福建省福州延安中学2024-2025年九年级上学期开学数学试题（解析版）

这是一份福建省福州延安中学2024-2025年九年级上学期开学数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分；时间：120分钟）
一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1. 下列式子是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，此类题目要求理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．二次根式的定义：形如的式子是二次根式．关键是，根据定义可得答案．
【详解】解：A．不是二次根式，故本选项不符合题意．
B． 是二次根式，故本选项符合题意．
C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意．
D．，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器成功在月球背面南极——艾特肯盆地着陆，并采样，是世界首次在月球背面采集土壤样品，对月球的探索有着重要的意义．下表记录了甲、乙、丙、丁四种着陆方案的平均时间与方差：
根据表中数据，要从中选择一种平均时间短且着陆稳定的方案，应该选择（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查方差以及平均数的意义，解题的关键是掌握：方差越小数据越稳定、平均数越小时间越短．据此判断即可．
【详解】解：∵平均时间短的着陆方案是甲和丁，着陆稳定的方案甲和乙，
∴选择一种平均时间短且着陆稳定的方案，应该选择甲．
故选：A．
3. 如图，，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，
∴，
∴数轴上点C所表示的数为，
故选：B．
4. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数得图像与几何变换，熟知二次函数图像平移得法则是解题的关键．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是．
故选C．
5. 已知抛物线上的两点和，那么下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．由解析式求得二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据、到对称轴的距离的大小即可判断．
【详解】解：，
二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
和，
，
，
故选：C．
6. 如图，在菱形中，是菱形的高，若对角线、的长分别是6、8，则的长是（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要菱形的性质，掌握菱形的面积为对角线积的一半是本题的关键．
由菱形的性质可得，由勾股定理可求，由菱形的面积公式及等面积法即可解答．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
故选：D．
7. 为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，根据年底全市共285个社区实现垃圾分类，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，
依题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2=285．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax-bc的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由y=ax2+bx+c的图象判断出a＞0，b＞0 c<0，，于是得到一次函数y=ax-bc的图象经过一，二，三象限，即可得到结论．
【详解】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0，
∵y=ax2+bx+c的图象交y轴于下方，
∴c<0，
∴bc<0
∴-bc＞0
∴一次函数y=ax-bc图象经过一，二，三象限．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由二次函数图象可以判断a、b、c的符号．
9. 如图，在中，点分别是的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（）
A. 四边形一定是平行四边形
B. 若，则四边形是矩形
C. 若四边形是菱形，则是等边三角形
D. 若四边形是正方形，则是等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定进行依次推理，可求解．
【详解】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
，
∴四边形ADEF是平行四边形
故A正确，
若∠B+∠C=90°，则∠A=90°
∴四边形ADEF是矩形，
故B正确，
若四边形ADEF是菱形，则AD=AF，
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
故C不一定正确
若四边形ADEF是正方形，则AD=AF，∠A=90°
∴AB=AC，∠A=90°
∴△ABC是等腰直角三角形
故D正确
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
10. 已知关于x的一元二次方程，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为，且，则；③若两个根为，则；④若（p为常数），则代数式的值为一个完全平方数（整数的平方），其中正确的结论是（ ）．
A. ②④B. ①③C. ①②③D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，把原方程化为一般式，求出，据此可判断①；由根与系数的关系得到，据此可得当，则，据此可判断②；根据根与系数的关系得到，，则可证明，据此可判断③；求出，当p为奇数时，不是整数，此时不是一个完全平方数，据此可判断④．
【详解】解：把原方程化为一般式为，
∴，
∴方程总有两个不等的实数根，故①正确；
若两个根为，则，
故当，则，故②错误；
若两个根为，则，，
∴，
，
∴，故③正确；
∵，
∴
，
当p为奇数时，不是整数，此时不是一个完全平方数，故④错误；
故选：B．
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11. 二次根式中，x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，即可．
【详解】解：根据题意得∶，
∴．
故答案：．
12. 如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了______米．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理求．在直角中，为斜边，已知，，则根据勾股定理可以求斜边，根据少走的距离为可以求解．
【详解】解：在中，为斜边，
米，
少走的距离为
（米），
故答案为：4．
13. 一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据一次函数经过的象限求参数范围，根据一次函数经过的象限可得，进而即可求得的范围．
【详解】解：∵次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，解得，
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，点B的坐标是，则AC的长是___________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可解答．
【详解】解：连接

∵点B的坐标是，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据勾股定理求出是解本题的关键．
15. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，由根与系数的关系得到，由方程解的定义得到，则，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以为原点，点所在直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，以为原点，点所在直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，
，
则点的坐标为，则抛物线的表达式为，
∵碗口宽，此时面汤最大深度，
∴，
将代入抛物线解析式得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，
∴旋转前与水平方向夹角为，
设直线的解析式为，
将代入解析式得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，满分86分）
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂、绝对值、算术平方根、负整数指数幂的运算法则分别计算即可．熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
18 解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先合并，再利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得．
19. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，点F．连接AF、CE．试判断AF与CE的关系并说明理由．
【答案】AF=CE，．理由见解答．
【解析】
【分析】先证，再证△ABE≌△CDF得AE=CF，得四边形AECF是平行四边形；由平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】解∶ AF=CE， ，理由如下∶
∵四边形ABCD是矩形，
∴， AB=CD ．
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD， CF⊥BD，
∴，
∴，
△A BE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF ( AAS )，
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF=CE， ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求k的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先计算出的值，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用因式分解法求出方程的解，再分类讨论当或时为等腰三角形，然后求出的值．
【小问1详解】
证明：由题意可得：
，
∴方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵
∴，
∴，，则，，
当时，为等腰三角形，则，解得，
由于，此时三角形不存在，不符合题意；
当时，为等腰三角形，则，解得，
，此时三角形存在，符合题意；
∴当是等腰三角形时，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
21. 如图，在中，∠ACB为钝角．
（1）尺规作图：在边AB上确定一点D，使∠ADC＝2∠B（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
（2）在（1）的条件下，若∠B＝15°，∠ACB＝105°，CD＝3，AC＝，求的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D，连接CD，点D即为所求；
（2）根点C作CH⊥AB于点H，求出AB，CH可得结论．
【小问1详解】
解：如图，点D即为所求；
【小问2详解】
解：过点C作CH⊥AB于点H．
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝30°，
∵∠ACB＝105°，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝，
∴AC＝CD•tan30°＝1，
∴AD＝2AC＝2，CH＝CD＝，
∵AB＝AD+BD＝2+，
∴S△ABC＝•AB•CH＝×（2+）×＝．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22. 问题情境
某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有两款语音识别输入软件，该公司准备择优购买．
实践发现
测试员小林随机选取了20段短文，其中每段短文都有10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理数据如下．
款软件每段短文中识别正确的字数记录为∶．
实践探究
、两款软件每段短文中识别正确的字数分析数据如下表∶
问题解决
（1）上述表格中：_______，_______．
（2）若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由(写出一条理由即可)；
（3）若会议记录员用、两款软件各识别了800段短文，每段短文有10个文字，请估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有多少段？
【答案】（1）7.7，8
（2）我会向公司推荐款软件，见解析
（3）估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有280段
【解析】
【分析】（1）根据平均数、中位数的意义，可以得到结果；
（2）根据表格中的数据，由于平均数相同，因此可以从9字及以上次数所占百分比比较得出答案；
（3）分别求出把款语音识别完全正确的百分比和款语音识别完全正确的百分比，再根据题意求解即可；
本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是读懂题意，理解各个概念的内涵和计算方法，利用数形结合的思想解答．
【小问1详解】
故款的平均数为，即，
由折线图可得，将款语音识别输入软件每次识别正确的字数从小到大排列，第10，11个数都是8，故中位数为8，即，
故答案为：，8．
【小问2详解】
我会向公司推荐款软件．
理由：款语音识别输入软件更准确，因为在9字及以上次数所占百分比中，款是，大于款，说明款识别准确率更高．
∴假如我是小林，我会向公司推荐款软件．
【小问3详解】
款语音识别完全正确的百分比是，
B款语音识别完全正确的百分比是，
估计这800段话中输入完全正确的有：(段)．
答：估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有280段．
23. 某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格＝150（1+x%）），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y＝﹣2x+24．若该公司按浮动﹣12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%．
（1）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元？
（2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润＝（销售价格一成本）×日销售量）
（3）该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于﹣2时，扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）该公司生产销售每件商品的成本为120元；（2）商品定价为每件135元或153元，日销售利润为660元；（3）1≤a≤6．
【解析】
【分析】（1）设该公司生产销售每件商品的成本为z元，根据该公司按浮动-12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%列出方程，求出方程的解得到z的值，即为每件商品的成本；
（2）根据日销售利润=（销售价格一成本）×日销售量，由日销售利润为660元列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果；
（3）根据题意确定出a的范围即可．
【详解】（1）设该公司生产销售每件商品的成本为z元，
依题意得：150（1﹣12%）＝（1+10%）z，
解得：z＝120，
答：该公司生产销售每件商品的成本为120元；
（2）由题意得（﹣2x+24）[150（1+x%）﹣120]＝660，
整理得：x2+8x﹣20＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣10，
此时，商品定价为每件135元或153元，日销售利润为660元；
（3）根据题意得，设捐赠后的利润为w，则：
整理得：，
∵当价格浮动的百分点大于﹣2时，扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小，
即当，w随x增大而减小，
∴对称轴为：，
解得：，
∴，
∵
∴的取值范围是：1≤a≤6．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，以及一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与直线交于点，两点，点是直线下方抛物线上不与，重合的一动点，过点作的平行线交轴于点，设点的横坐标为．
（1）请直接写出，，的值；
（2）如图，若抛物线的对称轴为直线，点在直线的右侧，与直线交于点，当为的中点时，求的值；
（3）线段的长记为．
①求关于的函数解析式；
②若，结合关于的函数图象，直接写出的取值范围．
【答案】（1），，，
（2）
（3）①；②或或．
【解析】
【分析】（1）将，两点代入抛物线可得，的值，令抛物线，可得的值；
（2）过点作轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，先证明，得，根据，利用待定系数法求出直线的解析式为，可设直线的解析式为，求出，可得，，，则，由图可得、在轴的同侧，即可求解；
（3）①求出，则，即可得关于的函数解析式；②画出函数图象，分析图象即可得出结论．
【小问1详解】
解：抛物线与直线交于点，两点，
将，两点代入抛物线得，
解得，
抛物线，
令，解得或2，
点，
；
【小问2详解】
过点作轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，交轴于点，
，
，
，
点的横坐标为．
，
∵直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，，，
，
由图可得、在轴的同侧，
或，
点在直线的右侧，
；
【小问3详解】
①如图2，
直线的解析式为，
直线与轴的交点为，与轴的交点为 ，
，
，
，
，
；
②画出函数图象如图所示：
，
，
，
或，
当时，，当时，，
点在直线下方，
，
由图象得若，的取值范围为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
25. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．
（1）下列选项中一定是“等补四边形”的是______．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点．
①试判断四边形否为“等补四边形”，并说明理由；
②如图2，连接，求的周长；
③若四边形是“等补四边形”，求的长．
【答案】（1）D （2）①四边形是等补四边形，见解析；②；③或者
【解析】
【分析】（1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案；
（2）①先证A、B、H、F四点共圆，利用圆周角定理可得，进而求出，利用等角对等边得出，最后利用“等补四边形”的定义即可证明；
②将绕A点逆时针旋转得到，证明，再证，得出，即可求出的周长；
③根据，四边形是“等补四边形”可得四边形有一组邻边相等，然后分、、、四种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，
∴正方形是等补四边形，
故选：D．
【小问2详解】
解：①四边形是“等补四边形”，理由如下：
∵为正方形的对角线，
∴，
又，，
∴A、B、H、F四点共圆，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是“等补四边形”．
②将绕A点逆时针旋转得到，
∴，，
∴E、D、L三点共线，
由①得，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴的周长；
③∵，四边形是“等补四边形”，
∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论：
情况1：，
连接，
由题意知∶，，
又，
∴，
∴，
则为正三角形，
∴，
∴，
∴，；
情况2：，则，
∴，
同情况1，；
情况3：，由②得的周长．
设，则，有，
∴，
即；
情况4：，
连接，
则，
则HF垂直平分AE，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，这不可能，故这种情况不存在．
综上：或者．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
平均数（分钟）
15
16
18
15
方差
0.2
0.2
0.3
0.3
软件
平均数
众数
中位数
识字正确9字及以上的段数所占百分比
A款
7.7
6
8
50%
B款
a
8
b
30%