福建省福州市延安学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份福建省福州市延安学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题．，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分150分，完卷时间120分钟）
一、选择题．（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂）
1. 实数的相反数是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可．
【详解】的相反数是5．
故选：A．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
根据中心对称图形的定义直接判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选不项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
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【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了判断简单组合体的三视图，根据立体图形，从左面看可得到该几何体的左视图，运用空间想象能力准确得到左视图是解题的关键．
【详解】解：左视图即从左面看该立体图形，
当从左面看时，最下面一层有两个小正方体，上面有一个小正方体，而且上面的小正方体是靠左侧，只有选项B符合题意，
故选：B．
4. 中国信息通信研究院测算，2020-2025年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：10.6万亿=106000 0000 0000=1.06×1013．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5. 下列事件中，不是随机事件的是（ ）
A. 射击运动员射击一次，命中靶心B. 打开电视机，它正在播广告
C. 购买一张彩票，中奖D. 从只装有红球的布袋中，任意摸出一个球，恰是白球
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了随机事件的定义，随机事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义可以作出判断，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件:随机事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故不符合题意；
B、打开电视机，它正在播广告，是随机事件，故不符合题意；
C、购买一张彩票，中奖，是随机事件，故不符合题意；
D、从只装有红球的布袋中，任意摸出一个球，恰是白球，是不可能事件，故符合题意；
故选：D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，熟记同底数幂的乘法和除法，积的乘方运算法则是解题的关键．
根据同底数幂相乘法则判断选项A；根据同底数幂相除法则判断选项B；根据积的乘方法则判断选项C；根据合并同类项法则判断选项D．
【详解】解：A. ，错误，该选项不符合题意；
B. ，错误，该选项不符合题意；
C. ，正确，该选项符合题意；
D. 和不是同类项，不能合并，错误，该选项不符合题意；
故选：C．
7. 某校九年级有11名同学参加“庆祝二十大”党知识竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的（ ）
A. 中位数B. 众数C. 平均数D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】解：由于总共有11个人，且他们的成绩互不相同，第6名的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道自己的成绩和中位数．
故选：A．
【点睛】本题考查了中位数的意义，理解中位数反映了数据的中间水平是解答本题的关键．
8. 已知反比例函数，当时，随增大而增大，则a的值可能是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，随增大而增大，得出，进而得出的取值范围，即可得出答案，解题时注意，当时，反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大．
【详解】解：反比例函数，当时，随增大而增大，
，
解得：，
a的值可能是，
故选：A．
9. 如图，是半圆的直径，点C在直径上，以C为圆心、为半径向内作直角扇形，再以D为圆心、为半径向内作扇形，使点E刚好落到半圆上，且三点共线，若，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接，，则，，可得，，由圆周角定理可得，则，由勾股定理得，，设，由勾股定理得，，则，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，，

由题意知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
设，
由勾股定理得，，
∴，
解得，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，扇形面积．熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，扇形面积是解题的关键．
10. 点和点在二次函数的图象上，且，，则的值为（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，令，则，求出，，从而得出，进而得出，代入进行计算即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：令，则，
解得：，，
，
，
，
，
故选：C．
二、填空题．（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 二次根式中，x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，即可．
【详解】解：根据题意得∶，
∴．
故答案为：．
12. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据式子的特点将公因数提取出来即可得到结果，用适当的方法分解因式是解题的关键．
【详解】解：式子中含有公因数，
∴，
故答案为：．
13. 有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列举法求概率．正确的列表格是解题的关键．
根据题意列表格，然后求概率即可．
【详解】解：由题意列表格如下：
由表格可知，共有种等可能的结果，其中两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3共有2种等可能的结果，
∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率为，
故答案为：．
14. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E是边的中点，若，则菱形的周长是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，中位线．熟练掌握菱形的性质，中位线是解题的关键．
由题意可得是的中位线，则，根据菱形的周长为，计算求解即可．
【详解】解：∵菱形，点O为对角线的中点，
又∵点E是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴菱形的周长为，
故答案为：．
15. 已知非零实数x，y满足，则值是_______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．
由，可得，然后整体代入，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：1．
16. 如图，在中，，，，将线段绕点A顺时针旋转150°得到，连接交于点E．过点C作于点F，交于点G．给出下列四个结论：
①，②，③，④．
其中正确结论是_______．（请写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】先由，，，得出，结合线段绕点A顺时针旋转150°得到，得，即在中，，得出；由于旋转，得，则，得，因为，证明是等边三角形，则；易得，，所以；通过等面积法求出的值，再通过等角对等边，得，即可作答．
【详解】解：∵，，，
∴
∴
∵线段绕点A顺时针旋转150°得到，
∴
则
∵
∴
则，
故①是正确；
∵线段绕点A顺时针旋转150°得到，
∴，
则
∵
∴，
则，
∵
∴，
∴是等边三角形，
∴
则
故②是正确的；
∵
∴
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转150°得到，
∴，
∴；
故③是错误的；
过点B作垂直于直线，过点A作，如图：
∵
∴在中，，
∵
∴
解得；
∵线段绕点A顺时针旋转150°得到，
∴
∵
∴
∵
∴
即
则
解得（负值已舍去）
则
∴
则
∴
故④是正确的．
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、解直角三角形、旋转性质、等边对等角：综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．熟练掌握分式的化简求值，分母有理化是解题的关键．
通分可得化简结果，最后代值求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
18. 如图，▱ABCD中，E，F为对角线AC上两点，且BE∥DF；求证：AE＝CF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知条件利用AAS来判定△CDF≌△ABE，从而得出AE=CF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵BE∥DF，
∴∠CFD=∠AEB，
在△CDF和△ABE中，
∴△CDF≌△ABE（AAS），
∴AE=CF．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
19. 在中，，．
（1）在上求作点D，使得．
（2）在（1）的条件下，若，求的值．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查作一个角等于已知角，解直角三角形，三角形外角的性质等：
（1）根据“作一个角等于已知角”的方法作图即可；
（2）令，则，，结合可得，，根据，可得，进而可得，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示：点D即为所求．
【小问2详解】
解：设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 某校开展了“文明城市”活动周，活动周设置了A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁四个主题活动，每个学生限选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，D主题对应扇形的圆心角为______度；
（3）若该校共有3600名学生，试估计该校参与“生态环境”主题的学生人数．
【答案】（1）见解析 （2）54
（3）1080人
【解析】
【分析】本题考查了画条形统计图，求扇形的圆心角度数，用样本所占百分比估计总体数量，根据样本的频数估计总体的频数，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先求出总人数，再求出C的人数，即可补全条形统计图；
（2）用D的人数除以总人数，再乘以360度求解即可；
（3）用B的人数除以总人数，再乘以3600求解即可．
【小问1详解】
总人数为人，
C的人数为人，
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
，
故答案为：54；
【小问3详解】
（人），
答：该校参与“生态环境”主题的学生人数1080人．
21. 某校为改善办学条件，计划购进A，B两种规格书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：
（1）如果在线下购买A，B两种书架共个，花费元，求A，B两种书架各购买了多少个；
（2）如果在线上购买A，B两种书架共个，且购买B种书架的数量不少于A种书架的3倍，请设计出花费最少的购买方案．
【答案】（1）购买A种书架11个，B种书架9个．
（2）花费最少的购买方案是A种规格书架5个，B种规格书架15个，花费为6350元．
【解析】
【分析】（1）本题考查一元一次方程解决实际应用题，设购买A种书架个，则购买B种书架个，根据费用列式求解即可得到答案；
（2）本题考查一次函数的实际应用，根据题意表示出费用与的函数关系式，再根据函数的性质求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：设购买A种书架个，则购买B种书架个，由题意可得，
，
解得：，（个），
答：购买A种书架个，B种书架9个；
【小问2详解】
解：设购买A种书架m个，所需总费用为w元，由题意可得，
，
又由，得，
∵，
∴w的值随着m值的增大而减小，
又∵m为整数，
∴当时最小，
∴，
此时：（个），
答：花费最少的购买方案是A种规格书架5个，B种规格书架个，花费为元．
22. 如图，已知是的直径，为上一点，的角平分线交于点，在直线上，且，垂足为，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为4，求的长．
【答案】（1）证明详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了证明直线是圆的切线、等腰三角形的性质、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，由等边对等角得出，由角平分线的定义得出，进而得出，推出，由平行线的性质可得，即可得证；
（2）证明为等边三角形，得出，由含角的直角三角形的性质得出的长，即可得解．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
，
∵，
，
∵，
∴，
平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
是半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：是的直径，
∴，
的半径为4，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 根据以下素材，探索解决问题．
【答案】任务1：见解析；任务：还需要测出的长，；任务：．
【解析】
【分析】任务，根据两角相等的两个三角形相似可证明；
任务，还需要测出的长，令，证明，得即，从而即可得解；
任务，过作于点，交于点，则四边形与四边形是矩形，进而得，，，证，得即，求解即可得解．
【详解】任务：证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
任务：还需要测出的长，令，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴；
任务：过作于点，交于点，则四边形与四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂线定义，平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
24. 抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边），与轴交于点C，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第四象限的抛物线上，且，求点P的坐标；
（3）若点D在x轴正半轴上且，经过点D的直线交抛物线于点M，N（M在第一象限，N在第三象限），且满足，求的解析式．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）连接，过点P作于点E，先求出点A的坐标，设，根据建立方程，求解即可；
（3）过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，通过证明，利用相似三角形的性质得出，进而证明，得出，设直线AM的表达式为，可得点，设直线的表达式为，求解即可．
【小问1详解】
∵抛物线与y轴交于点C，
∴当时，．即点，
∵抛物线与x轴交于点A，B（AB左边），且，
∴，即，
∴，解得，
∴；
【小问2详解】
连接，过点P作于点E．
∵抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边）
∴当时，．
解得，即点，
在中，，
∵，
∴，
设，
∴，，
∴，解得，
∴当时，，即点．
【小问3详解】
过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴可设直线的表达式为．
∴联立得，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，解得，
∴，∴，
∴点，
∵，可设直线的表达式为，
∴，解得，
∴直线表达式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．
25. 如图，在中，，点D是线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转，得到．
（1）如图1，若B，E，C三点共线时，求的长；
（2）如图2，若，交AC于点F，求；
（3）如图3，连接，请直接写出的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）CE的最小值是
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可知，，由题意知，，则，，，，根据，计算求解即可；
（2）同理（1）可得，为等腰直角三角形，，，证明，可得，根据，求解作答即可；
（3）如图3，作于，在上取点使，连接，过作于，证明，则，，点在过点与夹角为的直线上运动，的最小值为，然后计算求解即可．
【小问1详解】
解：由旋转的性质可知，，
∵B，E，C三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的长为．
【小问2详解】
解：同理（1）可得：，
∵，
∴为等腰直角三角形，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图3，作于，在上取点使，连接，过作于，
由（1）可知，，
由题意知，均为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点在过点与夹角为的直线上运动，
∴的最小值为，，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正弦，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握旋转的性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正弦，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
规格
线下
线上
单价（元/个）
运费（元/个）
单价（元/个）
运费（元/个）
A
0
B
0
测量旗杆的高度
素材1
可以利用影子测量旗杆的高度．如右图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．
说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛离地面的距离．
素材2
可以利用镜子测量旗杆的高度．如右图，小陈同学从镜子中刚好可以看见旗杆的顶端，测得．
素材3
可以利用标杆测量旗杆的高度．如右图，点，，在同一直线上，标杆，测得，．
问题解决
任务1
分析测量原理
利用素材1说明的理由．
任务2
完善测量数据
在素材中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为，请你用含的式子表示出旗杆的高度．
任务3
推理计算高度
利用素材3求出旗杆的高度．