2022-2023学年四川省内江市威远县威远中学校高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年四川省内江市威远县威远中学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．等于

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】 ，故选B.

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.

【详解】，

故选：C

3．已知，，，是第三象限角，则的值是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，利用同角三角函数关系求三角函数值代入求解即可.

【详解】因为，所以，

因为是第三象限角，所以，

所以

【点睛】本题主要考查了两角差的余弦展开及同角三角函数的基本关系，解题的关键是由角所在象限确定三角函数值的正负，属于基础题.

4．若是方程的两个根，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】利用韦达定理和正切的两角和公式求解即可.

【详解】因为是方程的两个根，

由韦达定理得，，

所以，

故选：C

5．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数图象得到、，即可求出，再根据函数过点及的取值范围，求出，即可得解.

【详解】解：由函数图象可得，，所以，又，解得，

所以，由函数过，所以，

所以，，所以，，

又，所以，

所以.

故选：B

6．要得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】A

【分析】先利用辅助角公式得到，进而利用左右平移满足“左加右减”进行求解.

【详解】，

把函数的图象向左平移个单位得到，满足要求，A正确，

其他选项均不合要求.

故选：A

7．已知函数，则“函数是偶函数”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用必要不充分条件的概念，结合三角函数知识可得答案.

【详解】因为，

若函数是偶函数，则，即 ，又，故或，

若，则为偶函数，

所以“是偶函数“是“”的必要不充分条件.

故选：B.

8．设函数（是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则函数是的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据单调性可求出，再根据题意得函数关于点对称，关于直线对称，得到等式组，通过作差分析可得，最后检验即可.

【详解】若在区间上具有单调性,则，

则的图象关于点对称,的图象关于直线对称,

①，

且，②

两式相减,可得,又因为，故.

当时,则结合和①式可得，.

所以.

故它的最小正周期为，

故选：B.

二、多选题

9．与角终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用终边相同的定义求解.

【详解】与角终边相同的角是，

当时，当时，

当时，

所以A,D满足题意，

故选:AD.

10．下列各式中值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】A由即可计算判断，B由即可计算判断，C由即可计算判断，D由化简即可求得.

【详解】，故A正确；

，故B错误；

，故C正确；

，故D错误.

故选：AC

11．水车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如图是水车示意图，其半径为，中心O距水面，一盛水斗从点处出发，逆时针匀速旋转，转动一周．假设经t秒后，该盛水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h，则下列说法正确的是（    ）．

A．高度h表示为时间t的函数为：

B．高度h表示为时间t的函数为：

C．当时，该盛水斗在水面下处

D．该盛水斗第一次到达最高点，需要的时间为

【答案】ACD

【分析】设高度h表示为时间t的函数为，根据题意求得，即可判断AB；令，即可判断C；令，解之即可判断D.

【详解】设高度h表示为时间t的函数为，

由题意可得，所以，，

所以，所以，

则，

当时，则，所以，

则或，

又，所以，

所以，故A正确，B错误；

当时，，

所以当时，该盛水斗在水面下处，故C正确；

令，

则，所以，

则，

所以该盛水斗第一次到达最高点，需要的时间为，故D正确.

故选：ACD.

12．科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以天、天和天为周期，均可按进行变化．记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，则（    ）

A．第天时情绪曲线处于最高点

B．第天到第天时，智力曲线与情绪曲线不相交

C．第天到第天时，体力曲线处于上升期

D．体力曲线关于点对称

【答案】AC

【分析】设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线用，，，根据周期求出对应的解析式，然后利用正弦函数的性质可判断ACD，对于B，设，利用零点存在定理可判断.

【详解】设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线用，，，

所以，，.

A项：第天时，，

故处于最高点，A正确；

B项：设，

因为，，

故利用零点存在定理可得存在，使得，

故此时智力曲线与情绪曲线相交，B错误；

C项：因为，所以，

因为，所以根据正弦函数的性质可得此时单调递增，

故处于上升期，C正确；

D项：因为，所以，体力曲线不关于点对称，D错.

故选：AC.

三、填空题

13．已知为锐角，且，则的值为__________.

【答案】##

【分析】根据同角三角函数的基本关系和诱导公式求解.

【详解】因为为锐角，且，所以，

所以，

故答案为: .

14．已知非零向量，满足：，作，，则___________.

【答案】

【分析】构造平行四边形，可得为正三角形，根据图形可得答案.

【详解】构造如图所示的平行四边形，，,

则，，

则为正三角形，

故，

则平行四边形为菱形，

故OB平分，

则.

故答案为：

15．若函数为奇函数，且，若，则_________．

【答案】

【分析】由奇函数的性质结合得出函数的周期为4，再由周期性求函数值.

【详解】因为，所以.

因为函数为奇函数，所以.

即，故函数的周期为4.

，

故答案为：

16．关于的函数的最大值为，最小值为 ，且 ，则实数的值为____．

【答案】

【分析】计算对称，可知函数的图象关于点对称，可得出，即可得出实数的值.

【详解】因为

，

设函数的定义域为，

对任意的，，则，即，

所以，函数的定义域关于原点对称，

所以，，

所以，函数的图象关于点对称，

所以，函数图象的最高点和最低点也关于点对称，

所以，，解得.

故答案为：.

四、解答题

17．已知顶点在原点，以非负半轴为始边的角终边经过点．

(1)求；

(2)求的值．

【答案】(1)3

(2)

【分析】（1）根据三角函数的定义即可得解；

（2）利用商数关系化弦为切，再将的值代入即可得解.

【详解】（1）因为角终边经过点，

所以；

（2）．

18．已知，.

(1)求；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在等式两边平方，可求得的值，再结合诱导公式可求得所求代数式的值；

（2）分析可知，，则，求出的值，即可求得的值.

【详解】（1）解：因为，所以，

，所以，，

因此，.

（2）解：因为且，所以，，，则，

因为，

因此，.

19．已知，，.

(1)求、的值；

(2)求角的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求得、的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值；

（2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角差的余弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值.

【详解】（1）解：因为，，则，

所以，，故.

（2）解：因为，则，

所以，，

所以

.

因为，所以.

20．已知

（1）求函数的最小正周期：

（2）求函数的单调递增区间

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用三角函数恒等变换可得函数解析式为，利用三角函数周期公式即可计算得解的最小正周期；

（2）令，解得的范围，可求函数的单调递增区间．

【详解】解：（1），

可得：函数的最小正周期

（2）令，

解得：，，

可得函数的单调递增区间为：

【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．

21．少林寺作为国家级旅游景区，每年都会接待大批游客，在少林寺的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重.为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在1月份最少，在7月份最多，相差约400；

③1月份入住客栈的游客约为300人，随后逐月递增，在7月份达到最多.

(1)试用一个正弦型函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；

(2)请问客栈在哪几个月份要至少准备600份食物?

【答案】(1)

(2)5，6，7，8，9

【分析】（1）根据题意得到函数的周期，可以求出，再由最大值与最小值相差400，求出振幅，再求出，再根据函数经过的特殊点求出，即可求解；

（2）根据题意得，再分析求解即可.

【详解】（1）根据①，可知这个函数的周期是12；由②，可知，故该函数的振幅为200；

由③，可知函数在上是增函数，且1月份入住客栈的游客约为300人，则7月份入住客栈的游客约为700人，根据上述分析可得，故，

由得，，当时，，

即，得即，

由，得．

所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为：

．

（2）由题意可知，，

化简得，即，

解得，

因为，且，所以，

所以客栈在5，6，7，8，9月份要至少准备600份食物．

22．已知函数（，）的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数.

(1)求函数的解析式；

(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围；

(3)若函数的图象在区间（且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意可求得参数，根据三角函数的图象的平移以及函数的奇偶性求得，即得函数解析式；

（2）根据，求得函数的范围，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题求解，即可求得参数范围；

（3）令，求得函数零点的表达式，根据题意判断相邻两个零点之间的距离为或，根据区间内零点个数即可确定答案.

【详解】（1）由,得，则,

则为奇函数，所以，又，则，

故.

（2）由于，则，，

故,

而恒成立,即，

整理可得，令，

设，设且，

则，

由于，则，

即在上递增，故，

故，即m取值范围是.

（3）由题意知，

由得,

故或,

求得或，

故函数的零点为或,

∴相邻两个零点之间的距离为或，

若最小，则a和b都是零点，此时在区间分别恰有个零点，

所以在区间是恰有29个零点，从而在区间上至少有一个零点，

∴，

另一方面，在区间上恰有30个零点，

因此的最小值为.

【点睛】难点点睛：解答第三问根据零点个数求解区间端点处的值的差的最小值时，要求出函数零点，判断两点间的距离，从而判断要满足题意，区间内的零点情况，从而求出的最小值.