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2024-2025学年湖南省衡阳市雁峰区成章实验中学九年级（上）入学数学试卷（含解析）
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这是一份2024-2025学年湖南省衡阳市雁峰区成章实验中学九年级（上）入学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用.经测算，一粒芝麻的质量约为0.000000201kg，将0.000000201用科学记数法表示为( )
A. 2.01×10−7B. 0.201×10−7C. 2.01×10−8D. 20.1×10−6
2.下列式子从左到右变形一定正确的是( )
A. ab=a2b2B. ab=a+1b+1C. ab=a−1b−1D. a2ab=ab
3.已知点P(m−1,4)与点Q(2,n−2)关于x轴对称，则mn的值为( )
A. 6B. −6C. −19D. 19
4.冬季来临，某同学对甲、乙、丙、丁四个菜市场第四季度的白菜价格进行调查.四个菜市第四个季度白菜的平均值均为2.50元，方差分别为S甲2=18.3，S乙2=17.4，S丙2=20.1，S丁2=12.5.第四季度白菜价格最稳定的菜市场是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5.关于反比例函数y=6x的图象与性质，下列说法正确的是( )
A. 图象分布在第二、四象限B. y的值随x值的增大而减小
C. 当x>−2时，y<−3D. 点(1,6)和点(6,1)都在该图象上
6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b与正比例函数y=k2x的图象交于点A，则关于x的不等式k1x+b>k2x的解集为( )
A. x<−1
B. x>−1
C. −1D. x>0
7.已知下列命题：
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④对角线垂直且相等的四边形是正方形．其中真命题有( )
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
8.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，点B(−1,−2)，点C(3,−2)，则点D的坐标为( )
A. (1,2)
B. (2,1)
C. (1,3)
D. (2,3)
9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，BA=BE，则∠AED=( )
A. 95°
B. 105°
C. 100°
D. 110°
10.如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于点E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.式子 x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12.若分式x2−92x+6的值为0，则x的值为______．
13.若关于x的方程xx−5=3+m5−x有增根，则m= ______．
14.在平面直角坐标系中，若将一次函数y=−2x+m的图象向下平移3个单位后经过原点，则m的值为______．
15.若关于x的一元二次方程x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，则k的值为______．
16.反比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，AB//y轴，若△ABC的
面积为3，则k的值为______．
17.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD=140°，则∠CDE的大小是______．
18.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x−1与x轴交于点A1，以OA1为一边作正方形OA1B1C1，使得点C1在y轴正半轴上，延长C1B1交直线l于点A2，按同样方法依次作正方形C1A2B2C2、正方形C2A3B3C3、…、正方形Cn−1AnBnCn，使得点A1A2A3、…An，均在直线l上，点C1，C2，C3…Cn在y轴正半轴上，则点B2024的横坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：(−1)2004+(12)−2−(3.14−π)0+|−2|．
20.(本小题6分)
先化简：(1−4x+3)÷x2−2x+12x+6，再从−3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
21.(本小题8分)
学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位：分)进行统计：
七年级：86ㅤ94ㅤ79ㅤ84ㅤ71ㅤ90ㅤ76ㅤ83ㅤ90ㅤ87
八年级：88ㅤ76ㅤ90ㅤ78ㅤ87ㅤ93ㅤ75ㅤㅤ87ㅤ87ㅤ79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a= ______，b= ______；
(2)A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
(3)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数．
22.(本小题8分)
如图，反比例函数y=kx(x<0)与一次函数y=−2x+m的图象交于点A(−1,4)，BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)当OD=1时，求线段BC的长．
23.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F，BC=CF，连接CE．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(2)若AB=5，BC=8，CE⊥AD，求四边形ABCD的面积．
24.(本小题9分)
随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点.某企业为开启网络直播带货的新篇章，购买A，B两种型号直播设备.已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用1800元购买A型设备的数量比用1000元购买B型设备的数量多5台．
(1)求A、B型设备单价分别是多少元；
(2)某平台计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
25.(本小题10分)
课本再现：如图1，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，BD=6．
(1)求AB，AC的长．
应用拓展：
(2)如图2，E为AB上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转120°，得到DF，连接EF．
①求出点D到EF距离的最小值；
②如图3，连接OF，CF，若△OCF的面积为6 3，求BE的长．
(备用结论：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半)
26.(本小题10分)
如图1，已知直线l1：y=−x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点C(0,−1)，与直线l1交于点D(2,t)．
(1)求直线l2的解析式；
(2)如图2，若点P在直线l1上，过点P作PQ//y轴交l2于点Q，交x轴于点G，使S△PCG=2S△QCG，求此时P点的坐标；
(3)如图3，点P是直线l1上一动点，点Q是直线l2上一动点，点E是坐标平面内一点，若以点C、P、Q、E为顶点的四边形为正方形，且CQ是正方形的边，若存在，请直接写出点Q的坐标．
答案解析
1.A
【解析】解：0.000000201=2.01×10−7．
故选：A．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
2.D
【解析】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故A错误；
B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，错误；
C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C错误；
D、分子分母都除以a，分式的值不变，故D正确；
故选：D．
根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质．
3.B
【解析】解：根据关于x轴对称点的坐标特点，
∵x坐标相同，
∴所以m−1=2，解得m=3，
∵y坐标互为相反数，
∴n−2=−4，解得n=−2，
综上m×n=−6，
故选：B．
解决此题，先要找到关于x轴对称点的坐标特点，即x坐标相同，y坐标互为相反数．
此题考查对于x轴对称点性质的认识，较为简单．
4.D
【解析】解：∵S甲2=18.3，S乙2=17.4，S丙2=20.1，S丁2=12.5，
∴S丁2∴第四季度白菜价格最稳定的菜市场是丁，
故选：D．
根据方差越小数据越稳定即可得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.D
【解析】解：A.k=6>0，图象分布在第一、三象限，故A说法不正确；
B.k=6>0，图象在第一、三象限内，在每一象限内，y随x增大而减小，故B说法错误；
C.k=6>0，图象在第一、三象限内，在每一象限内，y随x增大而减小，所以当−2D.当x=1时，y=6；x=6时，y=1，所以点(1,6)和点(6,1)都在该图象上，故D说法正确；
故选：D．
依据反比例函数图象的性质作答．
本题主要考查反比例函数图象的性质，关键是熟记函数图象在每个象限内如何变化．
6.A
【解析】解：由图象可得，
在点A的左侧，一次函数y=k1x+b的图象在正比例函数y=k2x的图象的上方，
∴不等式k1x+b>k2x的解集为x<−1，
故选：A．
根据函数图象，可以发现在点A的左侧，一次函数y=k1x+b的图象在正比例函数y=k2x的图象的上方，然后即可写出不等式k1x+b>k2x的解集．
本题考查一次函数与一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.B
【解析】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
②对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
③对角线平分互相垂直的四边形是菱形，错误；
④对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，错误．
故选：B．
根据平行四边形的判定方法对①进行判断．根据矩形的判定方法对②进行判断；根据菱形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断；
本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
8.A
【解析】解：∵平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，点B(−1,−2)，点C(3,−2)，
∴AD//BC，AD=BC=4，
∵A点的横坐标为−3，
∴D点的横坐标为4−3=1，
∵AD//BC，
∴D点和A点的纵坐标相等为2，
∴D点的坐标为(1,2)．
故选：A．
根据平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，点B(−1,−2)，点C(3,−2)，可得AD//BC，AD=BC=4，进而可以解决问题．
本题考查平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
9.D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°，
∴∠ABD=12∠ABC=40°．
∵BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA=12×(180°−40°)=70°，
∴∠AED=∠BAE+∠ABD=70°+40°=110°，
故选：D．
由菱形的性质得∠ABD=12∠ABC=40°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠BAE=∠BEA=70°，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
10.C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，AC⊥BD，
又∵OE⊥OF，
∴∠EOB+∠BOF=90°=∠BOF+∠COF，
∴∠EOB=∠COF，
∴△BEO≌△CFO(ASA)，
∴BE=CF=3，
又∵AB=BC，
∴AE=BF=4，
∴Rt△BEF中，EF= BE2+BF2= 32+42=5．
故选：C．
先利用ASA证明△BEO≌△CFO，故得BE=FC，进而得出AE=BF，在Rt△BEF中利用勾股定理即可解得EF的长．
本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
11.x≥4
【解析】解：由题意得，x−4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.3
【解析】解：由分式的值为零的条件得x2−9=0且2x+6≠0，
由x2−9=0，得x=±3，
由2x+6≠0，得x≠−3，
∴x=3，
故答案为：3．
根据若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0进行解答即可．
本题考查的是分式为零的条件，掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可是解题的关键．
13.−5
【解析】解：分式方程去分母得：x=3x−15−m，
由分式方程有增根，得到x−5=0，即x=5，
把x=5代入整式方程得：m=−5，
故答案为：−5．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x−5=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.3
【解析】解：将一次函数y=−2x+m的图象向下平移3个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为：y=−2x+m−3，
∵一次函数y=−2x+m的图象向下平移3个单位后经过原点，
∴m−3=0，
解得m=3．
故答案为：3．
直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数图象平移的规律是解题关键．
15.2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=16−8k=0，
解得：k=2．
故答案为：2．
利用判别式的意义得到Δ=(−4)2−8k=0，然后解关于k的方程即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握Δ=0有两个相等的实数根是解题的关键．
16.−6
【解析】解：设点A(x,y)，
∵AB//y轴，△ABC的面积为3，
∴12|x|y=3，
|x|y=6，
∵反比例函数图象在三、四象限，
∴x<0，y>0，
∴xy=−6，
∴k=−6．
故答案为：−6．
利用反比例函数图象的性质解答．
本题考查了反比例函数图象的性质和反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数图象的性质和反比例函数系数k的几何意义．
17.20°
【解析】解：∵ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOD=140°，
∴∠COD=180°−140°=40°，
∴∠ECD=70°，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=90°−∠ECD=90°−70°=20°．
故答案为：20°．
根据矩形性质和条件可得到∠ECD=70°，再直角三角形两个锐角互余可求出∠CDE的大小．
本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形性质是关键．
18.22023
【解析】解：当y=0时，有x−1=0，
解得：x=1，
∴点A1的坐标为(1,0)．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴点B1的坐标为(1,1)．
同理，可得出：A2(2,1)，A3(4,3)，A4(8,7)，A5(16,15)，…，
∴B2的横坐标为2，B3的横坐标为4，B4的横坐标为8，B5的横坐标为16，…，
∴Bn的横坐标为2n−1(n为正整数)，
∴点B2024的横坐标是22023．
故答案为：22023．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5、…的坐标，进而得到B2、B3、B4、B5、…的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律Bn的横坐标为2n−1(n为正整数)是解题的关键．
19.解：原式=1+4−1+2
=6．
【解析】先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再进行有理数的加减运算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.解：(1−4x+3)÷x2−2x+12x+6
=x+3−4x+3⋅2(x+3)(x−1)2
=x−1x+3⋅2(x+3)(x−1)2
=2x−1，
∵x+3≠0，x−1≠0，
∴x≠−3，x≠1，
∴当x=2时，原式=22−1=2．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
21.85 87 七
【解析】解：(1)把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a=84+862=85，
八年级10名学生的成绩中8(7分)的最多有3人，所以众数b=87，
故答案为：85，87；
(2)A同学得了8(6分)，大于8(5分)，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：七；
(3)510×200+610×200=220(人)，
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人．
(1)根据中位数和众数的定义即可求出答案；
(2)根据中位数的定义即可求出答案；
(3)分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可．
本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
22.解：(1)∵反比例函数y=kx(x<0)与一次函数y=−2x+m的图象交于点A(−1,4)，
∴4=k−1，4=−2×(−1)+m，
∴k=−4，m=2，
∴反比例函数为y=−4x，一次函数为y=−2x+2；
(2)∵BC⊥y轴于点D，
∴BC//x轴，
∵OD=1，
∴B、C的纵坐标为1，
把y=1代入y=−4x，得x=−4，
把y=1代入y=−2x+2，得x=12，
∴B(−4,1)，C(12,1)，
∴BC=12+4=412．
【解析】(1)利用待定系数法即可求解；
(2)由题意可知B、C的纵坐标为1，即可求得B(−4,1)，C(12,1)，即可求解．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23.(1)证明：∵BC=CF，
∴∠FBC=∠F，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠F，
∴AB//CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)解：∵BC=CF，AB=CD=5，BC=8，
∴DF=CF−CD=8−5=3，
∵AD//BC，
∴∠EBC=∠FED=∠F，
∴ED=FD=3，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：EC= CD2−ED2= 52−32=4，
∴S▱ABCD=BC⋅CE=8×4=32．
【解析】(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
(2)根据条件，得到ED=FD=3，再利用勾股定理求出CE长，利用底乘高计算平行四边形面积即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形性质是关键．
24.解：(1)设B型设备的单价是x元，则A型设备的单价是1.2x元，
根据题意得：18001.2x−1000x=5，
解得：x=100，
经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×100=120(元)．
答：A型设备的单价是120元，B型设备的单价是100元；
(2)根据题意得：w=120a+100(60−a)，
即w=20a+6000，
∵购进A型设备数量不少于B型设备数量的一半，
∴a≥12(60−a)，
解得：a≥20，
∴w与a的函数关系式为w=20a+6000(20≤a<60)．
∵20>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=20时，w取得最小值，最小值=20×20+6000=6400(元)．
答：w与a的函数关系式为w=20a+6000(20≤a<60)，最少购买费用是6400元．
【解析】(1)设B型设备的单价是x元，则A型设备的单价是1.2x元，利用数量=总价÷单价，结合用1800元购买A型设备的数量比用1000元购买B型设备的数量多5台，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B型设备的单价，再将其代入1.2x中，即可求出A型设备的单价；
(2)利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，由购买A型设备数量不少于B型设备数量的一半，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
25.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，AC=2OA，OD=OB，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=6，∠ABD=60°，
∴OA= 32AB=3 3，
∴AC=6 3；
(2)①如图1，
连接CF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD=CD，
∴∠ADC=180°−∠DAB=120°，
∵DE绕点D逆时针旋转120°，得到DF，
∴∠EDF=120°，ED=DF，
∴∠EDF=∠ADC，
∴∠EDF−∠CDE=∠ADC−∠EDC，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴∠DCF=∠DAE=60°，AE=CF，
∴点F在与CD成60° 的直线上运动，
∴当DF⊥CF时，D到EF距离最小，
∴DF最小= 32CD=3 3
∴AE=3 3，
∴BE=AB−AE=6−3 3；
②由上知：AD=CD，∠ADC=120°，∠DCF=60°，AE=CF，
∴∠ACD=∠DAC=30°，
∴∠OCF=∠ACD+∠DCF=90°，
∴S△OCF=12OC⋅CF，
∴12×3 3⋅CF=6 3，
∴CF=CF=4，
∴AE=AB−AE=6−4=2．
【解析】(1)可推出△ABD是等边三角形，OD=OB，AC⊥BD，进一步得出结果；
(2)①可证得△ADE≌△CDF.从而∠DCF=∠DAE=60°，AE=CF，从而得出点F在与CD成60° 的直线上运动，故当DF⊥CF时，D到EF距离最小，进一步得出结果；
②可得出∠OCF=∠ACD+∠DCF=90°，从而得出△OCF是直角三角形，进一步得出结果．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
26.解：(1)∵直线l1：y=−x+5经过点D(2,t)，
∴t=−2+5=3，
∴D(2,3)，
设直线l2的解析式为y=kx+b，把C(0,−1)，D(2,3)代入，
得：b=−12k+b=3，
解得：k=2b=−1，
∴直线l2的解析式为y=2x−1；
(2)设P(t,−t+5)，则Q(t,2t−1)，G(t,0)，
∴PG=|−t+5|，GQ=|2t−1|，
∵S△PCG=2S△QCG，
∴12×|−t+5|×|t|=2×12×|2t−1|×|t|，
解得：t=−1或t=75，
∴P点的坐标为(−1,6)或(75,95)；
(3)设P(m,−m+5)，Q(n,2n−1)，
当四边形CEPQ是正方形时，如图，过点P作PG//y轴，过点Q作QG⊥y轴于点F，交PG于点G，
则∠G=∠CFQ=90°，PG=−m+5−(2n−1)=−m−2n+6，GQ=n−m，FQ=n，CF=2n−1−(−1)=2n，
∵四边形CEPQ是正方形，
∴PQ=QC，∠CQP=90°，
∵∠QPG+∠PQG=90°，∠CQF+∠PQG=90°，
∴∠QPG=∠CQF，
在△QPG和△CQF中，
∠G=∠CFQ∠QPG=∠CQFPQ=QC，
∴△QPG≌△CQF(AAS)，
∴PG=FQ，GQ=CF，
∴−m−2n+6=nn−m=2n，
解得：m=−3n=3
∴点Q的坐标为(3,5)；
当四边形CQEP是正方形时，如图，过点P作PH⊥y轴于点H，过点Q作QG⊥y轴于点G，
则∠PHC=∠CGQ=90°，CH=−1−(−m+5)=m−6，PH=m，QG=−n，CG=−1−(2n−1)=−2n，
∵四边形CQEP是正方形，
∴PC=CQ，∠PCQ=90°，
∴∠PCH+∠QCG=90°，
∵∠CQG+∠QCG=90°，
∴∠PCH=∠CQG，
在△PCH和△CQG中，
∠PHC=∠CGQ∠PCH=∠CQGPC=CQ，
∴△PCH≌△CQG(AAS)，
∴CH=QG，PH=CG，
∴m−6=nm=−2n，
解得：m=4n=−2，
∴点Q的坐标为(−2,−5)；
综上所述，点Q的坐标为(3,5)或(−2,−5)．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得直线l2的解析式；
(2)设P(t,−t+5)，则Q(t,2t−1)，G(t,0)，根据S△PCG=2S△QCG，建立方程求解即可得出答案；
(3)设P(m,−m+5)，Q(n,2n−1)，分两种情况：当四边形CEPQ是正方形时，如图，过点P作PG//y轴，过点Q作QG⊥y轴于点F，交PG于点G，可证△QPG≌△CQF(AAS)，可得PG=FQ，GQ=CF，建立方程组求解即可得出答案；当四边形CQEP是正方形时，如图，过点P作PH⊥y轴于点H，过点Q作QG⊥y轴于点G，可证得△PCH≌△CQG(AAS)，得出CH=QG，PH=CG，再建立方程组求解即可得出答案．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，第(3)问运用分类讨论思想是解题关键．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
90
44.4
八年级
84
87
b
6.6
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用.经测算，一粒芝麻的质量约为0.000000201kg，将0.000000201用科学记数法表示为( )
A. 2.01×10−7B. 0.201×10−7C. 2.01×10−8D. 20.1×10−6
2.下列式子从左到右变形一定正确的是( )
A. ab=a2b2B. ab=a+1b+1C. ab=a−1b−1D. a2ab=ab
3.已知点P(m−1,4)与点Q(2,n−2)关于x轴对称，则mn的值为( )
A. 6B. −6C. −19D. 19
4.冬季来临，某同学对甲、乙、丙、丁四个菜市场第四季度的白菜价格进行调查.四个菜市第四个季度白菜的平均值均为2.50元，方差分别为S甲2=18.3，S乙2=17.4，S丙2=20.1，S丁2=12.5.第四季度白菜价格最稳定的菜市场是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5.关于反比例函数y=6x的图象与性质，下列说法正确的是( )
A. 图象分布在第二、四象限B. y的值随x值的增大而减小
C. 当x>−2时，y<−3D. 点(1,6)和点(6,1)都在该图象上
6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b与正比例函数y=k2x的图象交于点A，则关于x的不等式k1x+b>k2x的解集为( )
A. x<−1
B. x>−1
C. −1
7.已知下列命题：
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④对角线垂直且相等的四边形是正方形．其中真命题有( )
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
8.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，点B(−1,−2)，点C(3,−2)，则点D的坐标为( )
A. (1,2)
B. (2,1)
C. (1,3)
D. (2,3)
9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，BA=BE，则∠AED=( )
A. 95°
B. 105°
C. 100°
D. 110°
10.如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于点E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.式子 x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12.若分式x2−92x+6的值为0，则x的值为______．
13.若关于x的方程xx−5=3+m5−x有增根，则m= ______．
14.在平面直角坐标系中，若将一次函数y=−2x+m的图象向下平移3个单位后经过原点，则m的值为______．
15.若关于x的一元二次方程x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，则k的值为______．
16.反比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，AB//y轴，若△ABC的
面积为3，则k的值为______．
17.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD=140°，则∠CDE的大小是______．
18.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x−1与x轴交于点A1，以OA1为一边作正方形OA1B1C1，使得点C1在y轴正半轴上，延长C1B1交直线l于点A2，按同样方法依次作正方形C1A2B2C2、正方形C2A3B3C3、…、正方形Cn−1AnBnCn，使得点A1A2A3、…An，均在直线l上，点C1，C2，C3…Cn在y轴正半轴上，则点B2024的横坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：(−1)2004+(12)−2−(3.14−π)0+|−2|．
20.(本小题6分)
先化简：(1−4x+3)÷x2−2x+12x+6，再从−3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
21.(本小题8分)
学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位：分)进行统计：
七年级：86ㅤ94ㅤ79ㅤ84ㅤ71ㅤ90ㅤ76ㅤ83ㅤ90ㅤ87
八年级：88ㅤ76ㅤ90ㅤ78ㅤ87ㅤ93ㅤ75ㅤㅤ87ㅤ87ㅤ79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a= ______，b= ______；
(2)A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
(3)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数．
22.(本小题8分)
如图，反比例函数y=kx(x<0)与一次函数y=−2x+m的图象交于点A(−1,4)，BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)当OD=1时，求线段BC的长．
23.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F，BC=CF，连接CE．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(2)若AB=5，BC=8，CE⊥AD，求四边形ABCD的面积．
24.(本小题9分)
随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点.某企业为开启网络直播带货的新篇章，购买A，B两种型号直播设备.已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用1800元购买A型设备的数量比用1000元购买B型设备的数量多5台．
(1)求A、B型设备单价分别是多少元；
(2)某平台计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
25.(本小题10分)
课本再现：如图1，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，BD=6．
(1)求AB，AC的长．
应用拓展：
(2)如图2，E为AB上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转120°，得到DF，连接EF．
①求出点D到EF距离的最小值；
②如图3，连接OF，CF，若△OCF的面积为6 3，求BE的长．
(备用结论：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半)
26.(本小题10分)
如图1，已知直线l1：y=−x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点C(0,−1)，与直线l1交于点D(2,t)．
(1)求直线l2的解析式；
(2)如图2，若点P在直线l1上，过点P作PQ//y轴交l2于点Q，交x轴于点G，使S△PCG=2S△QCG，求此时P点的坐标；
(3)如图3，点P是直线l1上一动点，点Q是直线l2上一动点，点E是坐标平面内一点，若以点C、P、Q、E为顶点的四边形为正方形，且CQ是正方形的边，若存在，请直接写出点Q的坐标．
答案解析
1.A
【解析】解：0.000000201=2.01×10−7．
故选：A．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
2.D
【解析】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故A错误；
B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，错误；
C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C错误；
D、分子分母都除以a，分式的值不变，故D正确；
故选：D．
根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质．
3.B
【解析】解：根据关于x轴对称点的坐标特点，
∵x坐标相同，
∴所以m−1=2，解得m=3，
∵y坐标互为相反数，
∴n−2=−4，解得n=−2，
综上m×n=−6，
故选：B．
解决此题，先要找到关于x轴对称点的坐标特点，即x坐标相同，y坐标互为相反数．
此题考查对于x轴对称点性质的认识，较为简单．
4.D
【解析】解：∵S甲2=18.3，S乙2=17.4，S丙2=20.1，S丁2=12.5，
∴S丁2
故选：D．
根据方差越小数据越稳定即可得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.D
【解析】解：A.k=6>0，图象分布在第一、三象限，故A说法不正确；
B.k=6>0，图象在第一、三象限内，在每一象限内，y随x增大而减小，故B说法错误；
C.k=6>0，图象在第一、三象限内，在每一象限内，y随x增大而减小，所以当−2
故选：D．
依据反比例函数图象的性质作答．
本题主要考查反比例函数图象的性质，关键是熟记函数图象在每个象限内如何变化．
6.A
【解析】解：由图象可得，
在点A的左侧，一次函数y=k1x+b的图象在正比例函数y=k2x的图象的上方，
∴不等式k1x+b>k2x的解集为x<−1，
故选：A．
根据函数图象，可以发现在点A的左侧，一次函数y=k1x+b的图象在正比例函数y=k2x的图象的上方，然后即可写出不等式k1x+b>k2x的解集．
本题考查一次函数与一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.B
【解析】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
②对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
③对角线平分互相垂直的四边形是菱形，错误；
④对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，错误．
故选：B．
根据平行四边形的判定方法对①进行判断．根据矩形的判定方法对②进行判断；根据菱形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断；
本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
8.A
【解析】解：∵平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，点B(−1,−2)，点C(3,−2)，
∴AD//BC，AD=BC=4，
∵A点的横坐标为−3，
∴D点的横坐标为4−3=1，
∵AD//BC，
∴D点和A点的纵坐标相等为2，
∴D点的坐标为(1,2)．
故选：A．
根据平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，点B(−1,−2)，点C(3,−2)，可得AD//BC，AD=BC=4，进而可以解决问题．
本题考查平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
9.D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°，
∴∠ABD=12∠ABC=40°．
∵BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA=12×(180°−40°)=70°，
∴∠AED=∠BAE+∠ABD=70°+40°=110°，
故选：D．
由菱形的性质得∠ABD=12∠ABC=40°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠BAE=∠BEA=70°，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
10.C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，AC⊥BD，
又∵OE⊥OF，
∴∠EOB+∠BOF=90°=∠BOF+∠COF，
∴∠EOB=∠COF，
∴△BEO≌△CFO(ASA)，
∴BE=CF=3，
又∵AB=BC，
∴AE=BF=4，
∴Rt△BEF中，EF= BE2+BF2= 32+42=5．
故选：C．
先利用ASA证明△BEO≌△CFO，故得BE=FC，进而得出AE=BF，在Rt△BEF中利用勾股定理即可解得EF的长．
本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
11.x≥4
【解析】解：由题意得，x−4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.3
【解析】解：由分式的值为零的条件得x2−9=0且2x+6≠0，
由x2−9=0，得x=±3，
由2x+6≠0，得x≠−3，
∴x=3，
故答案为：3．
根据若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0进行解答即可．
本题考查的是分式为零的条件，掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可是解题的关键．
13.−5
【解析】解：分式方程去分母得：x=3x−15−m，
由分式方程有增根，得到x−5=0，即x=5，
把x=5代入整式方程得：m=−5，
故答案为：−5．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x−5=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.3
【解析】解：将一次函数y=−2x+m的图象向下平移3个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为：y=−2x+m−3，
∵一次函数y=−2x+m的图象向下平移3个单位后经过原点，
∴m−3=0，
解得m=3．
故答案为：3．
直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数图象平移的规律是解题关键．
15.2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=16−8k=0，
解得：k=2．
故答案为：2．
利用判别式的意义得到Δ=(−4)2−8k=0，然后解关于k的方程即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握Δ=0有两个相等的实数根是解题的关键．
16.−6
【解析】解：设点A(x,y)，
∵AB//y轴，△ABC的面积为3，
∴12|x|y=3，
|x|y=6，
∵反比例函数图象在三、四象限，
∴x<0，y>0，
∴xy=−6，
∴k=−6．
故答案为：−6．
利用反比例函数图象的性质解答．
本题考查了反比例函数图象的性质和反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数图象的性质和反比例函数系数k的几何意义．
17.20°
【解析】解：∵ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOD=140°，
∴∠COD=180°−140°=40°，
∴∠ECD=70°，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=90°−∠ECD=90°−70°=20°．
故答案为：20°．
根据矩形性质和条件可得到∠ECD=70°，再直角三角形两个锐角互余可求出∠CDE的大小．
本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形性质是关键．
18.22023
【解析】解：当y=0时，有x−1=0，
解得：x=1，
∴点A1的坐标为(1,0)．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴点B1的坐标为(1,1)．
同理，可得出：A2(2,1)，A3(4,3)，A4(8,7)，A5(16,15)，…，
∴B2的横坐标为2，B3的横坐标为4，B4的横坐标为8，B5的横坐标为16，…，
∴Bn的横坐标为2n−1(n为正整数)，
∴点B2024的横坐标是22023．
故答案为：22023．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5、…的坐标，进而得到B2、B3、B4、B5、…的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律Bn的横坐标为2n−1(n为正整数)是解题的关键．
19.解：原式=1+4−1+2
=6．
【解析】先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再进行有理数的加减运算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.解：(1−4x+3)÷x2−2x+12x+6
=x+3−4x+3⋅2(x+3)(x−1)2
=x−1x+3⋅2(x+3)(x−1)2
=2x−1，
∵x+3≠0，x−1≠0，
∴x≠−3，x≠1，
∴当x=2时，原式=22−1=2．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
21.85 87 七
【解析】解：(1)把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a=84+862=85，
八年级10名学生的成绩中8(7分)的最多有3人，所以众数b=87，
故答案为：85，87；
(2)A同学得了8(6分)，大于8(5分)，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：七；
(3)510×200+610×200=220(人)，
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人．
(1)根据中位数和众数的定义即可求出答案；
(2)根据中位数的定义即可求出答案；
(3)分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可．
本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
22.解：(1)∵反比例函数y=kx(x<0)与一次函数y=−2x+m的图象交于点A(−1,4)，
∴4=k−1，4=−2×(−1)+m，
∴k=−4，m=2，
∴反比例函数为y=−4x，一次函数为y=−2x+2；
(2)∵BC⊥y轴于点D，
∴BC//x轴，
∵OD=1，
∴B、C的纵坐标为1，
把y=1代入y=−4x，得x=−4，
把y=1代入y=−2x+2，得x=12，
∴B(−4,1)，C(12,1)，
∴BC=12+4=412．
【解析】(1)利用待定系数法即可求解；
(2)由题意可知B、C的纵坐标为1，即可求得B(−4,1)，C(12,1)，即可求解．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23.(1)证明：∵BC=CF，
∴∠FBC=∠F，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠F，
∴AB//CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)解：∵BC=CF，AB=CD=5，BC=8，
∴DF=CF−CD=8−5=3，
∵AD//BC，
∴∠EBC=∠FED=∠F，
∴ED=FD=3，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：EC= CD2−ED2= 52−32=4，
∴S▱ABCD=BC⋅CE=8×4=32．
【解析】(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
(2)根据条件，得到ED=FD=3，再利用勾股定理求出CE长，利用底乘高计算平行四边形面积即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形性质是关键．
24.解：(1)设B型设备的单价是x元，则A型设备的单价是1.2x元，
根据题意得：18001.2x−1000x=5，
解得：x=100，
经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×100=120(元)．
答：A型设备的单价是120元，B型设备的单价是100元；
(2)根据题意得：w=120a+100(60−a)，
即w=20a+6000，
∵购进A型设备数量不少于B型设备数量的一半，
∴a≥12(60−a)，
解得：a≥20，
∴w与a的函数关系式为w=20a+6000(20≤a<60)．
∵20>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=20时，w取得最小值，最小值=20×20+6000=6400(元)．
答：w与a的函数关系式为w=20a+6000(20≤a<60)，最少购买费用是6400元．
【解析】(1)设B型设备的单价是x元，则A型设备的单价是1.2x元，利用数量=总价÷单价，结合用1800元购买A型设备的数量比用1000元购买B型设备的数量多5台，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B型设备的单价，再将其代入1.2x中，即可求出A型设备的单价；
(2)利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，由购买A型设备数量不少于B型设备数量的一半，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
25.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，AC=2OA，OD=OB，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=6，∠ABD=60°，
∴OA= 32AB=3 3，
∴AC=6 3；
(2)①如图1，
连接CF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD=CD，
∴∠ADC=180°−∠DAB=120°，
∵DE绕点D逆时针旋转120°，得到DF，
∴∠EDF=120°，ED=DF，
∴∠EDF=∠ADC，
∴∠EDF−∠CDE=∠ADC−∠EDC，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴∠DCF=∠DAE=60°，AE=CF，
∴点F在与CD成60° 的直线上运动，
∴当DF⊥CF时，D到EF距离最小，
∴DF最小= 32CD=3 3
∴AE=3 3，
∴BE=AB−AE=6−3 3；
②由上知：AD=CD，∠ADC=120°，∠DCF=60°，AE=CF，
∴∠ACD=∠DAC=30°，
∴∠OCF=∠ACD+∠DCF=90°，
∴S△OCF=12OC⋅CF，
∴12×3 3⋅CF=6 3，
∴CF=CF=4，
∴AE=AB−AE=6−4=2．
【解析】(1)可推出△ABD是等边三角形，OD=OB，AC⊥BD，进一步得出结果；
(2)①可证得△ADE≌△CDF.从而∠DCF=∠DAE=60°，AE=CF，从而得出点F在与CD成60° 的直线上运动，故当DF⊥CF时，D到EF距离最小，进一步得出结果；
②可得出∠OCF=∠ACD+∠DCF=90°，从而得出△OCF是直角三角形，进一步得出结果．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
26.解：(1)∵直线l1：y=−x+5经过点D(2,t)，
∴t=−2+5=3，
∴D(2,3)，
设直线l2的解析式为y=kx+b，把C(0,−1)，D(2,3)代入，
得：b=−12k+b=3，
解得：k=2b=−1，
∴直线l2的解析式为y=2x−1；
(2)设P(t,−t+5)，则Q(t,2t−1)，G(t,0)，
∴PG=|−t+5|，GQ=|2t−1|，
∵S△PCG=2S△QCG，
∴12×|−t+5|×|t|=2×12×|2t−1|×|t|，
解得：t=−1或t=75，
∴P点的坐标为(−1,6)或(75,95)；
(3)设P(m,−m+5)，Q(n,2n−1)，
当四边形CEPQ是正方形时，如图，过点P作PG//y轴，过点Q作QG⊥y轴于点F，交PG于点G，
则∠G=∠CFQ=90°，PG=−m+5−(2n−1)=−m−2n+6，GQ=n−m，FQ=n，CF=2n−1−(−1)=2n，
∵四边形CEPQ是正方形，
∴PQ=QC，∠CQP=90°，
∵∠QPG+∠PQG=90°，∠CQF+∠PQG=90°，
∴∠QPG=∠CQF，
在△QPG和△CQF中，
∠G=∠CFQ∠QPG=∠CQFPQ=QC，
∴△QPG≌△CQF(AAS)，
∴PG=FQ，GQ=CF，
∴−m−2n+6=nn−m=2n，
解得：m=−3n=3
∴点Q的坐标为(3,5)；
当四边形CQEP是正方形时，如图，过点P作PH⊥y轴于点H，过点Q作QG⊥y轴于点G，
则∠PHC=∠CGQ=90°，CH=−1−(−m+5)=m−6，PH=m，QG=−n，CG=−1−(2n−1)=−2n，
∵四边形CQEP是正方形，
∴PC=CQ，∠PCQ=90°，
∴∠PCH+∠QCG=90°，
∵∠CQG+∠QCG=90°，
∴∠PCH=∠CQG，
在△PCH和△CQG中，
∠PHC=∠CGQ∠PCH=∠CQGPC=CQ，
∴△PCH≌△CQG(AAS)，
∴CH=QG，PH=CG，
∴m−6=nm=−2n，
解得：m=4n=−2，
∴点Q的坐标为(−2,−5)；
综上所述，点Q的坐标为(3,5)或(−2,−5)．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得直线l2的解析式；
(2)设P(t,−t+5)，则Q(t,2t−1)，G(t,0)，根据S△PCG=2S△QCG，建立方程求解即可得出答案；
(3)设P(m,−m+5)，Q(n,2n−1)，分两种情况：当四边形CEPQ是正方形时，如图，过点P作PG//y轴，过点Q作QG⊥y轴于点F，交PG于点G，可证△QPG≌△CQF(AAS)，可得PG=FQ，GQ=CF，建立方程组求解即可得出答案；当四边形CQEP是正方形时，如图，过点P作PH⊥y轴于点H，过点Q作QG⊥y轴于点G，可证得△PCH≌△CQG(AAS)，得出CH=QG，PH=CG，再建立方程组求解即可得出答案．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，第(3)问运用分类讨论思想是解题关键．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
90
44.4
八年级
84
87
b
6.6
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