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苏科版（2024）八年级上册第一章 全等三角形1.3 探索三角形全等的条件学案设计
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这是一份苏科版（2024）八年级上册第一章 全等三角形1.3 探索三角形全等的条件学案设计，共23页。学案主要包含了知识点归纳，知识点一，知识点二，知识点三，题型展示与方法点拨，中考链接与拓展延伸等内容，欢迎下载使用。
【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL）
（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
（2）书写格式：
如图，在Rt△ABC和△Rt中，
【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法
判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等.
【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路
已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；
已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”;
已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用“HL”证明直角三角形全等
【例1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
【变式1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充的条件是 ．
【题型2】全等的性质与“HL”综合
【例2】（2024·四川达州·一模）如图，在中，，于点D，，且，过C作．
（1）求证：；
（2）求证：．
【变式1】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，，，点A，D和B，C分别在直线和上，点E在上，，，，则的值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【变式2】如图，点D在上，于点E，交AC于点F，．若，则 ．
【题型3】全等三角形的综合问题
【例3】（22-23八年级上·重庆綦江·期末）综合与探究：
如图，在和中，，，，的延长线交于点．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
（3）过点作于点，请探究、、三条线段的数量关系，并证明．
【变式1】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ）
A．④⑤B．①②C．③⑤D．①②③
【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，，对角线平分，那么为 度．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】 （2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
【例2】（2019·湖北孝感·中考真题）如图，已知，与交于点，，求证：.
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
（1）如图，平分，，探究、与之间的关系．
解决此问题可以用如下方法：在上截，易证，则，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的数量关系是．（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长）
（2）问题解决：如图，在四边形中，，，、分别是边，边上的两点，且，求证：．
（3）问题拓展：如图，在中，，，平分的外角，交延长线于点，是上一点，且．求证：．
【例2】（22-23七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）综合与探究
如图，在和中，，，，的延长线交于点F．
（1）求证：．
（2）若，请直接写出的度数．
（3）过点A作于点H，求证：．
专题1.7 探索三角形全等的条件（HL）（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL）
（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
（2）书写格式：
如图，在Rt△ABC和△Rt中，
【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法
判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等.
【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路
已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；
已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”;
已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用“HL”证明直角三角形全等
【例1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到，，由，得到，利用即可证明．
证明：∵与分别为，边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据已知公共边为，根据只要找到对应的直角边或，即可求解．
解：在与中，
∴，
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充的条件是 ．
【答案】
【分析】根据证明两个直角三角形全等，需满足一组直角边、一组斜边分别相等，由此可得答案．
解：由题意知，在和都是直角三角形，已有一组直角边相等，
若要用“斜边、直角边”直接证明，还需满足“斜边相等”，
因此还需补充的条件是，
故答案为：．
【题型2】全等的性质与“HL”综合
【例2】（2024·四川达州·一模）如图，在中，，于点D，，且，过C作．
（1）求证：；
（2）求证：．
【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）证明，即可得到结论；
（2）先证明，再证明即可得到结论．
（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，，，点A，D和B，C分别在直线和上，点E在上，，，，则的值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】运用方法判定，得，进而求解．
解：∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
【变式2】如图，点D在上，于点E，交AC于点F，．若，则 ．
【答案】/55度
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案．
解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【题型3】全等三角形的综合问题
【例3】（22-23八年级上·重庆綦江·期末）综合与探究：
如图，在和中，，，，的延长线交于点．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
（3）过点作于点，请探究、、三条线段的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)，证明见解析
【分析】（1）可利用证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得，结合平角的定义可得，根据，可求得，即可求解；
（3）连接，过点A作于点J．结合全等三角形的性质利用证明，可得，，进而可证明结论．
（1）证明：．
．
在和中，
，
；
（2）解： ，
，
．
，
，
；
（3）结论：
证明：如图，连接，过点作于点．
，
，，
，．
，
．
在和中，
，
，
．
在和中，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
【变式1】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ）
A．④⑤B．①②C．③⑤D．①②③
【答案】C
【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误．
解：∵E、F分别是上的任意点，
∴与不一定相等，故①错误；
∵于点于点D，
∴，
∵，
∴的另一个条件是，
∵与不一定相等，
∴与不一定全等，故②错误；
延长到点G，使，连接，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∴平分，故③⑤正确；
若平分，而，
∴，与题干信息矛盾，故④错误；
故选C
【点拨】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，，对角线平分，那么为 度．
【答案】59
【分析】延长，过点D作，，根据条件证明可得，过点D作，证明，，运用三角形内角和即可求解．
解：延长，过点D作，，如图，
∴，
∵对角线平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴平分，
过点D作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查几何问题，涉及到角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】 （2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
【答案】(1)二 (2)见解析
【分析】（1）根据证明过程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
【例2】（2019·湖北孝感·中考真题）如图，已知，与交于点，，求证：.
【分析】由证明得出，由等腰三角形的判定定理即可得出结论．
解：∵，
∴和是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
（1）如图，平分，，探究、与之间的关系．
解决此问题可以用如下方法：在上截，易证，则，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的数量关系是．（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长）
（2）问题解决：如图，在四边形中，，，、分别是边，边上的两点，且，求证：．
（3）问题拓展：如图，在中，，，平分的外角，交延长线于点，是上一点，且．求证：．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）延长到，使，证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质证明；
（3）作于，在上截取，分别证明，，根据全等三角形的性质证明．
【详解】（1）解：
在上截，
∵平分，
∴，又
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴
∴；
（2）证明：延长到，使，
，，
，
在和中，
，
（），
，，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
；
（3）证明：作于，在上截取，
点是外角平分线上一点，，，
DE=DH，，
在和中，
（）
，
在和中，
，
（）
，
，
，
则
．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【例2】（22-23七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）综合与探究
如图，在和中，，，，的延长线交于点F．
（1）求证：．
（2）若，请直接写出的度数．
（3）过点A作于点H，求证：．
【答案】(1)见解析； (2)；(3)见解析
【分析】（1）可利用证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得，结合平角的定义可得，根据，可求得，即可求解；
（3）连接，过点A作于点J．结合全等三角形的性质利用证明，可得，，进而可证明结论．
（1）证明：∵．
∴．
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴；
（3）证明：如图，连接，过点A作于点J．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
∴．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL）
（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
（2）书写格式：
如图，在Rt△ABC和△Rt中，
【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法
判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等.
【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路
已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；
已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”;
已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用“HL”证明直角三角形全等
【例1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
【变式1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充的条件是 ．
【题型2】全等的性质与“HL”综合
【例2】（2024·四川达州·一模）如图，在中，，于点D，，且，过C作．
（1）求证：；
（2）求证：．
【变式1】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，，，点A，D和B，C分别在直线和上，点E在上，，，，则的值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【变式2】如图，点D在上，于点E，交AC于点F，．若，则 ．
【题型3】全等三角形的综合问题
【例3】（22-23八年级上·重庆綦江·期末）综合与探究：
如图，在和中，，，，的延长线交于点．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
（3）过点作于点，请探究、、三条线段的数量关系，并证明．
【变式1】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ）
A．④⑤B．①②C．③⑤D．①②③
【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，，对角线平分，那么为 度．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】 （2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
【例2】（2019·湖北孝感·中考真题）如图，已知，与交于点，，求证：.
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
（1）如图，平分，，探究、与之间的关系．
解决此问题可以用如下方法：在上截，易证，则，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的数量关系是．（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长）
（2）问题解决：如图，在四边形中，，，、分别是边，边上的两点，且，求证：．
（3）问题拓展：如图，在中，，，平分的外角，交延长线于点，是上一点，且．求证：．
【例2】（22-23七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）综合与探究
如图，在和中，，，，的延长线交于点F．
（1）求证：．
（2）若，请直接写出的度数．
（3）过点A作于点H，求证：．
专题1.7 探索三角形全等的条件（HL）（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL）
（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
（2）书写格式：
如图，在Rt△ABC和△Rt中，
【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法
判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等.
【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路
已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；
已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”;
已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用“HL”证明直角三角形全等
【例1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到，，由，得到，利用即可证明．
证明：∵与分别为，边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据已知公共边为，根据只要找到对应的直角边或，即可求解．
解：在与中，
∴，
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充的条件是 ．
【答案】
【分析】根据证明两个直角三角形全等，需满足一组直角边、一组斜边分别相等，由此可得答案．
解：由题意知，在和都是直角三角形，已有一组直角边相等，
若要用“斜边、直角边”直接证明，还需满足“斜边相等”，
因此还需补充的条件是，
故答案为：．
【题型2】全等的性质与“HL”综合
【例2】（2024·四川达州·一模）如图，在中，，于点D，，且，过C作．
（1）求证：；
（2）求证：．
【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）证明，即可得到结论；
（2）先证明，再证明即可得到结论．
（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，，，点A，D和B，C分别在直线和上，点E在上，，，，则的值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】运用方法判定，得，进而求解．
解：∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
【变式2】如图，点D在上，于点E，交AC于点F，．若，则 ．
【答案】/55度
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案．
解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【题型3】全等三角形的综合问题
【例3】（22-23八年级上·重庆綦江·期末）综合与探究：
如图，在和中，，，，的延长线交于点．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
（3）过点作于点，请探究、、三条线段的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)，证明见解析
【分析】（1）可利用证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得，结合平角的定义可得，根据，可求得，即可求解；
（3）连接，过点A作于点J．结合全等三角形的性质利用证明，可得，，进而可证明结论．
（1）证明：．
．
在和中，
，
；
（2）解： ，
，
．
，
，
；
（3）结论：
证明：如图，连接，过点作于点．
，
，，
，．
，
．
在和中，
，
，
．
在和中，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
【变式1】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ）
A．④⑤B．①②C．③⑤D．①②③
【答案】C
【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误．
解：∵E、F分别是上的任意点，
∴与不一定相等，故①错误；
∵于点于点D，
∴，
∵，
∴的另一个条件是，
∵与不一定相等，
∴与不一定全等，故②错误；
延长到点G，使，连接，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∴平分，故③⑤正确；
若平分，而，
∴，与题干信息矛盾，故④错误；
故选C
【点拨】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，，对角线平分，那么为 度．
【答案】59
【分析】延长，过点D作，，根据条件证明可得，过点D作，证明，，运用三角形内角和即可求解．
解：延长，过点D作，，如图，
∴，
∵对角线平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴平分，
过点D作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查几何问题，涉及到角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】 （2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
【答案】(1)二 (2)见解析
【分析】（1）根据证明过程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
【例2】（2019·湖北孝感·中考真题）如图，已知，与交于点，，求证：.
【分析】由证明得出，由等腰三角形的判定定理即可得出结论．
解：∵，
∴和是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
（1）如图，平分，，探究、与之间的关系．
解决此问题可以用如下方法：在上截，易证，则，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的数量关系是．（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长）
（2）问题解决：如图，在四边形中，，，、分别是边，边上的两点，且，求证：．
（3）问题拓展：如图，在中，，，平分的外角，交延长线于点，是上一点，且．求证：．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）延长到，使，证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质证明；
（3）作于，在上截取，分别证明，，根据全等三角形的性质证明．
【详解】（1）解：
在上截，
∵平分，
∴，又
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴
∴；
（2）证明：延长到，使，
，，
，
在和中，
，
（），
，，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
；
（3）证明：作于，在上截取，
点是外角平分线上一点，，，
DE=DH，，
在和中，
（）
，
在和中，
，
（）
，
，
，
则
．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【例2】（22-23七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）综合与探究
如图，在和中，，，，的延长线交于点F．
（1）求证：．
（2）若，请直接写出的度数．
（3）过点A作于点H，求证：．
【答案】(1)见解析； (2)；(3)见解析
【分析】（1）可利用证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得，结合平角的定义可得，根据，可求得，即可求解；
（3）连接，过点A作于点J．结合全等三角形的性质利用证明，可得，，进而可证明结论．
（1）证明：∵．
∴．
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴；
（3）证明：如图，连接，过点A作于点J．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
∴．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
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