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初中湘教版（2024）3.2 等式的基本性质精品课堂检测
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这是一份初中湘教版（2024）3.2 等式的基本性质精品课堂检测，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列变形：①如果a=b，则ac2=bc2；②如果ac2=bc2，则a=b；③如果a=b，则3a−1=3b−1；④如果ac2=bc2，则a=b.其中正确的是( )
A. ①②③④B. ①③④C. ①③D. ②④
2.下列说法错误的是( )
A. 若a=b，则a+c=b+cB. 若a=b，则a−c=b−c
C. 若a=b，则ac=bcD. 若a=b，则ac=bc
3.下列等式变形错误的是( )
A. 若a=b，则a2=b2B. 若a=b，则5a=5b
C. 若a=b，则a+m=b+mD. 若a=b，则ax=bx
4.解一元一次方程12(x+1)=1−13x时，去分母正确的是( )
A. 2(x+1)=1−2xB. 3(x+1)=1−2x
C. 2(x+1)=6−3xD. 3(x+1)=6−2x
5.下列解方程的过程中，正确的是( )
A. 将9−2(3x−2)=6x+3去括号得：9−6x−2=6x+3
B. 由−23x=−5得：x=152
C. 将2−3x−13=x+32去分母得2−2(3x−1)=3(x+3)
D. 由x0.3−x−30.7=2得：10x3−10x−307=20
6.根据等式的性质，由x=y可得( )
A. 4x=y+4B. cx=cyC. 2x−8=2y+8D. xc=yc
7.下列运用等式的性质变形错误的是( )
A. 若ac=bc，则a=bB. 若xa=ya，则x=y
C. 若x=y，则xa2+1=ya2+1D. 若x−3=y−3，则x=y
8.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+c=b，则b2−4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若x=c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x=x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2；
其中正确的( )
A. 只有①②④B. 只有①②③C. 只有②③④D. 只有①②
9.由x2−y3=1可以得到用x表示y的式子是( )
A. y=3x−22B. y=32x−12C. y=3−32xD. y=32x−3
10.下列四个解方程过程中变形正确的是( )
A. 由−4x=7得x=−47B. 由35x=4得x=125
C. 由−2(x−1)=−4得x−1=2D. 由2−4x=7+x得x−4x=7+2
11.下列变形中，不正确的是( )
A. 若a+1=b+1，则a=bB. 若ac2=bc2，则a=b
C. 若3a=3b，则a−3=b−3D. 若ac=bc，则a=b
12.下列等式变形正确的是( )
A. 若 −12x=−2，则x=−4
B. 若 x−x−12=x+23+1，则6x−3(x−1)=2(x+2)+1
C. 若5x+1=x−3，则 5x−x=−3−1
D. 若 x5=0，则x=5
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.有15盒饼干，其中的14盒质量相同，另有一盒少了几块，如果能用天平称，至少______次保证可以找出这盒饼干．
14.比x的3倍大5的数等于x的8倍，列等式表示为______．
15.已知关于x的一元一次方程x2022+3=2022x+n的解为x=2022，则关于y的一元一次方程5y−22022−3=2022(5y−2)−n的解为 ．
16.将等式3a−2b=2a−2b变形，过程如下：因为3a−2b=2a−2b，所以3a=2a(第一步)，所以3=2(第二步)，上述过程中，第一步的根据是 ，第二步得出了明显错误的结论，其原因是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
在信息时代信息安全很重要，往往需要对信息进行加密，按照“乘3加1取个位”的方式逐位加密，给明码，就可以求出密码，如明码为“16”，则加密之后的密码为“49”；具体求法如下：先看明码的十位上数字“1”，则1×3+1=4，取个位，得密码的十位上数字“4”；再看明码的个位上数字“6”，则6×3+1=19，取个位，得密码的个位上数字“9”，由此得密码为“49”.反之，给出密码，也可以求出明码，如密码为“73”，则明码为“24”；具体求法如下：设明码十位上的数字为a，则0≤a≤9，则有1≤3a+1≤28，由密码十位上的数字为“7”所以3a+1可能为7、17、27，
当3a+1=7时，解得a=2，符合题意；
当3a+1=17时，解得a=163不是整数，舍去；
当3a+1=27解得a=263不是整数，舍去；
所以得到明码十位上的数字为2；同理，可到明码个位上的数字为4，故明码为“24”．
根据上面的阅读材料，回答问题
(1)若明码为“45”，则密码为______．
(2)若密码为“62”，则明码为______．
(3)将明码“223”按上述加密方法，经过两次加密得密码为______．
(4)若某明码按上述加密方法，经过两次加密得到密码是“2445”，则明码是______．
18.(本小题8分)
回答问题，如果需要可以举例说明．
(1)如果|x|=2，那么x的值是多少？
(2)如果x=−x，那么x的值是多少？
(3)如果|x|=x，x可以取哪些数？
(4)如果|x|=−x，x可以取哪些数？
19.(本小题8分)
(通州区期中)根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
(1) ①如果a−b<0，那么a________b；
②如果a−b=0，那么a________b；
③如果a−b>0，那么a________b．
(2) (1)中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”.请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①比较4+3a2−2b+b2与3a2−2b+1的大小；
②若2a+2b−1>3a+b，比较a，b的大小．
20.(本小题8分)
(1)若a，b满足方程a2−4a−2=0，b2−4b−2=0，且a≠b，求4a+4b−ab的值；
(2)已知2m2−5m−1=0，1n2+5n−2=0且m≠n，求1m+1n的值；
(3)若a，b，c满足a+b+2c=8，ab+2c=c2，求c的最大值．
21.(本小题8分)
我们在七年级学习过解一元一次方程，八下课本第二章第四节学习解一元一次不等式。请你类比解下列一元一次方程学习解一元一次不等式，并完成下列问题。
(1)解一元一次不等式x−4<2(x+2)，并把它解集表示在数轴上．
(2)结合本题说明等式基本性质与不等式基本性质的区别．
22.(本小题8分)
如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35∘，∠2=35∘，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？请在下面的解答过程中填空或在括号内注明说理依据．
解：∵∠1=35∘，∠2=35∘(已知)，
∴∠1=∠2．
∴____ // ____( ____)．
又∵AC⊥AE(已知)，
∴∠EAC=90∘．
∴∠EAB=∠EAC+∠1=____(等式的性质)．
同理可得∠FBG=∠FBD+∠2=____．
即∠EAB=∠FBG．
∴____ // ____( ____)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的性质：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，等式仍然成立；等式两边同时乘以(或除以)同一个(不为0)的数(或式子)，等式仍然成立.依据其性质依次判断即可．
【解答】
解：①如果a=b，则ac2=bc2，正确；
②如果ac2=bc2，则a=b，错误，因为如果c2=0，则a和b不一定相等；
③如果a=b，则3a−1=3b−1，正确；
④如果ac2=bc2，则a=b，正确．
则其中正确的是①③④，
故选B．
2.【答案】D
【解析】解：A、两边都加c，等式依然成立，故A不符合题意；
B、两边都减C，等式依然成立，故C不符合题意；
C、两边都乘以c，等式依然成立，故C不符合题意；
D、c=0时，两边都除以c无意义，故D符合题意；
故选：D．
根据等式的性质，可得答案．
本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或字母)，等式仍成立；等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0数(或字母)，等式仍成立．
根据等式的性质，等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或字母)，等式仍成立；等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0数(或字母)，等式仍成立，可得答案．
【解答】
解：A、若a=b，则a2=b2，正确；
B、.若a=b，则5a=5b ，正确；
C、若a=b，则a+m=b+m，正确；
D、若a=b，x=0时，两边都除以x无意义，错误；
故选D．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
【解答】
解：方程12(x+1)=1−13x两边都乘以6，
得：3(x+1)=6−2x，
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：将9−2(3x−2)=6x+3去括号，得9−6x+4=6x+3，
∴A不正确，不符合题意；
将−23x=−5的两边同除以−23，得x=152，
∴B正确，符合题意；
将2−3x−13=x+32去分母，得6−2(3x−1)=3(x+3)，
∴C不正确，不符合题意；
将两个分数的分子、分母同乘以10，得10x3−10x−307=2，
∴D不正确，不符合题意．
故选：B．
A.根据“括号前面是负号，去括号后要变号”去括号即可；
B.根据等式的基本性质2，将方程两边同除以−23即可；
C.根据等式的基本性质2，将方程两边同乘以6即可；
D.将两个分数的分子、分母同乘以10即可．
本题考查解一元一次方程、等式的性质，熟练掌握并灵活运用一元一次方程的解法及等式的2个基本性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数(除数不为零)，所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决．
【解答】解：A、根据等式的性质，由x=y可得4x=4y，故此选项不符合题意；
B、根据等式的性质，由x=y可得cx=cy，故此选项符合题意；
C、根据等式的性质，由x=y可得2x−8=2y−8，故此选项不符合题意；
D、根据等式的性质，当c≠0时，由x=y可得xc=yc，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质定理．
7.【答案】A
【解析】解：A、若ac=bc，当c≠0时，根据等式的性质2，有a=b；当c=0时，a、b可以不相等；故A错误，符合题意；
B、若xa=ya，可知a≠0，根据等式的性质2，有x=y，故B正确，不符题意；
C、若x=y，因为a2+1>0，根据等式的性质2，有xa2+1=ya2+1，故C正确，不符题意；
D、若x−3=y−3，根据等式的性质1，有x=y，故D正确，不符题意；
故选：A．
根据等式的性质逐项判断即可求解．
本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：①∵a+b+c=0，
∴x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，
∴Δ=b2−4ac≥0，结论①正确；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴Δ=−4ac>0，
∴Δ=b2−4ac≥−4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根，结论②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴ac2+bc+c=0，
若c为0，则无法得出ac+b+1=0，结论③不正确；
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=−b± b2−4ac2a，
∴± b2−4ac=2ax0+b，
∴b2−4ac=(2ax0+b)2，结论④正确．
∴正确的结论有①②④．
故选：A．
①由a+b+c=0，可得出x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，进而可得出Δ=b2−4ac≥0；
②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，可得出Δ=−4ac>0，结合偶次方的非负性，可得出Δ=b2−4ac≥−4ac>0，进而可得出方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根；
③代入x=c，可得出ac2+bc+c=0，当c=0时，无法得出ac+b+1=0；
④利用求根公式，可得出x0=−b± b2−4ac2a，变形后即可得出b2−4ac=(2ax0+b)2．
本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了等式的性质、去分母，每一项同乘公约数移项即可求得结果，正确化简是解题的关键．
【详解】解：x2−y3=1，
同乘6可得：3x−2y=6，
移项可得：3x−6=2y，
同时除以2可得：y=32x−3，
故选：D．
10.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解答此题根据等式的基本性质将方程变形即可．
【解答】
解：A.由−4x=7，得：x=−74≠−47，不符合题意；
B.由35x=4，得：x=203≠125，不符合题意；
C.由−2(x−1)=−4，得：x−1=2，符合题意；
D、由2−4x=7+x，得：−x−4x=7−2，不是x−4x=7+2，不符合题意，
故选C．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等式的基本性质的应用，等式的基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立。等式的基本性质2等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。解题的关键是对等式性质的熟练应用。
根据等式的基本性质1判断A选项，根据等式的基本性质2判断B、C、D选项即可．
【解答】
解：A、根据等式的基本性质1，等式a+1=b+1的两边同时减去1，得a=b，故此项正确；
B、当c=0时，不能由ac2=bc2得a=b，故此项不正确；
C、首先根据等式的基本性质2，等式3a=3b两边同时除以3得a=b，再根据等式的基本性质1，等式a=b两边同时减去3，得a−3=b−3，故此项正确；
D、由ac=bc可知c≠0，由此在等式ac=bc两边同时乘c，得a=b，故此项正确，
故选B．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的基本性质1是等式的两边都加上(或减去)同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得的结果仍是等式．据此逐项分析即可．
【解答】
解：A.若−12x=−2，则两边都乘以−2得x=4，原变形错误，不符合题意；
B.若x−x−12=x+23+1，则两边都乘以6得6x−3(x−1)=2(x+2)+6，原变形错误，不符合题意；
C.若5x+1=x−3，则两边都减x得5x+1−x=−3，两边再减1得5x−x=−3−1，正确，符合题意；
D.若x5=0，则两边都乘以5得x=0，原变形错误，不符合题意，
故选C．
13.【答案】3
【解析】解：把15盒饼干任意5盒一组分成3组，取任意两组放在天平上称，如天平平衡，则次品在没称的一组中，若不平衡，则在轻的一组中；
再把轻的一组分成(2,2,1)三组，把2盒一组的放在天平上称，若平衡，则分成一盒一组的是次品，若不平衡，则在轻的一组中；
再把轻的这两盒放在天平上称，即可找出次品；
综上，至少称3次保证可以找出这盒饼干，
故答案为：3．
将15盒饼干依次分组后进行判断即可．
本题考查等式的性质，由题意将它们进行正确的分组是解题的关键．
14.【答案】3x+5=8x
【解析】解：根据题意，得3x+5=8x，
故答案为：3x+5=8x．
根据题意x的3倍表示为3x，即得出3x+5，同理x的8倍表示为8x，再用等号连接即可．
本题考查代数式和等式的性质等知识点，关键是能列代数式表示题意所反映的数量关系．
15.【答案】y=−404
【解析】【分析】
根据题意得出2−5y的值，进而得出答案．
此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出2−5y的值是解题关键．
【解答】
解：因为关于x的一元一次方程x2022+3=2022x+n的解为x=2022，
所以关于y的一元一次方程5y−22022−3=2022(5y−2)−n两边各项乘(−1)得到：②2−5y2022+3=2022(2−5y)+n，
方程①和方程②同解，
所以2−5y=2022，
解得：y=−404．
故答案为：y=−404．
16.【答案】等式的基本性质1
没有考虑a=0的情况
【解析】【分析】
此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解本题的关键．利用等式的基本性质判断即可．
【解答】
解：将等式3a−2b=2a−2b变形，过程如下：因为3a−2b=2a−2b，所以3a=2a(第一步)，所以3=2(第二步)，上述过程中，第一步的根据是等式的基本性质1，第二步得出了明显错误的结论，其原因是没有考虑a=0的情况，
故答案为等式的基本性质1；没有考虑a=0的情况．
17.【答案】36 57 221 2009
【解析】解：(1)4×3+1=13，取个位，得密码的十位数字是3，；5×3+1=16，取个位，得密码的个位数字是6，因此密码为36．
故答案为：36；
(2)设明码十位上的数字为a，则0≤a≤9，
所以1≤3a+1≤28，
由密码十位上的数字为“6”，
所以3a+1可能为6、16、26，
当3a+1=6时，解 a=53不是整数，舍去；
当3a+1=16时，解得a=5，符合题意；
当3a+1=26时，解得 a=253不是整数，舍去．
所以得明码的十位数字是5；同理，可到明码个位上的数字为7，
所以明码是57．
故答案为：57；
(3)2×3+1=7，2×3+1=7，3×3+1=10，即223经过第一次加密后密码是770；
7×3+1=22，7×3+1=22，0×3+1=1，即770经过加密后密码为221，
所以223经过两次加密后的密码是221．
故答案为：221；
(4)当密码为2445时，设明码千位上的数字为b，则0≤b≤9，则有1≤3b+1≤28，由密码千位上的数字是“2”，所以可得3b+1可能是2，12，22．
当3b+1=2时，解得b=13，不是整数，不符合题意舍去；
当3b+1=12时，解得b=113，不是整数，不符合题意舍去；
当3b+1=22时，解得b=7，符合题意．
所以得到明码千位上的数字是7；同理，可得明码百位上的数字是1，十位上的数字是1，个位上的数字是8，故明码为“7118”；
当密码为7118时，设明码千位上的数字为c，则0≤c≤9，则有1≤3c+1≤28，由密码千位上的数字是“7”，所以可得3b+1可能是7，17，27．
当3c+1=7时，解得c=2，是整数，符合题意；
当3c+1=17时，解得c=163，不是整数，不符合题意舍去；
当3c+1=27时，解得c=263，不是整数，不符合题意舍去．
所以得到明明千位上的数字是2；同理，可得明码百位上的数字是0，十位上的数字是0，个位上的数字是9，故明码为2009．
故答案为：2009．
(1)、(3)根据给明码求密码的具体计算方法直接计算即可；
(2)、(4)根据给密码求明码的具体计算方法直接计算即可．
本题考查了数字问题的应用，认真阅读材料，正确计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)由题意，∵|x|=2，
∴x=±2．
(2)由题意，∵x=−x，
∴2x=0．
∴x=0．
(3)由题意，∵|x|=x，
∴x为绝对值是它本身的数．
∴x取非负数．
(4)由题意，∵|x|=−x，
∴x为绝对值是它的相反数的数．
∴x取非正数．
【解析】依据题意，根据绝对值、相反数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
本题主要考查了绝对值、相反数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
19.【答案】【小题1】
①<； ②=；③>
【小题2】
解：①因为4+3a2−2b+b2−(3a2−2b+1)=b2+3>0，
所以4+3a2−2b+b2>3a2−2b+1；
②两边都减去(3a+b)，得−a+b−1>0，
所以b−a>1，所以a
【解析】1. 【分析】
此题考查不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质．
①根据不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变求解即可；
②根据等式的两边同时加上同一个数，等式仍然成立求解即可；
③根据不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变求解即可．
【解答】
解：①因为a−b<0，所以a−b+b<0+b，即a②因为a−b=0，所以a−b+b=0+b，即a=b；
③因为a−b>0，所以a−b+b>0+b，即a>b．
2. 此题考查不等式的性质，整式的加减，解题关键是理解“求差法比较大小”．
①先根据整式的减法计算得到b2+3>0，然后根据“求差法比较大小”即可求解；
②先根据不等式的性质两边都减去(3a+b)，可得−a+b−1>0，即b−a>1，最后根据“求差法比较大小”即可求解．
20.【答案】解：(1)由题意得a，b是一元二次方程x2−4x−2=0的两个不相等的实数根，
∴a+b=4，ab=−2，
∴4a+4b−ab=4(a+b)−ab=4×4−(−2)=18；
(2)∵1n2+5n−2=0(易知n≠0)，
∴等式两边同时乘n2，得1+5n−2n2=0，即2n2−5n−1=0，
又∵2m2−5m−1=0，m≠n，
∴m，n是一元二次方程2x2−5x−1=0的两个不相等的实数根，
∴m+n=52，mn=−12，
∴1m+1n=m+nmn=52−12=−5；
(3)∵a+b+2c=8，ab+2c=c2，
∴a+b=8−2c，ab=c2−2c，
∵(a+b)2=(a−b)2+4ab，且(a−b)2≥0，
∴(a+b)2≥4ab，
∴(8−2c)2≥4(c2−2c)，
∴64−32c+4c2≥4c2−8c，
∴32c−8c≤64，
∴24c≤64，
∴c≤83，即c的最大值为83．
【解析】(1)本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系、整体代入法求代数式的值．
先根据一元二次方程的解的定义结合已知得出a，b是一元二次方程x2−4x−2=0的两个不相等的实数根，再根据一元二次方程的根与系数的关系得出a+b，ab的值，最后利用整体代入法即可求出所求代数式的值；
(2)本题主要考查了等式的基本性质、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值．
先根据等式的基本性质、一元二次方程的解的定义结合已知得出m，n是一元二次方程2x2−5x−1=0的两个不相等的实数根，再根据一元二次方程的根与系数的关系得出m+n，mn的值，最后将所求分式利用分式的加减运算法则化简后将m+n，mn的值代入计算即可得解；
(3)本题主要考查了完全平方公式、偶次方的非负性、不等式的基本性质．
先根据已知条件得出a+b=8−2c，ab=c2−2c，再根据完全平方公式结合偶次方的非负性得出(a+b)2≥4ab，即(8−2c)2≥4(c2−2c)，最后根据不等式的基本性质即可求得c的最大值．
21.【答案】解：(1)去括号，得x−4<2x+4
移项，得x−2x<4+4
合并同类项，得 −x<8
系数化为1，得x>−8
不等式的解集在数轴上表示为：
(2)区别：等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0的数，等式仍然成立．
不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等式仍然成立，不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等式改变方向．
【解析】本题主要考查一元一次不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，还考查了等式的基本性质和不等式的基本性质．
(1)解答此题，类比解一元一次方程的方法解一元一次不等式即可，并把解集表示在数轴上．
(2)结合题目，说明等式基本性质2 和不等式基本性质3 的区别即可．
22.【答案】解：∵∠1=35°，∠2=35°，
∴∠1=∠2(等量代换)；
∴AC//BD(同位角相等，两直线平行)
又∵AC⊥AE，
∴∠EAC=90°；
∴∠EAB=∠EAC+∠1=125°(等式的性质)；
同理可得∠FBD+∠2=125°．
即∠EAB=∠FBG．
∴AE//BF(同位角相等，两直线平行)．
【解析】根据平行线的判定和等量代换等，填上证明结果和依据即可．
本题考查平行线的判定和等式的性质．正确理解题目中的证明思路是解题的关键．
1.下列变形：①如果a=b，则ac2=bc2；②如果ac2=bc2，则a=b；③如果a=b，则3a−1=3b−1；④如果ac2=bc2，则a=b.其中正确的是( )
A. ①②③④B. ①③④C. ①③D. ②④
2.下列说法错误的是( )
A. 若a=b，则a+c=b+cB. 若a=b，则a−c=b−c
C. 若a=b，则ac=bcD. 若a=b，则ac=bc
3.下列等式变形错误的是( )
A. 若a=b，则a2=b2B. 若a=b，则5a=5b
C. 若a=b，则a+m=b+mD. 若a=b，则ax=bx
4.解一元一次方程12(x+1)=1−13x时，去分母正确的是( )
A. 2(x+1)=1−2xB. 3(x+1)=1−2x
C. 2(x+1)=6−3xD. 3(x+1)=6−2x
5.下列解方程的过程中，正确的是( )
A. 将9−2(3x−2)=6x+3去括号得：9−6x−2=6x+3
B. 由−23x=−5得：x=152
C. 将2−3x−13=x+32去分母得2−2(3x−1)=3(x+3)
D. 由x0.3−x−30.7=2得：10x3−10x−307=20
6.根据等式的性质，由x=y可得( )
A. 4x=y+4B. cx=cyC. 2x−8=2y+8D. xc=yc
7.下列运用等式的性质变形错误的是( )
A. 若ac=bc，则a=bB. 若xa=ya，则x=y
C. 若x=y，则xa2+1=ya2+1D. 若x−3=y−3，则x=y
8.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+c=b，则b2−4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若x=c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x=x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2；
其中正确的( )
A. 只有①②④B. 只有①②③C. 只有②③④D. 只有①②
9.由x2−y3=1可以得到用x表示y的式子是( )
A. y=3x−22B. y=32x−12C. y=3−32xD. y=32x−3
10.下列四个解方程过程中变形正确的是( )
A. 由−4x=7得x=−47B. 由35x=4得x=125
C. 由−2(x−1)=−4得x−1=2D. 由2−4x=7+x得x−4x=7+2
11.下列变形中，不正确的是( )
A. 若a+1=b+1，则a=bB. 若ac2=bc2，则a=b
C. 若3a=3b，则a−3=b−3D. 若ac=bc，则a=b
12.下列等式变形正确的是( )
A. 若 −12x=−2，则x=−4
B. 若 x−x−12=x+23+1，则6x−3(x−1)=2(x+2)+1
C. 若5x+1=x−3，则 5x−x=−3−1
D. 若 x5=0，则x=5
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.有15盒饼干，其中的14盒质量相同，另有一盒少了几块，如果能用天平称，至少______次保证可以找出这盒饼干．
14.比x的3倍大5的数等于x的8倍，列等式表示为______．
15.已知关于x的一元一次方程x2022+3=2022x+n的解为x=2022，则关于y的一元一次方程5y−22022−3=2022(5y−2)−n的解为 ．
16.将等式3a−2b=2a−2b变形，过程如下：因为3a−2b=2a−2b，所以3a=2a(第一步)，所以3=2(第二步)，上述过程中，第一步的根据是 ，第二步得出了明显错误的结论，其原因是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
在信息时代信息安全很重要，往往需要对信息进行加密，按照“乘3加1取个位”的方式逐位加密，给明码，就可以求出密码，如明码为“16”，则加密之后的密码为“49”；具体求法如下：先看明码的十位上数字“1”，则1×3+1=4，取个位，得密码的十位上数字“4”；再看明码的个位上数字“6”，则6×3+1=19，取个位，得密码的个位上数字“9”，由此得密码为“49”.反之，给出密码，也可以求出明码，如密码为“73”，则明码为“24”；具体求法如下：设明码十位上的数字为a，则0≤a≤9，则有1≤3a+1≤28，由密码十位上的数字为“7”所以3a+1可能为7、17、27，
当3a+1=7时，解得a=2，符合题意；
当3a+1=17时，解得a=163不是整数，舍去；
当3a+1=27解得a=263不是整数，舍去；
所以得到明码十位上的数字为2；同理，可到明码个位上的数字为4，故明码为“24”．
根据上面的阅读材料，回答问题
(1)若明码为“45”，则密码为______．
(2)若密码为“62”，则明码为______．
(3)将明码“223”按上述加密方法，经过两次加密得密码为______．
(4)若某明码按上述加密方法，经过两次加密得到密码是“2445”，则明码是______．
18.(本小题8分)
回答问题，如果需要可以举例说明．
(1)如果|x|=2，那么x的值是多少？
(2)如果x=−x，那么x的值是多少？
(3)如果|x|=x，x可以取哪些数？
(4)如果|x|=−x，x可以取哪些数？
19.(本小题8分)
(通州区期中)根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
(1) ①如果a−b<0，那么a________b；
②如果a−b=0，那么a________b；
③如果a−b>0，那么a________b．
(2) (1)中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”.请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①比较4+3a2−2b+b2与3a2−2b+1的大小；
②若2a+2b−1>3a+b，比较a，b的大小．
20.(本小题8分)
(1)若a，b满足方程a2−4a−2=0，b2−4b−2=0，且a≠b，求4a+4b−ab的值；
(2)已知2m2−5m−1=0，1n2+5n−2=0且m≠n，求1m+1n的值；
(3)若a，b，c满足a+b+2c=8，ab+2c=c2，求c的最大值．
21.(本小题8分)
我们在七年级学习过解一元一次方程，八下课本第二章第四节学习解一元一次不等式。请你类比解下列一元一次方程学习解一元一次不等式，并完成下列问题。
(1)解一元一次不等式x−4<2(x+2)，并把它解集表示在数轴上．
(2)结合本题说明等式基本性质与不等式基本性质的区别．
22.(本小题8分)
如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35∘，∠2=35∘，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？请在下面的解答过程中填空或在括号内注明说理依据．
解：∵∠1=35∘，∠2=35∘(已知)，
∴∠1=∠2．
∴____ // ____( ____)．
又∵AC⊥AE(已知)，
∴∠EAC=90∘．
∴∠EAB=∠EAC+∠1=____(等式的性质)．
同理可得∠FBG=∠FBD+∠2=____．
即∠EAB=∠FBG．
∴____ // ____( ____)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的性质：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，等式仍然成立；等式两边同时乘以(或除以)同一个(不为0)的数(或式子)，等式仍然成立.依据其性质依次判断即可．
【解答】
解：①如果a=b，则ac2=bc2，正确；
②如果ac2=bc2，则a=b，错误，因为如果c2=0，则a和b不一定相等；
③如果a=b，则3a−1=3b−1，正确；
④如果ac2=bc2，则a=b，正确．
则其中正确的是①③④，
故选B．
2.【答案】D
【解析】解：A、两边都加c，等式依然成立，故A不符合题意；
B、两边都减C，等式依然成立，故C不符合题意；
C、两边都乘以c，等式依然成立，故C不符合题意；
D、c=0时，两边都除以c无意义，故D符合题意；
故选：D．
根据等式的性质，可得答案．
本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或字母)，等式仍成立；等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0数(或字母)，等式仍成立．
根据等式的性质，等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或字母)，等式仍成立；等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0数(或字母)，等式仍成立，可得答案．
【解答】
解：A、若a=b，则a2=b2，正确；
B、.若a=b，则5a=5b ，正确；
C、若a=b，则a+m=b+m，正确；
D、若a=b，x=0时，两边都除以x无意义，错误；
故选D．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
【解答】
解：方程12(x+1)=1−13x两边都乘以6，
得：3(x+1)=6−2x，
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：将9−2(3x−2)=6x+3去括号，得9−6x+4=6x+3，
∴A不正确，不符合题意；
将−23x=−5的两边同除以−23，得x=152，
∴B正确，符合题意；
将2−3x−13=x+32去分母，得6−2(3x−1)=3(x+3)，
∴C不正确，不符合题意；
将两个分数的分子、分母同乘以10，得10x3−10x−307=2，
∴D不正确，不符合题意．
故选：B．
A.根据“括号前面是负号，去括号后要变号”去括号即可；
B.根据等式的基本性质2，将方程两边同除以−23即可；
C.根据等式的基本性质2，将方程两边同乘以6即可；
D.将两个分数的分子、分母同乘以10即可．
本题考查解一元一次方程、等式的性质，熟练掌握并灵活运用一元一次方程的解法及等式的2个基本性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数(除数不为零)，所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决．
【解答】解：A、根据等式的性质，由x=y可得4x=4y，故此选项不符合题意；
B、根据等式的性质，由x=y可得cx=cy，故此选项符合题意；
C、根据等式的性质，由x=y可得2x−8=2y−8，故此选项不符合题意；
D、根据等式的性质，当c≠0时，由x=y可得xc=yc，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质定理．
7.【答案】A
【解析】解：A、若ac=bc，当c≠0时，根据等式的性质2，有a=b；当c=0时，a、b可以不相等；故A错误，符合题意；
B、若xa=ya，可知a≠0，根据等式的性质2，有x=y，故B正确，不符题意；
C、若x=y，因为a2+1>0，根据等式的性质2，有xa2+1=ya2+1，故C正确，不符题意；
D、若x−3=y−3，根据等式的性质1，有x=y，故D正确，不符题意；
故选：A．
根据等式的性质逐项判断即可求解．
本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：①∵a+b+c=0，
∴x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，
∴Δ=b2−4ac≥0，结论①正确；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴Δ=−4ac>0，
∴Δ=b2−4ac≥−4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根，结论②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴ac2+bc+c=0，
若c为0，则无法得出ac+b+1=0，结论③不正确；
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=−b± b2−4ac2a，
∴± b2−4ac=2ax0+b，
∴b2−4ac=(2ax0+b)2，结论④正确．
∴正确的结论有①②④．
故选：A．
①由a+b+c=0，可得出x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，进而可得出Δ=b2−4ac≥0；
②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，可得出Δ=−4ac>0，结合偶次方的非负性，可得出Δ=b2−4ac≥−4ac>0，进而可得出方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根；
③代入x=c，可得出ac2+bc+c=0，当c=0时，无法得出ac+b+1=0；
④利用求根公式，可得出x0=−b± b2−4ac2a，变形后即可得出b2−4ac=(2ax0+b)2．
本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了等式的性质、去分母，每一项同乘公约数移项即可求得结果，正确化简是解题的关键．
【详解】解：x2−y3=1，
同乘6可得：3x−2y=6，
移项可得：3x−6=2y，
同时除以2可得：y=32x−3，
故选：D．
10.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解答此题根据等式的基本性质将方程变形即可．
【解答】
解：A.由−4x=7，得：x=−74≠−47，不符合题意；
B.由35x=4，得：x=203≠125，不符合题意；
C.由−2(x−1)=−4，得：x−1=2，符合题意；
D、由2−4x=7+x，得：−x−4x=7−2，不是x−4x=7+2，不符合题意，
故选C．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等式的基本性质的应用，等式的基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立。等式的基本性质2等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。解题的关键是对等式性质的熟练应用。
根据等式的基本性质1判断A选项，根据等式的基本性质2判断B、C、D选项即可．
【解答】
解：A、根据等式的基本性质1，等式a+1=b+1的两边同时减去1，得a=b，故此项正确；
B、当c=0时，不能由ac2=bc2得a=b，故此项不正确；
C、首先根据等式的基本性质2，等式3a=3b两边同时除以3得a=b，再根据等式的基本性质1，等式a=b两边同时减去3，得a−3=b−3，故此项正确；
D、由ac=bc可知c≠0，由此在等式ac=bc两边同时乘c，得a=b，故此项正确，
故选B．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的基本性质1是等式的两边都加上(或减去)同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得的结果仍是等式．据此逐项分析即可．
【解答】
解：A.若−12x=−2，则两边都乘以−2得x=4，原变形错误，不符合题意；
B.若x−x−12=x+23+1，则两边都乘以6得6x−3(x−1)=2(x+2)+6，原变形错误，不符合题意；
C.若5x+1=x−3，则两边都减x得5x+1−x=−3，两边再减1得5x−x=−3−1，正确，符合题意；
D.若x5=0，则两边都乘以5得x=0，原变形错误，不符合题意，
故选C．
13.【答案】3
【解析】解：把15盒饼干任意5盒一组分成3组，取任意两组放在天平上称，如天平平衡，则次品在没称的一组中，若不平衡，则在轻的一组中；
再把轻的一组分成(2,2,1)三组，把2盒一组的放在天平上称，若平衡，则分成一盒一组的是次品，若不平衡，则在轻的一组中；
再把轻的这两盒放在天平上称，即可找出次品；
综上，至少称3次保证可以找出这盒饼干，
故答案为：3．
将15盒饼干依次分组后进行判断即可．
本题考查等式的性质，由题意将它们进行正确的分组是解题的关键．
14.【答案】3x+5=8x
【解析】解：根据题意，得3x+5=8x，
故答案为：3x+5=8x．
根据题意x的3倍表示为3x，即得出3x+5，同理x的8倍表示为8x，再用等号连接即可．
本题考查代数式和等式的性质等知识点，关键是能列代数式表示题意所反映的数量关系．
15.【答案】y=−404
【解析】【分析】
根据题意得出2−5y的值，进而得出答案．
此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出2−5y的值是解题关键．
【解答】
解：因为关于x的一元一次方程x2022+3=2022x+n的解为x=2022，
所以关于y的一元一次方程5y−22022−3=2022(5y−2)−n两边各项乘(−1)得到：②2−5y2022+3=2022(2−5y)+n，
方程①和方程②同解，
所以2−5y=2022，
解得：y=−404．
故答案为：y=−404．
16.【答案】等式的基本性质1
没有考虑a=0的情况
【解析】【分析】
此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解本题的关键．利用等式的基本性质判断即可．
【解答】
解：将等式3a−2b=2a−2b变形，过程如下：因为3a−2b=2a−2b，所以3a=2a(第一步)，所以3=2(第二步)，上述过程中，第一步的根据是等式的基本性质1，第二步得出了明显错误的结论，其原因是没有考虑a=0的情况，
故答案为等式的基本性质1；没有考虑a=0的情况．
17.【答案】36 57 221 2009
【解析】解：(1)4×3+1=13，取个位，得密码的十位数字是3，；5×3+1=16，取个位，得密码的个位数字是6，因此密码为36．
故答案为：36；
(2)设明码十位上的数字为a，则0≤a≤9，
所以1≤3a+1≤28，
由密码十位上的数字为“6”，
所以3a+1可能为6、16、26，
当3a+1=6时，解 a=53不是整数，舍去；
当3a+1=16时，解得a=5，符合题意；
当3a+1=26时，解得 a=253不是整数，舍去．
所以得明码的十位数字是5；同理，可到明码个位上的数字为7，
所以明码是57．
故答案为：57；
(3)2×3+1=7，2×3+1=7，3×3+1=10，即223经过第一次加密后密码是770；
7×3+1=22，7×3+1=22，0×3+1=1，即770经过加密后密码为221，
所以223经过两次加密后的密码是221．
故答案为：221；
(4)当密码为2445时，设明码千位上的数字为b，则0≤b≤9，则有1≤3b+1≤28，由密码千位上的数字是“2”，所以可得3b+1可能是2，12，22．
当3b+1=2时，解得b=13，不是整数，不符合题意舍去；
当3b+1=12时，解得b=113，不是整数，不符合题意舍去；
当3b+1=22时，解得b=7，符合题意．
所以得到明码千位上的数字是7；同理，可得明码百位上的数字是1，十位上的数字是1，个位上的数字是8，故明码为“7118”；
当密码为7118时，设明码千位上的数字为c，则0≤c≤9，则有1≤3c+1≤28，由密码千位上的数字是“7”，所以可得3b+1可能是7，17，27．
当3c+1=7时，解得c=2，是整数，符合题意；
当3c+1=17时，解得c=163，不是整数，不符合题意舍去；
当3c+1=27时，解得c=263，不是整数，不符合题意舍去．
所以得到明明千位上的数字是2；同理，可得明码百位上的数字是0，十位上的数字是0，个位上的数字是9，故明码为2009．
故答案为：2009．
(1)、(3)根据给明码求密码的具体计算方法直接计算即可；
(2)、(4)根据给密码求明码的具体计算方法直接计算即可．
本题考查了数字问题的应用，认真阅读材料，正确计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)由题意，∵|x|=2，
∴x=±2．
(2)由题意，∵x=−x，
∴2x=0．
∴x=0．
(3)由题意，∵|x|=x，
∴x为绝对值是它本身的数．
∴x取非负数．
(4)由题意，∵|x|=−x，
∴x为绝对值是它的相反数的数．
∴x取非正数．
【解析】依据题意，根据绝对值、相反数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
本题主要考查了绝对值、相反数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
19.【答案】【小题1】
①<； ②=；③>
【小题2】
解：①因为4+3a2−2b+b2−(3a2−2b+1)=b2+3>0，
所以4+3a2−2b+b2>3a2−2b+1；
②两边都减去(3a+b)，得−a+b−1>0，
所以b−a>1，所以a
【解析】1. 【分析】
此题考查不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质．
①根据不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变求解即可；
②根据等式的两边同时加上同一个数，等式仍然成立求解即可；
③根据不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变求解即可．
【解答】
解：①因为a−b<0，所以a−b+b<0+b，即a
③因为a−b>0，所以a−b+b>0+b，即a>b．
2. 此题考查不等式的性质，整式的加减，解题关键是理解“求差法比较大小”．
①先根据整式的减法计算得到b2+3>0，然后根据“求差法比较大小”即可求解；
②先根据不等式的性质两边都减去(3a+b)，可得−a+b−1>0，即b−a>1，最后根据“求差法比较大小”即可求解．
20.【答案】解：(1)由题意得a，b是一元二次方程x2−4x−2=0的两个不相等的实数根，
∴a+b=4，ab=−2，
∴4a+4b−ab=4(a+b)−ab=4×4−(−2)=18；
(2)∵1n2+5n−2=0(易知n≠0)，
∴等式两边同时乘n2，得1+5n−2n2=0，即2n2−5n−1=0，
又∵2m2−5m−1=0，m≠n，
∴m，n是一元二次方程2x2−5x−1=0的两个不相等的实数根，
∴m+n=52，mn=−12，
∴1m+1n=m+nmn=52−12=−5；
(3)∵a+b+2c=8，ab+2c=c2，
∴a+b=8−2c，ab=c2−2c，
∵(a+b)2=(a−b)2+4ab，且(a−b)2≥0，
∴(a+b)2≥4ab，
∴(8−2c)2≥4(c2−2c)，
∴64−32c+4c2≥4c2−8c，
∴32c−8c≤64，
∴24c≤64，
∴c≤83，即c的最大值为83．
【解析】(1)本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系、整体代入法求代数式的值．
先根据一元二次方程的解的定义结合已知得出a，b是一元二次方程x2−4x−2=0的两个不相等的实数根，再根据一元二次方程的根与系数的关系得出a+b，ab的值，最后利用整体代入法即可求出所求代数式的值；
(2)本题主要考查了等式的基本性质、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值．
先根据等式的基本性质、一元二次方程的解的定义结合已知得出m，n是一元二次方程2x2−5x−1=0的两个不相等的实数根，再根据一元二次方程的根与系数的关系得出m+n，mn的值，最后将所求分式利用分式的加减运算法则化简后将m+n，mn的值代入计算即可得解；
(3)本题主要考查了完全平方公式、偶次方的非负性、不等式的基本性质．
先根据已知条件得出a+b=8−2c，ab=c2−2c，再根据完全平方公式结合偶次方的非负性得出(a+b)2≥4ab，即(8−2c)2≥4(c2−2c)，最后根据不等式的基本性质即可求得c的最大值．
21.【答案】解：(1)去括号，得x−4<2x+4
移项，得x−2x<4+4
合并同类项，得 −x<8
系数化为1，得x>−8
不等式的解集在数轴上表示为：
(2)区别：等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0的数，等式仍然成立．
不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等式仍然成立，不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等式改变方向．
【解析】本题主要考查一元一次不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，还考查了等式的基本性质和不等式的基本性质．
(1)解答此题，类比解一元一次方程的方法解一元一次不等式即可，并把解集表示在数轴上．
(2)结合题目，说明等式基本性质2 和不等式基本性质3 的区别即可．
22.【答案】解：∵∠1=35°，∠2=35°，
∴∠1=∠2(等量代换)；
∴AC//BD(同位角相等，两直线平行)
又∵AC⊥AE，
∴∠EAC=90°；
∴∠EAB=∠EAC+∠1=125°(等式的性质)；
同理可得∠FBD+∠2=125°．
即∠EAB=∠FBG．
∴AE//BF(同位角相等，两直线平行)．
【解析】根据平行线的判定和等量代换等，填上证明结果和依据即可．
本题考查平行线的判定和等式的性质．正确理解题目中的证明思路是解题的关键．
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