2022-2023学年陕西省西安市周至四中高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市周至四中高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则

A.  B.  C.  D.

4.  的展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知曲线在点处的切线方程为，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.  已知非零向量，满足，且，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则(    )

A. ，且直线，是相交直线
B. ，且直线，是相交直线
C. ，且直线，是异面直线
D. ，且直线，是异面直线
 

9.  已知奇函数在上是增函数．若，，，则，，的大小关系为  (    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知，是椭圆：的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为

A.  B.  C.  D.

12.  已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论：
的一个周期是；是非奇非偶函数；
在单调递减；的最大值大于．
其中所有正确结论的编号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则          ．

14.  若，满足约束条件，则的最大值为______．

15.  已知数列的前项和，设，则数列的前项和______．

16.  已知函数，则的最小值是          ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
Ⅱ若，，求的面积．

18.  本小题分
某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量指标值服从正态分布，并把质量指标值在内的产品称为优等品，质量指标值在内的产品称为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产的产品中随机抽取件，测得产品质量指标值的样本数据统计如图：
根据频率分布直方图，求样本平均数；
根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
假如企业包装时要求把件优等品件一等品装在同一个箱子甲，质检员每次从箱子中随机取出件产品进行检验，记取出件产品中优等品的件数为，求的分布列以及数学期望．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，底而是菱形，且，，，分别为，的中点，且．
求证：平面平面；
求锐二面角的余弦值．

20.  本小题分
已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．
求抛物线方程；
设点，过点作直线与抛物线交于，两点，且，若，求的最小值．

21.  本小题分
已知函数有两个零点，
求的取值范围；
记的极值点为，求证：

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
若直线与曲线交于，两点，求线段的中点到坐标原点的距离．

23.  本小题分
已知函数．
当时，解不等式；
若关于的不等式的解集包含，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，又，
，
故选：．
先化简，再运算即可得解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数代数形式的乘法和除法法则，属于基础题．
利用复数的运算法则求解即可．

【解答】

解：由，得

．
故选D．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的通项公式，属基础题．
设等比数列的公比为，根据条件可得，解方程即可．

【解答】

解：设等比数列的公比为，
则由前项和为，且，
有
，
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理，以及二项展开式的特定项系数，属于基础题．
利用二项展开式的通项直接求解即可．

【解答】

解：的展开式的通项为，
则的展开式中的系数为：
．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
将代入，得，．
故选：．
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属于基础题．
由，可得，进一步得到，然后求出夹角即可．

【解答】

解：，

，
，
，
，
故选B．

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，则，
，
，，
则，
故选：．
根据同角三角函数关系进行求解，结合两角和差的余弦公式进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的余弦公式进行转化是解决本题的关键．难度中等．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，如图所示，连接，点为正方形的中心，则在上，
故E、都在平面上，
结合图形易得，直线，是相交直线，
再作于，连接，过作于，连接，
由于平面平面，平面，
则平面，平面，与均为直角三角形．
设正方形边长为，易知，，，
故选：．
根据题意，连接，分析有、、、四点共面，易得直线，是相交直线，再作于，连接，过作于，连接，求出、的长，即可得答案．
本题考查空间直线与直线的位置关系，涉及异面直线的定义，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题．
根据奇函数在上是增函数，化简、、，进而可得出，，的大小．

【解答】

解：奇函数在上是增函数，
，，，
又，
，
即．
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了棱锥与球的结构特征，常见几何体的体积与表面积计算，属于中档题．
根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积．
【解答】
解：，，
所以，
由勾股定理的逆定理得，
过的中点作平面的垂线，

则球心在直线上，
设，球的半径为，则棱锥的高的最大值为，
，
，
由勾股定理得：，
解得，
球的表面积为．
故选D．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．
求得直线的方程，根据题意求得点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．

【解答】

解：由题意可知：，，，
直线的方程为：，
由，，
则，
代入直线的方程得，整理得：，
离心率．
故答案选：．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
的一个周期是，故正确；
，
，
，，是非奇非偶函数，故正确；
当时，，，，
，故错误；
，故正确．
正确结论的序号是．
故选：．
由三角函数的概念判断；由，判断；求出当时为定值判断；求出的值判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，属于基础题．
判断概率类型满足二项分布是解题的关键．判断概率满足的类型，然后利用公式求方差即可．

【解答】

解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是二项分布模型，
其中，，，
则．
故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查线性规划中的最值问题，属于基础题．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域，如图：

由，得，
平移直线，由图象知当直线经过点时，
直线的纵截距最大，此时最大，
则，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力，属于较易题目．
令，；时，，推出，然后求解通项公式，化简数列的通项公式，求解数列的和即可．
【解答】
解：令，；
时，，
整理得：，
所以，，
．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式及其应用，考查导数法求函数在区间的最值，属于中档题．
由题意可得是的一个周期，问题转化为在上的最小值，进行求解即可．

【解答】

解：由题意，可得是的一个周期，
故只需考虑在上的值域，
求导数可得
，
令，可解得或，
可得：，或或；
的最小值只能在，或或或中取到，
计算可得 ，， ，，
函数的最小值为，
故答案为：．

17.【答案】解：．
．
；
由正弦定理可得：
，
，
，
，
，
；
由正弦定理可得：
；
因为；
，
故C．
． 

【解析】由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围，可求的值；
先由正弦定理求得，进而得到，即可求得其面积．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图可知，
．
由题意可知，样本方差，故，
所以质量指标值，
该厂生产的产品为正品的概率．
的可能取值为，，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为

数学期望． 

【解析】根据平均数的运算公式，代入数值计算即可；
由已知可得，质量指标值，该厂生产的产品为正品的概率；
根据求离散型随机变量分布列的步骤，确定取不同值时的概率，列表对应，列出的分布列，根据数学期望公式，代入数值求解即可．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，正态分布等概率统计类基础知识，属于中档题．
 

19.【答案】证明：过作，垂足为，连结，，
由，得，
在中，，
，，，
≌，，
，分别是，的中点，，
是的中位线，，
，，
，平面，
又平面，平面平面．
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
，，
平面的一个法向量，
设平面的法向量，
则，取，得，
设锐二面角的平面角的大小为，
则，
锐二面角的余弦值为． 

【解析】过作，垂足为，连结，，推导出，，，从而≌，进而，推导出，从而平面，由此能证明平面平面．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：抛物线的焦点为，
抛物线上的点到轴的距离等于，
可得，所以，
抛物线方程为．
由题意知，，，
，，
则

，
令，，


，当时取等号．
故的最小值为， 

【解析】利用已知条件求出，得到抛物线方程．
求出，，，转化推出的表达式，利用二次函数的性质求解最小值即可．
本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

21.【答案】解：函数的定义域为，令，则，
依题意，函数的图象与直线有两个交点，
由得，
当时，，单减，当时，，单增，
且，当时，，当时，，如下图所示，

由图可知，实数的取值范围为；
由知，，且由得，
函数有两个零点，，
，
，
不妨设，则，
令函数，则，
当时，，当时，，
函数在上单增，在上单减，
，
，即，
，，
，
，即，
要证，即证，即证，即证，即证，
令，再令，即证，
令，则，
在上单调递增，
，即，即得证． 

【解析】问题等价于函数的图象与直线有两个交点，利用导数研究的性质即可得出的取值范围；
先由题意得，再构造函数可知，进而把所证不等式转化为，再通过换元，构造新函数利用导数得证．
本题主要考查根据导数研究函数的单调性与最值，考查推理能力与运算能力，属于难题．
 

22.【答案】解：直线的参数方程为为参数，
将代入，
整理得，
所以直线的普通方程为．
由得，
将，代入，
得，
即曲线的直角坐标方程为．
设，的参数分别为，．
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：
，
化简得，
由韦达定理得：，
于是．
设，
则，
则．
所以点到原点的距离为． 

【解析】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
利用的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．
 

23.【答案】解：当时，，
当时，，
由，解得，综合得；
当时，，
由，解得，综合得；
当时，，
由解得，综合得．
所以的解集是．
的解集包含，
当时，恒成立，原式可变为，即，
即在上恒成立，
显然当时，取得最小值，
即的取值范围是． 

【解析】本题考查了不等式和绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
通过讨论去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．
题目转化为当时，恒成立，即，转化求解即可．