2022-2023学年四川省成都市石室中学高三上学期周练（八）理科数学word版含解析

  成都石室中学高三上期数学周练8（理科）

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．

1．集合，，则

A．           B．            C．           D．

2．已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．函数的零点所在区间为

A．  B． C． D．

4．下列叙述中错误的是

A. 若为真命题，则为真命题

B. 命题“”的否定是“”
C. 命题“若，则”的逆否命题是真命题
D. 已知，则“”是“”的必要不充分条件

5. 记为正项等比数列的前项和，若，则的值为

A．  B． C． D．

6．若满足约束条件则的最小值为

A．16 B．8 C．4 D．2

7．已知，则

A.        B.        C.          D.

8．已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为

A.                  B.                 C.                 D.

9．已知函数，那么下列判断正确的是

A. 函数在上单调递减                 B. 函数在上的最小值为

C. 函数的图象关于直线对称

D. 要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位长度

10．设是双曲线（，）的左、右焦点，在双曲线的一条渐近线上存在一点，使得为等腰三角形，且，则的离心率为

A.                 B.                 C.                 D. 

11．已知定义在上的函数和都是奇函数，当时，，若函数在区间上有且仅有10个零点，则实数的最小值为

A．              B．               C．               D．

12．设，，，则

A.      B.      C.      D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．

13．已知等差数列，其前项和为，且，则________.

14．已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为_________.

15．已知分别是椭圆（）的左、右焦点，在是椭圆短轴的端点，点在椭圆上，且,若的面积为，则_________.

16. 已知菱形的边长为,,若沿对角线将折起,所得的二面角为钝二面角，若四点所在球的表面积为，则四面体 的体积为_______．

三、解答题：共70分．

17．在中，角所对的边分别为，从以下三个条件中任选一个：

①；② ；③，

分别解答如下的问题：

（1）若，且，求；           

（2）若，求.

18．为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的32%，学校为了考察学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下2×2列联表：

（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；

（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．

19．如图，已知三棱柱，平面平面，，，，、分别是、的中点．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．设抛物线的焦点为，过焦点作直线交于两点.

（1）若，求直线的方程；

（2）设为上异于的任意一点，直线分别与的准线相交于两点，

证明：以线段为直径的圆经过轴上的定点．

21. 已知函数.

（1）若对任意，都有，求实数的取值范围；

（2）若，求证：当时，.

22．选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求的极坐标方程以及曲线上的动点到直线的距离的最大值.

（2）与是曲线上的两点，若，求的值.

参考答案

1．集合，，则

A．          B．           C．        D．

解析：，，故选A.

2．已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

解析：,，则对应的点为，在第二象限，故选B.

3．函数的零点所在区间为

A．  B． C． D．
解析：在上递增，，所以在上有唯一零点，故选C.

4.下列叙述中错误的是

A. 若为真命题，则为真命题

B. 命题“”的否定是“”
C. 命题“若，则”的逆否命题是真命题
D. 已知，则“”是“”的必要不充分条件

解析：若为真命题，则中至少一个为真命题；为真命题，则都为真命题，故选A.

5. 记为正项等比数列的前项和，若，则的值为

A．  B． C． D．

解析：设公比为则，

，故选A.

6．若满足约束条件则的最小值为（    ）

A．16 B．8 C．4 D．2

解析：作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，

此时，故选：C.

7．已知，则

A.    B.    C.    D.

解析：

，

，故选D.

8．已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为

A.                  B.                 C.                 D.

解析：由可得，常数项为，故选B.

9. 已知函数，那么下列判断正确的是

A. 函数在上单调递减

B. 函数在上的最小值为

C. 函数的图象关于直线对称

D. 要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位长度

解析：，

将的图象向右平移个单位长度后得

故选D.

10．设是双曲线（，）的左、右焦点，在双曲线的一条渐近线上存在一点，使得为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为

A.                 B.                 C.                 D. 

解析：因为为等腰三角形，且，所以，其中，

.不妨假设点在渐近线上，由题意知：，则，，所以，故双曲线的离心率为，故选C.

11．已知定义在上的函数和都是奇函数，当时，，若函数在区间上有且仅有10个零点，则实数的最小值为

A．              B．               C．               D．

解析：因为是奇函数，所以函数的图象关于点成中心对称，即，又因为函数为奇函数，所以，即，所以，函数的周期为，由于函数为定义在上的奇函数，则，，作出函数与函数的图象如下图所示：

,，于是得出，，由图象可知，函数与函数在区间上从左到右个交点的横坐标分别为、、、、、、、、、，第个交点的横坐标为，

因此，实数的取值范围是，故实数的最小值为，故选B.

12．设，，，则

A.      B.      C.      D.

解析：，

构造在上单调递减，在上

单调递增，，，，，故选D.

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．

13．已知等差数列，其前项和为，且，则________.

解析：,

14．已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为_________.

解析：，设与的夹角为，

则，，.

15．已知分别是椭圆（）的左、右焦点，在是椭圆短轴的端点，点在椭圆上，且,若的面积为，则_________.

解析：三点共线，，

，，.

16. 已知菱形的边长为,,若沿对角线将折起,所得的二面角为钝二面角，若四点所在球的表面积为，则四面体 的体积为_______．

解析：以等边三角形的中心分别作两个平面的垂线，交点为外接球球心，由已知，外接球的半径，，在中，可得，，四面体的高为，，.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：每题12分，共计60分．

17．在中，角所对的边分别为，从以下三个条件中任选一个：

①；② ；③，

分别解答如下的问题：

（1）若，且，求；

（2）若，求.

【解析】选①由正弦定理可得，因为，

所以，

所以. （3分）

选②，由正弦定理可得

  （3分）

选③，由正弦定理可得，

.（3分）

（1），（4分）

由余弦定理，，得，（6分）

解得（7分）

（2）（8分）

  （10分）

  （12分）（漏1个扣一分）

18．为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活十分关注，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的32%，学校为了考察学生对寄宿生活适应是否与性别有关，构建了如下2×2列联表：

（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；

（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．

附：，其中．

【解析】（1）

（表格填对2分） 根据列联表中的数据，经计算得到：

   （5分）

所以有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联.  （6分）

（2）抽取的10人中，有2人不适应寄宿生活，有8人适应寄宿生活  （7分）

随机变量的取值可以说0，1，2

，，  （10分）

（12分） （没有分布列，扣1分，算对一个给1分）

19．如图，己知三棱柱，平面平面，，，，、分别是、的中点．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【解析】（1）如图所示，连结，等边中，，

则，平面平面，且平面平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故， （2分）

由三棱柱的性质可知，而，故，

且，由线面垂直的判定定理可得：平面，（4分）

结合平面，故. （5分）  

（2）在底面内作，以点为坐标原点，

方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系（6分）

设，则，，，

据此可得：，

由可得点的坐标为，

利用中点坐标公式可得：，由于，故直线的方向向量为：

， （8分）

设平面的法向量为，则：

据此可得平面的一个法向量为，（10分）

此时，

设直线与平面所成角为，则.  （12分））

20．设抛物线的焦点为，过焦点作直线交于两点.

（1）若，求直线的方程；

（2）设为上异于的任意一点，直线分别与的准线相交于两点，

证明：以线段为直径的圆经过轴上的定点．

【解析】（1）设直线l的方程为，代入，得．

设点，则．  （1分）        

，（3分）

，直线的方程为.（5分）

（2）设点，点,

则，直线的方程为．（6分）

令，得，所以点．           

同理，点． （7分）

设以线段为直径的圆与x轴的交点为，

则．        

由题知，则，即， （9分）

得或．（11分）

故以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点和．（12分）

21. 已知函数.

（1）若对任意，都有，求实数的取值范围；（2）若，求证：当时，.

【解析】（1）由题意，原不等式可转化为

对任意恒成立，可知

在上单调递增， （2分）

在恒成立， （4分）

故，所以   （5分 ）  （不带等号扣1分）

 （2）当时，因为，，

故在单调递增，

，①当时，故在单调递增，

所以.   （7分）     

②，当时，，故存在使得，且在单减，在单增，

故，由（*）代入上式得

    （9分）

因为，令，即

，当时，，所以在上单调递增，

所以，（11分）

所以，当时，，即 得证.（12分）

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求的极坐标方程以及曲线上的动点到直线的距离的最大值.（2）与是曲线上的两点，若，求的值.

【解析】（1）极坐标方程为（2分） 设，则，

当时，最大值为  （5分）

（2）曲线的极坐标方程为，