所以C正确；时，，而，D错．故选：BC．【点睛】本题考查随机变量的概率分布列与数学期望，属于基础题．10．AD【分析】A. 根据分层抽样的特征判断；B.根据中位数的定义判断；C.由回归分析判断；D.利用均值和方差的性质判断.【详解】A. 当总体是由差异明显的几个部分组成时，通常采用分层抽样，故正确；B.数据大小顺序不定，故错误；C.回归直线一定经过样本点的中心，故错误；D. 因为随机变量，且随机变量，所以，故正确.故选：AD11．ABC【分析】根据古典概型的概率公式及条件概率的概率公式计算可得.【详解】对于A：掷两个正四面体，一共有种基本事件，事件发生，则两个四面体朝下一面的数字为一奇一偶，有种，所以，因为掷一个四面体朝下一面为奇数和偶数的方法种数相同，所以，，即，故A正确；对于B：，，，所以，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误；故选：ABC12．AC【分析】根据正态分布的性质结合题意可得，再根据正态分布的性质可求得的值.【详解】因为，且，所以，解得..故选：AC.13．0.4/【分析】由题可得，然后利用正态分布的对称性，即得.【详解】由随机变量服从正态分布，且，所以，且，又，所以.故答案为：0.4.14． 【分析】根据正态分布曲线的对称性和原则，即可求解.【详解】由题意，机变量，则的密度函数为，因为，根据正态分布曲线的对称性，可得，，，15．0.145/【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算得解.【详解】记该地居民为青少年、中年人、老年人的事件分别为，显然，且两两互斥，记任选一人去桂林旅游的事件为，则，,由全概率公式得.故答案为：0.14516．【分析】利用条件概率公式根据题意分析求解.【详解】记事件为“甲学生选择足球”，则，记事件为“两人的选择不同”，则事件为“甲学生选择足球，乙学生选择篮球或乒乓球”，则，所以,故答案为：17．(1)(2)，(3)，【分析】（1）由条件概率公式计算即可得解；（2）由题意可得的所有可能取值分别为：0，1，2，分别求出对应的概率，即可得分布列，从而求出期望与方差；（3）由已知可得，由二项分布的概率和方差公式计算即可得解．【详解】（1）解：设“这位小学生佩戴眼镜”为事件，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，所以， 所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是．（2）解：依题意可知：其中男生人数的所有可能取值分别为：0，1，2，其中：；；， 所以男生人数的分布列为：所以，（3）解：由已知可得：， 则：，，18．(1)(2)【分析】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式计算即可；（2）先设事件 ，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可.【详解】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”， 则，，所以第二题抽到的是概念叙述题的概率（2）设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题，，，，，19．(1)；(2)；(3)分布列答案见解析，.【分析】（1）由图可知组整体数值比组小；（2）利用古典概型及排列组合即可求出“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户的概率”；（3）依题意，可得该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为，在年龄40岁以上的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为；可知的所有可能值为，，，分别求出相应的概率，由此求出随机变量的分布列和数学期望.【详解】（1）；由图可知，“实际平均里程续航数”在附近或小于的组有个，组有个，且组这些数据整体大于组；“实际平均里程续航数”大于的组有个，组有个，且组数据也整体大于组，所以组的数据总和大于组数据总和，即A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值n小于组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值；（2）设“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户”为事件，则，所以从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户的概率是；（3）由题图，知组“驾驶达人”的人数为人，组“驾驶达人”的人数为人，则可估计该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为，在年龄40岁以上的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为；依题意，所有可能取值为，，.则，，，所以随机变量的分布列为故数学期望为.20．(1)(2)1(3)【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出；（3）根据方差公式计算可知，．【详解】（1）设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件，在组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则.（2）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，X的可能取值为0，1，2，所以，，，，．（3）依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布，，，，，，，因为，，所以，，，所以，．21．（1），，；（2）；（3）.【分析】（1）根据频数的总和为1000和频率的和为1可求，根据直方图的纵轴上数据的计算方法可求.（2）利用组中值可求样本平均数.（3）设为随机抽取20件产品质量指标值位于之外的件数，依题意知，利用公式可求的期望，从而可求.【详解】解：（1）结合频率分布表可以得到，，（2）抽取这1000件产品质量指标值的样本平均数为：.（3）因为，由（2）知，从而，设为随机抽取20件产品质量指标值位于之外的件数.依题意知，所以，所以答：该企业从一天生产的产品中随机抽取20件产品的利润为.22．(1)甲；(2)，的分布列见解析，.【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较概率的大小即可；（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为，列方程求解；先确定进入决赛的人数的取值，依次求出每个值所对应的概率，列出分布列，进而利用数学期望公式求解.【详解】（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：，乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，，，，，甲进入决赛的可能性最大；（2）由（1）知，，，，若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛，则甲和乙、甲和丙、乙和丙进入决赛，，，整理得，解得或，又，；则丙在初赛的两轮中均获胜的概率为，设进入决赛的人数为，则可能的取值为，，，，，，，，的分布列如下：. 010.20.8012012
第七章 随机变量及其分布 检测练习一、单选题1．设随机变量的分布列为，则A．3 B．4 C．5 D．62．篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为，则（ ）A．， B．，C．， D．，3．已知随机变量，满足，若，，则，分别为A．， B．，C．， D．，4．若离散型随机变量的标准差，则随机变量的标准差为（ ）A．8 B．15C．16 D．325．若X的概率分布列为：则等于（ ）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.256．随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝( )A．0.36 B．0.52C．0.49 D．0.687．设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）A．对任意正实数，B．对任意正实数，C．D．8．已知随机变量ξ的分布列为：若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于（ ）A．0 B．2 C．4 D．无法计算二、多选题9．（多选）设，随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（ ）A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小C． D．的值最大10．下列说法正确的为（ ）A．当总体是由差异明显的几个部分组成时，通常采用分层抽样B．若m为数据的中位数，则C．回归直线可能不经过样本点的中心D．若随机变量，且随机变量，则11．甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A． B．C． D．12．已知，且，则（ ）附：若，则.A． B．C． D．三、填空题13．已知随机变量ξ服从正态分布，若，则 .14．设随机变量，则X的密度函数为 ， ， ， ， ．（精确到0.0001．）15．已知某地居民中青少年、中年人、老年人暑期去广西桂林旅游的概率分别为0.1，0.2，0.15，且该地居民青少年、中年人、老年人的人数比例为4:3:3，若从该地居民（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，则此人暑期去桂林旅游的概率为 ．16．高二年级体锻课时间提供三项体育活动，足球､篮球､乒乓球供学生选择.甲､乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为 .四、解答题17．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大?(2)从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差；(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好时的概率（不用化简）及Y的方差.18．为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．19．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户.注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.(1)记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）；(2)从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.20．网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响·(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；(2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望；(3)从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小．（结论不要求证明）21．从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图.（1）求，，的值；（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中已计算得.如果产品的质量指标值位于区间，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记为抽取的20件产品所获得的总利润，求.附：，，.22．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中.(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值，在此基础上，设进入决赛的人数为，求的分布列及数学期望. X01Pa0.5ξ01xPpξmnPa012分组频数频率20.0020.0541060.1061490.1493521900.1901000.100470.047合计10001.000参考答案：1．C【详解】分析：根据方差的定义计算即可.详解：随机变量的分布列为，则则 、故选C点睛：本题考查随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．2．D【分析】根据给定条件，列出分布列，再利用期望、方差定义计算作答.【详解】依题意，的分布列为：因此.故选：D3．C【解析】利用，，及可得选项.【详解】因为，所以，，又，，所以，.故选：C.【点睛】本题主要考查随机变量期望和方差的求解，利用公式是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4．C【分析】根据方差的性质直接运算即可.【详解】.故选：C5．C【分析】由分布列的性质求得a，再求数学期望.【详解】由，得，∴．故选：C．6．C【详解】根据，由，故.7．B【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性即可求解.【详解】依题意，由图可得，对任意正实数，，因为，所以，故A错误，B正确；，故C错误；因为，所以，故D错误；故选：B.8．D【分析】根据题意，结合期望和方差的计算公式，即可求解.【详解】由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝2(n－2)2，当n＝2时，D(ξ)取得最小值，此时m＝2，不符合题意，故D(ξ)无法取得最小值．故选：D9．BC【分析】求出后可其变化规律，比较各概率大小可得C是否正确，举例说明D错误．【详解】由题意，由于，所以随着的增大而减小，A错，B正确；又，所以C正确；时，，而，D错．故选：BC．【点睛】本题考查随机变量的概率分布列与数学期望，属于基础题．10．AD【分析】A. 根据分层抽样的特征判断；B.根据中位数的定义判断；C.由回归分析判断；D.利用均值和方差的性质判断.【详解】A. 当总体是由差异明显的几个部分组成时，通常采用分层抽样，故正确；B.数据大小顺序不定，故错误；C.回归直线一定经过样本点的中心，故错误；D. 因为随机变量，且随机变量，所以，故正确.故选：AD11．ABC【分析】根据古典概型的概率公式及条件概率的概率公式计算可得.【详解】对于A：掷两个正四面体，一共有种基本事件，事件发生，则两个四面体朝下一面的数字为一奇一偶，有种，所以，因为掷一个四面体朝下一面为奇数和偶数的方法种数相同，所以，，即，故A正确；对于B：，，，所以，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误；故选：ABC12．AC【分析】根据正态分布的性质结合题意可得，再根据正态分布的性质可求得的值.【详解】因为，且，所以，解得..故选：AC.13．0.4/【分析】由题可得，然后利用正态分布的对称性，即得.【详解】由随机变量服从正态分布，且，所以，且，又，所以.故答案为：0.4.14． 【分析】根据正态分布曲线的对称性和原则，即可求解.【详解】由题意，机变量，则的密度函数为，因为，根据正态分布曲线的对称性，可得，，，15．0.145/【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算得解.【详解】记该地居民为青少年、中年人、老年人的事件分别为，显然，且两两互斥，记任选一人去桂林旅游的事件为，则，,由全概率公式得.故答案为：0.14516．【分析】利用条件概率公式根据题意分析求解.【详解】记事件为“甲学生选择足球”，则，记事件为“两人的选择不同”，则事件为“甲学生选择足球，乙学生选择篮球或乒乓球”，则，所以,故答案为：17．(1)(2)，(3)，【分析】（1）由条件概率公式计算即可得解；（2）由题意可得的所有可能取值分别为：0，1，2，分别求出对应的概率，即可得分布列，从而求出期望与方差；（3）由已知可得，由二项分布的概率和方差公式计算即可得解．【详解】（1）解：设“这位小学生佩戴眼镜”为事件，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，所以， 所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是．（2）解：依题意可知：其中男生人数的所有可能取值分别为：0，1，2，其中：；；， 所以男生人数的分布列为：所以，（3）解：由已知可得：， 则：，，18．(1)(2)【分析】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式计算即可；（2）先设事件 ，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可.【详解】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”， 则，，所以第二题抽到的是概念叙述题的概率（2）设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题，，，，，19．(1)；(2)；(3)分布列答案见解析，.【分析】（1）由图可知组整体数值比组小；（2）利用古典概型及排列组合即可求出“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户的概率”；（3）依题意，可得该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为，在年龄40岁以上的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为；可知的所有可能值为，，，分别求出相应的概率，由此求出随机变量的分布列和数学期望.【详解】（1）；由图可知，“实际平均里程续航数”在附近或小于的组有个，组有个，且组这些数据整体大于组；“实际平均里程续航数”大于的组有个，组有个，且组数据也整体大于组，所以组的数据总和大于组数据总和，即A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值n小于组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值；（2）设“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户”为事件，则，所以从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户的概率是；（3）由题图，知组“驾驶达人”的人数为人，组“驾驶达人”的人数为人，则可估计该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为，在年龄40岁以上的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为；依题意，所有可能取值为，，.则，，，所以随机变量的分布列为故数学期望为.20．(1)(2)1(3)【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出；（3）根据方差公式计算可知，．【详解】（1）设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件，在组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则.（2）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，X的可能取值为0，1，2，所以，，，，．（3）依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布，，，，，，，因为，，所以，，，所以，．21．（1），，；（2）；（3）.【分析】（1）根据频数的总和为1000和频率的和为1可求，根据直方图的纵轴上数据的计算方法可求.（2）利用组中值可求样本平均数.（3）设为随机抽取20件产品质量指标值位于之外的件数，依题意知，利用公式可求的期望，从而可求.【详解】解：（1）结合频率分布表可以得到，，（2）抽取这1000件产品质量指标值的样本平均数为：.（3）因为，由（2）知，从而，设为随机抽取20件产品质量指标值位于之外的件数.依题意知，所以，所以答：该企业从一天生产的产品中随机抽取20件产品的利润为.22．(1)甲；(2)，的分布列见解析，.【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较概率的大小即可；（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为，列方程求解；先确定进入决赛的人数的取值，依次求出每个值所对应的概率，列出分布列，进而利用数学期望公式求解.【详解】（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：，乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，，，，，甲进入决赛的可能性最大；（2）由（1）知，，，，若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛，则甲和乙、甲和丙、乙和丙进入决赛，，，整理得，解得或，又，；则丙在初赛的两轮中均获胜的概率为，设进入决赛的人数为，则可能的取值为，，，，，，，，的分布列如下：. 010.20.8012012
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