初中数学湘教版（2024）七年级上册（2024）3.1 等量关系和方程练习题

这是一份初中数学湘教版（2024）七年级上册（2024）3.1 等量关系和方程练习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知x=2是关于x的方程2x−m3=x+1的解，则m的值为( )
A. 2B. −5C. 5D. −2
2.下列方程是一元一次方程的是( )
A. x+y=1B. 2x+3=0C. 3x2+1=2D. 1x+1=2
3.已知关于x的方程mx+2=2(m−x)的解满足|x−12|−1=0，则m的值是( )．
A. 10或25B. 10或−25C. −10或25D. −10或−25
4.下列各式中，是一元一次方程的是( )
A. 3+xB. 1×2=2C. x+1=0D. 2x=1
5.关于x的方程kx2+(2k−1)x+k−3=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥−18B. k≥−18且k≠0C. k>−18D. k>−18且k≠0
6.若关于x的方程12x+14a=12+12a的解为非负整数，且关于x的不等式组−12(x−a)>0x−1≥2x+13无解，则所有满足条件的a的值之和是( )
A. 7B. 6C. 4D. 0
7.小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染，被污染的方程是2y+1=12y−□，小明想了想后翻看了书后的答案，此方程的解是y=−53，然后小明很快补好了这个常数，这个常数应是( )
A. −32B. 32C. 52D. 2
8.若关于x的方程x−a+2=0的解是x=−1，则a的值等于( )
A. −1B. 1C. 3D. −3
9.整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程mx−n=8的解为( )
A. x=−1B. x=0C. x=1D. x=2
10.已知关于x的一元一次方程12020x+3=2x+b的解为x=2，那么关于y的一元一次方程12020(y+1)+3=2(y+1)+b的解为y，则y=( )
A. 2B. 3C. 1D. 2020
11.下列方程中，是一元一次方程的是( )
A. x2-4x=3B. x=0C. x+2y=1D. x-1=1x
12.下列各式： ①5+3=8; ②2x−3=x2; ③2x+1=1; ④2x=1; ⑤3x+2.其中是一元一次方程的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.关于x的方程(m−3)x|m|−2+92=0是一元一次方程，则方程的解为______．
14.已知关于x的方程ax−32=2x3+1的解是非负数，则符合该条件的a的范围为______；且关于y的不等式组y−12−2>2−3y44−y≤2a−3y至多有3个整数解，则符合上面条件的所有整数a的和为______．
15.已知关于x的方程12(1−x)=1+k的解与34(x−1)−25(3x+2)=k10−3(x−1)2的解互为相反数，k= ______．
16.若(k−2)x|k|−1=6是关于x的一元一次方程，则k的值为______．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知关于x的方程(|k|−2)x2−(k−2)x+3m+1=0是一元一次方程．
(1)求k的值;
(2)若上述方程与方程4x−3=4−6x+3x的解互为相反数，求m的值．
18.(本小题8分)
定义：若关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解与关于y的方程cy+d=0(c≠0)的解满足|x−y|=m(m为正数)，则称方程ax+b=0(a≠0)与方程cy+d=0(c≠0)是“m差解方程”．
(1)请通过计算判断关于x的方程2x=5x−12与关于y的方程3(y−1)−y=1是不是“2差解方程”；
(2)若关于x的方程x−x−2m3=n−1与关于y的方程2(y−2mn)−3(n−1)=m是“m差解方程”，求n的值；
(3)关于x，y的两个方程2(x−1)=3m−1与方程3y=mn+n，若对于任何数m，都使得它们不是“2差解方程”，求n的值．
19.(本小题8分)
已知关于x的方程2(x+1)-m=-m-22的解比方程5(x-1)-1=4(x-1)+1的解大2，求m的值．
20.(本小题8分)
证明：无论k取何值，关于x的方程(k−3)x2+kx+1=0恒有实数根．
21.(本小题8分)
已知m≠0，将关于x的方程mx+n=0记作方程G．
(1)当m=−12，n=4时，直接写出方程G的解为______；
(2)若方程G的解为x=−13，求多项式(2m−n)−(4m−7n)−2的值；
(3)若方程G的解为x=4，求关于y的方程m(3y+2)−n=0的解．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：把x=2代入2x−m3=x+1，
得：4−m3=2+1，
解得：m=−5，
故选：B．
把x=2代入2x−m3=x+1，得到关于m的一元一次方程，求解即可得出答案．
本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了一元一次方程的定义．
根据只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a≠0).判断即可．
【解答】
解：A、x+y=1不是一元一次方程；
B、2x+3=0是一元一次方程；
C、3x2+1=2不是一元一次方程；
D、1x+1=2分母中含有未知数，不是一元一次方程．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查一元一次方程的解以及含绝对值符号的一元一次方程的解法的相关知识．
先解出方程|x−12|−1=0的解，然后将其代入方程mx+2=2(m−x)，将未知数转化成已知数，继而求出m．
【解答】
解：|x−12|−1=0，
x=32或x=−12，
把x=32或x=−12分别代入mx+2=2(m−x)中，
m=10或m=25，
故选A．
4.【答案】C
【解析】解：对于选项A，3+x是整式，不是一元一次方程，
故选项A不符合题意；
对于选项B，1×2=2中不含未知数，不是一元一次方程，
故选项B不符合题意；
对于选项C.x+1=0，是一元一次方程，
故选项C符合题意；
对于选项D，2x=1，是分式方程，
故选项D不符合题意，
故选：C．
根据一元一次方程的定义对题目中给出的四个选项逐一进行判断即可得出答案．
本题主要考查了一元一次方程的定义，理解一元一次方程的定义是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．
由于k的取值不确定，故应分k=0(此时方程化简为一元一次方程)和k≠0(此时方程为二元一次方程)两种情况进行解答．
【解答】
解：(1)当k=0时，x−3=0，解得：x=3；
(2)当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2+(2k−1)x+k−3=0有实根，
∴Δ=(2k−1)2−4k(k−3)≥0，
解得k≥−18，
所以k≥−18．
6.【答案】C
【解析】解：12x+14a=12+12a，整理得12x=12+14a，解得x=1+12a，
∵关于x的方程12x+14a=12+12a的解为非负整数，
∴1+12a≥0，解得a≥−2，
−12(x−a)>0x−1≥2x+13，解得x∵关于x的不等式组−12(x−a)>0x−1≥2x+13无解，
∴a≤4，
则−2≤a≤4，
∵x的方程12x+14a=12+12a的解为非负整数，
∴满足条件的a只有−2，0，2和4，
则−2+0+2+4=4．
故选：C．
根据题意求得方程的解为x=1+12a，结合非负可得a≥−2，求得不等式解为x本题主要考查解一元一次方程和求一元一次不等式组的解集，正确记忆修改知识点是解题关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的方程是解此题的关键．
把y=−53代入方程，即可得出一个关于a的方程，求出方程的解即可．
【解答】
解：设□表示的数是a，
把y=−53代入方程2y+1=12y−a得：−103+1=−56−a，
解得：a=32，
即这个常数是32，
故选：B．
8.【答案】B
【解析】解：把x=−1代入方程x−a+2=0得：−1−α+2=0，
解得：a=1，
故选：B．
把x=−1代入方程x−a+2=0得到关于a的一元一次方程，解方程即可求得a的值．
本题考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由表格可知，当x=−1时，mx+n=−m+n=−8，
∴m−n=8，
∴当x=1时，mx−n=m−n=8；
∴mx−n=8的解为x=1；
故选：C．
由表格可知，当x=−1时，mx+n=−m+n=−8，进而得到m−n=8，即可得出结果．
本题考查方程的解，解答本题的关键要明确：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
10.【答案】C
【解析】解：∵x的一元一次方程12020x+3=2x+b的解为x=2，
关于y的一元一次方程12020(y+1)+3=2(y+1)+b中y+1=2，
解得：y=1，
故选：C．
根据已知条件得出方程y+1=2可得结论．
本题考查了一元一次方程的解，根据已知条件得出方程y+1=2是解题的关键
11.【答案】B
【解析】解：A、x2−4x=3的未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程，故A错误；
B、x=0符合一元一次方程的定义，故B正确；
C、x+2y=1是二元一次方程，故C错误；
D、x−1=1x，分母中含有未知数，是分式方程，故D错误．
故选：B．
只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a≠0)．
本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查一元一次方程的定义.根据一元一次方程的定义：①整式方程，②只含有一个未知数(元)的等式，③未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程进行分析即可．
【解答】
解： ①5+3=8; ②2x−3=x2; ③2x+1=1; ④2x=1; ⑤3x+2，
只有③2x+1=1是一元一次方程，共1个．
13.【答案】x=34
【解析】解：根据题意，得|m|−2=1，
解得m=3或−3，
∵m−3≠0，即m≠3，
∴m=−3，
∴原方程为−6x+92=0，
∴x=34．
故答案为：x=34．
根据一元一次方程的定义求出m的值，再将m的值代入方程并求解即可．
本题考查一元一次方程的定义及其解、绝对值，掌握一元一次方程的定义及其解法是解题的关键．
14.【答案】a>43 27
【解析】解：解关于x的方程ax−32=2x3+1，得(3a−4)x=15，
当3a−4=0时，原等式不成立，
∴3a−4≠0，x=153a−4≥0，
∴3a−4>0解得：a>43；
解不等式y−12−2>2−3y4，得y>125，
解不等式4−y≤2a−3y，得y≤a−2，
∵原不等式组至多有3个整数解，
∴a−2<6，得a<8，
故a的取值范围是43∵a为整数，
∴a=2，3，4，5，6，7，
符合条件的所有整数a的和为2+3+4+5+6+7=27，
故答案为：a>43，27．
表示出关于x的方程的解，由方程有非负数解确定出a的取值范围，再表示出不等式组的解集，由不等式组至多有3个整数解，得到a的取值范围．再根据a为整数，即可得出结果．
本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元一次方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式组的解法是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：解方程12(1−x)=1+k，得：x=−2k−1，
解方程34(x−1)−25(3x+2)=k10−3(x−1)2，
去分母，得：15(x−1)−8(3x+2)=2k−30(x−1)，
去括号，得：15x−15−24x−16=2k−30x+30，
移项、合并同类项，得：21x=2k+61，
系数化为1，得：x=2k+6121．
∵已知两方程的解互为相反数，
∴−2k−1+2k+6121=0，
∴−42k−21+2k+61=0，
∴−40k=−40，
∴k=1．
故答案为：1．
先求出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反数，列出关于k的方程，进行求解即可．
本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
16.【答案】−2
【解析】【分析】
本题考查了绝对值，一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的概念是解题的关键．
根据一元一次方程的概念，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行计算即可解答．
【解答】
解：由题意得：
|k|−1=1且k−2≠0，
则k=±2且k≠2，
所以k=−2，
故答案为：−2．
17.【答案】解：(1)因为(|k|−2)x2−(k−2)x+3m+1=0是一元一次方程．
所以|k|−2=0，且k−2≠0，
所以k=−2．
(2)由(1)知k=−2．
所以已知方程为4x+3m+1=0，
解方程4x−3=4−6x+3x，得x=1，
因为已知方程与方程4x−3=4−6x+3x的解互为相反数，
所以方程为4x+3m+1=0的解为x=−1，
代入得4×(−1)+3m+1=0，
解得m=1．
【解析】本题考查一元一次方程的定义和解法，熟练掌握一元一次方程的定义和解法是解题的关键．
(1)一元一次方程的定义是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，由定义可得|k|−2=0，且k−2≠0；
(2)解方程4x−3=4−6x+3x，可得x=1，再由已知可得x=−1，将x=−1代入4x+3m+1=0，即可求m的值．
18.【答案】解：(1)关于x的方程2x=5x−12与关于y的方程3(y−1)−y=1是“2差解方程”，理由如下：
2x=5x−12的解为x=4，
3(y−1)−y=1的解为y=2，
∵|x−y|=|4−2|=2，
∴关于x的方程2x=5x−12与关于y的方程3(y−1)−y=1是“2差解方程”；
(2)方程x−x−2m3=n−1的解为x=3n−3−2m2，
方程2(y−2mn)−3(n−1)=m的解为y=3n−3+m+4mn2，
∵两个方程是“m差解方程”，
∴|3n−3−2m2−3n−3+m+4mn2|=m，
∴|3+4n|=2，
∴n=−14或n=−54；
(3)2(x−1)=3m−1化简得：2x=3m+1，
解得：x=3m+12，
3y=mn+n，
解得：y=mn+n3，
∴x−y=3m+12−mn+n3，
=(9−2n)m−2n+36；
∵对于任何数m，都使2(x−1)=3m−1与3y=mn+n不是“2差解方程”，
∴9−2n=0，
解得：n=92．
【解析】(1)分别求解两个方程，根据定义判断即可；
(2)分别求出方程的解，根据题意可得|3n−3−2m2−3n−3+m+4mn2|=m，解出n的值即可；
(3)分别求出方程2(x−1)=3m−1与方程3y=mn+n的解，再根据对于任何数m，都使得它们不是“2差解方程”，即与m无关，则可列出关于n的一元一次方程，解出方程即可求解．
本题考查一元一次方程的解，绝对值方程，熟练掌握一元一次方程的解法，绝对值方程的解法，理解新定义是解题的关键．
19.【答案】解：解方程5(x−1)−1=4(x−1)+1，
5x−5−1=4x−4+1，
5x−4x=−4+1+1+5，
x=3，
∵方程2(x+1)-m=-m-22的解比方程5(x-1)-1=4(x-1)+1的解大2，
∴方程2(x+1)-m=-m-22的解为x=3+2=5，
把x=5代入方程2(x+1)-m=-m-22，得：2×(5+1)−m=−m−22，
12−m=−m−22，
解得：m=22．
【解析】【分析】
本题考查的是一元一次方程的解．
首先解方程5(x-1)-1=4(x-1)+1，根据方程2(x+1)-m=-m-22的解比方程5(x-1)-1=4(x-1)+1的解大2得出方程2(x+1)-m=-m-22的解，然后代入可得关于m的方程，再解即可．
20.【答案】证明：当k−3=0，即k=3，
方程变形为3x+1=0，
解得x=−13；
当k−3≠0，即k≠3，
Δ=k2−4(k−3)=k2−4k+12=(k−2)2+8，
由于(k−2)2≥0，则Δ>0，
所以方程有两个不相等的实数根，所以不论k取何值，方程总有实数根．
【解析】分类讨论：当k−3=0，即k=3，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当k−3≠0，即k≠3，计算判别式得到Δ=(k−2)2+8，利用(k−2)2≥0得到Δ>0，则根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，然后可判断不论k取何值，方程总有实数根．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程以及一元一次方程的解．
21.【答案】x=8
【解析】解：(1)当m=−12，n=4时，方程mx+n=0为：−12x+4=0，
解得：x=8．
故答案为：x=8；
(2)若方程mx+n=0的解为x=−13，代入方程mx+n=0得：−13m+n=0，
∴m=3n，
∴(2m−n)−(4m−7n)−2
=(2×3n−n)−(4×3n−7n)−2
=5n−5n−2
=−2．
(3)依题意：4m+n=0，
∵m≠0，
∴nm=−4，
关于y的方程m(3y+2)−n=0可变为3y+2=nm，
∴3y+2=−4，
解得：y=−2．
(1)把m=−12，n=4代入方程mx+n=0，即可求出x的值；
(2)把x=−13代入方程mx+n=0，可得m=3n，据此可求得(2m−n)−(4m−7n)−2的值；
(3)把x=4代入mx+n=0，可得nm=−4，代入m(3y+2)−n=0求解即可．
本题考查了方程的解和含参数的一元一次方程的解法，含参数的一次方程的解题步骤与数字系数的一元一次方程的解法相同，解题时注意未知数系数的取值范围．x
−1
0
1
2
mx+n
−8
−4
0
4