2022-2023学年陕西省西安市周至六中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市周至六中高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，是两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则

3.  如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  已知向量，，且，则实数的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5.  三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  设为虚数单位，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  直线与平面平行，且直线，则直线和直线的位置关系不可能为(    )

A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 没有公共点

8.  已知向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为．(    )

A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

10.  如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上、下底面的半径分别为和，球的表面积为，则该圆台的体积为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，处为长江南岸某渡口码头，北岸码头与码头相距，江水向正东流．已知一渡船从码头按方向以的速度航行，且，若航行到达北岸的码头，则江水速度是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的体积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知复数，，则      ，      ．

14.  已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为的等腰三角形，则该圆锥的体积为______．

15.  如图，在中，向量，且，则______．

 

16.  已知中，角，，所对的边分别是，，，若的面积为，则的度数为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数，其中是虚数单位，为实数．
当复数为纯虚数时，求的值；
当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求的取值范围．

18.  本小题分
已知长方体中，、分别为和的中点，求证：
，，，四点共面；
、、三线共点．

19.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，求的周长．

20.  本小题分
已知，，．
求向量与所成角的余弦值；
若，求实数的值．

21.  本小题分
在中，，，分别为角，，的对边，且．
求；
若，求的取值范围．

22.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，点是的中点．
求证：平面；
已知，求三棱锥的表面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算和共轭复数的定义，属于基础题．
根据复数的运算性质求出，再求出即可．

【解答】

解：，
，
，
故选C．

2.【答案】 

【解析】解：对于，若，，则或，A错误；
对于，若，，，则或，异面，B错误；
对于，若，，则或，C错误；
对于，由线面平行的性质知正确．
故选：．
由空间线面位置关系的判定及性质依次判断即可．
本题主要考查线面关系有关命题的判定，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，矩形，，，
则，
如图：原图矩形中，，，
，
则四边形的周长；
故选：．
根据题意，作出原图矩形，分析原图中、的值，进而计算可得答案．
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：向量，，且，
，
实数或，
故选：．
由题意，利用两个向量垂直的性质，列方程求出的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题意，证出平面，是三棱锥的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出，得外接球半径，从而得到所求外接球的表面积本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．
【解答】
解：平面，平面，
，
又，，平面，平面，
平面，平面，
，
、都是直角三角形，取的中点，
则，即点为三棱锥外接球的表面积，
是三棱锥的外接球直径；
中，，，
，可得外接球半径，
外接球的表面积，
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：因为，
则，
所以，解得，
所以．
故选：．
根据复数的四则运算先求出的值，然后利用复数求模的计算即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：直线与平面平行，与平面没有公共点，
又直线，与没有公共点，故C错误，D正确；
直线与直线没有公共点，则与可能平行，也可能异面，故A与都有可能．
故选：．
由直线与平面平行的定义可得与平面没有公共点，即可判断与；结合没有公共点的直线可能平行也可能异面判断与．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以，即，
所以，解得或舍，
所以．
故选：．
由求得，再用倍角公式求即可．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角形的形状的判断，涉及到平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
设边的中点为，则，再由已知关系式化简可得，由此即可判断三角形的形状．

【解答】

解：设边的中点为，则，
由可得：，
则，即，又为的中点，所以，即三角形为等腰三角形．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：因为圆台外接球的表面积，所以球的半径，
设圆台的上、下底面圆心分别为，，在上、下底面圆周上分别取点，，
连接，，，，，，如图，

因为圆台上、下底面的半径分别为和，
所以，，
所以，
所以，
所以圆台体积．
故选：．
由球的表面积求出球的半径，然后通过轴截面求出圆台的高，进一步求出圆台的体积．
本题考查了圆台的体积计算，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，

北岸码头与码头相距，且航行时间为，
合速度为，在中，，，，
．
即江水速度是．
故选：．
由题意画出图形，求出，求解直角三角形得答案．
本题考查三角形的解法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角三角形的直三棱柱；
如图所示：

设外接球的半径为，即，
故球心满足：，
所以．
故选：．
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出外接球的半径，最后求出球的体积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

13.【答案】

【解析】解：，，
；
．
故答案为：；．
利用复数代数形式的乘除运算化简，得到，再由复数模的计算公式求；利用等比数列的前项和公式化简，再由虚数单位的运算性质得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，训练了等比数列前项和的求法，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为的等腰三角形，可得圆锥的底面半径为：，圆锥的高为：，
圆锥的体积为：．
故答案为：．
求出圆锥的底面半径以及圆锥的高，然后求解几何体的体积．
本题考查圆锥的体积的求法，求解圆锥的底面半径与高是解题的关键，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，，三点共线，
，
，
故答案为：．
利用三点共线定理求解即可．
本题平面向量基本定理，三点共线的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由余弦定理可知





故答案为：
先由余弦定理求得，代入题设三角形面积的表达式，进而利用三角形面积公式建立等式求得和的关系求得．
本题主要考查了余弦定理的应用．解题的过程中主要是利用了余弦定理的变形公式，把边的问题转化为角的问题．
 

17.【答案】解：因为为纯虚数，
所以，解得，
综上可得，当为纯虚数时；
因为在复平面内对应的点位于第三象限，
，解得，
故的取值范围为． 

【解析】根据已知条件，结合纯虚数的概念，即可求解．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

18.【答案】证明：如图，连接，
因为、分别为和的中点，
所以，
因为在长方体中，
易知，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以与确定一个平面，
所以，，，四点共面；
因为，且，
所以直线与必相交，
设，
因为，平面，
所以平面，
又因为，平面，
所以平面，
所以是平面与平面的公共点，
又因为平面平面，所以，
所以、、三线共点． 

【解析】本题考查四点共面的证明，三条直线交于一点的证明，考查空间中线线、线面、面面位置关系等基础知识，属于基础题．
连接，推出四边形为平行四边形，由此能证明，，，四点共面；
推导出直线与必相交，设，推导出是平面与平面的公共点，由此能证明、、三线共点．
 

19.【答案】解：由正弦定理得，
即，
则．
因为，
所以，
所以，解得．
由知，，又，，
所以由余弦定理可得，
即，解得舍或，
所以三角形的周长为． 

【解析】先用正弦定理进行边化角，进而通过两角和与差的正弦公式化简，最后求得答案．
结合，运用余弦定理求出，进而求出三角形的周长．
本题主要考查正弦定理，以及余弦定理的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：，，，
设向量与所成角为，则，
向量与所成角的余弦值为；
，，
又，，解得． 

【解析】由已知可得的坐标，再由平面向量数量积求夹角公式求解；
由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求值．
本题考查平面向量的坐标运算，训练了利用数量积求两个向量的夹角，考查运算求解能力，是基础题．
 

21.【答案】解：，
又，
，
，
，
，
，
，
．
，，
则，解得，
由余弦定理可知，，当且仅当时，等号成立，
故，
，
，
在中，恒成立，
，当且仅当时，等号成立，
故，
综上所述，的取值范围为． 

【解析】根据已知条件，结合三角形内角和定理，以及三角函数的恒等变换公式，即可求解．
根据条件，先求出，再结合余弦定理，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查余弦定理，以及基本不等式的公式，属于中档题．
 

22.【答案】证明：连接，与交于，如图所示：
中，因为，分别为，的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
四棱锥中，底面是边长为的正方形，所以，
又，所以平面，
所以，
，
，
又，所以，
所以，
所以三棱锥的表面积为：
． 

【解析】连接，与交于，证明，然后证明平面．
由题意知三棱锥各个面都是直角三角形，由此求出表面积．
本题考查了线面平行的证明问题，也考查了多面体的表面积计算问题，是中档题．