二次函数的图象与性质重难点题型专训试卷（15大题型+20道拓展培优）（原卷版）

这是一份二次函数的图象与性质重难点题型专训试卷（15大题型+20道拓展培优）（原卷版），共26页。
专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优）题型一 y=ax2的图象与性质题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小题型五 二次函数图象与各系数符号题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断题型七 利用二次函数的增减性求参数范围题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴题型九 根据二次函数的对称性求函数值题型十 待定系数法求二次函数解析式题型十一 二次函数图象的平移题型十二 y=ax2+bx+c的最值题型十三 利用二次函数对称性求最短路径题型十四 二次函数与一次函数的综合题型十五 二次函数图象与性质的综合知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的性质： 上加下减的性质： 左加右减的性质：左加右减，上加下减一般式：（，，为常数，）；知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则.知识点03 二次函数图象的平移由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即.因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．知识点04 二次函数与一元二次方程1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况:①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换.知识点05 二次函数与不等式知识点06 待定系数求解析式用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则若a＞0，当x=时，函数有最小值，且若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且【经典例题一 y=ax2的图象与性质】【例1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线的开口向上，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．1．如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ）A．1 B． C． D．32．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图象上．若正方形的边长为，与 轴的正半轴的夹角为，则a的值为 ．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作．(1)求证：；(2)设点，求的最小值及此时点的坐标．【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】【例2】（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．1．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）．A．或4 B．或 C．或4 D．或42．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，以为顶点的抛物线经过原点，与轴负半轴交于点，点在抛物线上，且位于点、之间（不与、重合）.若四边形的周长为14，的周长大于8，则的取值范围为 ．3．在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数的图象的顶点，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．(1)请你求出点A、B、C的坐标；(2)若二次函数与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）关于x的二次函数的图象下列说法不正确的是（    ）A．对称轴为直线 B．当时，图象上的最低点为C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．顶点一定在函数的图象上1．二次函数 （，为常数）的图像的顶点在第二象限，且经过点，则的值的变化范围是（  ）A． B． C． D．2．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的是 3．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________；(2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由；(3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：．【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】【例4】（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ）A． B．C． D．1．已知二次函数（），、是其图象上的两点，且，，则下列式子正确的是（   ）A． B．C． D．2．若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系为 （用“”或“”进行连接）3．在平面直角坐标系中，二次函数的解析式为．(1)求证：对任意实数，都有与对应的函数值相等；(2)若对应的的整数值有4个，求的取值范围；(3)若抛物线与轴交于不同的点，，且，求的取值范围．【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】【例5】（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ）A．B．若抛物线与x轴交于，两点，则C．D．对任意实数t，总有1．已知实数a，b，c满足，，，则（    ）A．， B．，C．， D．，2．二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴的交点为，，其中，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的结论有 ．3．已知关于的二次函数，经过点．(1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式；(2)若时，时，求的值；(3)若，当，且时，求证：．【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】【例6】（2024·安徽亳州·一模）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（    ）A． B．C． D．1．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ）A．B．C． D．2．“”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图象如图所示．若分别为方程和的解，则根据图象可知a b．（填“”“”或“”）3．如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，．(1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)求点B的坐标．【经典例题七 利用二次函数的增减性求参数范围】【例7】．（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   )A． B． C． D．1．（22-23九年级下·浙江杭州·期中）已知点、是二次函数图象上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ）A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为，（1）若对于，，有，则 ；（2）若对于，，都有，则的取值范围是 ．3．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．(1)若对于，有，求t的值；(2)若对于，都有，求t的取值范围．【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】【例8】（2024·山东济南·二模）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（    ）A． B． C． D．1．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）A．B．抛物线的对称轴是直线C．当时，的值随值的增大而减小D．2．已知抛物线经过点和点，则的最小值是 ．3．已知：二次函数（m是常数）(1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）．(2)若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值．(3)已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围．【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】【例9】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个公共点．且过点，．则n的值为（   ）A．48 B．36 C．24 D．121．设函数（，m，n是实数），当时，，时，．则（　　）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．已知，是二次函数的图象上的两点，则当时，二次函数的值是 ．3．在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点．(1)直接写出一个a的值，使得成立；(2)是抛物线上不同于M，N的点，若对于，都有，求a的取值范围．【经典例题十 待定系数法求二次函数解析式】【例10】（2024·四川南充·三模）已知抛物线：与抛物线：关于点成中心对称，若当时，有最大值为4，则m的值为（    ）A． B． C． D．或1．如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（   ）A． B．C． D．2．设抛物线过，，三点，其中点在直线上，且点到抛物线的对称轴的距离等于，则该抛物线对应的函数表达式为 ．3．已知抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点，求抛物线的解析式．【经典例题十一 二次函数图象的平移】【例11】（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线的抛物线向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ）A．向上平移个单位长度 B．向上平移个单位长度C．向上平移个单位长度 D．向上平移个单位长度1．已知抛物线与轴相交于点，（点在点左侧），顶点为，平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，则平移后的抛物线解析式为（    ）A． B．C． D．2．如图，抛物线与轴相交于点，与过点平行于轴的直线相交于点点在第一象限抛物线的顶点在直线上，对称轴与轴相交于点平移抛物线，使其经过点，，则平移后的抛物线的解析式为 ．3．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线经过点．(1)求抛物线的对称轴．(2)若抛物线是由抛物线经过平移得到的，求抛物线的解析式．(3)在（2）的条件下，已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由．【经典例题十二 y=ax2+bx+c的最值】【例12】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线 (n为常数)，当时，其对应的函数值最大为，则n的值为（    ）A．或7 B．1 或7 C．4 D． 或41．已知函数，当时，函数值随x增大而增大，且对任意的和相应的函数值总满足，则实数a不可能的值是(   )A．3 B．4 C．5 D．62．当时，二次函数的最小值是，则 ．3．已知关于x的二次函数的图象过点，．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求当时，y的最大值与最小值的差．【经典例题十三 利用二次函数对称性求最短路径】【例13】（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，图象与轴交于点，则下面结论：①；②关于的方程的解是，；③当时，；④当时，；⑤周长的最小值是；正确的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个1．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ）A．5 B．9 C．11 D．132．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是 ．  3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴的正半轴上，在x轴的正半轴上，的平分线交于点D，E为的中点．已知，二次函数的图象经过A，C两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)F，G分别为x轴、y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形，求四边形周长的最小值．【经典例题十四 二次函数与一次函数的综合】【例14】（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ）A．B． C． D．1．（2024·河南南阳·二模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（    ）A．B．C． D．2．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线（是常数，且）经过点．（1）该抛物线的顶点坐标为 ．（2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，，且，则的最大值为 ．3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数(1)当二次函数经过点时．①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标；②一次函数的图象经过点A，点在一次函数． 的图象上，点在二次函数 的图象上． 若，求n的取值范围．(2)设二次函数 的图象上有不重合的两点 其中且满足，直接写出m的取值范围．【经典例题十五 二次函数图象与性质的综合】【例15】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ）A． B．0 C．1 D．41．（2024·福建三明·三模）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　）A．或 B．或C．或 D．或2．（2024·福建厦门·二模）抛物线经过，两点，若，当时，都有，则b的取值范围是 ．3．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标；(3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．1．将抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得到的抛物线的函数解析式为（   ）A． B． C． D．2．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是   (     )A． B． C． D． 3．二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）A． B．C． D．4．已知抛物线上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表：①物线的开口向下；②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线；③方程的根为0和2；④当时，x的取值范围是或以上结论中其中的是（   ）A．①④ B．②④ C．②③ D．③④5．在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（   ）A． B． C． D．6．已知四点，，，，若一个二次函数的图象经过这四点中的三点，则这个二次函数图象的对称轴为（　　）A．x B．x C．x D．x7．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ）A．或4 B．4或 C．或4 D．或8．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴的负半轴于点C，顶点为D．下列五个结论：① ；②；③ 若且，则；④ 当是等腰直角三角形时，则；⑤ 若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有（　　）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个9．抛物线的对称轴为直线，的最大值为，且与 的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为 ．10．已知二次函数的图象如图，其对称轴，给出下列结果：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是 11．若关于x的一元二次方程的一根，另一根，则抛物线的顶点到x轴距离的最小值是 ．12．抛物线，与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为．若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ．13．已知抛物线与直线l交于点，（）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标b的取值范围为 ．14．如图，抛物线交轴正半轴于点，过点作轴交抛物线于另一点，点在轴上，点在抛物线上．当四边形是菱形时，则的值为 ．15．画出函数的图象，根据图象，解决下列问题：（1）当时，x的取值范围是 ．（2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ．16．已知抛物线经过点．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)直线交抛物线于点，，为正数．若点在抛物线上且在直线下方（不与点重合），分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围．17．已知关于x的二次函数，其图象交y轴于点．(1)若它的图象过点，求t的值；(2)如果，，都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．18．平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由；(3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．19．若二次函数与的图像关于点P（0，1）成中心对称，我们称、与互为“中心对称”函数．(1)二次函数的“中心对称”函数的解析式为______；(2)已知二次函数，将其顶点向上平移两个单位后在它的“中心对称”函数图像上，用含的式子表示；(3)在（2）的条件下，当时，二次函数最小值为2，求的值．20．综合与探究如图所示，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，C0,−3；直线l与抛物线交于点A，D，其中点D的横坐标为2．(1)求二次函数及直线的表达式；(2)点S是线段上的一个动点，过S点作y轴的平行线交抛物线于T点，求线段长度的最大值；(3)在直线AD下方的抛物线上的是否存在一动点P（P与A，D不重合），使的面积有最大值，若存在，求出最大面积及点P的坐标；若不存在，请说明理由．的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值， 判别式抛物线与x轴的交点不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）无解△＜0全体实数无解x…0123…y…3003…