2023-2024学年湖南省衡阳市雁峰区成章实验学校八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市雁峰区成章实验学校八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面各数中是无理数的是( )
A. 4B. 17C. −34D. 13
2.下列计算正确的是( )
A. (a5)2=a10B. x16÷x4=x4C. 2a2+3a2=6a4D. b3⋅b3=2b3
3.下列说法中错误的是：①− 17是17的平方根；②127的立方根是±13；③−81没有立方根；④实数和数轴上的点一一对应( )
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
4.无理数 5的整数部分是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.下列能用平方差公式计算的是( )
A. (x−1)(x+1)B. (−x+1)(x−1)C. (x−1)(x+2)D. (2x+y)(2y−x)
6.若□×3xy=3x2y，则□内应填的单项式是
( )
A. xyB. 3xyC. xD. 3x
7.计算−2x(5x+2)的结果是( )
A. −10x2−2B. 10x2+4xC. 10x2−4xD. −10x2−4x
8.如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为( )
A. 3B. 6C. ±3D. ±6
9.在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b，如图1)，把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图2)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)(a−b)=a2−b2D. a(a−b)=a2+ab
10.如图，长方形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是( )
A. 3cm2
B. 4cm2
C. 5cm2
D. 6cm2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11. 16的算术平方根是______．
12.比较大小：− 7______−3．
13.已知|a+2|+ b−5=0，则a+b= ．
×(−4)2017=______．
15.计算：(16x3−8x2+4x)÷(−2x)= ．
16.观察下列等式：
第1层1+2=3
第2层4+5+6=7+8
第3层9+10+11+12=13+14+15
第4层16+17+18+19+20=21+22+23+24
…
在上述的数字宝塔中，从上往下数，2020在第______层．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
17.先化简，再求值：4(x−1)2−(2x+3)(2x−3)，其中x=−1．
18.已知实数m，n满足m+n=6，mn=−3．
(1)求(m−2)(n−2)的值；
(2)求m2+n2的值．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：(−1)2019+38− 16+| 2−2|．
20.(本小题8分)
计算：(−2x2)3÷2x−(−x)4⋅x．
21.(本小题8分)
已知：3a+21的立方根是3，4a−b−1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．
(1)求a，b，c的值；
(2)求10a+20b+c+1的平方根．
22.(本小题8分)
(1)已知am=2，an=3，求①am+n的值；②a3m−2n的值
(2)已知2×8x×16=223，求x的值．
23.(本小题8分)
若(x2+px−13)(x2−3x+q)的积中不含x项与x3项，
(1)求p、q的值；
(2)求代数式(−2p2q)2+(3pq)3+p2012q2014的值．
24.(本小题8分)
两个边长分别为a和b的正方形如图放置(图1)，其未叠合部分(阴影)面积为S1.若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形(如图2)，两个小正方形叠合部分(阴影)面积为S2．
(1)用含a、b的代数式分别表示S1、S2．
(2)若a+b=9，ab=21，求S1+S2的值；
(3)当S1+S2=30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
25.(本小题8分)
我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
例：计算(8x2+6x+1)÷(2x+1)，可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算.因此(8x2+6x+1)÷(2x+1)=4x+1．

请根据材料完成下列问题：
(1)(2x3+x−3)÷(x−1)= ______；
(2)(x3+4x2+5x−6)÷(x+2)的商是______，余式是______；
(3)已知一个长为(x+2)，宽为(x−2)的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍(如图).另有长方形C的一边长为(x+10)，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A． 4=2，是整数，属于有理数，不符合题意；
B.17是分数，属于有理数，不符合题意；
C.−34是分数，属于有理数，不符合题意；
D. 13是无理数，符合题意．
故选：D．
根据无理数的定义：无限不循环的小数叫无理数，即可求解．
本题考查无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义，学会识别无理数．
2.【答案】A
【解析】解：A、(a5)2=a10，正确；
B、x16÷x4=x12，错误；
C、2a2+3a2=5a2，错误；
D、b3⋅b3=b6，错误；
故选A
根据幂的乘方、同底数幂的乘法、同类项和同底数幂的除法计算即可．
此题考查幂的乘方、同底数幂的乘法、同类项和同底数幂的除法，关键是根据法则进行计算．
3.【答案】C
【解析】解：①− 17是17的平方根，正确；
②127的立方根为13，故错误；
③−81有立方根，故错误；
④实数和数轴上的点一一对应，正确．
综上可得①④正确．
故选：C．
分别判断每个选项，注意立方根只有一个．
本题考查平方根和立方根的知识，难度不大，注意立方根只有一个，负数也有立方根．
4.【答案】B
【解析】解：∵ 4< 5< 9，
∴2< 5<3，
∴ 5的整数部分为2，
故选：B．
看 5在哪两个整数之间即可得到它的整数部分．
本题考查估算无理数的大小的知识；用“夹逼法”得到无理数的范围是解决本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：(x−1)(x+1)符合平方差公式的形式，
则A符合题意；
(−x+1)(x−1)=−(x−1)2，它不符合平方差公式的形式，
则B不符合题意；
(x−1)(x+2)不符合平方差公式的形式，
则C不符合题意；
(2x+y)(2y−x)不符合平方差公式的形式，
则D不符合题意；
故选：A．
平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，据此进行判断即可．
本题考查平方差公式和完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意得：3x2y÷3xy=x，
故选：C．
根据题意列出算式，计算即可得到结果．
此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：−2x(5x+2)=−10x2−4x，
故选：D．
根据单项式乘多项式的法则进行计算即可求出结果．
本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的法则是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵(x±3)2=x2±6x+9，
∴在x2+mx+9中，m=±6．
故选：D．
这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故m=±6．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
9.【答案】C
【解析】解：图1阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2，
图2是长为a+b，宽为a−b的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，
所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，
即：(a+b)(a−b)=a2−b2，
故选：C．
用代数式分别表示图1、图2阴影部分的面积即可．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示两个图形中阴影部分的面积是正确解答的关键．
10.【答案】B
【解析】本题考查正方形与长方形的性质，解题的关键是设AB=xcm，AD=ycm，利用完全平方公式求出xy的值．
设AB=xcm，AD=ycm，根据题意列出方程x2+y2=17，2(x+y)=10，利用完全平方公式即可求出xy的值．
解：设AB=xcm，AD=ycm．
∵正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17cm2，
∴x2+y2=17．
∵长方形ABCD的周长是10cm，
∴2(x+y)=10，
∴x+y=5．
∵(x+y)2=x2+2xy+y2，
∴25=17+2xy，
∴xy=4，
∴长方形ABCD的面积为：xy=4cm2，
故选：B．
11.【答案】2
【解析】解： 16=4，4的算术平方根是2．
故答案为：2．
根据算术平方根定义，即可解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
12.【答案】>
【解析】解：∵−3=− 9，
又∵− 7>− 9，
∴− 7>−3；
故答案为：>．
根据有理数大小比较的规律可知两个负数比较，绝对值大的反而小，即可得出答案．
此题考查了实数的大小比较，注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
13.【答案】3
【解析】解：根据题意得：
a+2=0，b−5=0，
解得：a=−2，b=5，
∴a+b=−2+5=3．
故答案为：3．
14.【答案】−4
【解析】解：0.252016×(−4)2017
=(−0.25×4)2016×(−4)
=−4．
故答案为：−4．
直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算等知识，正确把握相关定义是解题关键．
15.【答案】−8x2+4x−2
【解析】【分析】
此题主要考查了整式的除法运算有关知识，直接利用整式除法运算法则计算得出答案．
【解答】
解：(16x3−8x2+4x)÷(−2x)
=−8x2+4x−2．
故答案为：−8x2+4x−2．
16.【答案】44
【解析】解：∵第1层第一个数为1×1=1，最后一个数为2×2−1=3；
第2层第一个数为2×2=4，最后一个数为3×3−1=8；
第3层第一个数为3×3=9，最后一个数为4×4−1=15；
⋅⋅⋅
第44层第一个数为44×44=1936，最后一个数为45×45−1=2024，
又∵1936<2020<2024，
∴从上往下数，2020在第44层．
故答案为：44．
本题的规律为：第1层第一个数为1×1=1，最后一个数为2×2−1=3；第2层第一个数为2×2=4，最后一个数为3×3−1=8；
第3层第一个数为3×3=9，最后一个数为4×4−1=15；⋅⋅⋅第44层第一个数为44×441936，最后一个数为45×45−1=2024，由此结论可得．
本题主要考查了数字的变化的规律，准确发现数字的规律是解题的关键．
17.【答案】解：原式=4(x2−2x+1)−(4x2−9)
=4x2−8x+4−4x2+9
=−8x+13，
当x=−1时，原式=8+13=21．
【解析】此题考查了整式的混合运算−化简求值，涉及的知识有：平方差公式、完全平方公式、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将x的值代入计算可得．
18.【答案】解：(1)因为m+n=6，mn=−3，
所以(m−2)(n−2)=mn−2m−2n+4=mn−2(m+n)+4=−3−2×6+4=−11．
(2)m2+n2=(m+n)2−2mn=62−2×(−3)=36+6=42．
【解析】(1)将原式展开后，再将m+n，mn代入即可求出答案．
(2)根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查整式的乘法，涉及多项式乘以多项式，完全平方公式，属于基础题型．
19.【答案】解：原式=−1+2−4+2− 2=−1− 2．
【解析】原式利用平方根、立方根定义，乘方的意义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：(−2x2)3÷2x−(−x)4⋅x
=−8x6÷2x−x5
=−5x5．
【解析】根据积的乘方，同底数幂的除法，单项式除以单项式进行计算，最后合并同类项，即可求解．
本题考查了积的乘方，同底数幂的除法，单项式除以单项式，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵3a+21的立方根是3，
∴3a+21=27，
∴a=2，
∵4a−b−1的算术平方根是2，
∴4a−b−1=4，
∴b=3，
∵c的平方根是它本身，
∴c=0，
∴a=2，b=3，c=0；
(2)当a=2，b=3，c=0时，
10a+20b+c+1
=10×2+20×3+0+1=81，
∴3a+10b+c的平方根为±9．
【解析】(1)根据立方根和平方根、算术平方根的定义求解即可；
(2)将所求的a、b、c代入求解即可．
本题考查立方根和平方根、算术平方根，正确求出a、b、c是解答的关键．
22.【答案】解：(1)①am+n=am⋅an
=2×3=6；
②a3m−2n=a3m÷a2n
=(am)3÷(an)2
=23÷32
=89；
(2)∵2×8x×16=223
∴2×(23)x×24=223，
∴2×23x×24=223，
∴1+3x+4=23，
解得：x=6．
【解析】(1)根据同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可；
(2)把各个数字化为以2为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可．
本题考查了同底数幂的乘法和除法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则以及除法法则．
23.【答案】解：(1)原式=x4+(p−3)x3+(q−3p−13)x2+(1+pq)x−13q，
∵积中不含x项与x3项，
∴1+pq=0p−3=0，
∴p=3q=−13．
(2)由(1)得pq=−1，
原式=4p2−27+(pq)2012q2
=36−27+19
=919．
【解析】(1)利用条件中积不含x项与x3项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解；
(2)利用第(1)问中的结果，代入求值．
本题考查了多项式乘多项式的运算，对学生计算能力的要求比较高．
24.【答案】解：(1)由图可得，S1=a2−b2，S2=2b2−ab．
(2)∵a+b=9，ab=21
∴S2+S2=a2−b2+2b2−ab
=a2+b2−ab
=(a+b)2−3ab
=81−3×21
=18
∴S1+S2的值为18．
(3)由图可得：
S3=a2+b2−12b(a+b)−12a2
=12( a2+b2−ab)
∵S1+S2=a2+b2−ab=30
∴S3=12×30=15
∴图3中阴影部分的面积S3为15．
【解析】(1)由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；
(2)根据S2+S2=a2−b2+2b2−ab=a2+b2−ab，将a+b=9，ab=21代入进行计算即可；
(3)根据S3=a2+b2−12b(a+b)−12a2=12( a2+b2−ab)和S2+S2=a2+b2−ab=30，可求得图3中阴影部分的面积S3．
本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．
25.【答案】2x2+2x+3 x2+2x+1 −8
【解析】解：(1)(2x3+x−3)÷(x−1)，用竖式计算如下
故答案为：2x2+2x+3；
(2)解：(x3+4x2+5x−6)÷(x+2).用竖式计算如下，
(x3+4x2+5x−6)÷(x+2)的商是x2+2x+1，余式是−8．
故答案为：x2+2x+1，−8．
(3)长方形A的周长为：2(x+2+x−2)=4x．
长方形B的周长为：2(x−2+a+x+2+6)=4x+2a+12．
∵长方形B的周长是A周长的2倍．
∴4x+2a+12=8x．
∴a=2x−6．
∴长方形B的面积为：(x+2+6)(x−2+2x−6)=(x+8)(3x−8)=3x2+16x−64．
∴长方形C的面积为：3x2+16x−140．
∴长方形C的另一边长为：(3x2+16x−140)÷(x+10)=3x−14．
∴长方形C的另一边长为：3x−14．
(1)根据题意，结合法则找规律计算即可．
(2)结合题意，根据多项式除以多项式的法则列竖式计算即可．
(3)利用面积关系求长方形的边长即可．
本题主要考查实数的运算；根据题意找出规律是解决此题的关键．