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2024-2025学年广西玉林博白县九上数学开学学业水平测试试题【含答案】
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这是一份2024-2025学年广西玉林博白县九上数学开学学业水平测试试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在一组数据3，4，4，6，8中，下列说法错误的是（ ）
A．它的众数是4B．它的平均数是5
C．它的中位数是5D．它的众数等于中位数
2、（4分） “分数”与“分式”有许多共同点，我们在学习“分式”时，常常对比“分数”的相关知识进行学习，这体现的数学思想方法是 （ ）
A．分类B．类比C．方程D．数形结合
3、（4分）如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
4、（4分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价1元，平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价（ ）
A．5元 B．10元 C．20元 D．10元或20元
5、（4分）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD,则∠BAD的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．80°
6、（4分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（ ）
A．9B．35C．45D．无法计算
8、（4分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4, 5, 6B．5, 12， 13C．2, 3, 4D．1， ，3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）使代数式有意义的x的取值范围是_____．
10、（4分）如图，，请你再添加一个条件______，使得（填一个即可）.
11、（4分）如图,中， D是AB的中点，则CD=__________.
12、（4分）一次函数的图象如图所示，不等式的解集为__________．
13、（4分）一元二次方程x2﹣x=0的根是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算
（1）计算：
（2）分解因式：
15、（8分）问题：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
探究：要研究上面的问题，我们不妨先从最简单的情形入手，进而找到一般性规律.
探究一：将边长为2的正三角形的三条边分别二等分，连接各边中点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
如图①，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下看：
边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，共有个；
边长为2的正三角形一共有1个.
探究二：将边长为3的正三角形的三条边分别三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
如图②，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，共有个；边长为2的正三角形共有个.
探究三：将边长为4的正三角形的三条边分别四等分（图③），连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
（仿照上述方法，写出探究过程）
结论：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
（仿照上述方法，写出探究过程）
应用：将一个边长为25的正三角形的三条边分别25等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形有______个和边长为2的正三角形有______个.
16、（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题
（1）画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出将△ABC关于原点O对称的图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
17、（10分）如图，矩形的两条边、分别在轴和轴上，已知点 坐标为(4，–3).把矩形沿直线折叠，使点落在点处，直线与、、的交点分别为、、.
(1)线段 ；
(2)求点坐标及折痕的长;
(3)若点在轴上，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形?若存在，则请求出点的坐标;若不存在，请说明理由;
18、（10分）如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝EC＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)求证：四边形ACFD为平行四边形．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知：AB＝2m，CD＝28cm，则AB：CD＝_____．
20、（4分）计算：（﹣）2＝_____．
21、（4分）已知函数y＝（m﹣1）x|m|+3是一次函数，则m＝_____．
22、（4分）一组数2、a、4、6、8的平均数是5，这组数的中位数是______．
23、（4分）若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求直线BD的表达式．
25、（10分）（1）计算：
（2）解方程：.
26、（12分）先化简再求值：,再从0，﹣1，2中选一个数作为a的值代入求值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
一组数据中出现次数最多的数为众数；
将这组数据从小到大的顺序排列，处于中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
根据平均数的定义求解．
【详解】
在这一组数据中4是出现次数最多的，故众数是4；
将这组数据已经从小到大的顺序排列，处于中间位置的那个数是4，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是4；
由平均数的公式的，=（3+4+4+6+8）÷5=5，平均数为5，
故选C．
本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
2、B
【解析】
根据分式和分数的基本性质，成立的条件等相关知识，分析求解.
【详解】
“分数”与“分式”有许多共同点，我们在学习“分式”时，常常对比“分数”的相关知识进行学习，比如分数的基本性质，分数成立的条件等，这体现的数学思想方法是类比
故选：B
本题的解题关键是掌握分数和分式的基本性质和概念.
3、C
【解析】
解：设外角为x，则相邻的内角为2x，
由题意得，2x+x=180°，
解得，x=60°，
360÷60°=6，
故选C．
4、C
【解析】
设每件衬衫应降价x元，则每天可销售（1+2x）件，根据每件的利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】
设每件衬衫应降价x元，则每天可销售（1+2x）件，
根据题意得：（40-x）（1+2x）=110，
解得：x1=10，x2=1．
∵扩大销售，减少库存，
∴x=1．
故选C．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5、A
【解析】
根据题意尺规作图得到NM是AC的垂直平分线，故AD=CD，则∠C=∠DAC，再利用三角形的内角和求出∠BAC，故可求出∠BAD.
【详解】
根据题意尺规作图得到NM是AC的垂直平分线，
故AD=CD，
∴∠DAC=∠C=30°，
∵∠B=50°，∠C＝30°
∴∠BAC=180°-50°-30°=100°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°.
故选A.
此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和与垂直平分线的性质.
6、B
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可逐一判断．
【详解】
解：A、是轴对称图形，也是中兴对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中兴对称图形，故B符合题意；
C、是轴对称图形，也是中兴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中兴对称图形，故D不符合题意；
故选：B．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是熟知轴对称图形和中兴对称图形的概念．
7、C
【解析】
【分析】由勾股定理求出BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，再代入可得MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2），化简可求得结果.
【详解】在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，
∴MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）
=AC2-AB2
=1．
故选C
【点睛】本题考核知识点：勾股定理.解题关键点：灵活运用勾股定理.
8、B
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．
【详解】
解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
B、∵52+122=132，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故可以构成直角三角形；
C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
D、∵12+（）2≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形．
故选：B．
本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x≥0且x≠2
【解析】
根据二次根式有意义的条件可得x≥0，根据分式有意义的条件可得2x-1≠0，再解不等式即可．
【详解】
由题意得：x⩾0且2x−1≠0，
解得x⩾0且x≠，
故答案为x⩾0且x≠.
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件.牢记分式、二次根式成立的条件是解题的关键.
10、(答案不唯一)
【解析】
注意两个三角形有一个公共角∠A，再按照三角形全等的判定方法结合图形添加即可.
【详解】
解：∵∠ A=∠ A， AB=AC，
∴若按照SAS可添加条件AD=AE；
若按照AAS可添加条件∠ ADB=∠AEC；
若按照ASA可添加条件∠B=∠C；
故答案为AD=AE或∠ADB=∠AEC或∠B=∠C.
本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定三角形全等的各种方法是解决此类问题的关键.
11、6.1
【解析】
首先根据勾股定理求得AB=13，然后由“斜边上的中线等于斜边的一半”来求CD的长度．
【详解】
∵Rt△ABC中，，
∴AB===13，
∵D为AB的中点，
∴CD=AB=6.1．
故答案为：6.1．
本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
12、
【解析】
首先根据直线与坐标轴的交点求解直线的解析式，在求解不等式即可.
【详解】
解：根据图象可得：
解得：
所以可得一次函数的直线方程为：
所以可得 ，解得：
故答案为
本题主要考查一次函数求解解析式，关键在于根据待定系数求解函数的解析式.
13、x1=0，x2=1
【解析】
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
方程变形得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1) ；(2).
【解析】
（1）原式第一项利用多项式乘以多项式法则计算，第二项利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
(1)原式=2a2−2ab+ab−b2−2a2+ab=−b2；
(2)原式=-xy（x2-4xy+4y2）=−xy(x−2y)2.
本题考查的知识点是整式的混合运算, 提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算, 提公因式法与公式法的综合运用.
15、探究三：16,6；结论：n², ;应用：625，300.
【解析】
探究三：模仿探究一、二即可解决问题；
结论：由探究一、二、三可得：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，边长为1的正三角形共有个；边长为2的正三角形共有 个；
应用：根据结论即可解决问题.
【详解】
解：探究三：
如图3，连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，共有个；
边长为2的正三角形有个.
结论：
连接边长为的正三角形三条边的对应等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，……，第层有个，共有个；
边长为2的正三角形，共有个.
应用：
边长为1的正三角形有=625（个），
边长为2的正三角形有 （个）.
故答案为探究三：16,6；结论：n², ;应用：625，300.
本题考查规律型问题，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
16、（1）见解析，（﹣3，﹣1）；（1）见解析，（﹣3，﹣1）
【解析】
（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为（﹣1，1）；
（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为（﹣3，﹣1）．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
17、（1）；（2）；拆痕DE的长为； （3）点Q坐标为
【解析】
（1）根据B点的坐标即可求得AC的长度.
（2）首先根据已知条件证明，再根据相似比例计算DF、CD的长度
即可计算出D点的坐标，再证明，根据EF=DF，即可计算的DE的长度.
（3）根据等腰三角形的性质，分类讨论第一种情况当时；第二种情况当时；第三种情况当时，分别计算即可.
【详解】
解：（1）
（2），由折叠可得：
,.
∵四边形OABC是矩形，
∴拆痕DE的长为
（3）由（2）可知，，
若以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形，则必为等腰三角形。
当时，可知，
此时PE为对角线，可得
当时，可知，此时DP为对角线，可得；
当时，P与C重合，Q与A重合，
综上所述，满足条件的点Q坐标为
本题主要考查菱形的基本性质，难点在于第三问中的等腰三角形的分类讨论，根据等腰三角形的腰进行分类，再根据腰相等进行计算.
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析: （1）根据平行线得出∠B=∠DEF，求出BC=EF，根据ASA推出两三角形全等即可；（2）根据全等得出AC=DF，推出AC∥DF，得出平行四边形ACFD，推出AD∥CF，MAD=CF，推出AD=CE，AD∥CE，根据平行四边形的判定推出即可．
试题解析:
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=EC=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF．
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，
∵∠ACB=∠F，
∴AC∥DF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD=CF，
∵EC=CF，
∴AD∥EC，AD=CE，
∴四边形AECD是平行四边形．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、50：7
【解析】
先将2m转换为200cm，再代入计算即可．
【详解】
∵AB=2m=200cm，CD=28cm，
∴AB:CD=200:28=50:7.
故答案为50:7.
本题考查比例线段，学生们掌握此定理即可.
20、.
【解析】
根据乘方的定义计算即可.
【详解】
（﹣）2＝．
故答案为：．
本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数.
21、﹣1
【解析】
因为y＝（m﹣1）x|m|+3是一次函数，所以|m|＝1，m﹣1≠0，解答即可．
【详解】
解：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
则得到|m|＝1，m＝±1，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，m＝﹣1．
故答案是：m＝﹣1.
考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．k≠0是考查的重点．
22、5
【解析】
由平均数可求解a的值，再根据中位数的定义即可求解.
【详解】
解：由平均数可得，a=5×5-2-4-6-8=5，则该组数由小至大排序为：2、4、5、6、8，则中位数为5，
故答案为：5.
本题考查了平均数和中位数的概念.
23、1
【解析】
直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．
【详解】
解：∵b＝+﹣2，
∴
∴1-2a=0，
解得：a=，则b=-2，
故ab=（）-2=1．
故答案为1．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）A（﹣2，0），点B（0，1），D（2，﹣2）；（2）y＝﹣3x+1．
【解析】
(1)由于ー次函数y=2x+1的图象与x、y轴分别相交于点A、B,所以利用函数解析式即可求出AB两点的坐标,然后过D作DH⊥x轴于H点,由四边形ABCD是正方形可以得到∠BAD=∠AOB=∠AHD=90°,AB=AD,接着证明△ABO≌△DAH,最后利用全等三角形的性质可以得到DH=AO=2,AH=BO=1,从而求出点D的坐标;
（2）利用待定系数法即可求解
【详解】
解：（1）∵当y＝0时，2x+1＝0，x＝﹣2．
∴点A（﹣2，0）．
∵当x＝0时，y＝1．
∴点B（0，1）．
过D作DH⊥x轴于H点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠AOB＝∠AHD＝90°，AB＝AD．
∴∠BAO+∠ABO＝∠BAO+∠DAH，
∴∠ABO＝∠DAH．
∴△ABO≌△DAH．
∴DH＝AO＝2，AH＝BO＝1，
∴OH＝AH﹣AO＝2．
∴点D（2，﹣2）．
（2）设直线BD的表达式为y＝kx+b．
∴
解得 ，
∴直线BD的表达式为y＝﹣3x+1．
此题考查一次函数综合题，利用全等三角形的性质是解题关键
25、（1）；（2）x1＝0，x2＝﹣1．
【解析】
（1）先算乘法，根据二次根式化简，再合并同类二次根式即可；
（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
（1）原式＝＝；
（2）x2+1x＝0，
x（x+1）＝0，
x＝0，x+1＝0，
x1＝0，x2＝﹣1．
本题考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，能正确运用运算法则进行化简是解（1）的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（2）的关键．
26、.
【解析】
首先将分式进行化简，特别注意代入计算的数，不能使分式的分母为0.
【详解】
解：原式＝
＝
＝ ，
∵a≠0，a2﹣1≠0，a2+a≠0，
即a≠0，且a≠±1，
∴取a＝2，
原式＝．
本题主要考查分式化简求值，注意分式的分母不能为0
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在一组数据3，4，4，6，8中，下列说法错误的是（ ）
A．它的众数是4B．它的平均数是5
C．它的中位数是5D．它的众数等于中位数
2、（4分） “分数”与“分式”有许多共同点，我们在学习“分式”时，常常对比“分数”的相关知识进行学习，这体现的数学思想方法是 （ ）
A．分类B．类比C．方程D．数形结合
3、（4分）如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
4、（4分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价1元，平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价（ ）
A．5元 B．10元 C．20元 D．10元或20元
5、（4分）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD,则∠BAD的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．80°
6、（4分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（ ）
A．9B．35C．45D．无法计算
8、（4分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4, 5, 6B．5, 12， 13C．2, 3, 4D．1， ，3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）使代数式有意义的x的取值范围是_____．
10、（4分）如图，，请你再添加一个条件______，使得（填一个即可）.
11、（4分）如图,中， D是AB的中点，则CD=__________.
12、（4分）一次函数的图象如图所示，不等式的解集为__________．
13、（4分）一元二次方程x2﹣x=0的根是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算
（1）计算：
（2）分解因式：
15、（8分）问题：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
探究：要研究上面的问题，我们不妨先从最简单的情形入手，进而找到一般性规律.
探究一：将边长为2的正三角形的三条边分别二等分，连接各边中点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
如图①，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下看：
边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，共有个；
边长为2的正三角形一共有1个.
探究二：将边长为3的正三角形的三条边分别三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
如图②，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，共有个；边长为2的正三角形共有个.
探究三：将边长为4的正三角形的三条边分别四等分（图③），连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
（仿照上述方法，写出探究过程）
结论：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
（仿照上述方法，写出探究过程）
应用：将一个边长为25的正三角形的三条边分别25等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形有______个和边长为2的正三角形有______个.
16、（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题
（1）画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出将△ABC关于原点O对称的图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
17、（10分）如图，矩形的两条边、分别在轴和轴上，已知点 坐标为(4，–3).把矩形沿直线折叠，使点落在点处，直线与、、的交点分别为、、.
(1)线段 ；
(2)求点坐标及折痕的长;
(3)若点在轴上，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形?若存在，则请求出点的坐标;若不存在，请说明理由;
18、（10分）如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝EC＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)求证：四边形ACFD为平行四边形．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知：AB＝2m，CD＝28cm，则AB：CD＝_____．
20、（4分）计算：（﹣）2＝_____．
21、（4分）已知函数y＝（m﹣1）x|m|+3是一次函数，则m＝_____．
22、（4分）一组数2、a、4、6、8的平均数是5，这组数的中位数是______．
23、（4分）若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求直线BD的表达式．
25、（10分）（1）计算：
（2）解方程：.
26、（12分）先化简再求值：,再从0，﹣1，2中选一个数作为a的值代入求值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
一组数据中出现次数最多的数为众数；
将这组数据从小到大的顺序排列，处于中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
根据平均数的定义求解．
【详解】
在这一组数据中4是出现次数最多的，故众数是4；
将这组数据已经从小到大的顺序排列，处于中间位置的那个数是4，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是4；
由平均数的公式的，=（3+4+4+6+8）÷5=5，平均数为5，
故选C．
本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
2、B
【解析】
根据分式和分数的基本性质，成立的条件等相关知识，分析求解.
【详解】
“分数”与“分式”有许多共同点，我们在学习“分式”时，常常对比“分数”的相关知识进行学习，比如分数的基本性质，分数成立的条件等，这体现的数学思想方法是类比
故选：B
本题的解题关键是掌握分数和分式的基本性质和概念.
3、C
【解析】
解：设外角为x，则相邻的内角为2x，
由题意得，2x+x=180°，
解得，x=60°，
360÷60°=6，
故选C．
4、C
【解析】
设每件衬衫应降价x元，则每天可销售（1+2x）件，根据每件的利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】
设每件衬衫应降价x元，则每天可销售（1+2x）件，
根据题意得：（40-x）（1+2x）=110，
解得：x1=10，x2=1．
∵扩大销售，减少库存，
∴x=1．
故选C．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5、A
【解析】
根据题意尺规作图得到NM是AC的垂直平分线，故AD=CD，则∠C=∠DAC，再利用三角形的内角和求出∠BAC，故可求出∠BAD.
【详解】
根据题意尺规作图得到NM是AC的垂直平分线，
故AD=CD，
∴∠DAC=∠C=30°，
∵∠B=50°，∠C＝30°
∴∠BAC=180°-50°-30°=100°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°.
故选A.
此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和与垂直平分线的性质.
6、B
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可逐一判断．
【详解】
解：A、是轴对称图形，也是中兴对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中兴对称图形，故B符合题意；
C、是轴对称图形，也是中兴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中兴对称图形，故D不符合题意；
故选：B．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是熟知轴对称图形和中兴对称图形的概念．
7、C
【解析】
【分析】由勾股定理求出BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，再代入可得MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2），化简可求得结果.
【详解】在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，
∴MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）
=AC2-AB2
=1．
故选C
【点睛】本题考核知识点：勾股定理.解题关键点：灵活运用勾股定理.
8、B
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．
【详解】
解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
B、∵52+122=132，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故可以构成直角三角形；
C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
D、∵12+（）2≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形．
故选：B．
本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x≥0且x≠2
【解析】
根据二次根式有意义的条件可得x≥0，根据分式有意义的条件可得2x-1≠0，再解不等式即可．
【详解】
由题意得：x⩾0且2x−1≠0，
解得x⩾0且x≠，
故答案为x⩾0且x≠.
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件.牢记分式、二次根式成立的条件是解题的关键.
10、(答案不唯一)
【解析】
注意两个三角形有一个公共角∠A，再按照三角形全等的判定方法结合图形添加即可.
【详解】
解：∵∠ A=∠ A， AB=AC，
∴若按照SAS可添加条件AD=AE；
若按照AAS可添加条件∠ ADB=∠AEC；
若按照ASA可添加条件∠B=∠C；
故答案为AD=AE或∠ADB=∠AEC或∠B=∠C.
本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定三角形全等的各种方法是解决此类问题的关键.
11、6.1
【解析】
首先根据勾股定理求得AB=13，然后由“斜边上的中线等于斜边的一半”来求CD的长度．
【详解】
∵Rt△ABC中，，
∴AB===13，
∵D为AB的中点，
∴CD=AB=6.1．
故答案为：6.1．
本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
12、
【解析】
首先根据直线与坐标轴的交点求解直线的解析式，在求解不等式即可.
【详解】
解：根据图象可得：
解得：
所以可得一次函数的直线方程为：
所以可得 ，解得：
故答案为
本题主要考查一次函数求解解析式，关键在于根据待定系数求解函数的解析式.
13、x1=0，x2=1
【解析】
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
方程变形得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1) ；(2).
【解析】
（1）原式第一项利用多项式乘以多项式法则计算，第二项利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
(1)原式=2a2−2ab+ab−b2−2a2+ab=−b2；
(2)原式=-xy（x2-4xy+4y2）=−xy(x−2y)2.
本题考查的知识点是整式的混合运算, 提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算, 提公因式法与公式法的综合运用.
15、探究三：16,6；结论：n², ;应用：625，300.
【解析】
探究三：模仿探究一、二即可解决问题；
结论：由探究一、二、三可得：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，边长为1的正三角形共有个；边长为2的正三角形共有 个；
应用：根据结论即可解决问题.
【详解】
解：探究三：
如图3，连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，共有个；
边长为2的正三角形有个.
结论：
连接边长为的正三角形三条边的对应等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，……，第层有个，共有个；
边长为2的正三角形，共有个.
应用：
边长为1的正三角形有=625（个），
边长为2的正三角形有 （个）.
故答案为探究三：16,6；结论：n², ;应用：625，300.
本题考查规律型问题，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
16、（1）见解析，（﹣3，﹣1）；（1）见解析，（﹣3，﹣1）
【解析】
（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为（﹣1，1）；
（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为（﹣3，﹣1）．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
17、（1）；（2）；拆痕DE的长为； （3）点Q坐标为
【解析】
（1）根据B点的坐标即可求得AC的长度.
（2）首先根据已知条件证明，再根据相似比例计算DF、CD的长度
即可计算出D点的坐标，再证明，根据EF=DF，即可计算的DE的长度.
（3）根据等腰三角形的性质，分类讨论第一种情况当时；第二种情况当时；第三种情况当时，分别计算即可.
【详解】
解：（1）
（2），由折叠可得：
,.
∵四边形OABC是矩形，
∴拆痕DE的长为
（3）由（2）可知，，
若以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形，则必为等腰三角形。
当时，可知，
此时PE为对角线，可得
当时，可知，此时DP为对角线，可得；
当时，P与C重合，Q与A重合，
综上所述，满足条件的点Q坐标为
本题主要考查菱形的基本性质，难点在于第三问中的等腰三角形的分类讨论，根据等腰三角形的腰进行分类，再根据腰相等进行计算.
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析: （1）根据平行线得出∠B=∠DEF，求出BC=EF，根据ASA推出两三角形全等即可；（2）根据全等得出AC=DF，推出AC∥DF，得出平行四边形ACFD，推出AD∥CF，MAD=CF，推出AD=CE，AD∥CE，根据平行四边形的判定推出即可．
试题解析:
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=EC=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF．
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，
∵∠ACB=∠F，
∴AC∥DF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD=CF，
∵EC=CF，
∴AD∥EC，AD=CE，
∴四边形AECD是平行四边形．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、50：7
【解析】
先将2m转换为200cm，再代入计算即可．
【详解】
∵AB=2m=200cm，CD=28cm，
∴AB:CD=200:28=50:7.
故答案为50:7.
本题考查比例线段，学生们掌握此定理即可.
20、.
【解析】
根据乘方的定义计算即可.
【详解】
（﹣）2＝．
故答案为：．
本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数.
21、﹣1
【解析】
因为y＝（m﹣1）x|m|+3是一次函数，所以|m|＝1，m﹣1≠0，解答即可．
【详解】
解：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
则得到|m|＝1，m＝±1，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，m＝﹣1．
故答案是：m＝﹣1.
考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．k≠0是考查的重点．
22、5
【解析】
由平均数可求解a的值，再根据中位数的定义即可求解.
【详解】
解：由平均数可得，a=5×5-2-4-6-8=5，则该组数由小至大排序为：2、4、5、6、8，则中位数为5，
故答案为：5.
本题考查了平均数和中位数的概念.
23、1
【解析】
直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．
【详解】
解：∵b＝+﹣2，
∴
∴1-2a=0，
解得：a=，则b=-2，
故ab=（）-2=1．
故答案为1．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）A（﹣2，0），点B（0，1），D（2，﹣2）；（2）y＝﹣3x+1．
【解析】
(1)由于ー次函数y=2x+1的图象与x、y轴分别相交于点A、B,所以利用函数解析式即可求出AB两点的坐标,然后过D作DH⊥x轴于H点,由四边形ABCD是正方形可以得到∠BAD=∠AOB=∠AHD=90°,AB=AD,接着证明△ABO≌△DAH,最后利用全等三角形的性质可以得到DH=AO=2,AH=BO=1,从而求出点D的坐标;
（2）利用待定系数法即可求解
【详解】
解：（1）∵当y＝0时，2x+1＝0，x＝﹣2．
∴点A（﹣2，0）．
∵当x＝0时，y＝1．
∴点B（0，1）．
过D作DH⊥x轴于H点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠AOB＝∠AHD＝90°，AB＝AD．
∴∠BAO+∠ABO＝∠BAO+∠DAH，
∴∠ABO＝∠DAH．
∴△ABO≌△DAH．
∴DH＝AO＝2，AH＝BO＝1，
∴OH＝AH﹣AO＝2．
∴点D（2，﹣2）．
（2）设直线BD的表达式为y＝kx+b．
∴
解得 ，
∴直线BD的表达式为y＝﹣3x+1．
此题考查一次函数综合题，利用全等三角形的性质是解题关键
25、（1）；（2）x1＝0，x2＝﹣1．
【解析】
（1）先算乘法，根据二次根式化简，再合并同类二次根式即可；
（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
（1）原式＝＝；
（2）x2+1x＝0，
x（x+1）＝0，
x＝0，x+1＝0，
x1＝0，x2＝﹣1．
本题考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，能正确运用运算法则进行化简是解（1）的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（2）的关键．
26、.
【解析】
首先将分式进行化简，特别注意代入计算的数，不能使分式的分母为0.
【详解】
解：原式＝
＝
＝ ，
∵a≠0，a2﹣1≠0，a2+a≠0，
即a≠0，且a≠±1，
∴取a＝2，
原式＝．
本题主要考查分式化简求值，注意分式的分母不能为0
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
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