江苏省无锡市惠山区玉祁高中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com江苏省无锡玉祁高中2019-2020学年高一下学期期中考试

数学试题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1.直线的倾斜角为（    ）

A. 30° B. 45° C. 120° D. 150°

【答案】B

【解析】

【分析】

将直线方程变为斜截式，根据斜率与倾斜角关系可直接求解，即可求得答案.

【详解】直线

变形为

设倾斜角为

则

故选：B.

【点睛】本题考查了直线方程中倾斜角与斜率的关系，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

2.一个三角形的两个内角分别为和，如果角所对边的长为6，那么角所对边的长为（    ）

A. 3 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设角所对的边长为x，由角所对的边长为6，根据正弦定理即得解.

【详解】设角所对的边长为x，因为角所对的边长为6，根据正弦定理得：

故选：B

【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.

3.直线与平行，则的值为（    ）

A. 1 B. 或0 C.  D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】

当两条直线斜率不存在时，即，研究是否满足题意，当两条直线存在时，根据直线平行的结论，得到关于的方程，解得到答案.

【详解】直线与，

当两条直线的斜率不存在时，即，

此时，两条直线方程分别为和，满足题意，

当两条直线的斜率存在时，

由两直线平行，得，

解得，

综上，满足题意的的值为或.

故选B.

【点睛】本题考查根据两条直线的平行关系，求参数的值，属于简单题.

4.在中，，，是方程的根，则（    ）

A. 4 B. 6 C. 12 D. 24

【答案】B

【解析】

【分析】

由为的根，求出方程的解得到的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，由，及的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积．

【详解】解：为方程的一个根，

或（舍去），

又为三角形的内角，

，又，，

则．

故选：．

【点睛】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：一元二次方程的解，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．

5.过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（   ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

【答案】B

【解析】

当截距相等均为0时，直线方程为；

当截距相等不为0时，设方程为，代入点得，直线方程为，所以共有2条，故选择B.

6.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)

A. a km B. a km

C. akm D. 2akm

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据题意确定的值，再由余弦定理可直接求得的值．

【详解】在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.

故选:B.

【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．

7.圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

作出图象，由圆心到直线的距离为，求得，即可得到答案.

【详解】由题意，设直线与圆交于两点，

弦的中点为，则，如图所示，

由圆的圆心坐标为，半径为，

则圆心O到直线的距离为，

在直角中，，所以，

所以，

即截得的劣弧所对的圆心角的大小为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用圆的性质和点到直线的距离公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.

8.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】

因为直线恒过定点，结合，，可求．

【详解】解：因为直线恒过定点，

又因为，，

故直线的斜率的范围为．

故选：．

【点睛】本题主要考查了直线斜率的求解，属于基础题．

9.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

求出以为直径的圆的方程，然后与相减得到的方程即为所求.

【详解】因为以为直径的圆的方程为：

与相减：

化简得.

即为直线的方程.

故选：B

【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

10.圆上到直线的距离为1的点的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】

由圆的方程确定出半径和圆心坐标，求出圆心到已知直线的距离，即可判断圆上到直线的距离为1的点的个数.

【详解】由得，即圆心为，半径为，

则圆心到直线的距离，

所以圆上到直线的距离为1的点的个数为4.

故选：D

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，是基础题.

二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共计10分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

11.对于，有如下命题，其中正确的有（    ）

A. 若，则为等腰三角形

B. 若，则为直角三角形

C. 若，则为钝角三角形

D. 若，，，则的面积为或

【答案】CD

【解析】

【分析】

通过三角函数与角的关系判断三角形的形状，从而判定A，B的正误；利用正弦定理与余弦定理判断C的正误；利用正弦定理及三角形面积公式判断D的正误.

【详解】对于A：，或，

或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

对于B: ，或，所以不一定是直角三角形，故B错误；

对于C：，，

由正弦定理得，又，所以角为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；

对于D: ，，，，又，

或，或，或，故D正确.

故选：CD

【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生逻辑推理与运算求解能力.

12.在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是()

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】

先得到的轨迹方程为圆，与直线有交点，得到的范围，得到答案.

【详解】

所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形

即

在直线上，圆心距

计算得到

故答案选AB

【点睛】本题考查了圆的切线问题，通过切线垂直得到的轨迹方程是解题的关键.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）

13.圆C1：与圆C2：的位置关系为_______．

【答案】相交

【解析】

【分析】

将圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，可得圆心距，即可得出结论．

【详解】解：圆O1：x2+y2+6x﹣7＝0，化为标准方程为（x+3）2+y2＝16，圆心为（﹣3，0），半径为4，

圆O2：x2+y2+6y﹣27＝0，化为标准方程为x2+（y+3）2＝36，圆心为（0，﹣3），半径为6，

圆心距为3

∵6﹣4＜36+4，

∴两圆相交，

故答案为相交．

【点睛】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查学生的计算能力，比较基础．

14.如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点，测得塔顶的仰角为，由向塔前进30米后到点，测得塔顶的仰角为，再由向塔前进米后到点后，测得塔顶的仰角为，则塔高为______米．

【答案】15

【解析】

【分析】

在三角形中由余弦定理得，可求出，最后在中，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，因为，∴，

，∴，

三角形中由余弦定理得 ，

∴，∴，

∴，∴．

故答案为15米．

【点睛】本题主要考查了正、余弦定理解三角形的实际应用问题，其中解答中根据图形，在中，合理应用正弦定理、余弦定理，以及直角三角形的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

15.已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得，代入整理得，利用基本不等式求得最值.

【详解】解：圆的圆心为，

则到直线的距离为，

由直线截圆所得的弦长为可得

，整理得，

解得或(舍去)，令

，

又，当且仅当时等号成立,

则

.

故答案为：.

【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变成能用基本不等式求最值的形式，也可用换元法进行变形，是中档题.

16.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为2，动点P满足，当不共线时，三角形面积的最大值是_______________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先求动点的轨迹方程，再根据圆的性质求三角形面积的最大值.

【详解】以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，

则，，

，

化简为： ，

整理为：，

圆是以为圆心，半径，

，

当点到的距离最大时，三角形面积最大，距离的最大值是，

面积的最大值是.

故答案为：

【点睛】本题考查轨迹方程，与圆有关的面积的最值，意在考查数形结合分析问题的能力，属于中档题型.

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.在内角的对边分别为，已知.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）6

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理及题设，得到等式，由代入等式得到关于的三角方程，再求得角的值；

（2）根据（1）中结论，利用余弦定理得到关于的方程，求出，利用面积公式求得面积．

详解】（1）由正弦定理及题设得：，

又 

所以，即，

因为，所以．

（2）由余弦定理可得：，

解得或（舍），

因为．

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形内角和、三角形面积公式等知识，考查运算求解能力，求得，要注意写上条件，才能得到．

18.己知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：

（1）直线方程

（2）顶点的坐标

（3）直线的方程

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

试题分析：（1）由,设方程为，将点的坐标代入，即可求解直线方程；（2）联立所在的直线方程与所在直线方程，即可求得点坐标；（3）设，得中点点坐标满足所在的直线方程为，代入方程组，求解点，进而得到直线的方程.

试题解析：（1）,设方程为：，

将点坐标代入得，，所以直线.

（2）联立所在的直线方程与所在直线方程，,得点坐标.

（3）设，则中点坐标为点坐标满足所在的直线方程为所在直线方程，代入得方程组，

故点坐标为，根据两点式，得直线方程为：.

考点：直线方程的求解.

19.已知圆：，直线过点.

（1）判断点与圆的位置关系；

（2）当直线与圆相切时，求直线的方程；

（3）当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长.

【答案】（1）圆外；（2）和；（3）．

【解析】

【分析】

（1）把点坐标代入圆的方程可判断；

（2）讨论斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设切线方程为，由圆心到切线距离等于半径求出，得切线方程．

（3）写出直线方程，求得圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．

【详解】（1）因为，所以点在圆外．

（2）过与轴垂直的直线是圆的切线，过与轴不垂直的直线设方程为，即，，

所以，解得，切线方程为，即．

所以所求切线方程为和；

（3）由题意直线方程为，即，

圆心到直线的距离为，又

所以弦长为．

【点睛】本题考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系．过圆上的点的圆的切线只有一条，过圆外一点的圆的切线有两条，可分类讨论，分斜率存在和不存在两类．在求直线与圆相交弦长时，一般用几何方法求解，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算．

20.某同学解答一道解析几何题：“已知直线l：与x轴的交点为A，圆O：经过点A．

（Ⅰ）求r的值；

（Ⅱ）若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求．”

该同学解答过程如下：

解答：（Ⅰ）令，即，解得，所以点A的坐标为．

因为圆O：经过点A，所以．

（Ⅱ）因为．所以直线AB的斜率为．

所以直线AB的方程为，即．

代入消去y整理得，

解得，．当时，．所以点B的坐标为．

所以．

指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程．

【答案】直线AB的斜率为不对，见解析

【解析】

【分析】

根据：两直线垂直（直线斜率都存在），对应的直线斜率乘积为，判断出对应的直线方程的斜率错误.

【详解】因为，所以直线AB的解率为．

所以直线AB的方程为，即．

代入消去x整理得，解得，．

当时，．所以B的坐标为．

所以．

【点睛】本题考查直线与圆的综合应用以及两直线垂直时对应的斜率关系的判断，难度一般.当两条直线 的斜率都存在且为时，若，则有.

21.河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距离水面，拱圈内水面宽，一条船在水面以上部分高，船顶部宽，故通行无阻，今日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身至少应该降低多少米？（精确到0.01，参考数据：）

【答案】船身应该至少降低0.38m

【解析】

【分析】

试题分析：建立坐标系，确定圆的方程，再令x=2，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少

试题解析：设正常水位时水面与拱桥交点分别为，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，设拱桥所在圆方程为．

所以

解得

所以圆方程为

当，可得当时，

故有

∴为使船能通过桥洞，船身应该至少降低0.38m ．

考点：圆方程的综合应用

【详解】

22.在平面直角坐标系中，已知直线∶和圆∶，是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为.

（1）若，求点坐标；

（2）若圆上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围；

（3）设线段的中点为，与轴的交点为，求线段长的最大值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）先求出到圆心的距离为，设，解方程即得解；（2）设，若圆上存在点，使得，分析得到，即，解不等式得解；（3）设，可得所在直线方程：，点的轨迹为：，根据求出最大值得解.

【详解】（1）若，则四边形为正方形，

则到圆心的距离为，

∵在直线上，设

故，解得，故；

（2）设，若圆上存在点，使得，

过作圆的切线，，∴，∴，

在直角三角形中，∵，

∴，即，∴，

∴，解得，

∴点横坐标的取值范围为：；

（3）设，则以为直径的圆的方程为

化简得，与联立，

可得所在直线方程：，

联立，得，

∴的坐标为，

可得点的轨迹为：，

圆心，半径.其中原点为极限点（也可以去掉）.

由题意可知，∴.

∴.

∴线段的最大值为.

【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆中的轨迹问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.