北师大版（2024）八年级下册1 因式分解同步测试题

这是一份北师大版（2024）八年级下册1 因式分解同步测试题，共41页。


必考点1
利用因式分解的结果求参数
1．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）在x3+5x2+7x+k中，若有一个因式为(x+2)，则k的值为（ ）
A．2B．−2C．6D．−6
2．（2022秋·四川南充·九年级四川省南充高级中学校考期末）若2x2−6y2+xy+kx+6能分解成两个一次因式的积，则整数k=_________.
3．（2022春·浙江·七年级期末）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____．
4．（2022秋·四川宜宾·八年级校考期末）若a-3是a2+5a+m的一个因式，求m的值．
5．（2022秋·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考期末）已知x2+2x+1是多项式x3−x2+ax+b的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解．
6．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：x3+x2+3x−5．
解：观察可知，当x=1时，原式=0．
∴原式可分解为x−1与另一个整式的积．
设另一个整式为x2+bx+c．则x3+x2+3x−5=x−1x2+bx+c，
∵x−1x2+bx+c=x3+b−1x2+c−bx−c，
∴x3+x2+3x−5=x3+b−1x2+c−bx−c
∵等式两边x同次幂的系数相等，
则有：b−1=1c−b=3−c=−5，解得b=2c=5．
∴x3+x2+3x−5=x−1x2+2x+5．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)根据以上材料的方法，分解因式x3+2x2−3的过程中，观察可知，当x=______时，原式=0，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为x2+bx+c．则b=______，c=______．
(2)已知多项式x3+ax+1（a为常数）有一个因式是x+1，求另一个因式以及a的值．
下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程．
解：设另一个因式为x2+bx+c，则x3+ax+1=x+1x2+bx+c．
……
(3)已知二次三项式2x2+3x−k（k为常数）有一个因式是x+4，则另一个因式为______，k的值为______．
7．（2022秋·全国·八年级期末）方法探究：
已知二次多项式x2−4x−21，我们把x=−3代入多项式，发现x2−4x−21=0，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成x2−4x−21=x+3x+k，则有x2−4x−21=x2+k+3x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3=−4，解得k=−7，因此多项式分解因式得：x2−4x−21=x+3x−7．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
(1)对于二次多项式x2−4，我们把x＝ 代入该式，会发现x2−4=0成立；
(2)对于三次多项式x3−x2−3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3−x2−3x+3=0，由此可以推断多项式中有因式（x−1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成x3−x2−3x+3=x−1x2+ax+b，试求出题目中a，b的值；
(3)对于多项式x3+4x2−3x−18，用“试根法”分解因式．
必考点2
利用因式分解进行有理数的简算
1．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）计算1−122×1−132×1−142×1−152×1−162的值为（ ）．
A．512B．12C．712D．1130
2．（2017秋·山东日照·八年级校联考期末）如果259+517能被n整除，则n的值可能是( )
A．20B．30C．35D．40
3．（2022春·浙江杭州·七年级期末）803−80能被（ ）整除
A．76B．78C．79D．82
4．（2022春·江苏无锡·七年级统考期末）计算：20202−20012−1922001×19=__．
5．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级校联考期末）计算：102−92+82−72+…+22−12=__________．
6．（2022秋·江西南昌·八年级期末）计算2019202−2019192的结果是______．
必考点3
利用因式分解探究三角形形状
1．（2022秋·四川内江·八年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）若a、b、c是△ABC的三边，且满足b2+bc−ba−ca=0，a2+ab−cb−ac=0，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
2．（2018秋·江西·八年级校考阶段练习）先阅读下面的材料，再解决问题：
要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b，从而得到am+n+bm+n.这时，由于am+n+bm+n，又有因式m+n，于是可提公因式m+n，从而得到a+bm+n.因此有am+an+bm+bn=am+n+bm+n =a+bm+n.这种因式分解的方法叫做分组分解法.
在三角形中，若任意两条边的差均为0，则这个三角形是等边三角形；若只有两条边的差为0，则这个三角形是等腰三角形；若有两条边的平方和与第三边的平方的差为0，则这个三角形是直角三角形。
请用上面材料中提供的方法解决问题：
（1）将多项式ab−ac+b2−bc分解因式；
（2）若ΔABC的三边a、b、c满足条件：a4−b4+a2c2+b2c2=0，试判断ΔABC的形状.
3．（2022秋·八年级课时练习）（1）若a、b、c是三角形的三条边，求证：a2−b2−c2−2bc<0．
（2）在△ABC中，三边分别为a、b、c，且满足a+b+c=322，a2+b2+c2=32，试探究△ABC的形状．
（3）在△ABC中，三边分别为a、b、c，且满足a2b−c+b2c−a+c2a−b=0，试探究△ABC的形状．
4．（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）求解下列问题：
(1)若x2+2y2−2xy+8y+16=0，求yx的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−6a−8b+25+4−c=0，请问△ABC是什么形状的三角形？请说明理由．
5．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足等式3a2+b2+c2=a+b+c2，试确定该三角形的形状.
6．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读材料，要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得到：am+an+bm+bn=am+n+bm+n，这时am+n+bm+n中又有公因式m+n，于是可以提出m+n，从而得到m+na+b，因此有am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b，这种方法称为分组法．请回答下列问题：
(1)尝试填空：ac−bc+ab−a2=______；
(2)解决问题：因式分解2x−18+xy−9y；
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2−2ab−2bc=0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
7．（2022春·山东青岛·八年级校考期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b(b(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵BC=a，AB=a−b，CF=b，∴长方体①的体积为ab(a−b)．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求a3−b3的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：a3+b3= ．
8．（2020秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．
∵m2−2mn+2n2−8n+16=0,∴m2−2mn+n2+(n2−8n+16)=0,∴m−n2+n−42=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知一个不等边三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b、c都是正整数，并满足a2+b2−4a−6b+13=0,求c的值．
（2）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+c2+2bb−a−c=0，试判断△ABC的形状．
（3）试探究关于x、y的代数式5x2−4xy+y2+6x+25是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
9．（2021春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系，点A（a，0），点B（0，b），已知a，b满足a2+b2+8a+8b+32=0．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交x轴于点D，若点F的坐标为（-2，c），求c的值及OE的长；
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EG⊥AB于点G，过点B作BC//x轴交EG的延长线于点C，连接OC、AC，试判断△AOC的形状，并说明理由．
必考点4
利用拆项或添项进行因式分解
1．阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；又例如：求代数式2x2+4x−6的最小值：∵2x2+4x−6=2x2+2x−3=2(x+1)2−8；又∵(x+1)2⩾0；∴当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：a2−4a−5=___________；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2−4a+b2−12b+40=0求边长c的最小值；
(3)当x、y为何值时，多项式−x2+2xy−2y2+6y+7有最大值？并求出这个最大值．
2．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
3．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：x2−2xy+y2−4=(x2−2xy+y2)−4=(x−y)2−22=(x−y−2)(x−y+2)．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−22=(x+1−2)(x+1+2)=(x−1)(x+3)
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为(x+7)与(x−1)
例如：x2+6x−7
分析：
解：原式=(x+7)(x−1)
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）4x2+4x−y2+1
②（拆项法）x2−6x+8
③x2−5x+6=________．
已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，求△ABC的周长．
4．阅读下列分解因式的过程：
x2+2ax-3a2
=x2+2ax+a2-a2-3a2
=(x+a)2-4a2
=(x+a+2a)(x+a-2a)
(x+3a)(x-a)．
像上面这样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法，请你用配方法将下面的多项式因式分解：
（1）m2-4mn+3n2；
（2）x2-4x-12．
5．阅读以下文字并解决问题：
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成x+a2的形式，但对于二次三项式x2+6x−27，就不能直接用公式法分解了。此时，我们可以在x2+6x−27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变。即：x2+6x−27=x2+6x+9−9−27 =x+32−62=x+3+6x+3−6 =x+9x−3，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法.
（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy−5y2.
（2）若a+b=6，ab=5，求：①a2+b2，②a4+b4的值.
（3）如果a2+2b2+c2−2ab−6b−4c+13=0，求a+b+c的值.
6．阅读理解：
添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：
例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
……
＝364−12
例2：因式分解：x4+x2+1
解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2
＝(x2+1)2﹣x2
＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)
根据材料解决下列问题：
(1)计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)；
(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：
①分解因式：x4+4；
②计算：(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4).
7．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2−2xy+y2−4=x2−2xy+y2−4=x−y2−22=x−y−2x−y+2．
②拆项法：
例如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1−2x+1+2=x−1x+3．
仿照以上方法分解因式：
(1)4x2+4x−y2+1；
x2−6x+8．
8．阅读下面的材料：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键是“拆两头，凑中间”，例如，分解因式4x2+3xy−y2，方法如下：拆两头，4x2拆为4x⋅x，−y2拆为−y⋅y，然后排列如下：交叉相乘积相加得3xy，凑得中间项，所以4x2+3xy−y2=(4x−y)(x+y)．利用材料解决问题的策略解答下列问题：
(1)解方程：4x2−5x+1=0；
(2)已知x2−xy−12y2=0(xy≠0)，求xy的值．
必考点5
因式分解的应用
1．王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x−1，a−b，3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将3ax2−1−3bx2−1因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学B．爱河南C．河南数学D．我爱河南
2．已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4+b4+c4−2a2b2−2b2c2−2c2a2的值是（ ）
A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负
3．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，11=1+5+1×5，11是一个“可拆分”整数．下列说法：
①最小的“可拆分”整数是5；
②一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种；
③最大的“不可拆分”的两位整数是96．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．已知m，n均为正整数且满足mn−3m−2n−24=0，则m＋n的最大值是（ ）
A．16B．22C．34D．36
5．若一个正整数m是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即m=nn+2，其中n为正整数，则称m为“半平分数”，n为m的“半平分点”．例如，35=5×7，则35是“半平分数”，5为35的半平分点．
(1)k是80的“半平分点”，则k=______；a的“半平分数”“半平分点”为1，则a=______；当kx+a为正整数时，整数x=______．
(2)把“半平分数”x与“半平分数”y的差记为Ex,y，其中x>y，Ex,y>0，例如，24=4×6，15=3×5，则E24,15=24−15=9．若“半平分数”x的“半平分数”为s，“半平分数”y的“半平分点”为t，当Ex,y=40时，求ts的值．
6．阅读理解应用:要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，结果如下:若a−b>u，则a>b;若a−b<0，则a (1)比较2a2与a2−1的大小，并说明理由.
专题4.5 因式分解全章五类必考压轴题
【北师大版】
必考点1
利用因式分解的结果求参数
1．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）在x3+5x2+7x+k中，若有一个因式为(x+2)，则k的值为（ ）
A．2B．−2C．6D．−6
【答案】D
【分析】根据因式分解的意义可设x3+5x2+7x+k=x+2x2+mx+n，再利用整式乘法计算x+2x2+mx+n后得x3+m+2x2+n+2mx+2n，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解．
【详解】解：设x3+5x2+7x+k=x+2x2+mx+n，
∵x+2x2+mx+n
=x3+mx2+nx+2x2+2mx+2n
=x3+m+2x2+n+2mx+2n
=x3+5x2+7x+k，
∴m+2=5，n+2m=7， k=2n，
解得m=3，n=1，k=2．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
2．（2022秋·四川南充·九年级四川省南充高级中学校考期末）若2x2−6y2+xy+kx+6能分解成两个一次因式的积，则整数k=_________.
【答案】±7
【分析】根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c）（2x+by+d），则2c+d=k，根据cd=6，求出所有符合条件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，与2a+b=1联立求出a、b的值，a、b是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k进行计算即可．
【详解】解：设2x2−6y2+xy+kx+6能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)，
即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，
∴cd=6，
∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，
∴①c=1，d=6时，ad＋bc=6a＋b=0，与2a＋b=1联立求解得a=−14b=32，
或c=6，d=1时，ad＋bc=a＋6b=0,与2a＋b=1联立求解得a=611b=−111，
②c=2，d=3时，ad＋bc=3a＋2b=0，与2a＋b=1联立求解得a=2b=−3，
或c=3，d=2时，ad＋bc=2a＋3b=0，与2a＋b=1联立求解得a=34b=−12,
③c=-2，d=-3时，ad＋bc=-3a-2b=0，与2a＋b=1联立求解得a=2b=−3，
或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，与2a＋b=1联立求解得a=34b=−12，
④c=-1，d=-6时，ad＋bc=-6a-b=0，与2a＋b=1联立求解得a=−14b=32，
或c=-6，d=-1时，ad＋bc=-a-6b=0，与2a＋b=1联立求解得a=611b=−111，
∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，
∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7，
∴整数k的值是7，-7．
故答案为：±7．
【点睛】本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a、b进行验证，注意不要漏解．
3．（2022春·浙江·七年级期末）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____．
【答案】21．
【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a正确，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b正确，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可．
【详解】∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），
∴a＝6，
乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），
∴b＝9，
∴2a+b＝12+9＝21．
故答案为：21．
【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是看错了一个系数，但是另一个没看错．学生做这类题时往往不能理解．
4．（2022秋·四川宜宾·八年级校考期末）若a-3是a2+5a+m的一个因式，求m的值．
【答案】m=-24
【分析】设另一个因式为a+n，则有a2+5a+m=a-3a+n，进行整理使得左右式子对应系数相等求出m、n值即可求解．
【详解】解：设另一个因式为a+n，
则有a2+5a+m=a-3a+n，
即a2+5a+m=a2+n-3a-3n，
∴n-3=5，m=-3n，
∴n=8，m=-24．
【点睛】本题考查因式分解、整式的混合运算，熟知因式分解是把多项式转化为几个整式积的形式是解答的关键．
5．（2022秋·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考期末）已知x2+2x+1是多项式x3−x2+ax+b的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解．
【答案】a=−5，b=−3，x+12x−3
【分析】由题意可假设多项式x3−x2+ax+b=(x2+2x+1)(x+m)，则将其展开、合并同类项，并与x3− x2+ax+b式子中x的各次项系数对应相等，依次求出m、b、a的值，那么另外一个因式即可确定．
【详解】解：设x3−x2+ax+b=x2+2x+1x+m，
则x3−x2+ax+b=x3+m+2x2+2m+1x+m，
所以m+2=−1，2m+1=a，m=b，
解得m=−3，a=−5，b=−3．
所以 x3−x2−5x−3=x2+2x+1x−3=x+12x−3．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好．
6．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：x3+x2+3x−5．
解：观察可知，当x=1时，原式=0．
∴原式可分解为x−1与另一个整式的积．
设另一个整式为x2+bx+c．则x3+x2+3x−5=x−1x2+bx+c，
∵x−1x2+bx+c=x3+b−1x2+c−bx−c，
∴x3+x2+3x−5=x3+b−1x2+c−bx−c
∵等式两边x同次幂的系数相等，
则有：b−1=1c−b=3−c=−5，解得b=2c=5．
∴x3+x2+3x−5=x−1x2+2x+5．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)根据以上材料的方法，分解因式x3+2x2−3的过程中，观察可知，当x=______时，原式=0，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为x2+bx+c．则b=______，c=______．
(2)已知多项式x3+ax+1（a为常数）有一个因式是x+1，求另一个因式以及a的值．
下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程．
解：设另一个因式为x2+bx+c，则x3+ax+1=x+1x2+bx+c．
……
(3)已知二次三项式2x2+3x−k（k为常数）有一个因式是x+4，则另一个因式为______，k的值为______．
【答案】(1)1；(x−1)；3；3
(2)解题过程见详解，x3+1=(x+1)(x2−x+1)
(3)(2x−5)；20
【分析】（1）根据材料提示，当x=1时，x3+2x2−3的值为0，由此即可求解；
（2）多项式x3+ax+1（a为常数）有一个因式是x+1，设另一个因式为x2+bx+c，根据材料提示，即可求解；
（3）多项式2x2+3x−k（k为常数）有一个因式是x+4，则另一个因式为mx+n，根据材料提示，即可求解．
【详解】（1）解：当x=1时，x3+2x2−3的值为0，
∴原式可分解为(x−1)与另一个整式的积，
设另一个整式为x2+bx+c，
∴x3+2x2−3=(x−1)(x2+bx+c)，
∵(x−1)(x2+bx+c)=x3+(b−c)x2+(c−b)x−c，
∴x3+2x2−3=x3+(b−1)x2+(c−b)x−c，
∴b−1=2c−b=0−c=−3，解得，b=3c=3，
∴x3+2x2−3=(x−1)(x2+3x+3)，
故答案为：1；(x−1)；3；3．
（2）解：多项式x3+ax+1（a为常数）有一个因式是x+1，设另一个因式为x2+bx+c，则x3+ax+1=x+1x2+bx+c，
∵x+1x2+bx+c=x3+(b+1)x2+(c+b)x+c，
∴x3+ax+1=x3+(b+1)x2+(c+b)x+c，
∴b+1=0c+b=ac=1，解方程得，a=0b=−1c=1，
∴多项式x3+ax+1（a为常数）为x3+1，
∴x3+1因式分解为x3+1=(x+1)(x2−x+1)．
（3）解：多项式2x2+3x−k（k为常数）有一个因式是x+4，设另一个因式为mx+n，
∴2x2+3x−k=(x+4)(mx+n)，
∵(x+4)(mx+n)=mx2+(n+4m)x+4n，
∴2x2+3x−k=mx2+(n+4m)x+4n，
∴m=2n+4m=34n=−k，解方程组得，m=2n=−5k=20，
∴多项式2x2+3x−k（k为常数）为2x2+3x−20，
∴2x2+3x−20因数分解为2x2+3x−20=(x+4)(2x−5)，
故答案为：(2x−5)，20．
【点睛】本题主要考查因数分解，掌握整式的混合运算是解题的关键．
7．（2022秋·全国·八年级期末）方法探究：
已知二次多项式x2−4x−21，我们把x=−3代入多项式，发现x2−4x−21=0，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成x2−4x−21=x+3x+k，则有x2−4x−21=x2+k+3x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3=−4，解得k=−7，因此多项式分解因式得：x2−4x−21=x+3x−7．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
(1)对于二次多项式x2−4，我们把x＝ 代入该式，会发现x2−4=0成立；
(2)对于三次多项式x3−x2−3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3−x2−3x+3=0，由此可以推断多项式中有因式（x−1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成x3−x2−3x+3=x−1x2+ax+b，试求出题目中a，b的值；
(3)对于多项式x3+4x2−3x−18，用“试根法”分解因式．
【答案】(1)±2
(2)a=0，b=-3；
(3)(x−2)(x+3)2
【分析】（1）将x=±2代入即可；
（2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可；
（3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可．
【详解】（1）解：当x=±2时，x2-4=0，
故答案为：±2；
（2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b），
∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，
∴1-a=1，b=-3，
∴a=0，b=-3；
（3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0，
∴多项式有因式（x-2），
设另一个因式为（x2+ax+b），
∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b），
∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，
∴a-2=4，2b=18，
∴a=6，b=9，
∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2．
【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键．
必考点2
利用因式分解进行有理数的简算
1．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）计算1−122×1−132×1−142×1−152×1−162的值为（ ）．
A．512B．12C．712D．1130
【答案】A
【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【详解】原式=1−12×1+12×1−13×1+13×1−14×1+14×1−15×1+15×1−16×1+16，
=12×32×23×43×34×54×45×65×56×76，
=12×76，
=712，
【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．
2．（2017秋·山东日照·八年级校联考期末）如果259+517能被n整除，则n的值可能是( )
A．20B．30C．35D．40
【答案】B
【分析】两项的底数可以进行转化，25写成5的平方，利用幂的乘方转化后，就可提取公因数进行分解即可解答．
【详解】259+517=518+517=517×(5+1)=517×6=516×30，
∴259+517能被n整除，则n的值可能是30，
故选B．
【点睛】本题考查了分解因式在计算中的应用，将所给的式子化成积的形式，关键是将两项的底数转化成相同的．
3．（2022春·浙江杭州·七年级期末）803−80能被（ ）整除
A．76B．78C．79D．82
【答案】A
【详解】分析：先提取公因数80，再用平方差公式运算.
详解：因为803－80＝80(802－1)＝80(80＋1)(80－1)＝80×81×79，所以803－80能被80，81，79整除.
故选C.
点睛：本题考查了用提公因式法和平方差公式因式分解，在进行实数的运算时，如果能提取公因式数，且提取公因数后能用乘法公式因式分解，则可参照因式分解的方法运算.
4．（2022春·江苏无锡·七年级统考期末）计算：20202−20012−1922001×19=__．
【答案】2
【分析】把20202分成(2001+19)2，利用完全平方公式展开，计算即可．
【详解】20202−20012−1922001×19
=(2001+19)2−20012−1922001×19
=20012+2×2001×19+192−20012−1922001×19
=2×2001×192001×19
=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了利用因式分解对有理数进行简便运算，熟练应用完全平方公式是解题关键．
5．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级校联考期末）计算：102−92+82−72+…+22−12=__________．
【答案】55
【分析】运用因式分解得原式=10+910−9+8+78−7+…+2+12−1.
【详解】102−92+82−72+…+22−12
=10+910−9+8+78−7+…+2+12−1
=19+15+11+7+3
=55
故答案为：55
【点睛】考核知识点：因式分解应用.利用因式分解将式子进行变形是关键.
6．（2022秋·江西南昌·八年级期末）计算2019202−2019192的结果是______．
【答案】403839
【分析】根据平方差公式进行因式分解再计算即可．
【详解】解：2019202−2019192=(201920−201919)(201920+201919)=403839
故答案为：403839．
【点睛】本题考查了利用因式分解进行简便运算，解题的关键是掌握利用平方差公式进行因式分解．
必考点3
利用因式分解探究三角形形状
1．（2022秋·四川内江·八年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）若a、b、c是△ABC的三边，且满足b2+bc−ba−ca=0，a2+ab−cb−ac=0，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据b2+bc−ba−ca=0，a2+ab−cb−ac=0，分别提取公因式即可得到(b+c)(b−a)=0，(a+b)(a−c)=0，再根据b+c≠0，a+b≠0，得到b−a=0，a−c=0，据此即可判定该三角形的形状．
【详解】解：∵b2+bc−ba−ca=0，a2+ab−cb−ac=0，
∴(b+c)(b−a)=0，(a+b)(a−c)=0，
又∵a、b、c是△ABC的三边，
∴b+c≠0，a+b≠0，
∴b−a=0，a−c=0，
∴b=a，a=c，
∴a=b=c，
∴该三角形是等边三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解．
2．（2022秋·江西·八年级校考阶段练习）先阅读下面的材料，再解决问题：
要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b，从而得到am+n+bm+n.这时，由于am+n+bm+n，又有因式m+n，于是可提公因式m+n，从而得到a+bm+n.因此有am+an+bm+bn=am+n+bm+n =a+bm+n.这种因式分解的方法叫做分组分解法.
在三角形中，若任意两条边的差均为0，则这个三角形是等边三角形；若只有两条边的差为0，则这个三角形是等腰三角形；若有两条边的平方和与第三边的平方的差为0，则这个三角形是直角三角形。
请用上面材料中提供的方法解决问题：
（1）将多项式ab−ac+b2−bc分解因式；
（2）若ΔABC的三边a、b、c满足条件：a4−b4+a2c2+b2c2=0，试判断ΔABC的形状.
【答案】（1）（a+b）（b-c）；（2）直角三角形
【分析】（1）将前两项以及后两项重新分组进而分解因式得出答案；
（2）利用分组分解法将原式分解进而得出答案．
【详解】解：（1）ab-ac+b2-bc
=（ab-ac）+（b2-bc）
=a（b-c）+b（b-c）
=（a+b）（b-c）；
（2）由已知，得（a2-b2）（a2+b2）+c2（a2+b2）=0．
即（a2+b2）（a2-b2+c2）=0
∵a2+b2＞0
∴a2-b2+c2=0
即 a2+c2=b2
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了分组分解法分解因式以及勾股定理逆定理，正确分组是解题关键．
3．（2022秋·八年级课时练习）（1）若a、b、c是三角形的三条边，求证：a2−b2−c2−2bc<0．
（2）在△ABC中，三边分别为a、b、c，且满足a+b+c=322，a2+b2+c2=32，试探究△ABC的形状．
（3）在△ABC中，三边分别为a、b、c，且满足a2b−c+b2c−a+c2a−b=0，试探究△ABC的形状．
【答案】（1）见解析；（2）△ABC是等边三角形，见解析；（3）△ABC是等腰三角形，见解析
【分析】（1）用分组分解法进行因式分解，先变形为a2−b2−c2−2bc=a2−b2+2bc+c2，再用完全平方公式和平方差公式分解，然后根据三角形三边关系即可证明；
（2）由题意可得a+b+c2=92．结合a2+b2+c2=32可得2ab+2bc+2ac=3，故可得到2ab+2bc+2ac=2a2+2b2+2c2，整理得a−b2+b−c2+a−c2=0．用非负性可求得a、b、c的数量关系，于是可作出判断；
（3）对a2b−c+b2c−a+c2a−b进行因式分解，得到b−ca−ba−c
据此可解．
【详解】解：（1）∵a2−b2−c2−2bc=a2−b2+2bc+c2
=a2−b+c2=a+b+ca−b−c
∵a、b、c是三角形三边，
∴a+b+c>0且a∴a+b+ca−b−c<0．
即a2−b2−c2−2bc<0．
（2）△ABC是等边三角形，理由如下：
∵a+b+c=322，
∴a+b+c2=92．
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=92．
又∵a2+b2+c2=32，
∴2ab+2bc+2ac=3．
∴2ab+2bc+2ac=2a2+2b2+2c2．
∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0．
∴a−b2+b−c2+a−c2=0．
∵a−b2≥0，b−c2≥0，a−c2≥0，
∴a−b=0，b−c=0，a−c=0．
∴a=b=c．
∴△ABC是等边三角形．
（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：
a2b−c+b2c−a+c2a−b
=a2b−c+b2c−ab2+ac2−bc2
=a2b−c+b2c−bc2−ab2−ac2
=a2b−c+bcb−c−ab+cb−c
=b−ca2+bc−ab−ac
=b−caa−b−ca−b
=b−ca−ba−c
∵a2b−c+b2c−a+c2a−b=0
∴b−ca−ba−c=0
∴b=c或b=a或a=c．
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，灵活运用提公因式法、公式法、分组分解法进行因式分解是解题的关键.
4．（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）求解下列问题：
(1)若x2+2y2−2xy+8y+16=0，求yx的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−6a−8b+25+4−c=0，请问△ABC是什么形状的三角形？请说明理由．
【答案】(1)1256
(2)等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，然后根据非负数的性质得出x,y的值，代入计算即可求解；
（2）根据完全平方公式运算法，然后根据非负数的性质得出a=3,b=4,c=4，即可判断三角形的形状
【详解】（1）解：∵x2+2y2−2xy+8y+16=0,
∴(x2−2xy+y2)+(y2+8y+16)=0.
∴(x−y)2+(y+4)2=0.
∵(x−y)2≥0,(y+4)2≥0,
∴x−y=0,y+4=0,
∴x=y=−4.
yx=(−4)−4=1256.
（2）∵a2+b2−6a−8b+25+4−c=0
∴(a2−6a+9)+(b2−8b+16)+4−c=0,
(a−3)2+(b−4)2+4−c=0,
∵(a−3)2≥0,(b−4)2≥0,4−c≥0,
∴a−3=0,b−4=0,4−c=0,
∴a=3,b=4,c=4.
∴c=b≠a.
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，等腰三角形的定义，非负数的性质，负整数指数幂是解题的关键．
5．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足等式3a2+b2+c2=a+b+c2，试确定该三角形的形状.
【答案】等边三角形
【分析】将已知等式化为a−b2+b−c2+a−c2=0，根据非负数的性质得出a=b=c，即可求解．
【详解】解：∵3a2+b2+c2=a+b+c2，
∴3a2+3b2+3c2−a2−b2−c2−2ab−2ac−2bc=0
即2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc=0
即a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2=0
∴a−b2+b−c2+a−c2=0，
∴a−b2=0，b−c2=0，a−c2=0
∴a−b=0，b−c=0，a−c=0，
即a=b=c
∵△ABC的三边长分别为a，b，c，
∴该三角形是等边三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，得出a=b=c是解题的关键．
6．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读材料，要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得到：am+an+bm+bn=am+n+bm+n，这时am+n+bm+n中又有公因式m+n，于是可以提出m+n，从而得到m+na+b，因此有am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b，这种方法称为分组法．请回答下列问题：
(1)尝试填空：ac−bc+ab−a2=______；
(2)解决问题：因式分解2x−18+xy−9y；
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2−2ab−2bc=0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】(1)a−bc−a；
(2)2+yx−9
(3)△ABC是等边三角形，理由见解析．
【分析】（1）利用分组分解法因式分解即可；
（2）利用分组分解法因式分解即可；
（3）利用分组分解法因式分解，再利用非负数的性质证明a=b=c即可．
【详解】（1）解：ac−bc+ab−a2
=ac−bc−a2−ab
=ca−b−aa−b
=a−bc−a；
故答案为：a−bc−a；
（2）2x−18+xy−9y
=2x−9+yx−9
=2+yx−9；
（3）结论：△ABC是等边三角形．
理由：∵a2+2b2+c2−2ab−2bc=0，
∴a2−2ab+b2+c2−2bc+b2=0，即：a−b2+c−b2=0
∵a−b2≥0，c−b2≥0，
∴a−b=0，c−b=0，
∴a=b=c
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了分组分解法，非负数的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是根据范例熟练掌握分组分解．
7．（2022春·山东青岛·八年级校考期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b(b(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵BC=a，AB=a−b，CF=b，∴长方体①的体积为ab(a−b)．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求a3−b3的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：a3+b3= ．
【答案】(1)a2−b2=a+ba−b
(2)a3−b3
(3)b2a−b，a2a−b
(4)a3−b3=a−ba2+ab+b2
(5)252
(6)a+ba2−ab+b2
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为a+b、宽为a−b的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得a3−b3=aba−b+b2a−b+a2a−b，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出a2+b2=40，再根据（4）的结论即可得；
（6）将a3+b3改写成a3−−b3，再根据（4）的结论进行因式分解即可得．
（1）
解：图1中阴影部分的面积为a2−b2，
图2中阴影部分的面积为a+ba−b，
∵拼图前后图形的面积不变，
∴a2−b2=a+ba−b，
∴可得一个多项式的分解因式为a2−b2=a+ba−b，
故答案为：a2−b2=a+ba−b．
（2）
解：由题意，得到的几何体的体积为a3−b3，
故答案为：a3−b3．
（3）
解：∵EN=b,DE=b,DM=a−b，
∴长方体②的体积为b2a−b，
∵GH=a,FG=a−b,HR=a，
∴长方体③的体积为a2a−b，
故答案为：b2a−b，a2a−b．
（4）
解：由（2）和（3）得：a3−b3=aba−b+b2a−b+a2a−b，
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为a3−b3=a−ba2+ab+b2，
故答案为：a3−b3=a−ba2+ab+b2．
（5）
解：∵a−b=6,ab=2，
∴a2+b2=a−b2+2ab=62+2×2=40，
∴a3−b3=a−ba2+ab+b2=6×40+2=252．
（6）
解：由（4）可知，a3−b3=a−ba2+ab+b2，
则a3+b3=a3−−b3
=a−−ba2+a−b+−b2
=a+ba2−ab+b2，
故答案为：a+ba2−ab+b2．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．
8．（2022秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．
∵m2−2mn+2n2−8n+16=0,∴m2−2mn+n2+(n2−8n+16)=0,∴m−n2+n−42=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知一个不等边三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b、c都是正整数，并满足a2+b2−4a−6b+13=0,求c的值．
（2）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+c2+2bb−a−c=0，试判断△ABC的形状．
（3）试探究关于x、y的代数式5x2−4xy+y2+6x+25是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）4；（2）等边三角形；（3）最小值为16，此时x=-3，y=-6．
【分析】（1）首先根据a2+b2−4a−6b+13=0，应用因式分解的方法，判断出（a-2）2+（b-3）2=0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出c的值是多少即可；
（2）先把原式化为（a-b）2+（b-c）2=0，再利用非负数的性质得出a=b=c，那么△ABC是等边三角形；
（3）将原式变形为x+32+2x−y2+16，利用偶次方的非负性，可得最小值以及此时x和y的值．
【详解】解：（1）a2+b2−4a−6b+13=0，
∴a−22+b−32=0，
∴a=2，b=3，
∴1＜c＜5，
∴c=4；
（2）a2+c2+2bb−a−c=0，
∴a2+c2+2b2−2ab−2bc=0，
∴a2+b2−2ab+c2+b2−2bc=0，
∴a−b2+b−c2=0，
∴a-b=0且b-c=0，即a=b且b=c，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形；
（3）有最小值，
5x2−4xy+y2+6x+25
=x2+6x+9+4x2−4xy+y2+16
=x+32+2x−y2+16
∵x+32≥0，2x−y2≥0，
∴原式≥16，此时x=-3，y=-6．
【点睛】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，三角形的三条边之间的关系，等边三角形的判定，解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料中的形式．
9．（2022春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系，点A（a，0），点B（0，b），已知a，b满足a2+b2+8a+8b+32=0．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交x轴于点D，若点F的坐标为（-2，c），求c的值及OE的长；
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EG⊥AB于点G，过点B作BC//x轴交EG的延长线于点C，连接OC、AC，试判断△AOC的形状，并说明理由．
【答案】（1）A−4,0、B0,−4；（2）c=4，OE的长为2；（3）△AOC是以C为顶点的等腰三角形
【分析】（1）把a2+b2+8a+8b+32=0进行配方得a+42+b+42=0，可得a=b=−4，进而可求得点A、B的坐标；
（2）如详解图：过点F作FM⊥AO于M，利用角度的等量代换可得∠MFA=∠OAE，∠AMF=∠AOE=90°，从而可证△AMF≌△EOA，可得AM=OE,OA=MF，进而可得答案；
（3）根据点A、B的坐标，求出直线AB的解析式为：y=−x−4，再利用EG⊥AB，设CE所在直线的解析式为：y=x+b，根据E点坐标可求CE所在直线的解析式为：y=x−2，根据点B、C纵坐标相同，即可求出点C坐标，利用两点间距离公式即可分别求出AC、OC、AO的长即可得到结论．
【详解】（1）∵ a2+b2+8a+8b+32=0，
∴ a+42+b+42=0，
∴ a+4=0,b+4=0，
∴ a=b=−4，
∴A−4,0,B0,−4，
（2）如图：过点F作FM⊥AO于M，
∵AF⊥AE,
∴∠FAE=90°,
∴ ∠OAE+∠FAO=90°,
∵ FM⊥AO，
∴∠FMA=∠AOE=90°，
∴∠AFM+∠FAO=90°，
∴ ∠AFM=∠OAE，
∴在△AMF和△AOE中
∠FMA=∠AOE∠AFM=∠OAEAF=AE
∴ △AMF≌△EOA，
∴AM=EO,FM=AO=4，
∴c=4
∵点F的横坐标为：−2，点A的横坐标为：−4
∴AM=OE=−2−−4=2,
∴OE的长为2，
（3）设AB所在直线的解析式为：y=kx+b，将点A−4,0,B0,−4代入可得，
−4k+b=0b=−4，
解得k=−1b=−4，
∴直线AB的解析式为：y=−x−4，
设CE所在直线的解析式为：y=x+m，将E0,−2代入可得，
−2=0+m，
解得：m=−2
∴ CE所在直线的解析式为：y=x−2，
∵ BC// x轴，
∴C点的纵坐标为−4，将y=−4，代入y=x−2得：x=−2，
∴C点坐标为−2,−4，
∴ OC2=BC2+OB2=22+42=4+16=20,
AC2=xC−xA2+yC2=22+42=4+16=20，
OA2=42=16，
∴OC=AC
∴△AOC是以C为顶点的等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了一次函数，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，以及配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握这些性质是解题关键．
必考点4
利用拆项或添项进行因式分解
1．阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；又例如：求代数式2x2+4x−6的最小值：∵2x2+4x−6=2x2+2x−3=2(x+1)2−8；又∵(x+1)2⩾0；∴当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：a2−4a−5=___________；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2−4a+b2−12b+40=0求边长c的最小值；
(3)当x、y为何值时，多项式−x2+2xy−2y2+6y+7有最大值？并求出这个最大值．
【答案】(1)(a+1)(a−5)
(2)5
(3)x=y=3时，最大值为16．
【分析】（1）根据阅读材料，先将a2−4a−5变形为a2−4a+4−9，再根据完全平方公式写成a−22−9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值；
（3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；
【详解】（1）解：原式= a2−4a+4−9
= a−22−9
= a−2+3a−2−3
=(a+1)(a−5)；
故答案为：(a+1)(a−5)
（2）∵a2+b2−4a−12b+40=0，
∴a2−4a+4+b2−12b+36=0，
∴(a−2)2+(b−6)2=0，
∴a−2=0b−6=0 解得：a=2b=6，
∵a、b、c是 △ABC的三边长，
∴4又∵c是整数，c=5,6,7；
∴边长c的最小值是5；
（3）−x2+2xy−2y2+6y+7
=−x2−2xy+y2−y2−6y+9+9+7
=−(x−y)2−(y−3)2+16，
∵(x−y)2≥0，(y−3)2≥0；
∴−(x−y)2−(y−3)2+16≤16，
∴当x−y=0y−3=0 时, 即 x=y=3时，−x2+2xy−2y2+6y+7取得最大值为16．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
2．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
【答案】（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）x+2x−2x+3x−3
【分析】（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【详解】（1）x3﹣7x+6
＝x3﹣x﹣6x+6
＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）
＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6
＝（x2﹣2）（x2﹣3）
＝（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）．
【点睛】本题主要考查学生因式分解的知识及学以致用的能力，掌握因式分解结合题意并灵活运用是解题的关键．
3．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：x2−2xy+y2−4=(x2−2xy+y2)−4=(x−y)2−22=(x−y−2)(x−y+2)．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−22=(x+1−2)(x+1+2)=(x−1)(x+3)
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为(x+7)与(x−1)
例如：x2+6x−7
分析：
解：原式=(x+7)(x−1)
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）4x2+4x−y2+1
②（拆项法）x2−6x+8
③x2−5x+6=________．
（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，求△ABC的周长．
【答案】（1）①(2x+y+1)(2x−y+1)，②(x−4)(x−2)，③(x−2)(x−3)；（2）7
【分析】（1）①将原式化为(4x2+4x+1)−y2，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为x2−6x+9−1，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出a，b，c的值，然后求和即可得出答案．
【详解】解：（1）①4x2+4x−y2+1
=(4x2+4x+1)−y2
=(2x+1)2−y2
=(2x+y+1)(2x−y+1)；
②x2−6x+8
=x2−6x+9−1
=(x−3)2−1
=(x−3−1)(x−3+1)
=(x−4)(x−2)；
③x2−5x+6=(x−2)(x−3)；
故答案为：(x−2)(x−3)；
（2）∵a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，
∴(a2−4a+4)+(b2−4b+4)+(c2−6c+9)=0，
∴(a−2)2+(b−2)2+(c−3)2=0，
∴a=2，b=2，c=3，
∴a+b+c=2+2+3=7．
∴△ABC的周长为7．
【点睛】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键．
4．阅读下列分解因式的过程：
x2+2ax-3a2
=x2+2ax+a2-a2-3a2
=(x+a)2-4a2
=(x+a+2a)(x+a-2a)
(x+3a)(x-a)．
像上面这样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法，请你用配方法将下面的多项式因式分解：
（1）m2-4mn+3n2；
（2）x2-4x-12．
【答案】（1）（m-n）（m-3n）；（2）（x+2）（x-6）．
【分析】（1）、（2）分别利用阅读材料中的配方法分解即可．
【详解】解：（1）m2-4mn+3n2
=m2-4mn+4n2-4n2+3n2
=m2-4mn+4n2-n2
=（m-2n）2-n2
=（m-2n+n）（m-2n-n）
=（m-n）（m-3n）；
（2）x2-4x-12
=x2-4x+4-4-12
=（x-2）2-42
=（x-2+4）（x-2-4）
=（x+2）（x-6）．
【点睛】本题考查了因式分解的应用．要运用配方法，只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式．
5．阅读以下文字并解决问题：
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成x+a2的形式，但对于二次三项式x2+6x−27，就不能直接用公式法分解了。此时，我们可以在x2+6x−27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变。即：x2+6x−27=x2+6x+9−9−27 =x+32−62=x+3+6x+3−6 =x+9x−3，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法.
（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy−5y2.
（2）若a+b=6，ab=5，求：①a2+b2，②a4+b4的值.
（3）如果a2+2b2+c2−2ab−6b−4c+13=0，求a+b+c的值.
【答案】（1）（x+5y）（x-y）；（2）①26，②626；（3）8
【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；
（2）利用完全平方公式变形，代入计算即可；
（3）已知等式左边配方后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：（1）原式=x2+4xy+4y2-9y2=（x+2y）2-（3y）2=（x+5y）（x-y）；
（2）①a2+b2=（a+b）2-2ab=36-10=26，
②a4+b4=（a2+b2）2-2a2b2=626；
（3）∵a2+2b2+c2-2ab-6b-4c+13=0．
∴a2+b2-2ab+b2-6b+9+c2-4c+4=0
∴（a-b）2+（b-3）2+（c-2）2=0，
可得a=b=3，c=2，
则原式=3+3+2=8．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次幂，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．阅读理解：
添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：
例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
……
＝364−12
例2：因式分解：x4+x2+1
解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2
＝(x2+1)2﹣x2
＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)
根据材料解决下列问题：
(1)计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)；
(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：
①分解因式：x4+4；
②计算：(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4).
【答案】(1)21024−121023；(2)①(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)；②1522+1.
【分析】(1)配成平方差公式只要在前面乘以2×(1﹣12)即可，连续使用平方差公式，得出最后结果，
(2)①根据配方法在原式的基础上(+4x2﹣4x2)，转化为完全平方公式，再利用拆项法配方，最后化为两个因式的积，
②根据x4+4的分解结果，分别求出当x＝1，x＝3，x＝5，x＝7，x＝9，x＝11……所对应的x4+4个结果，从而得到一个规律，再代入求值即可.
【详解】解：(1)原式＝2×(1﹣12)×(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)
＝2×(1﹣121024)
＝21024−121023，
(2)①x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2
＝(x2+2)2﹣(2x)2
＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)，
②∵ x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)
∴ x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)＝[(x+1)2+1]•[(x﹣1)2+1]
原式＝(02+1)(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)……(502+1)(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)……(502+1)(522+1)= 1522+1
【点睛】考查因式分解，平方差公式、完全平方公式等知识，掌握公式，通过因式分解的变形，找出存在的规律是解决问题的关键.
7．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2−2xy+y2−4=x2−2xy+y2−4=x−y2−22=x−y−2x−y+2．
②拆项法：
例如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1−2x+1+2=x−1x+3．
仿照以上方法分解因式：
(1)4x2+4x−y2+1；
(2)x2−6x+8．
【答案】(1)2x+1+y2x+1−y
(2)x−2x−4
【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）将原式先变形为x2−6x+8=x2−6x+9−1，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：4x2+4x−y2+1
=4x2+4x+1−y2
=2x+12−y2
=2x+1+y2x+1−y；
（2）解：x2−6x+8
=x2−6x+9−1
=x−32−1
=x−3+1x−3−1
=x−2x−4．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．
8．阅读下面的材料：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键是“拆两头，凑中间”，例如，分解因式4x2+3xy−y2，方法如下：拆两头，4x2拆为4x⋅x，−y2拆为−y⋅y，然后排列如下：交叉相乘积相加得3xy，凑得中间项，所以4x2+3xy−y2=(4x−y)(x+y)．利用材料解决问题的策略解答下列问题：
(1)解方程：4x2−5x+1=0；
(2)已知x2−xy−12y2=0(xy≠0)，求xy的值．
【答案】(1)x1=14，x2=1
(2)xy的值为4或−3
【分析】（1）先用十字相乘法分解因式，然后解方程即可；
（2）先将原方程变为x−4yx+3y=0，得出x=4y或x=−3y，求出xy的值为4或−3即可．
【详解】（1）解：4x2−5x+1=0，
因式分解得：4x−1x−1=0，
∴4x−1=0或x−1=0，
解得：x1=14，x2=1；
（2）解：x2−xy−12y2=0，
因式分解得：x−4yx+3y=0，
∴x−4y=0或x+3y=0，
即x=4y或x=−3y，
∵xy≠0，
∴x≠0，y≠0，
当x=4y时，xy=4yy=4，
当x=−3y时，xy=−3yy=−3，
综上分析可知，xy的值为4或−3．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握十字相乘法．
必考点5
因式分解的应用
1．王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x−1，a−b，3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将3ax2−1−3bx2−1因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学B．爱河南C．河南数学D．我爱河南
【答案】D
【分析】先把代数式分解因式，再对照密码手册求解．
【详解】解：3ax2−1−3bx2−1=3x+1x−1a−b，
所以，结果呈现的密码信息可能是：我爱河南
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，分解因式是解题的关键．
2．已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4+b4+c4−2a2b2−2b2c2−2c2a2的值是（ ）
A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负
【答案】B
【分析】根据完全平方公式以及平方差公式将代数式因式分解即可求解．
【详解】解：a4+b4+c4−2a2b2−2b2c2−2c2a2
=a4+b4+c4+2a2b2−2a2c2−2b2c2−4a2b2
=a2+b2−c22−4a2b2
=a2+b2−c2+2aba2+b2−c2−2ab
=a+b2−c2a−b2−c2
=a+b+ca+b−ca−b+ca−b−c
∵a,b,c是一个三角形的三边，
∴a+b−c>0,a+b+c>0,a−b+c>0,a−b−c<0，
∴原式<0
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
3．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，11=1+5+1×5，11是一个“可拆分”整数．下列说法：
①最小的“可拆分”整数是5；
②一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种；
③最大的“不可拆分”的两位整数是96．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据定义分别判断即可．
【详解】解：∵ 5=1+2+1×2，且1，2是最小的正整数，故①正确；
设整数m=a+b+ab
则m+1=a+b+ab+1=a+1b+1
当m+1不是质数时，拆分方式不止一种，
如：11=1+5+1×5=2+3+2×3，故②正确；
当m=96时，m+1=97，97是一个质数，故不能拆解为a+1b+1形式，
故96为“不可拆分”整数．
而97=1+48+1×48，为“可拆分”整数，
98=2+32+2×32，为“可拆分”整数，
99=1+49+1×49，为“可拆分”整数，
故最大的“不可拆分”的两位整数是96．③正确
故选D
【点睛】本题考查了新定义、有理数的运算、因式分解的应用等知识点，因式分解知识点的灵活运用是解题关键．
4．已知m，n均为正整数且满足mn−3m−2n−24=0，则m＋n的最大值是（ ）
A．16B．22C．34D．36
【答案】D
【分析】由mn−3m−2n−24=0得(m−2)(n−3)=30.由于30=1×30=2×15=3×10=5×6 =30×1=15×2=10×3=6×5，据此列出关于m、n的方程组，求出每一组m、n的值，再求出相应的m＋n的值，即可找到m＋n的最大值.
【详解】由mn−3m−2n−24=0得
mn−3m−2n+6−30=0
m(n−3)−2(n−3)=30
(m−2)(n−3)=30
∵m，n均为正整数
∴m−2=1n−3=30或m−2=2n−3=15或m−2=3n−3=10或m−2=5n−3=6
或m−2=30n−3=1或m−2=15n−3=2或m−2=10n−3=3 或m−2=6n−3=5
解得m=3n=33或m=4n=18或m=5n=13或m=7n=9或m=32n=4或m=17n=5或m=12n=6或m=8n=8
∴m+n=36或22或18或16
∴m＋n的最大值是36
故选：D
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将mn−3m−2n−24=0变形为(m−2)(n−3)=30.
5．若一个正整数m是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即m=nn+2，其中n为正整数，则称m为“半平分数”，n为m的“半平分点”．例如，35=5×7，则35是“半平分数”，5为35的半平分点．
(1)k是80的“半平分点”，则k=______；a的“半平分数”“半平分点”为1，则a=______；当kx+a为正整数时，整数x=______．
(2)把“半平分数”x与“半平分数”y的差记为Ex,y，其中x>y，Ex,y>0，例如，24=4×6，15=3×5，则E24,15=24−15=9．若“半平分数”x的“半平分数”为s，“半平分数”y的“半平分点”为t，当Ex,y=40时，求ts的值．
【答案】(1)8；3；−2或−1或1或5
(2)ts的值为45或13．
【分析】（1）直接应用新定义的运算规则，即可求解．
（2）运用新定义的运算规则，先得出关系式：s2+2s−t2−2t=40，应用因式分解，运用分类讨论思想，求出ts．
【详解】（1）解：∵80=8×10，∴k=8；
∵a=1×1+2=3，∴a=3；
∵kx+a=8x+3为正整数，
∴x+3=1或2或4或8，
整数x=−2或−1或1或5；
故答案为：8；3；−2或−1或1或5；
（2）解：∵x=ss+2=s2+2s，y=tt+2=t2+2t，Ex,y=40，
∴x−y=40，
∴s2+2s−t2−2t=s+ts−t+2s−t=40，
即s−ts+t+2=40，
∵s、t都是正整数，
∴s−t、s+t+2都是正整数，
∵40=1×40=2×20=4×10=5×8，
∴s−t=1s+t+2=40或s−t=2s+t+2=20或s−t=4s+t+2=10或s−t=5s+t+2=8，
解得s=19.5t=18.5(舍) 或s=10t=8或s=6t=2或s=5.5t=0.5(舍)，
∴ts的值为45或13．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及知识点有：因式分解、解二元一次方程组等，考查学生的阅读素养、计算能力、推理能力、应用能力等，体现了数学的分类讨论思想，本题第一问较简单，第二问关键在于能将式子s2+2s−t2−2t=40的左右两边分别进行因式分解，得出四种情况进行分类讨论．
6．阅读理解应用:要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，结果如下:若a−b>u，则a>b;若a−b<0，则a (1)比较2a2与a2−1的大小，并说明理由.
(2)比较a2+b2与2ab的大小，并说明理由.
(3)直接利用(2)的结论解决:求a2+1a2+3的最小值.
(4)已知如图，直线a⊥b于O，在a,b上各有两点B,D和A,C, AO=4,BO=9,CO=x2,DO=y2，且xy=3，求四边形ABCD面积的最小值.
【答案】（1）2a2＞a2−1
（2）a2+b2≥2ab，
（3）a2+1a2+3的最小值是5.
（4）最小值为18+22.5=40.5
【分析】（1）（2）直接利用作差法，进一步分解因式，利用非负数的性质判定即可；
（3）利用（2）的结论得出答案即可；
（4）利用四边形ABCD面积等于三角形ABD的面积加上三角形BCD的面积列出式子，利用（3）的结论解决问题．
【详解】解：（1）∵2a2−（a2−1）=2a2−a2+1=a2+1＞0 ,
∴2a2＞a2−1.
（2）a2+b2≥2ab，
理由：∵a2+b2−2ab=（a−b）2≥0，
（3）a2+1a2+3≥2a⋅1a+3=2+3=5
a2+1a2+3的最小值是5.