2024-2025学年湖南师大附中博才实验中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南师大附中博才实验中学九年级（上）入学数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.对于二次函数y=(x−1)2+2的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向下B. 对称轴是直线x=−1
C. 顶点坐标是(1,2)D. 与x轴有两个交点
2.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为( )
A. 24
B. 18
C. 12
D. 9
3.若x1，x2是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，则x1+x2−4x1x2的值为( )
A. 4B. −3C. 0D. 7
4.对于一次函数y=−2x+4，下列说法错误的是( )
A. y随x的增大而减小B. 图象与y轴交点为(0,4)
C. 图象经过第一、二、四象限D. 图象经过点(1,3)
5.六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是( )
A. 平均数是14B. 中位数是14.5C. 方差是3D. 众数是14
6.关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
7.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠OAD=40°，则∠COD=( )
A. 20°
B. 40°
C. 80°
D. 100°
8.随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2256张照片，若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为( )
A. x(x−1)=2256B. x(x+1)=2256
C. 2x(x−1)=2256D. 12x(x−1)=2256
9.函数y=ax2与y=−ax+b的图象可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.抛物线y=−3(x−1)2+5的顶点坐标为______．
11.已知A(4,y1)、B(−4,y2)是抛物线y=(x+3)2−2的图象上两点，则y1 ______y2．
12.已知(m−1)xm2+1+3x−5=0是一元二次方程，则m=______．
13.为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数x−(单位：环)及方差S2(单位：环 ​2)如表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______．
14.如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为______．
15.如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边的中点，点F在BC边上移动，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F.当四边形BEB′F为正方形时，B′D的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.计算：
2−2+ 2( 2−1)−(π−2019)0− 116
四、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解方程：
(1)(x−2)2−9=0；
(2)x2+2x=3．
18.(本小题6分)
已知抛物线y=a(x−1)2+ℎ，经过点(0,−3)和(3,0)．
(1)求a、ℎ的值；
(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F，连接EF．
(1)求证：四边形BFDE是菱形；
(2)若AB=8，AD=4，求BF的长．
20.(本小题8分)
如图，直线y=−3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C(0,−3)在y轴上，连接AC．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标；
21.(本小题9分)
某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱.已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；
(2)某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的32，该特产店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在(2)的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
22.(本小题9分)
定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”
【概念理解】
(1)在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，______是“中方四边形”(填序号)；
【性质探究】
(2)如图1，若四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，线段AC和线段BD有什么关系，并证明你的结论；
【问题解决】
(3)如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG连结BE，EG，GC，依次连接四边形BCGE的四边中点得到四边形MNRL.求证：四边形BCGE是“中方四边形”．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.D
5.D
6.A
7.C
8.A
9.B
10.(1,5)
11.>
12.−1
13.丁
14.154cm
15.2 2
16.解：原式=14+2− 2−1−14
=1− 2
17.解：(1)方程整理得：(x−2)2=9，
则x−2=±3，即x−2=3，或x−2=−3，
解得：x1=5，x2=−1；
(2)x2+2x=3，
则x2+2x−3=0，
∴(x+3)(x−1)=0，
∴x+3=0或x−1=0，
∴x1=−3，x2=1．
18.解：(1)解：将点(0,−3)和(3,0)代入抛物线y=a(x−1)2+ℎ得：a(0−1)2+ℎ=−3a(3−1)2+ℎ=0．
解得：a=1ℎ=−4，
∴a=1，ℎ=−4；
(2)∵原函数的表达式为：y=(x−1)2−4，向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得平移后的新函数表达式为：y=(x−1−1)2−4+2=x2−4x+2即y=x2−4x+2．
19.(1)证明：∵DE//BC，DF//AB，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵DE//BC，
∴∠CBD=∠EDB．
∴∠ABD=∠EDB．
∴EB=ED．
∴平行四边形BFDE是菱形；
(2)解：∵ED//BF，∠C=90°，
∴∠ADE=90°．
设BF=x，
∴DE=BE=x．
∴AE=8−x．
在Rt△ADE中，AE2=DE2+AD2
∴(8−x)2=x2+42
解得x=3，
∴BF=3．
20.解：(1)将y=0代入y=−3x+6得，
−3x+6=0，
解得x=2，
所以点A坐标为(2,0)．
将x=0代入y=−3x+6得，
y=6，
所以点B坐标为(0,6)．
(2)由B(0,6)，C(0,−3)得，
BC=6−(−3)=9，
又因为△BCP的面积为18，
则12×9×|xP|=18，
解得xP=±4，
当xP=4时，
yP=−3×4+6=−6；
当xP=−4时，
yP=−3×(−4)+6=18；
所以点P的坐标为(4,−6)或(−4,18)．
21.解：(1)设每件豆笋的进价为x元，每件豆干的进价为y元，
由题意得：2x+3y=240①3x+4y=340②，
解得：x=60y=40，
∴每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元；
(2)设购进豆笋a件，则购进豆干(200−a)件，
由题意可得：60a+40(200−a)≤10440a≥32(200−a)，
解得：120≤a≤122，且a为整数，
∴该特产店有以下三种进货方案：
当a=120时，200−a=80，即购进豆笋120件，购进豆干80件，
当a=121时，200−a=79，即购进豆笋121件，购进豆干79件，
当a=122时，200−a=78，即购进豆笋122件，购进豆干78件，
(3)设总利润为w元，
则w=(80−60)⋅a+(55−40)⋅(200−a)=5a+3000，
∵5>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=122时，w取得最大值，最大值为5×122+3000=3610，
∴购进豆笋122件，购进豆干78件可使该特产店获得利润最大，最大利润为3610元．
22.(1)④；
(2)解：AC=BD，AC⊥BD；理由如下：
∵四边形ABCD是“中方四边形”，
∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴∠FEH=90°，EF=EH，EH//BD，EH=12BD，EF//AC，EF=12AC，
∴AC⊥BD，AC=BD；
(3)证明：如图2，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，
∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，
∴MN、NR，RL，LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，
∴MN//BG，MN=12BG，RL//BG，RL=12BG，RN//CE，RN=12CE，ML//CE，ML=12CE，
∴MN//RL，MN=RL，RN//NL//CE，RN=ML，
∴四边形MNRL是平行四边形，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
又∵∠BAC=∠BAC，
∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，
即∠EAC=∠BAG，
在△EAC和△BAG中，
AE=AB∠EAC=∠BAGAC=AG，
∴△EAC≌△BAG(SAS)，
∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，
又∵RL=12BG，RN=12CE，
∴RL=RN，
∴平行四边形MNRL是菱形，
∵∠EAB=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°．
又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，
∴∠ABG+∠BPK=90°，
∴∠BKP=90°，
又∵MN//BG，ML//CE，
∴∠LMN=90°．
∴菱形MNRL是正方形，
即原四边形BCGE是“中方四边形”．
甲
乙
丙
丁
x−
9.6
8.9
9.6
9.6
S2
1.4
0.8
2.3
0.8