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    江苏省海安高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷(含答案)

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    这是一份江苏省海安高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷(含答案),共10页。试卷主要包含了已知集合,则,命题“”的否定为,已知函数,则下列结论正确的是,若,则,已知函数,则的图象大致是,已知,则,下面的结论中正确的是等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的
    1.已知集合,则( )
    A. B. C. D.
    2.命题“”的否定为( )
    A. B.
    C. D.
    3.已知函数,则下列结论正确的是( )
    A.是偶函数 B.是增函数
    C.是周期函数 D.的值域为
    4.若,则( )
    A. B.
    C. D.
    5.已知函数,则的图象大致是( )
    A. B.
    C. D.
    6.如图,矩形的三个顶点分别在函数的图像上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2,则点的坐标为( )
    A. B. C. D.
    7.已知,则( )
    A. B. C. D.
    8.已知,则( )
    A. B.
    C. D.
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求、全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分
    9.下列函数中,在区间上单调递减的函数是( )
    A. B.
    C. D.
    10.下面的结论中正确的是( )
    A.若,则
    B.若,则
    C.若,则
    D.若,则
    11.已知函数,下列结论中正确的是( )
    A.的图像关于中心对称
    B.的图像关于对称
    C.的最大值为
    D.既是奇函数,又是周期函数
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.已知分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则__________.
    13.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为,第二年的增长率为,则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________.
    14.若存在实数,对任意的,不等式成立,则整数的最大值为__________.(参考数据:)
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(本题13分)如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.
    (1)求证:平面;
    (2)求点到平面的距离.
    16.(本题15分)设数列的各项均为正整数.
    (1)数列满足,求数列的通项公式;
    (2)若是等比数列,且是递减数列,求公比.
    17.(本题15分)已知函数在上单调递增,在上单调递减,设为曲线的对称中心.
    (1)求的值;
    (2)记的角对应的边分别为,若,求边上的高长的最大值.
    18.(本题17分)已知函数.
    (1)当时,求曲线在点处的切线方程;
    (2)当时,求证.
    19.(本题17分)在平面内,若直线将多边形分为两部分,多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等,则称为多边形的一条“等线”,已知为坐标原点,双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2,点为右支上一动点,直线与曲线相切于点,且与的渐近线交于两点,当轴时,直线为的等线.
    (1)求的方程;
    (2)若是四边形的等线,求四边形的面积;
    (3)设,点的轨迹为曲线,证明:在点处的切线为的等线
    江苏省海安中学2025届高三年级学习测试
    数学试卷答案
    解析人:福佑崇文阁
    一、单选题:本大题共8小题,每题5分,共40分在每小题提供的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.1 13. 14.2
    四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.【详解】(1)解:(1)连接,
    在中,,
    同理得,
    因为,所以,
    所以,
    因为
    所以
    所以
    又因为平面平面
    所以平面;
    (2)取中点,则以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系
    则,
    设平面的一个法向量为,
    又,
    所以,令,则,
    则,
    又,
    所以点B到平面的距离为.
    16.【详解】(1)因为,①
    所以当时,,②
    由①-②得,,
    所以,
    经检验,当时,,符合题意,
    所以
    (2)由题设知.
    若,则是递减数列,符合题意.
    若,则当时,,不为正整数,不合题意.
    若,则,当,即时,,这与是递减数列相矛盾,不合题意.
    故公比.
    17.【详解】(1)因为在上单调递增,在上单调递减,
    所以且,所以,可知,
    又由,可知,所以,故,
    由,可得,即.
    (2),
    化简得,
    因为,所以,
    所以,
    又,所以,当且仅当时取等号,
    所以,
    所以,故长的最大值为.
    18.【详解】(1)当,
    所以,而,
    切线方程为,
    即所求切线方程为;
    (2)得定义域为,
    设,则,故是增函数,
    当时,时,,
    所以存在,使得①,
    且时,单调递减,
    时,单调递增,
    故②,由①式得③,
    将①③两式代入②式,结合
    得:,
    当且仅当时取等号,结合(2)式可知,此时,
    故恒成立.
    19.【详解】(1)由题意知,显然点在直线的上方,
    因为直线为的等线,所以,
    解得,所以的方程为
    (2)设,切线,代入得:
    故,
    该式可以看作关于的一元二次方程,
    所以,即方程为
    当的斜率不存在时,也成立
    渐近线方程为,不妨设在上方,
    联立得,故,
    所以是线段的中点,因为到过的直线距离相等,
    则过点的等线必定满足:到该等线距离相等,
    且分居两侧,所以该等线必过点,即的方程为,
    由,解得,故.
    所以,
    所以,
    所以,所以
    (3)
    设,由,所以,
    故曲线的方程为
    由(*)知切线为,也为,即,即
    易知与在的右侧,在的左侧,分别记到的距离为,
    由(2)知,
    所以
    由得
    因为,
    所以直线为.等线.1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    B
    C
    D
    C
    B
    A
    D
    B
    9
    10
    11
    AC
    ACD
    ABD
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