江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高二数学上第一次月考试卷【含答案】

这是一份江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高二数学上第一次月考试卷【含答案】，共16页。试卷主要包含了已知平面α的一个法向量为＝，设A，设定点A，已知直线l经过点等内容，欢迎下载使用。
1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面α的一个法向量为＝（1，2，1），A（1，0，﹣1），B（0，﹣1，1），且A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）
A．B．C．D．1
3．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基向量，，表示向量，设＝x+y+z，则x、y、z的值分别是（ ）
A．x＝，y＝，z＝B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝D．x＝，y＝，z＝
4．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为（8，6，4），则向量在基底下的坐标是（ ）
A．（10，12，14）B．（14，12，10）
C．（12，14，10）D．（4，3，2）
5．设A（﹣2，3），B（1，2），若直线ax﹣y﹣1＝0与线段AB相交，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，3]B．（﹣2，3）
C．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）
6．设定点A（2，1），B是x轴上的动点，C是直线y＝x+1上的动点，则△ABC周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点H在棱AA1上，且，在侧面BCC1B1内作边长为的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P运动时，HP的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．已知直线l经过点（3，4），且点A（﹣2，2），B（4，﹣2）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（ ）
A．2x+3y﹣18＝0B．2x﹣y﹣2＝0
C．x+2y+2＝0D．2x﹣3y+6＝0
（多选）9．在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝3，AA′＝1，以D为原点，以分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．BD′⊥AC
B．平面A′C′D的一个法向量为（﹣2，﹣3，6）
C．异面直线A′D与BD′所成角的余弦值为
D．平面C′A′D与平面A′DD′夹角的余弦值为
（多选）10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过直线EF的平面分别与棱BB1，DD1交于M，N．设BM＝x，x∈[0，1]，以下正确的是（ ）
A．平面MENF⊥平面BDD1B1
B．当且仅当时，四边形MENF的面积最小
C．四边形MENF的周长L＝f（x），x∈[0，1]是单调函数
D．四棱锥C1﹣MENF的体积V保持不变
三．填空题（共3小题）
11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与面ABB1A1所成的角为 ．
12．直线l经过A（2，1），B（1，m2）两点（m∈R），那么直线l的倾斜角的取值范围是 ．
13．正四面体ABCD的棱长为12，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点P到AD的距离为 ．
四．解答题（共2小题）
14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3．
（1）求点D到平面PBC的距离；
（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
15．如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在轴正半轴上，点B在第一象限内．
（1）若|AB|＝3，求△OAB的面积的最大值和取得△OAB面积最大值时的直线AB的方程；
（2）设|OA|＝a，|OB|＝b，若，求证：直线AB过一定点，并求出此定点的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：因为空间向量，，
所以＝10，，
所以向量在向量上的投影向量为＝．
故选：C．
2．【解答】解：＝（﹣1，﹣1，2）故点A到平面α的距离为，
故选：B．
3．【解答】解：∵M、N分别是对边OA、BC的中点，∴，．
∴＝＝＝＝
＝
＝，
因此，．
故选：D．
4．【解答】解：由已知得＝
＝+6（）+4（）
＝12+14+10
＝（12，14，10）．
故选：C．
5．【解答】解：如下图，
直线ax﹣y﹣1＝0过定点C（0，﹣1），斜率为a，且与线段AB相交，
即过定点C（0，﹣1），斜率为a的直线l绕点C从CB逆时针旋转到CA，
中间经过y轴，则a≤kCA或a≥kCB，
因为，，
所以则a≤﹣2或a≥3，
即a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．
故选：D．
6．【解答】解：设定点A（2，1），B是x轴上的动点，C是直线y＝x+1上的动点，
如图，设点A（2，1）关于直线l：y＝x+1的对称点为A′（x1，y1），
则由AA′⊥l，AA′的中点在直线l上可得：
，解得，即A′（0，3），
作点A（2，1）关于x轴的对称点A″（2，﹣1），
连接A′A″，交直线y＝x+1于点C，交x轴于点B，
则AC＝A′C，AB＝A″B，此时△ABC周长最小，
∴△ABC周长的最小值为．
故选：B．
7．【解答】解：根据题意，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，设P（x，1，z），（0≤x≤1，0≤z≤1）
∵点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，
∴，
化简得，
则6x﹣1≥0，解不等式可得，又0≤z≤1，可得≤，解得x≤，
综上可得≤x≤．
，
所以当时，HP取最小值．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
8．【解答】解：直线l经过点（3，4），且点A（﹣2，2），B（4，﹣2）到直线l的距离相等，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，
此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，
此时不成立；
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣3），即kx﹣y+4﹣3k＝0，
∴点A（﹣2，2），B（4，﹣2）到直线l的距离相等，
∴＝，
解得k＝﹣，或k＝2，
当k＝﹣时，直线l的方程为，整理得2x+3y﹣18＝0，
当k＝2时，直线l的方程为y﹣4＝2（x﹣3），整理得2x﹣y﹣2＝0．
综上，直线l的方程可能为2x+3y﹣18＝0或2x﹣y﹣2＝0．
故选：AB．
9．【解答】解：由题意可得A（3，0，0），B（3，2，0），C（0，2，0），D′（0，0，1），A′（3，0，1），C′（0，2，1），B′（3，2，1），
选项A：，，即BD′⊥AC不成立；
选项B：设平面A′C′D的一个法向量为，
由，
则，即，
所以，取z＝6，
得；
选项C：，
所以，
所以异面直线A′D与BD′所成角的余弦值为；
选项D：由上可得平面A′C′D的一个法向量为，
又平面A′DD′的法向量为，
则，
所以两个平面夹角的余弦值为，则D正确．
故选：BD．
10．【解答】解：对于A，连接EF，BD，B1D1，AC，
E，F分别是棱AA1，CC1的中点，则，
由BB1∥FC且EA∥BB1，得EA∥FC，则四边形EACF是平行四边形，
则EF∥AC，由正方形ABCD中，AC⊥BD，
由BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥AC，又BB1∩BD＝B，
BB1⊂平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1，
则AC⊥平面BDD1B1，则EF⊥平面BDD1B1，
又EF⊂平面MENF，所以平面MENF⊥平面BDD1B1，故A正确；
对于B，连接MN，
过直线EF的平面分别与棱BB1，DD1交于M，N，
即平面EMFN∩平面A1B1BA＝EM，平面EMFN∩平面D1C1CD＝NF，
平面A1B1BA∥平面D1C1CD，
所以EM∥NF，同理可得EN∥MF，
则四边形MENF是平行四边形，
因为EF⊥平面BDD1B1，
MN⊂平面BDD1B1，所以EF⊥MN，
所以四边形MENF是菱形．
设MN∩EF＝O，则O为EF的中点，
如图，在正方形BCC1B1中，过M作MM1⊥C1C，垂足为M1，
则，
在Rt△MOF中，
，
则，
四边形MENF的对角线，
四边形MENF的面积，
所以当且仅当时，四边形MENF的面积最小，且最小值为1，故B正确；
对于C，因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．
则四边形MENF的周长，
即，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以函数L＝f（x），x∈[0，1]不单调，故C错误；
对于D，四棱锥可分割为两个小三棱锥，
它们以C1EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥M﹣C1EF，N﹣C1EF，
因为三角形C1EF的面积是常数，
又BB1∥CC1，CC1⊂平面A1ACC1，BB1⊄平面A1ACC1，
则BB1∥平面A1ACC1，又点M∈BB1，
则M到平面C1EF的距离即点B到平面AA1C1C的距离，是常数，
同理，则N到平面C1EF的距离也是常数，
所以四棱锥C1﹣MENF的体积是常数，
即四棱锥C1﹣MENF的体积V保持不变，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
11．【解答】解：取A1B1中点D，连结C1D，AD，
∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，
∴C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，
∵A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面ABB1A1，
∴AC1与面ABB1A1所成的角为∠DAC1，
∵C1D＝＝，AD＝＝3，
∴tan∠DAC1＝＝，∴∠DAC1＝．
∴AC1与面ABB1A1所成的角为．
故答案为：．
12．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ，0≤θ＜π，
根据斜率的计算公式，可得AB的斜率为 K＝＝1﹣m2，
易得k≤1，
由倾斜角与斜率的关系，即tanθ≤1，
由正切函数的图象，可得θ的范围是．
13．【解答】解：由正四面体ABCD的棱长为12，则其高为，
则其体积为，
设正四面体ABCD内切球的半径为r，
则，解得，
如图，取AD的中点为E，
则，
显然，当PE的长度最小时，取得最小值，
设正四面体内切球的球心为O，可求得，
则球心O到点E的距离，
所以内切球上的点P到点E的最小距离为，
即当取得最小值时，点P到AD的距离为．
故答案为：．
四．解答题（共2小题）
14．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥PA，又AB⊥BC，且AB∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB，
在平面PAB内作AH⊥PB，垂足点为H，
则易得AH⊥平面PBC，
∴A到平面PBC的距离为AH，
又AB＝AP＝1，且易得AP⊥AB，
∴AH＝PB＝，
易知AD∥平面PBC，
∴点D到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离，
∴点D到平面PBC的距离为AH＝；
（2）易知AP，AB，AD两两相互垂直，建系如图，
∵AB＝1，AD＝3，∠ADC＝45°，∴可得BC＝2，
∴B（1，0，0），P（0，0，1），C（1，2，0），D（0，3，0），
∴，，，
设平面PBC的法向量为，平面PCD的法向量为，
则，，
取，，又两法向量同时指向二面角B﹣PC﹣D的外部，
∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为：
﹣cs＜，＞＝＝＝．
15．【解答】解：（1）设．
由|AB|＝3，得（m﹣n）2+3n2＝9，即m2+4n2﹣2mn＝9．
∵，
∴，
当且仅当时取等号．
所以△OAB的面积，
当△OAB的面积取最大值时，，
直线AB的方程为：y＝，即．
（2）证明：，
若直线AB的斜率不存在，有，又，解得，
即直线AB的方程为；
若直线AB的斜率存在，则直线AB的方程，
化简得，
两边同除，又，
所以，整理得，
得过定点所以直线AB恒过定点．