江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷+

这是一份江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷+，共15页。试卷主要包含了设a为常数，，f等内容，欢迎下载使用。

1．某校A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（ ）种．
A．18B．36C．60D．72
2．对两组变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为r1，，，第二组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为r2，，，则（ ）
A．若r1＞r2，则第一组变量比第二组的线性相关关系强
B．若，则第一组变量比第二组的线性相关关系强
C．若，则第一组变量比第二组变量拟合的效果好
D．若，则第二组变量比第一组变量拟合的效果好
3．有5个相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是（ ）
A．“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球“是互斥事件
B．“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件
C．“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率
D．“至多取到1个红球“的概率大于“至多取到1个蓝球“的概率
4．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D，其中n（Ω）＝60，n（A）＝30，n（B）＝10，n（C）＝20，n（D）＝30，n（A∪B）＝40，n（A∩C）＝10，n（A∪D）＝60，则（ ）
A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立
C．C与D互斥D．A与C相互独立
5．掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A1：红骰子的点数为2，A2：红骰子的点数为3，A3：两个骰子的点数之和为7，A4：两个骰子的点数之和为9，则（ ）
A．A1与A2对立B．A3与A4不互斥
C．A1与A3相互独立D．A2与A4相互独立
6．抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件A，B，C，则下列说法错误的是（ ）
A．事件A，B，C两两互斥
B．
C．P（B）+P（C）＝4P（A）
D．事件A+B，B+C相互独立
7．甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件ABC分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法正确的是（ ）
A．A，B是对立事件B．事件B，D相互独立
C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）8．设a为常数，，f（x+y）＝f（x）f（a﹣y）+f（y）f（a﹣x），则（ ）
A．
B．恒成立
C．f（x+y）＝2f（x）f（y）
D．满足条件的f（x）不止一个
（多选）9．第一组样本数据x1，x2，…，xn，第二组样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝2xi﹣1（i＝1，2，…，n），则（ ）
A．第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍
B．第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍
C．第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍
D．第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍
（多选）10．已知在伯努利试验中，事件A发生的概率为p（0＜p＜1），我们称将试验进行至事件A发生r次为止，试验进行的次数X服从负二项分布，记作X∼NB（r，p），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则，k＝1，2，3，…
B．若X∼NB（r，p），则P（X＝k）＝pr（1﹣p）k﹣r，k＝r，r+1，r+2，…
C．若X∼NB（r，p），Y∼B（n，p），则P（X≤n）＝P（Y≥r）
D．若X∼NB（r，p），则当k取不小于的最小正整数时，P（X＝k）最大
（多选）11．某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼．学生的体能检测结果X服从正态分布N（75，81），其中60为体能达标线，90为体能优秀线，下列说法正确的有（ ）
附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974．
A．该校学生的体能检测结果的期望为75
B．该校学生的体能检测结果的标准差为81
C．该校学生的体能达标率超过0.98
D．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等
三．填空题（共4小题）
12．若直线y＝kx+b（b＜0）是曲线y＝ex﹣2的切线，也是曲线y＝lnx的切线，则b＝ ．
13．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的曼哈顿距离d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知M（4，6），点N在圆C：x2+y2+6x+4y＝0上运动，若点P满足d（M，P）＝2，则|PN|的最大值为 ．
14．随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 ．（用数字作答）
15．曲线在点M（﹣π，0）处的切线方程为 ．
四．解答题（共2小题）
16．为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）
（1）依据α＝0.1的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；
（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗．已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为，对服用过药物M的动物治愈率为．若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，n＝a+b+c+d．
17．某大学数学建模社团在大﹣新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔．为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置优、良、中三个成绩等级；当参选同学在某个项目中获得“优“或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并进入下一个项目，否则该同学在此项目中不通过，且不能参加后续的项目，通过了全部三个项目的同学进入到数学建模社团．现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中得优、良、中的概率都分别为，，，且甲在每个项目中的成绩均相互独立．
（1）求甲能进入到数学建模社团的概率；
（2）设甲在本次数学建模社团选拔中恰好通过X个项目，求X的概率分布及数学期望．
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：先排3号位置，有3种方法，其它位置任意任意排，再除以AB的顺序数，
故有3•＝36种不同的出场次序，
故选：B．
2．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若|r1|＞|r2|，则第一组变量比第二组的线性相关关系强，A错误；
对于B，若，必有|r1|＞|r2|，则第一组变量比第二组的线性相关关系强，B正确；
对于C，若，则第二组变量比第一组变量拟合的效果好，C错误；
对于D，若，则第一组变量比第二组变量拟合的效果好，D错误．
故选：B．
3．【解答】解：有5个相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，
对于A，“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球“能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
对于C，“至少取到1个红球”的概率P＝＝0.9，
“至少取到1个蓝球”的概率P＝＝0.7，
∴“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率，故C正确；
对于D，“至多取到1个红球”的概率P＝＝0.7，
“至多取到1个蓝球”的概率P＝＝0.9，
∴“至多取到1个红球“的概率小于“至多取到1个蓝球“的概率，故D错误．
故选：C．
4．【解答】解：∵n（A）＝30，n（B）＝10，n（A∪B）＝40，
∴n（A∪B）＝n（A）+n（B），∴A与B互斥，故A错误；
由n（A∪D）＝n（A）+n（D）＝n（Ω）＝60，A、D互斥且对立，故B错误；
n（C）＝20，n（A∩C）＝10，则n（D∩C）＝10，C与D不互斥，故C错误；
由P（A）＝＝，P（C）＝＝，P（A∩C）＝＝，
∴P（A∩C）＝P（A）P（C），∴A与C相互独立，故D正确．
故选：D．
5．【解答】解：对于A，事件A1：红骰子的点数为2，A2：红骰子的点数为3，
A1与A2互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如4，A错误；
对于B，A3：两个骰子的点数之和为7，
A4：两个骰子的点数之和为9，A3与A4不可能同时发生，故A3与A4互斥，B错误；
对于C，两个骰子的点数之和为7的情况有1+6＝2+5＝3+4＝4+3＝5+2＝6+1，
则，
所以P（A1）P（A3）＝P（A1A3），所以A1与A3相互独立，C正确；
对于D，两个骰子的点数之和为9的情况有3+6＝4+5＝5+4＝6+3，
，
所以P（A2）P（A4）≠P（A2A4），D错误．
故选：C．
6．【解答】解：抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件A，B，C，
对于A，事件A，B，C中任意两个事件都不能同时发生，
∴事件A，B，C两两互斥，故A正确；
对于B，P（A）+P（B）+P（C）＝＝，故B正确；
对于C，P（B）+P（C）＝＝，P（A）＝，
∴P（B）+P（C）≠4P（A），故C错误；
对于D，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝＝，
P（B+C）＝P（B）+P（C）＝＝，
P[（A+B）（B+C）]＝P（B）＝＝P（A+B）P（B+C），故D正确．
故选：C．
7．【解答】解：事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故A错误；
事件B发生与否，影响事件D，∴事件B，D不是相互独立事件，故B错误；
P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）
＝++＝，故C正确；
P（CD）＝P（C）P（D|C）＝＝，故D错误．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
8．【解答】解：令x＝y＝0，可得f（0）＝2f（0）f（a），结合f（0）＝，解得f（a）＝，故A正确；
令y＝0，原式化为f（x）＝f（x）f（a）+f（0）f（a﹣x），
代入可得f（x）＝f（a﹣x），所以原式即：f（x+y）＝2f（x）f（y），故C正确；
再令y＝x得f（2x）＝2[f（x）]2≥0，即函数值非负，
令y＝a﹣x，可得f（a）＝2[f（x）]2，即f（x）＝（负值舍去），故B正确；
所以仅有一个函数关系式f（x）＝满足条件，故D错误．
故答案为：ABC．
9．【解答】解：A中，由yi＝2xi﹣1可得，第二组数的平均数＝2﹣1，所以A不正确；
B中，由yi＝2xi﹣1可得第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍减1，所以B不正确；
C中，第一组的标准差S1＝，
第二组的标准差S2＝＝＝2＝2S1，所以C正确；
D中，由yi＝2xi﹣1可知第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍，所以D正确．
故选：CD．
10．【解答】解：对于A选项，因为X，
则P（X＝K）＝，故A对；
对于B选项，因为X～NB（r，p），
则P（X＝k）＝pr﹣1（1﹣p）k﹣rp＝pr（1﹣p）k﹣r，k＝r，r+1，r+2，⋯，故B错；
对于C选项，因为从{1，2，⋯，n}中取出r+j（0≤j≤n﹣r）个数a1＜a2＜⋯＜ar+j的取法有种，
这些取法可按ar的值分类，即ar＝r+i（0≤i≤n﹣r﹣j）时的取法有种，
所以，，
因为X～NB（r，p），Y～B（n，p），设q＝1﹣p，则p+q＝1，
所以
＝
＝
＝＝P（Y≥qr），故C对；
对于D选项，因为X～NB（r，p），P（X＝k）最大，
则，
所以，
解得，
所以，当k取不小于的最小正整数时，P（X＝k）最大，故D对．
故选：ACD．
11．【解答】解：对于A，该校学生的体能检测结果的期望为μ＝75，故A正确，
对于B，该校学生的体能检测结果的标准差为σ＝，故B错误，
对于C，∵μ﹣2σ＝75﹣18＝57＜60，
∴P（X＞60）＜P（X＞μ﹣2σ）＝＜ξ＜μ+2σ）＝0.9772，故C错误，
对于D，∵60+90＝2μ，
∴P（X≤60）＝P（X＞90），
∴该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等，故D正确．
故选：AD．
三．填空题（共4小题）
12．【解答】解：设y＝kx+b与y＝ex﹣2和y＝lnx的切点分别为（x1，）、（x2，lnx2）；
由导数的几何意义可得k＝＝，
曲线y＝ex﹣2在（x1，）处的切线方程为y﹣＝（x﹣x1），
即y＝，
曲线y＝lnx在点（x2，lnx2）处的切线方程为y﹣，
即，
则，
∴，
解得x2＝1，或x2＝e．
当x2＝1时，切线方程为y＝x﹣1，即b＝﹣1，
当x2＝e时，切线方程为y＝，不合题意，
∴b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．【解答】解：M（4，6），点N在圆C：x2+y2+6x+4y＝0上运动，若点P满足d（M，P）＝2，
由题意得，圆C：（x+3）2+（y+2）2＝13，圆心C（﹣3，﹣2）
设点P（x0，y0），则|x0﹣4|+|y0﹣6|＝2，
∴点P的轨迹为如下所示的正方形，其中A（4，8），B（6，6），
∴|AC|＝＝，|BC|＝＝，
∴．
故答案为：．
14．【解答】解：由题意，甲、乙、丙3位运动员站成一排，有种不同的排法，
在三位运动员形成的4个空隙中选3个，插入3个吉祥物，共有＝144种排法．
故答案为：144．
15．【解答】解：曲线的导数为y′＝，
可得曲线在点M（﹣π，0）处的切线斜率为
k＝＝，
即有曲线在点M（﹣π，0）处的切线方程为y＝（x+π），
即为x﹣πy+π＝0．
故答案为：x﹣πy+π＝0．
四．解答题（共2小题）
16．【解答】解：（1）零假设为 H0：药物 M 对预防疾病 A 无效果，根据列联表中的数据，经计算得：
χ2＝≈3.030＞2.706，
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们推断零假设不成立，
即认为药物M对预防疾病A有效果；
（2）设A表示药物N的治愈率，B1表示对未服用过药物M，B2表示服用过药物M，
由题则P（B1）＝＝0.4，且，
P（A）＝P（B1）＝0.6×0.5+0.4×0.75＝0.6，
所以药物N的治愈率P＝0.6＝，则X～B（3，），
所以，
，
，
，
X的分布列如下表所示：
E（X）＝0×．
17．【解答】解：（1）该同学在每个项目中得优、良、中互为互斥事件，由题意得，，解得p＝1，
则甲在每个项目中通过的概率都为，设
事件A为甲能进入数学建模社团，
因甲在每个项目中通过的概率都为，且在每个项目中的成绩均相互独立，
则有，
所以甲能进入数学建模社团的概率为．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，
，
则X的概率分布为：
所以X的数学期望．药物M
疾病A
合计
未患病
患病
未服用
30
15
45
服用
45
10
55
合计
75
25
100
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P