2023-2024学年河南省南阳市社旗县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市社旗县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将关于x的分式方程32x=1x−1去分母可得( )
A. 3x−3=2xB. 3x−1=2xC. 3x−1=xD. 3x−3=x
2.一种细菌的半径是4×10−5米，用小数表示为( )
A. 400000米B. 40000米C. 0.00004米D. 0.000004米
3.某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面.其中教学设计占20%，现场展示占80%.某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为( )
A. 95分B. 94分C. 92.5分D. 91分
4.下列分式变形中，正确的是( )
A. a−3b−3=abB. ab=a3b3C. ab=a+3b+3D. acbc=ab
5.下面的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是( )
计算：3aa+b+a+4ba+b
解：原式=3a+a+4ba+b①
=4a+4ba+b②
=4(a+b)a+b③
=4④
A. ①：同分母分式的加减法法则B. ②：合并同类项法则
C. ③：提公因式法D. ④：等式的基本性质
6.反比例函数y=−4x的图象一定经过的点是( )
A. (1,4)B. (−1,−4)C. (−2,2)D. (2,2)
7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A. AC=BD B. OA=OC
C. AC⊥BD D. ∠ADC=∠BCD
8.如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1=20°，则∠2的度数为( )
A. 20°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
9.对于某个一次函数y=kx+b(k≠0)，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是( )
A. k>0B. k+b>0C. kb<0D. k=−12b
10.如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF//AD，连接AF，DE.若∠FAC=15°，则∠AED的度数为( )
A. 80°
B. 90°
C. 105°
D. 115°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分式1x2+x，−1x2+2x+1的最简公分母是______．
12.某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂
家提供货源，他们的价格相同，品质也相近.质检员从两厂产品中各随机
抽取15盒进行检测，测得它们的平均质量均为200克，每盒红枣的质
量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是____(填“甲”或“乙”)．
13.随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展.敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评.某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，______，结果提前5天完成任务.问原计划平均每天制作多少个摆件？
根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是______．
14.如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(1,2).则顶点B的坐标是______．
15.如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止.过点P作PM⊥AC于点M.作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：|−2|+(12012)0+(−14)−2．
(2)化简：x2−4x2−x÷(2x−1x−1)．
17.(本小题9分)
下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式，请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
18.(本小题9分)
某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析(两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用x表示，分成6个等级：A.x<10；B.10≤x<15；C.15≤x<20；D.20≤x<25；E.25≤x<30；F.30≤x≤35).下面给出了部分信息：
a.八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如图：

b.八年级学生上学期期末地理成绩在C.15≤x<20这一组的成绩是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18；
c.八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：m= ______；
(2)若x≥25为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有______人；
(3)你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．
19.(本小题9分)
如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM，请从以下三个选项中①∠1=∠2；②AM=DM；③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是______(填序号)；
(2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．
20.(本小题9分)
如图，正方形ABCD的边长为4，P为DC上一点．设DP=x．
(1)求△APD的面积y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)并画出这个函数的图象．
21.(本小题9分)
如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系.当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示．
(1)水温从20℃加热到100℃需要______分钟；
(2)在水温下降过程中，请求出反比例函数表达式；
(3)求在一个加热周期内水温不低于40℃的时间范围？
22.(本小题10分)
某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型.A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
23.(本小题10分)
【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及部分答案如下．
根据上述内容，请你把上述证明过程补充完整．
【类比探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH.试猜想EG与FH的数量关系，并证明你的猜想．
【拓展探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为点O.若正方形ABCD的边长为12，DE=5，则四边形EFCG的面积为______．
答案解析
1.A
【解析】解：32x=1x−1，
去分母，得：3(x−1)=2x，
整理，得：3x−3=2x，
故选：A．
方程两边同乘2x(x−1)，然后整理即可判断哪个选项符合题意．
本题考查解分式方程，解答本题的关键是找出最简公分母．
2.C
【解析】解：4×10−5米=0.000 04米．
故选：C．
小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零)．
3.B
【解析】解：由题意可得，
90×20%+95×80%=94(分)，
即她的最后得分为94分，
故选：B．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出她的最终得分．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式．
4.D
【解析】解：a−3b−3不一定与ab相等，比如2−35−3=−12≠25，则A不符合题意；
ab与a3b3不一定相等，比如23≠2333，则B不符合题意；
ab与a+3b+3不一定相等，比如23≠2+33+3则C不符合题意；
acbc=ab，则D符合题意；
故选：D．
利用分式的基本性质逐项判断即可．
本题考查分式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5.D
【解析】解：A、①：同分母分式的加减法法则，正确，故A不符合题意；
B、②：合并同类项法则，正确，故B不符合题意；
C、③：提公因式法，正确，故C不符合题意；
D、④：分式的基本性质，故错误，故D符合题意；
故选：D．
根据分式的加减法法则计算即可．
此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．
6.C
【解析】解：∵反比例函数y=−4x，
∴k=−4，
A、∵1×4=4≠−4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
B、∵−1×(−4)=4≠−4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
C、∵−2×2=−4，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；
D、∵2×2=4≠−4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．
故选：C．
根据k=xy对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键．
7.B
【解析】解：A、错误．平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，不合题意；
B、正确．因为平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
C、错误．平行四边形的对角线不一定垂直，不合题意；
D、错误．平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，不合题意；
故选：B．
利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8.C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD，
∴∠DCA=∠1=20°，
∴∠2=90°−∠DCA=70°，
故选：C．
根据菱形的性质和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
9.B
【解析】解：由两位同学的对话可知，一次函数的大致图象如图所示，
由函数图象可知，
y随x的增大而增大，
所以k>0．
故A选项不符合题意．
当x=1时，函数值小于零，
所以k+b<0．
故B选项符合题意．
因为一次函数与y轴交于负半轴，
所以b<0，
所以kb<0．
故C选项不符合题意．
将点(2,0)代入一次函数解析式得，
2k+b=0，
所以k=−12b．
故D选项不符合题意．
故选：B．
根据两位同学的对话，画出一次函数的大致图象，结合图形即可解决问题．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟知一次函数的图象和性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
10.C
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OD，∠OBC=∠OCB=∠OAD=∠ODA=45°，
∵EF//BC，
∴∠OEF=∠OCB=45°，∠OFE=∠OBC=45°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴∠AEF=∠DFE=135°，OE=OF，
∵OA=OD，
∴AE=DF，
在△AEF和△DFE中，
AE=DF∠AEF=∠DFE=135°EF=FE,
∴△AEF≌△DFE(SAS)，
∴∠CAF=∠FDE=15°，
∴∠ADE=∠ODA−∠FDE=45°−15°=30°，
∴∠AED=180°−∠OAD−∠ADE=180°−45°−30°=105°．
故选：C．
先根据正方形的性质及EF//BC得∠OEF=∠OCB=45°，∠OFE=∠OBC=45°，进而得∠AEF=∠DFE=135°，OE=OF，然后证△AEF和△DFE全等，得∠CAF=∠FDE=15°，从而得∠ADE=30°，最后利用三角形的内角和定理可求出∠AED的度数．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，解答此题的关键是依据正方形的性质得出判定△AEF和△DFE全等的条件．
11.x(x+1)2
【解析】解：x2+x=x(x+1)，x2+2x+1=(x+1)2，
则分式1x2+x，−1x2+2x+1的最简公分母是x(x+1)2，
故答案为：x(x+1)2．
先把分式的分母因式分解，再确定最简公分母．
本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
12.甲
【解析】解：从图中折线可知，乙的起伏大，甲的起伏小，
所以乙的方差大于甲的方差，
因为方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，
所以产品更符合规格要求的厂家是甲．
故答案为：甲．
13.实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍 实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍
【解析】解：设原计划平均每天制作x个摆件，由3000x=30001.5x+5知，横线处空缺的条件应是实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，
故答案为：实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍．
设原计划平均每天制作x个摆件，由3000x=30001.5x+5即可求解．
本题考查了分式方程的应用等知识，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14.(4,2)
【解析】解：如图，延长BC交y轴于点D，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC=OA，BC//OA，
∵OA⊥y轴，
∴BC⊥y轴，
∵A(3,0)，C(1,2)，
∴BC=OA=3，CD=1，OD=2，
∴BD=CD+BC=1+3=4，
∴B(4,2)，
故答案为：(4,2)．
延长BC交y轴于点D，由平行四边形的性质得BC=OA，BC/​/OA，再证BC⊥y轴，然后求出BC=OA=3，CD=1，OD=2，则BD=CD+BC=4，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质以及坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15.(325,245)
【解析】解：连接CP，如图，
∵AB=10，BC=6，AC=8，
∴BC2+AC2=36+64=100，AB2=100，
∴BC2+AC2=AB2，
∴∠ACB=90°．
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴四边形MPNC为矩形，
∴MN=CP．
∵点P为线段AB上的动点，由于垂线段最短，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，即y=MN取得最小值．
过点C作CP⊥AB于点P，
∵∠ACB=90°，CP⊥AB，
∴△ACP∽△ABC，
∴ACAB=CPBC=APAC，
∴810=CP6=AP8，
∴CP=245，AP=325．
∴当t=325时，y取得最小值为245．
∴函数图象最低点E的坐标为(325,245).
故答案为：(325,245).
连接CP，利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形MPNC为矩形，利用矩形的对角线相等得到MN=CP，再利用垂线段最短的性质得到当CP⊥AB时，MN取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数的图象，函数的极值，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题的关键．
16.解：(1)原式=2+1+16
=19；
(2)原式=(x+2)(x−2)x(x−1)÷2(x−1)−xx(x−1)
=(x+2)(x−2)x(x−1)÷2x−2−xx(x−1)
=(x+2)(x−2)x(x−1)⋅x(x−1)x−2
=x+2．
【解析】(1)先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义计算，然后进行有理数的加法运算；
(2)先把括号内通分，再可进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．也考查了实数的运算．
17.解：由题意可得Ma+1=a2a(a+1)=aa+1，
则M=a，
那么aa+1−1a2+a
=a2a(a+1)−1a(a+1)
=a2−1a(a+1)
=(a+1)(a−1)a(a+1)
=a−1a，
当a=100时，
原式=100−1100=99100．
【解析】由题意先求得M，然后将分式进行化简，最后代入已知数值进行计算即可．
本题考查分式的化简求值，由已知条件求得M的值是解题的关键．
18.16 35
【解析】解：(1)把八年级上学期40名学生的地理成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为16，16，故中位数m=16+162=16．
故答案为：16；
(2)200×6+140=35(人)，
即这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人．
故答案为：35；
(3)该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高，理由如下：
因为该校八年级学生的期末地理成绩下学期的平均数、众数和中位数均比上学期大，所以该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高．
(1)根据中位数的定义可得m的值；
(2)用200乘样本中下学期期末地理成绩达到优秀的学生所占比例即可；
(3)比较平均数、众数和中位数可得答案．
本题考查条形统计图，样本估计总体的思想，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.(1)①(或②，答案不唯一)；
(2)证明：
若添加条件①：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠A+∠D=180°，
在△ABM和DCM中，
AB=DC∠1=∠2BM=CM，
∴△ABM≌DCM(SAS)，
∴∠A=∠D，
∴∠A=∠D=90°，
∴▱ABCD为矩形．
若添加条件②：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠A+∠D=180°，
在△ABM和DCM中，
AB=DCAM=DMBM=CM
∴△ABM≌DCM(SSS)，
∴∠A=∠D，
∴∠A=∠D=90°，
∴▱ABCD为矩形．
【解析】(1)见答案；(不选择③的原因：∠3=∠4可以由BM=CM得到)
(2)见答案；
20.解：(1)S△ADP=12⋅DP⋅AD=12x×4=2x，
∴y=2x，(0(2)此函数是正比例函数，图象经过(0,0)(1,2)，
因为自变量有取值范围，所以图象是一条线段．

【解析】(1)S△ADP=12⋅DP⋅AD，然后代入数计算即可，由于P为DC上一点．故0(2)由(1)得到函数关系式后再画出图象，画图象时注意自变量取值范围．
此题主要考查了三角形的面积的求法以及画正比例函数的图象，画图象不注意自变量取值范围是同学们容易出错的地方．
21.4
【解析】解：(1)∵开机加热时每分钟上升20℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为100−2020=4(min)，
故答案为：4；
(2)设水温下降过程中，y与x的函数关系式为y=kx，
由题意得，点(4,100)在反比例函数y=kx的图象上，
∴ k100=4，
解得：k=400，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400x；
(3)在加热过程中，水温为40℃时，20x+20=40，
解得：x=1，
在降温过程中，水温为40℃时，40=400x，
解得：x=10，
∵10−1=9，
∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min．
(1)根据水温升高的速度，即可求出水温从20℃加热到100℃所需的时间；
(2)设水温下降过程中，y与x的函数关系式为y=kx，根据待定系数法即可求解；
(3)分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断．
本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析数，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题．
22.解：(1)设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价是(x−200)元．
根据题意：2000x=1200x−200，
解这个方程，得：x=500，
经检验，x=500是原方程的根，
∴x−200=300，
答：A型机器人模型单价是500元，B型机器人模型单价是300元；
(2)设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型(40−m)台，
购买A型和B型机器人模型共花费w元，
由题意得：40−m≤3m，
解得：m≥10，
w=500×0.8·m+300×0.8(40−m)，
即：w=160m+9600，
∵160>0
∴w随m的增大而增大．
当m=10时，w取得最小值11200，
∴40−m=30
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【解析】(1)根据“用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同”列方程求解；
(2)先根据“购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍”求出取值范围，再根据一次函数的性质求解．
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，找到相等关系是解题的关键．
23.1692
【解析】【教材呈现】证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DCF=90°，BC=CD，
∴∠BCE+∠DCE=90°，
∵CE⊥DF，
∴∠COD=90°，
∴∠CDF+∠DCE=90°，
∴∠CDF=∠BCE，
∴△CBE≌△DFC(ASA)，
∴CE=DF；
【类比探究】解：EG=FH，证明如下：
如图，过点A作AM//HF交BC于点M，作AN//EG交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB/​/CD，AD//BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM=HF，AN=EG，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，AN//EG，AM//HF，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
在△ABM和△ADN中，
∠BAM=∠DANAB=AD∠ABM=∠ADN，
∴△ABM≌△ADN(ASA)，
∴AM=AN，
即EG=FH；
【拓展探究】解：∵FG⊥CE，
由类比探究知FG=CE，
∵正方形ABCD的边长为12，DE=5，
∴∠D=90°，
∴CE= 122+52=13=FG，
则S四边形EFCG=S△FCE+S△GCE=12CE⋅OF+12CE⋅OG=12CE⋅(OF+OG)=12CE⋅FG=12×13×13=1692．
【教材呈现】直接证明△CBE≌△DFC，即可证明结论；
【类比探究】过点A作AM//HF交BC于点M，作AN//EG交CD的延长线于点N，证明△ABM≌△ADN，即可证明结论；
【拓展探究】先求出CE，进而求出面积．
本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及勾股定理应用，添加辅助线是解题的关键．函数图象不经过第二象限．
函数图象经过(2,0)点．
解设原计划平均每天制作x个，根据题意，得3000x=30001.5x+5
例：先化简，再求值：Ma+1−1a2+a，其中a=100．
解：原式=a2a(a+1)−1a(a+1)
……
学期
平均数
众数
中位数
八年级上学期
17.7
15
m
八年级下学期
18.2
19
18.5
2.如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF.求证：CE=DF．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DCF=90°，BC=CD．
……