数学3.5 认识二元一次方程组优秀随堂练习题

这是一份数学3.5 认识二元一次方程组优秀随堂练习题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知方程组x−y=54x−3y+k=0的解也是方程3x−2y=0的解，则k的值是( )
A. k=−5B. k=5C. k=−10D. k=10
2.若关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−4y=3，则关于x，y的二元一次方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解是( )
A. x=−10y=5B. x=10y=−5C. x=−2y=1D. x=−4y=3
3.关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx−y=9k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是( )
A. −34B. 34C. 43D. −43
4.若方程组x+y=a−1,x+2y=4的解也是二元一次方程x−y=1的一个解，则a的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
5.对于二元一次方程组x+2ay=3−a−ax−2y=1，①当a=2时，方程组的解是x=−1y=12，②当a=3时，x+2y=12；③若该方程组无解，则a=±1，以上结论中正确的个数有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
6.已知x=2y=1是方程ax−y=5的一个解，那么a的值为( )
A. −2B. 2C. 3D. 6
7.下面几组数值中，是二元一次方程x+3y=6的解的是( )
A. x=1y=2B. x=2y=2C. x=3y=1D. x=5y=1
8.已知x=1,y=4是方程kx+y=3的一个解，那么k的值是( )
A. 7B. 1C. −1D. −7
9.关于x，y的方程组3x+y=k+1x+3y=3，若2A. −1C. −310.关于x、y的二元一次方程组2x−ay=−1bx+3y=8的解为x=1y=5，则关于m，n的二元一次方程组2(m+n)−a(m−n)=−1b(m+n)+3(m−n)=8的解为( )
A. m=1n=5B. m=5n=1C. m=−2n=3D. m=3n=−2
11.下列方程中，属于二元一次方程的是( )
A. 2x+3y=4zB. 5xy+1=0C. x+4y=6D. x−1=2y
12.若方程组3x+5y=66x+15y=16的解也是方程3x+ky=10的解，则k的值为( )
A. 7B. 172C. 10D. 15
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若关于x，y的二元一次方程组2x+y=4k3x+2y=7k的解也是二元一次方程x+y=12的解，则k的值为______．
14.关于x，y的二元一次方程组x+y=10A=2的解为x=3y=7，则整式A可以是______．
15.已知(m−1)x|m|+y2n−1=3是二元一次方程，则m+n= ______．
16.用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的边长为5，小正方形的面积为4，若x，y表示直角三角形的两直角边长(x>y)，给出下列四个结论：①x2+y2=25；②x−y=2；③2xy=21；④x+y=7；⑤x=4，y=3.其中正确的结论有______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何证明等方面都有广泛的应用．
(1)解方程2x+4y=165x−2y=4；
(2)在(1)的基础上，求方程组2(m+n)+4(m−n)=165(m+n)−2(m−n)=4的解．
18.(本小题8分)
定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次不定方程.例：x+2y=3是二元一次不定方程．
(1)求二元一次不定方程x+2y=3的正整数解；
(2)若笔记本7元一本，水笔4元一支，乐乐用30元恰好买了若干笔记本和水笔，求笔记本和水笔的数量．
19.(本小题8分)
数学课上，张老师给出了一个问题，已知实数x，y满足3x−y=52x+3y=7，求x−4y和7x+5y的值.小红发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，3x−y=5①，2x+3y=7②，由①−②可得x−4y=−2，由①+②×2可得7x+5y=19.小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用.请你参考她的做法，解决下面的问题：
(1)已知二元一次方程x+4y=64x+y=9，求x−y和x+y的值；
(2)八(1)班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需24元；若买7支铅笔、11块橡皮、3本笔记本共需41元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需多少元？
20.(本小题8分)
阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组3(m+5)−2(n+3)=−13(m+5)+2(n+3)=7时，采用了一种“整体换元”的解法.把m+5，n+3看成一个整体，设m+5=x，n+3=y，则原方程组可化为3x−2y=−13x+2y=7，解得x=1y=2，即m+5=1n+3=2，解得m=−4n=−1．
(1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组x+y3+x−y5=4x+y3−x−y5=−2．
(2)拓展提升，已知关于x，y的方程组a1x−b1y=c1a2x−b2y=c2的解为x=3y=4，请直接写出关于m、n的方程组a1(m+2)−b1n=c1a2(m+2)−b2n=c2的解是______．
21.(本小题8分)
(1)已知实数a、b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为 7，y的平方根等于本身，求代数式( cd)2⋅x−|x−3|− (a+b+2022)y2的值．
(2)已知有理数x，y，满足等式x+2y− 2y=10−3 2，求1x−2 y+(3 2+ y)( 4x+2− y)的值．
22.(本小题8分)
一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组ax+by=16 ①bx+ay=1 ②小明把方程①抄错，求得的解为 x=−1 y=3，小文把方程②抄错，求得的解为 x=3 y=2，求原方程组的解．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，先解方程组x−y=53x−2y=0求出x与y，再代入方程4x−3y+k=0中计算，即可求出k的值．
【解答】
解：根据题意得x−y=53x−2y=0,
得：x=−10y=−15，
把x，y代入4x−3y+k=0得：−40+45+k=0，
解得：k=−5．
故选：A．
2.【答案】A
【解析】解：关于x，y的二元一次方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2可化成25a1x+35b1y=c125a2x+35b2x=c2，
∵关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−4y=3，
∴25x=−435y=3，
解得：x=−10y=5，
故选：A．
把关于x，y的二元一次方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2中每个方程的右边的常数项化成系数为1的形式，然后根据关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−4y=3，列出关于x，y的二元一次方程组，解方程方程组即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．
3.【答案】B
【解析】【分析】此题考查的知识点是二元一次方程组的解、二元一次方程的解以及二元一次方程组的解法，关键理解清楚题意，用含k的代数式表示x，y.先用含k的代数式表示x、y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y=6中即可求解．
【解答】
解：∵x+y=5kx−y=9k,
解得：x=7ky=−2k
再代入方程2x+3y=6得：
14k−6k=6，
得：k=34，
故选B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是二元一次方程的解、二元一次方程组的解以及二元一次方程组的解法，解决本题的关键是熟记二元一次方程组的解．
由题意建立关于x，y的新的方程组，求得x，y的值，再代入x+y=a−1中，求得a的值．
【解析】
解：由题意得：x+2y=4x−y=1,
解得：x=2y=1，
将x=2，y=1代入方程x+y=a−1得：
2+1=a−1，
解得a=4，
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：①当a=2时，方程组为x+4y=1−2x−2y=1，
解得：x=−1y=12，
故①正确；
②当a=3时，方程组为x+6y=0−3x−2y=1，
两式相加得：−2x+4y=1，
∴−x+2y=12，
故②错误；
③由第一个方程得：x=3−a−2ay，
代入第二个方程得：−a(3−a−2ay)−2y=1，
化简得：2(a2−1)y=−a2+3a+1，
当a=±1时，2(a2−1)y=0，−a2+3a+1≠0，所以该方程组无解，
故③正确；
故选：C．
①把a=2代入方程组，求解方程组即可；
②把a=3代入方程组，求解方程组即可；
③先消去x，得到关于y的一元一次方程，再根据一元一次方程的一次项系数和常数项判断方程组是否有解．
本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，③先消去x，得到关于y的一元一次方程，再根据一元一次方程的一次项系数和常数项判断方程组是否有解是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵x=2，y=1是方程ax−y=5的一个解，
∴2a−1=5，
解得：a=3，
故选：C．
把x=2，y=1代入方程ax−y=5得出方程2a−1=5，求a的值即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、把x=1y=2代入到二元一次方程x+3y=6中，左边=1+3×2=7，右边=6，方程左右两边不相等，即x=1y=2不是原方程的解，不符合题意；
B、把x=2y=2代入到二元一次方程x+3y=6中，左边=2+3×2=8，右边=6，方程左右两边不相等，即x=2y=2不是原方程的解，不符合题意；
C、把x=3y=1代入到二元一次方程x+3y=6中，左边3+3=6，右边=6，方程左右两边相等，即x=3y=1是原方程的解，符合题意；
D、把x=5y=1代入到二元一次方程x+3y=6中，左边=5+3=8，右边=6，方程左右两边不相等，即x=5y=1不是原方程的解，不符合题意；
故选：C．
分别将四个选项中的数代入到方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案．
本题主要考查了二元一次方程的解，熟知方程的解的定义是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：把x=1y=4代入方程kx+y=3中，得
k+4=3，
解得，k=−1，
故选：C．
把这组解代入方程，得到一个关于未知数k的一元一次方程，解方程求出k的值即可．
本题考查的是二元一次方程的解的概念，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式的解法，是基础知识要熟练掌握．两方程相减得出x−y，再根据2【解答】
解：∵3x+y=k+1x+3y=3,
∴3x+y−(x+3y)=k+1−3，∴x−y=12k−1，
∵2∴1<12k<2，
∴0<12k−1<1，
∴0故选B．
10.【答案】D
【解析】解：设m+n=x′，m−n=y′，
则关于m，n的二元一次方程组2(m+n)−a(m−n)=−1b(m+n)+3(m−n)=8可以转化为2x′−ay′=−1bx′+3y′=8，
∵关于x、y的二元一次方程组2x−ay=−1bx+3y=8的解为x=1y=5，
∴关于x′、y′的二元一次方程组2x′−ay′=−1bx′+3y′=8的解x′=1y′=5，
∴m+n=1①m−n=5②，
①+②得：2m=6，解得m=3，
将m=3代入①得：n=−2，
∴m=3n=−2．
故选：D．
首先设m+n=x′，m−n=y′，则方程组2(m+n)−a(m−n)=−1b(m+n)+3(m−n)=8可以转化为2x′−ay′=−1bx′+3y′=8，由此可得解x′=1y′=5，
进而得m+n=1①m−n=5②，解此方程组即可得出m，n的值．
此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，通过观察两个方程组的特征得出m+n=1m−n=5是解决问题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：A、该方程中含有3个未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意
B、该方程含有未知数的项最高次数是2，不属于二元一次方程，故不符合题意．
C、该方程符合二元一次方程的定义，故符合题意．
D、该方程含有分式，不是二元一次方程，不符合题意．
故选：C．
根据二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程解答即可．
本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．
12.【答案】C
【解析】解：3x+5y=6 ①6x+15y=16 ②，
②−①×2得：5y=4，
y=45，
将y=45代入①得：3x+4=6，
x=23，
∴方程组的解为x=23y=45，
将x=23y=45代入3x+ky=10得：3×23+45k=10，
∴k=10，
故选：C．
先解二元一次方程组，再将二元一次方程组的解代入3x+ky=10，求解即可得到答案．
本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：解方程组2x+y=4k3x+2y=7k，得x=ky=2k，
将x=ky=2k代入方程x+y=12，得3k=12，解得k=4．
故答案为：4．
求方程组的解，将它代入方程x+y=12，求出k的值即可．
本题考查二元一次方程组的解和二元一次方程的解，掌握其求解方法是解题的关键．
14.【答案】x−1(答案不唯一)
【解析】解：∵关于x，y的二元一次方程组x+y=10A=2的解为x=3y=7，
∴x−1=3−1=2，
∴整式A可以是x−1；
故答案是：x−1(答案不唯一)．
根据方程组的解的定义，x=3y=7应该满足方程组的每一个方程，即可得解．
本题主要考查了二元一次方程组的解，准确理解二元一次方程组的定义是解题的关键．
15.【答案】0
【解析】解：由(m−1)x|m|+y2n−1=3是二元一次方程，得，
m−1≠0|m|=12n−1=1，
解得m=−1n=1，
∴m+n=−1+1=0，
故答案为：0．
二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．
本题主要考查二元一次方程的概念，理解二元一次方程的概念是关键．
16.【答案】①②③
【解析】解：给图形标注字母如下：
①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2=AB2=52=25，故选项①正确；
②由图可知，x−y=CE= 4=2，故选项②正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为 4×12×xy+4=25，即2xy=21，故选项③正确；
④由 2xy=21(1)，
又∵x2+y2=25(2)，
∴(1)+(2)得，
x2+2xy+y2=25+21，
整理得，(x+y)2=46，
x+y= 46≠7，故选项④错误，
⑤由④可知，x+y= 46≠7，故选项⑤错误，
∴正确结论有①②③，
故答案为：①②③．
此图被称为“弦图”，根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答，
本题考查勾股定理的证明、二元一次方程的解，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2x+4y=16①5x−2y=4②，
①+②×2得，
12x=24，
x=2，
将x=2代入①得，
4+4y=16，
y=3，
所以原方程组的解为x=2y=3．
(2)由题知，
将m+n和m−n看作一个整体，
则m+n=2m−n=3，
解得m=52n=−12，
所以原方程组的解为m=52n=−12．
【解析】(1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可．
(2)将m+n和m−n看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵x+2y=3，
∴x=3−2y，
∵x、y为正整数，
∴x=1，y=1．
(2)设买笔记本x本，买水笔y支，根据题意，得
7x+4y=30，
∴y=30−7x4，
∵x、y为正整数，
∴x=2，y=4．
答：买笔记本2本，买水笔4支．
【解析】(1)由x+2y=3得x=3−2y，再根据x、y为正整数，可得出方程的解；
(2)设买笔记本x本，买水笔y支，根据金额=单价×数量，列出方程，再求出方程的正整数解即可．
本题考查二元一次方程的应用，求二元一次方程的正整数解是关键．
19.【答案】解：(1)x+4y=6①4x+y=9②，
②−①得：3x−3y=3，
∴x−y=1；
由①+②得：5x+5y=15，
∴x+y=3．
(2)设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，笔记本的单价为z元，
根据题意得：4x+6y+2z=24①7x+11y+3z=41②，
①×2−②得：x+y+z=7，
答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需7元．
【解析】(1)将两个方程相加或相减，即可求解；
(2)设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，笔记本的单价为z元，根据若买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需24元；若买7支铅笔、11块橡皮、3本笔记本共需41元，列出三元一次方程组，利用整体化思想，即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和三元一次方程组是解题的关键．
20.【答案】m=1n=4
【解析】解：(1)对于x+y3+x−y5=4x+y3−x−y5=−2，令m=x+y3,n=x−y5，
则原方程组可化为m+n=4m−n=−2，
解得：m=1n=3，
∴x+y3=1x−y5=3，即x+y=3x−y=15，
解得：x=9y=−6；
(2)∵方程组a1x−b1y=c1a2x−b2y=c2的解是x=3y=4，
∴m+2=3n=4，
解得：m=1n=4．
故答案为：m=1n=4．
(1)根据题意所给材料可令m=x+y3,n=x−y5，则原方程组可化为m+n=4m−n=−2，解出m，n，代入m=x+y，n=x−y，再解出关于x，y的方程组即可；
(2)根据题意所给材料可得出m+2=3n=4，再解出这个方程组即可．
本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”.读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．
21.【答案】解：(1)∵实数a、b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为 7，y的平方根等于本身，
∴a+b=0，cd=1，x=± 7，y=0，
当x= 7时，
( cd)2⋅x−|x−3|− (a+b+2022)y2
=1× 7−| 7−3|−0
= 7+ 7−3
=2 7−3；
当x=− 7时，
( cd)2⋅x−|x−3|− (a+b+2022)y2
=−1× 7−|− 7−3|−0
=− 7+(− 7)−3
=−2 7−3；
(2)∵有理数x，y，满足等式x+2y− 2y=10−3 2，
∴x+2y=10y=3，
解得：x=4y=3，
∴1x−2 y+(3 2+ y)( 4x+2− y)
=14−2 3+(3 2+ 3)(3 2− 3)
=2+ 32+18−3
=1+ 32+15
=16+ 32．
【解析】(1)先求解a+b=0，cd=1，x=± 7，y=0，再分两种情况分别代入计算即可；
(2)先建立方程组x+2y=10y=3，求解x=4y=3，再的代入进行二次根式的运算即可．
本题考查的是相反数，倒数，绝对值，平方根的含义，二元一次方程组的解法，二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键．
22.【答案】解：由ax+by=16①bx+ay=1②小明把方程①抄错，求得的解为x=−1y=3,
得−b+3a=1③，
小文把方程②抄错，求得的解为x=3y=2，得3a+2b=16④，
联立➂➃，得−b+3a=13a+2b=16，解得a=2b=5．
原方程组为2x+5y=16①5x+2y=1②,
①×5−②×2，得21y=78，解得y=267，
把y=267代入②得5x+2×267=1.解得x=−97，
故原方程组的解为x=−97y=267．
【解析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，先由题意得出关于a、b的二元一次方程组是解题关键，再求出原方程组的解．根据小明的算法，可得方程②的x、y值，根据小文的算法，可得方程①的x、y值，把方程x、y的值代入，可得关于a、b方程组，解方程组，可得a、b的值，再解原方程组，可得答案．