二次函数中三种面积最值试卷（原卷版）

这是一份二次函数中三种面积最值试卷（原卷版），共17页。
压轴题07 二次函数中三种面积最值问题目录 TOC \o "1-3" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc170135643" 解题知识必备  PAGEREF _Toc170135643 \h 1压轴 HYPERLINK \l "_Toc170135644" 题型讲练 2 HYPERLINK \l "_Toc170135645" 题型一、三角形面积最值 2 HYPERLINK \l "_Toc170135646" 题型二、四边形面积最值 9 HYPERLINK \l "_Toc170135647" 题型三、面积和差最值 18压轴 HYPERLINK \l "_Toc170135649" 能力测评（17题） 27二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标；②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；③列出关系式求解；④检验是否每个坐标都符合题意．2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；②通过已知点的坐标，求出直线解析式；③求出题意中要求点的坐标；④检验是否每个坐标都符合题意．题型一： 三角形面积最值问题【例1】．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知抛物线与x轴交于不同的两点．(1)求的取值范围；(2)证明该抛物线经过象限内的某个定点P，并求点P 的坐标；(3)设抛物线与轴的两个交点分别是A，B，当时，的面积是否有最大值或最小值？若有，求出该最大值或最小值及对应的的值；若没有，请说明理由．【变式1】．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，抛物线与轴相交于点，交轴于点，点是线段上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接，求四边形面积的最大值．【变式2】．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线交x轴于A，C两点，与直线交于A，B两点，直线与抛物线的对称轴交于点E．  (1)求抛物线的解析式；(2)求一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；(3)点P在直线上方的抛物线上运动，若的面积最大，求此时点的坐标．【变式3】．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，抛物线的图像与轴交于点，点，与轴交于点，且．(1)求这个二次函数的解析式，并求出顶点的坐标；(2)若点为第一象限内抛物线上一点，求点坐标为多少时，的面积最大，并求出这个最大面积．题型二： 四边形面积最值问题【例2】．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C， 抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)直接写出：点A坐标 ，点C坐标 ；(2)求该抛物线的解析式；(3)在直线上方的抛物线上是否存在点M，使四边形面积最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由；(4)将线段绕x轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．【变式1】．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于C点，直线交抛物线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，求四边形面积的最大值；并直接写出M点的坐标．【变式2】．（22-23九年级上·广东惠州·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．(1)求二次函数的解析式；(2)点是二次函数第四象限图象上一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；(3)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．【变式3】．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．(1)求抛物线的解析式．(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．(3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．题型三： 面积和差最值问题【例3】．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线与x轴交于A−2,0，，交y轴于点C，点P是线段下方抛物线上一动点，过点P作交于点Q，连接，，，．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求周长的最小值；(3)假设与的面积分别为，，且，求S的最大值．【变式1】（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过点A．(1)求A、B两点的坐标;(2)若直线与抛物线的对称轴交于点E．①若点E为抛物线的顶点，求a的值；②若点E在第四象限并且在抛物线的上方，记的面积为，记的面积为，，求S与x的函数表达式，并求出S的最大值．【变式2】（2024·安徽淮北·模拟预测）已知抛物线（为常数，且）与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为点，与轴的交点为点．(1)如图1，若点的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；(2)如图2，若，试确定的值；(3)如图3，在（1）的情形下，连接，点为抛物线在第一象限内的点，连接交于点，当取最大值时，试求点的坐标．【变式3】（2024·广东广州·一模）综合应用如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)直线与抛物线在第二象限交于点，若动点在上运动，线段绕点顺时针旋转，点首次落在轴上时记为点，在点运动过程中，判断的大小是否发生变化？并说明理由．(3)在（）的条件下，连接，记的外接圆的最小面积为，记的外接圆的最大面积为，试求的值（结果保留）．1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知二次函数的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线上方的抛物线上的动点．(1)求直线的解析式．(2)当P是抛物线顶点时，求面积．(3)在P点运动过程中，求面积的最大值．2 ．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过、C0,−3两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D．(1)求该抛物线的解析式；(2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），①当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值；②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，点P是抛物线上的动点，若以C、E、P、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a．(1)已知点，求抛物线的解析式．(2)若，①如图，当点P位于第二象限时，过点P分别作于点E，轴于点N，当取得最大值时，求a的值；②在①的条件下，连接，，判断此时的面积是否为最大，并说明理由．4．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点．(1)求抛物线解析式．(2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．5．（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点，点是第二象限内抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式；(2)连接、，求面积的最大值；(3)若点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点的坐标.6．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知抛物线的图像与x轴交于点和点C，与y轴交于点B0,3．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点P的坐标；(3)在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．（23-24九年级上·广西柳州·期中）如图，已知抛物线的顶点为，且通过点．(1)求顶点的坐标；(2)点为直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值；(3)在抛物线上存在一点，使得，求点坐标．8．（23-24九年级上·四川自贡·期末）将拋物线平移到图中的位置，且与直线交于A0,−1，B2,1两点．  (1)抛物线是由抛物线向左平移______个单位，再向下平移______个单位得到的；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)动点在直线下方的抛物线上，求以点为顶点的四边形的最大面积．9．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是．(1)求A，C两点的坐标．(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．(3)在直线上方的抛物线上是否存在点P，使的面积最大？若存在，求P点的坐标及面积的最大值．10．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值；(3)点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标．11．（22-23九年级上·天津河西·期末）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从、同时出发，当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为．(1)当为何值时，的长度等于；(2)求出关于的函数解析式，计算、出发几秒时，有最大值，并求出这个最大面积？12．（22-23九年级上·海南海口·期末）如图1，抛物线与x轴交于点A、B4,0（A点在B点左侧），与y轴交于点C0,6，点P是抛物线上一个动点，连接，，(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P的横坐标为3，求的面积；(3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标．(4)若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）已知，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线过，，点为第一象限内抛物线上一动点：(1)求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式；(2)在轴上取F0,1，连接，，当面积最大时，求点横坐标；(3)当时，点在抛物线对称轴右侧时，直线上存在两点（在上方），，动点从出发，沿运动到终点，当运动路程最短时，直接写出点坐标．14．（23-24九年级上·天津·期中）已知如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点的左侧，点的坐标为1,0，点的坐标  (1)求抛物线的解析式；(2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；(3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点，且以为一边的平行四边形呢？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．15．（22-23九年级上·海南海口·期中）如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点．(1)求二次函数的表达式；(2)如图②，连结、．①求直线的表达式；②在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由；③点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由．16．（22-23九年级上·贵州黔南·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于A−4,0、两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．(3)点是抛物线对称轴上一动点，点是直线上一动点，且以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．17．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）如图，抛物线经过点B−2,0和点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点是第四象限内抛物线上的动点，求四边形的面积的最大值和此时点的坐标；(3)点是轴上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，若线段与抛物线有一个公共点，结合函数图像，请直接写出的取值范围．