浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题1.5 平行线全章五类必考压轴题（学生版+教师版）

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1．已知，，、分别为直线、上的点，为平面内任意一点，连接、．
(1)如图（1），请直接写出、与之间的数量关系．
(2)如图（2），过点作、交直线上的点、，点在上，过作，求证：．
(3)如图（3），在（2）的条件下，若，，求的度数．
【分析】（1）如图，过E作，根据平行公理得，根据平行线的性质得，，对角进行加减运算即可求；
（2）根据垂直和周角的概念可得，根据平行线的性质得
，根据邻补角得，然后等量代换即可求得结果；
（3）结合已知求得由（1）可知，，结合已知和邻
补角得，由（2）的结论得求出
，最后根据三角形内角和求出依据，利
用平行线的性质即可求解．
【详解】（1）如图，过E作，，，
，，
，
即；
（2）证明：、，，
，
，，
，，
；
（3），由（1）可知，，
，
，，
，由（2）可知，
，解得：，
，
，，
，．
2．已知直线，点，分别在直线，上．
(1)如图①，当点在直线，之间时，连接，．探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，在①的条件下，平分，平分，交点为．求与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，当点在直线，的下方时，连接，平分，平分，的反向延长线交于点．若时，求的度数．
【分析】（1）过点作，则，，进而得出，即可得出结论；
（2）同（1）得出，根据角平分线的定义得出，即可得出结论；
（3）过点作，根据平行线的性质得出，同（1），即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
如图所示，过点作，
∴，∵∴，∴，
∴，即，
（2），理由见解析，
∵平分，平分，∴，
由（1）可知，同理可得，
∴，
即，
（3）解：如图，过点作，
∴，
∵平分，平分，∴，，
∵，∵，，∴，，
∴，
由（1）可得
．
3．已知：，、是上的点，、是上的点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，为的角平分线，交于点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，作的角平分线交于点，若平分，且比的多，求的度数．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行即可求证；
（2）如图所示（见详解），过点作，根据平行性的性质，可求得，由此即可求解；
（3）设，则，根据角平分线，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，可得，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∴．
（2）证明：如图所示，过点作，
∴，
∵，∴，
∵平分，∴，∴，
∵，∴，∴，
即，∴．
（3）解：如图所示，
设，则，
∵，∴，
∵平分，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∵∴∴，
∴，
∵平分，∴，∴，
∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，
故的度数为．
4．已知：直线，点M、N分别在直线、直线上，点E为平面内一点，

(1)如图1，请写出之间的数量关系，并给出证明；
(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若，平分，平分，，求的度数；
(3)如图3，点G为上一点，，， 交于点H，请写出，，之间的数量关系（用含m的式子表示），并给出证明．
【分析】（1）过点E作，根据题意和平行线的判定得，根据平行线的性质得，，根据，即可得；
（2）根据题意得，，根据平行线的性质得，根据得，即可得，进行计算即可；
（3）根据题意得，，根据得，根据得，根据得，即可得．
【详解】（1），证明如下：
证明：如图1所示，过点E作，
∵，∴，∴，，
∵，∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴===；
（3），证明如下：
证明：∵，，
∴，，
∵，∴，
∵=，∴，
∵，∴，
∴．
5．已知：直线ABCD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．
(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP= ；
(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=时，求∠AMP的度数；（用含的代数式表示）
(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．
【分析】（1）过P作PEAB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝65°，进而可求解；
（2）过P作PFAB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－，进而可求解；
（3）过P作PFAB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－，进而可求解；
（1）解：过P作PEAB，
∵ABCD，∴PECD，∴∠AMP＝∠MPE，∠CNP＝∠EPN，
∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，
∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，
∴∠PNQ＝∠PNC（180°﹣∠QND），
∵∠QND＝50°，∴∠PNC＝65°，∴∠AMP＝90°﹣65°＝25°；
故答案为：25°
（2）过P作PFAB，
∵ABCD，∴PFCD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，
∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，
∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，
∴∠PNQ＝∠PNC（180°﹣∠QND），
∵∠QND＝，∴∠PNC＝＝90°－，
∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－）＝；
即∠AMP＝；
（3）过P作PFAB，
∵ABCD，∴PFCD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，
∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，
∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，
∴∠PNQ＝∠PNC（180°﹣∠QND）＝90°－，
∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－）＝．
即∠QND＝2∠AMP．
6．如图，，点P为AB上方一点，E在直线AB上．
(1)如图1，求证：∠P=∠PEB-∠C；
(2)如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；
(3)如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，n= ．
【分析】（1）过点P作，则，∠PEB+∠MPE=180°，∠C+∠CPE+∠MPE =180°，两式相减可得答案；
（2）由（1）的结论可得，∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，设，可得 ，，即可求得答案；
（3）由题意可得∠CPE=（n+1）∠CPN，∠DCP=( n+1)∠PCN，由（1）得，∠PEB=∠CPE +∠DCP=（n+1）(∠CPN+∠PCN)，又∠PEA=180°-∠PEB，∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，通过化简可得答案．
（1）证明：如图，过点P作，
∴∠PEB+∠MPE=180°，∵，∴，∴∠C+∠CPM=180°，
即∠C+∠CPE+∠MPE =180°，∴∠C+∠CPE=∠PEB，∴∠CPE=∠PEB-∠C；
（2）解：由（1）的结论可得，∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，
设，可得，
，
∴
即
（3）解：n=1
如图，过点P作，过点G作，则，，
∴∠DCN=∠GNC，∠PCD=∠QPC，∠GNP+∠QPN=180°，
∴∠CNP=∠GNC+∠GNP=∠DCN+180°-∠QPN
=180°+∠DCN-(∠QPC+∠CPN)
=180°+∠DCN-(∠PCD +∠CPN)
=180°+∠DCN-∠PCD -∠CPN
=180°+∠DCN-∠PCD -∠CPN
=180°-∠PCN-∠CPN，
∴∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP
∵∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，
∴∠CPE=∠EPN+∠CPN=（n+1）∠CPN，
同理∠DCP=( n+1)∠PCN，
由（1）得，∠PEB=∠CPE +∠DCP=（n+1）∠CPN+( n+1)∠PCN=（n+1）（∠CPN+∠PCN），
∴∠PEA=180°-∠PEB=180°-（n+1）（∠CPN+∠PCN），
又∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，
∴∠PEA =180°-（n+1）（180°-∠CNP）=（n+1）∠CNP-n×180°，
当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，
即2∠CNP-（n+1）∠CNP+n×180°=180°，
∴（n-1）（∠CNP-180°）=0恒成立，∵∠CNP≠180°，∴n=1，
故答案为1
7．如图：
(1)如图1，已知MNPQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；
(2)如图2，已知MNPQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝110°.
①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；
②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示.若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是 度（用关于n的代数式表示）.
【分析】（1）如图1中，作EH∥PQ．利用平行线的性质和判定求解即可．
（2）①利用（1）中结论只要求出∠PDE，∠MBE即可．②利用（1）中结论只要求出∠PDE，∠MBE即可．
（1）如图1中，作EHPQ．
∵EHPQ，PQMN，∴EHMN，
∴∠PDE=∠DEH，∠MBE=∠BEH，
∴∠DEB=∠DEH+∠BEH=∠PDE+∠MBE．
（2）①如图2中，∵∠CBN=100°，∴∠MBC=80°，
∵BE平分∠MBC，∴∠MBE=∠MBC=40°，
∵∠ADQ=130°，∴∠PDA=50°，∵ED平分∠PDA，∴∠PDE=∠PDA=25°，
∴∠BED=∠PDE+∠MBE=25°+40°=65°．
②如图3中，
∵∠ADQ=n°，ED平分∠ADC，∴∠CDE=∠ADQ=n°，∴∠PDE=180°-n°，
∵∠ABE=40°，∴∠BED=∠PDE+∠ABE=180°-n°+40°=220°-n°．
故答案为220°-n°．

1．先阅读再解答：
(1)如图1，，试说明：；
(2)已知：如图2，，求证：；
(3)已知：如图3，，．求证：．
【分析】（1）过点E作，由平行线的性质可得，进而可求解；
（2）过点E作，由平行线的性质可得，进而可求解；
（3）延长和反向延长相交于点G，由平行线的性质可得，进而可得，利用平行线的判定条件可证明，再根据平行线性质可证明结论．
【详解】（1）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：延长和反向延长相交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．综合与实践
(1)问题情境：图中，，，，求的度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．按小明的思路，易求得的度数为______；（直接写出答案）
(2)问题迁移：图中，直线，为平面内一点，连接、．若，，试求的度数；
(3)问题拓展：图中，直线，则、、之间的数量关系为______．
【分析】对于（1），作，通过平行线性质可得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，再代入，，即可求；
对于（2），作，根据平行线的性质可得∠APE=∠A=50°，∠EPD=180°-150°=30°，即可求出的度数；
对于（3），作，则，根据平行线的性质可得∠CDP=∠DPE，∠FPA+∠PAB=180°，又∠FPA=∠DPF-∠APD，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
（1）如图，过作，
∵AB//CD，

∴，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°．
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠PCE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为：；
（2）过点作，

∵∠A=50°，
∴∠APE=∠A=50°，
∵，
∴，
∴∠CDP+∠EPD=180°．
∵∠D=150°，
∴∠EPD=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°；
（3）∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
如图，过点作，则，

∴∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，
∵∠FPA=∠DPF-∠APD，
∴∠DPF-∠APD+∠PAB=180°，
∴∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
故答案为：∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
3．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：
(1)已知：ABCD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
小明是这样证明的：请填写理由
证明：过点P作PQAB
∴∠APQ=∠A（ ）
∵PQAB，ABCD．
∴PQCD（ ）
∴∠CPQ=∠C（ ）
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
(2)在图2中，ABCD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为 ；
(3)在图3中，ABCD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为 ；
(4)在图4中，ABCD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．
【分析】过点P作AB的平行线，用相似的证明方法运用平行线的性质进行证明即可．
（1）如图1，过点P作PQAB，
∴∠APQ＝∠A（两直线平行，内错角相等）
∵PQAB，ABCD．
∴PQCD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPQ＝∠C（两直线平行，内错角相等）
∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C
即∠APC＝∠A+∠C
（2）如图2，过点P作PEAB，
∴∠APE+∠A＝180°，∠A＝120°，
∴∠APE＝60°，
∵PEAB，ABCD．
∴PECD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPE+∠C＝180°，∠C＝140°，
∴∠CPE＝40°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE
＝100°；
（3）如图3，过点P作PFAB，
∴∠APF＝∠A，
∵PFAB，ABCD．
∴PFCD，
∴∠CPF＝∠C
∴∠CPF﹣∠APF＝∠C﹣∠A
即∠APC＝∠C﹣∠A＝30°；
（4）如图4，过点P作PGAB，
∴∠APG+∠A＝180°，
∴∠APG＝180°﹣∠A
∵PGAB，ABCD，
∴PGCD，（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPG+∠C＝180°，
∴∠CPG＝180°﹣∠C
∴∠APC＝∠CPG﹣∠APG＝∠A﹣∠C．
4．直线，BE—EC是一条折线段，BP平分．
(1)如图1，若，求证：；
(2)CQ平分，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出和的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若，直接写出的大小．
【分析】（1）延长DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．
（1）解：证明：延长DC交BE于K，交BP于T，如图：
∵AB∥CD，
∴∠ABT=∠BTK，
∵BP平分∠ABE，
∴∠ABT=∠TBK，
∴∠BTK=∠TBK，
∵BP∥CE，
∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，
∴∠KCE=∠KEC，
∵∠KCE+∠DCE=180°，
∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①∠E+2∠F=180°，证明如下：
延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图：
∵射线BP、CQ分别平分∠ABE，∠DCE，
∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，
设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，
∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，
∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，
∵AB∥DC，
∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，
∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），
∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，
∴∠E+180°=2（180°-∠F），
∴∠E+2∠F=180°；
②由①知∠E+2∠F=180°，
∵∠BEC=40°，
∴∠F=70°．
8．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）
【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；
（2）过C作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；
（3）①过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质导角即可．
【详解】（1）解： ，
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；
（2）解：过C作， ， ， ，
， ， ，
；
（3）解：①过E作， ， ， ，
平分， ， ，
平分， ，
， ， ；
②过E作， ， ， ，
平分，， ，
， ， ，
．
1．（1）如图1，点E、F分别在直线上，点P为平面内间一点，若，证明：；
（2）如图2，，点E在直线AB上，点F、G分别在直线上，平分，，请探究之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，，．直线交分别于点M、N，若，求n的值．
【分析】（1）过点P作，根据角的和差得到，即可判定；
（2），过点P作，则，根据平行线的性质及平角的定义求解即可；
（3）过点M作，过点N作，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，过点P作，
∴，
∵，∴，∴，
又，∴；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点P作，则，
设，∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
即；
（3）如图3，过点M作，过点N作，
∵，∴，，
∴，
设，∴，
∵，∴，
即，
∵，∴，
即，由①②得，．
2．已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、．
(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
(3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．
【分析】（1）过G作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数；
（2）过G作，过点P作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可得到；
（3）过G作，过E作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：如图1，过G作，
∵，∴，
∴，，
∵，∴；
（2）解：如图2，过G作，过点P作，设，
∵，，∴，∴，
∵，，∴，
∵平分，平分，∴，
∴，
∵，∴，∵平分，∴，
∵，∴，∴，∴，，
∴；
（3）解：如图3，过G作，过E作，设，，
∵交于M，平分，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，平分，∴，，
∵，∴，
∴，，
∵，∴，∴，∴．
3．如图，直线、被所截，直线分别交、于、两点，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，、分别为夹在、中的两条直线，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，为上一点，连接，为上一点，连接，，平分交于点，，，，，求的度数．
【分析】（1）只需要证明即可证明；
（2）先由平行线的性质得到，进而证明，即可证明；
（3）如图所示，过点N作直线，则，设，先证明，再由平行线的性质得到，，由，得到，则，，进而求出，则，根据平行线的性质求出，从而求出，再由平分，得到，最后根据，即可得到 ．
【详解】（1）证明：∵，∴，∴；
（2）证明：∵，∴，
∵，∴，∴，∴；
（3）解：如图所示，过点N作直线，则，设，
∵，∴，
∵，∴∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵平分，∴，
∵，∴．
4．问题探究：
如图①，已知ABCD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EFAB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BFDE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；
(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
(3)如图④，已知ABCD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度数．
【分析】（1）如图②中，过点E作EFAB，利用平行线的性质求出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，根据∠BED＝∠BEF+∠DEF证明即可；
（2）如图③中，过点B作BFDE交CD的延长线于G，利用平行线的性质求出∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，∠EDC＝∠ABF，根据∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF证明即可；
（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x＋y，求出∠CED＝3x+3y，∠BED＝∠CDE＝2y，根据∠AEC＋∠CED＋∠DEB＝180°，构建方程求出x＋y可得结论．
（1）解：如图②中，过点E作EFAB，∵ABCD，EFAB，∴ABEFCD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D；
（2）如图③中，过点B作BFDE交CD的延长线于G．
∵DEFG，∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，∵ABCG，∴∠G＝∠ABF，
∴∠EDC＝∠ABF，∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC；
（3）如图④中，
∵EF平分∠AEC，DF平分∠EDC，∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，∵∠CED＝3∠F，∴∠CED＝3x+3y，
∵ABCD，∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，∴5x+5y＝180°，∴x+y＝36°，∴∠F＝36°．
5．如图，已知，点E在直线AB，CD之间．
(1)求证：；
(2)若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．
①如图2，若，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；
②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．
【分析】（1）过点E作直线ENAB，得到ENCD，根据两直线平行内错角相等推出，即可；
（2）①HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系．
（1）解：如图1，过点E作直线ENAB，
∵ABCD， ∴ENCD，∴，，
∴；
（2）∵AH平分∠BAE，∴，
①∵HF平分∠DFG，设，又，∴，
又，，∴，
如图2，过点H作，
∴，∴；
②（或）．
②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，
∵HF平分∠CFG，∴∠GFH=∠CFH=90°-x，
由（1）知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，过点H作l∥AB，
∴∠AHF-y+∠CFH=180°， 即∠AHF-y+90°-x=180°，∴∠AHF=90°+（x+y），
∴∠AHF=90°+∠AEC．（或2∠AHF-∠AEC=180°．）
6．已知：，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．
(1)如图1，求证：；
(2)将线段EQ沿DC平移至FG，的平分线和的平分线交于直线AB、CD内部一点H．
①如图2，若，求的度数；
②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分，连接HI，若，，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．
【分析】（1）过点E作，利用平行线的性质证明即可；
（2）①利用（1）中结论求解即可；
②结论：n＝180−2m，过点I作，设∠APE＝x°，∠CQE＝∠CGE＝y°，则n°＝（x＋y）°．利用（1）中结论求解即可．
（1）证明：过点E作，如图所示：
∵，∴，∴，，
∴．
（2）解：①∵的平分线和的平分线交于直线AB、CD内部一点H，
∴，，
∵FG由EQ平移而来，∴，∴，
由（1）可知，，
∴
②．理由如下：过点I作，如图所示：
设∠APE＝x°，∠CQE＝∠CGE＝y°，则n°＝（x＋y）°．
∵，∴，同法可证∠H＝∠CGH＋∠JIH，
∵∠BPI＝∠PIJ，∴∠PIH＝∠JIH＋∠PIJ，
∵∠PIH−∠H＝m°，∴∠BPI＋∠JIH−（∠CGH＋∠JIH）＝m°，∴（180°−x°）−y°＝m°，
∴90°−（x＋y）°＝m°，∴90°−n°＝m°，即．
1．问题情境：如图 1，，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图 2，过 P 作，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°
问题迁移：
(1)如图 3，，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由
(2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时， 点 P 与 点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、 间的数量关系．
【分析】（1）过点作 ，则可得出，然后平行线的性质分别求出把和表示出来，则利用角的和差关系，即可求出结果；
（2）分两种情况讨论：过点P作，则可得出，然后平行线的性质分别求出把 和 表示出来，则利用角的和差关系，即可求出结果．
【详解】（1）解：
证明：如图，过点P作，
∵，，∴，∵，∴，
又∵，∴，∴；
（2）解：当P在线段的延长线上时，
证明：如图，过点P作，
∵，，∴，∵，∴，
又∵ ，∴，∴；
如图，当P在线段的延长线上时，如图，过点P作，
∵，，∴，
∵，∴，又∵ ，∴，
∴；
综上所述：或．
2．已知．
(1)如图，若，，则______．
(2)如图，于点，、的角平分线交于点，平分，若比的倍还多，求的度数．
(3)如图，在（1）的条件下，在同一平面内的点、满足：，，直线与直线交于点，直接写出的大小______．
【分析】（1）过作EFAB，利用同旁内角互补和内错角相等可得答案；
（2）设，则，根据题意可得，再解方程可得答案；
（3）分四种情况解答，分别利用内错角相等解答即可．
（1）解：过作EFAB，如图，

∵EFAB，ABCD，∴EFAB CD，，
，，故答案为：；
（2）设，则，分别过点和点作EMAB，PN AB，

则BHPNDK，，，
、的角平分线交于点，
，即，
∵ABEMCD，，，
，
，，，，解得．
所以；
（3）分四种情况：
如图，

此时，，，，
；
如图，

此时，，，，
；
如图，

此时，，
，，；
如图，

此时，，
，，
；
综上，的度数是或或或．
3．如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
(1)若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数；
②若，求∠CPQ的度数．
(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得到的度数；②根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，再根据即可得出；
（2）设，则，分两种情况讨论：①当点在点的右侧时，②当点在点的左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义，得出等量关系，列方程求解即可．
（1）解：①∵，，∴，
∵，平分，∴
∴；
②∵，，
∴，，
∴，又，∴，，
∵平分，∴，
∵，，
，
∵，∴．
（2）解：设，则，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在点的右侧时，
∵，，，
∵，，
∵平分，，，
∵，∴，
∵， ，即，
解得，∴；
②如图，当点在点的左侧时，
∵，，
，
∵，，
∵平分，，，
∵， ∴，
∵，，即，
解得，∴；
综上，存在这样的情形，使，此时的度数为或．
4．如图1，，的平分线交于点G，．
(1)试说明：；
(2)如图2，点F在的反向延长线上，连接交于点E，若，求证：平分；
(3)如图3，线段上有点P，满足，过点C作.若在直线上取一点M，使，求的值．
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据等量代换即可得证；
（2）过点作于，先根据平行线的性质可得，从而可得，则，再根据角平分线的定义即可得证；
（3）设，则，，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后分①点在的下方和②点在的上方两种情况，根据角的和差可得和的值，由此即可得．
（1）证明：∵，∴，
∵平分，∴，∴．
（2）证明：如图，过点作于，
，由（1）已证：，
，即，
又，，，
又∵，∴平分．
（3）解：设，∵，∴，，
，，
由（1）已得：，
∵，∴，
∵，∴，
由题意，分以下两种情况：①如图，当点在的下方时，
∴，，
∴；
②如图，当点在的上方时，
∴，，∴；
综上，的值是5或．
1．如图，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，交于点M，，且．
(1)当时，__________°．
(2)判断是否平分，并说明理由．
(3)如图，点G是射线上一动点（不与点F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．探究当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【分析】（1）由平行线的性质可得出，结合题意即可推出，即得出；
（2）由（1）即可说明平分；
（3）由平行线的性质可得出，．再根据角平分线的定义即得出，即得出．又易求，结合，可求出．由，得，即得出，即推出．
【详解】（1）解：∵，∴．
∵，∴．
∵，∴．
故答案为：35；
（2）由（1）可知，即平分；
（3），证明如下，
∵，∴．
∵平分，∴，∴．
∵平分，平分，∴．
∵，∴．
∵，∴，即，
∴，∴．
2．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点．
(1)当时，求．
(2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系．
(3)在（1）的条件下，将绕着点以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值．
【分析】（1）由三角形内角和定理求出，由，得到，由，则，由角平分线和平行线性质得到，即可得到答案；
（2）由得到，由即可得到结论；
（3）分五种情况画图求解即可．
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，
∴，
即；
（2）∵，∴，
∵，∴；
（3）由（1）知，，，
∴，
如图1，当时，，
∵，∴此时是旋转了，此时，；
如图2，当时，

∵，∴此时是旋转了，此时，；
如图3，当时，
∵，∴此时是旋转了，此时，；
如图4，当时，设与相交于点S，
∴，∴，∴此时是旋转了，
此时，；如图5，当时，
∴，∴此时是旋转了，
此时，；
∴当的其中一边与的某一边平行时，t为6或12或21或24或30．
3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．
(1)填空：______；
(2)若灯射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，且，则在灯射线到达之前，转动的时间为______秒．
【分析】（1）设，则，根据，可列出关于x的等式，解出x即可求解；
（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得 ；
（3）分类讨论当时和当时，画出图形，分别根据平行线的性质结合题意构建方程解决问题即可．
【详解】（1）设，则，
∵，即，∴，∴．
故答案为：60；
（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，
由题意可知，．
当时，如图，
，．，，．，
解得 ；
当时，如图，
，．，，．
∵，∴，，解得 ．
综上所述，当30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设灯A射线转动时间为秒，
当时， 过点作，

， ， ，，
，
，， 又，∴， 解得：，
∴，此时与共线，不符合题意；
当时，同的图可得，
则， 解得：； 如图中，当时，

同可知．因为此时，
， 解得：．综上可知，t的值为100或140．
故答案为：100或140．
4．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，连结，且．灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是1度/秒，灯转动的速度是3度/秒．
(1)若两灯同时转动，在灯射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点．
①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求的度数．
②如图2，过作交于点，则在转动过程中，求与的比值，并说明理由．
(2)若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线第一次转到之前，灯转动几秒，两灯的光线互相平行？
【分析】（1）①当转动50秒时，有，即有，根据，即可得解；②过点作，得到，，即有，，根据，可得，再根据，可得，即问题得解；
（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180-30=150（秒）即，①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3=30（秒），此时A射线共计运动30+30=60秒，即，即在灯射线到达之前，先证明，即有：，即可求解；②在灯射线到达之后，回到前，根据①中，同理有：，即有：，即可求解；③在灯射线回到后，第二次到前，由题意得：，即可求解，即问题得解．
【详解】（1）两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．
①当转动50秒时，，
∴，
∴，
故答案为：15°；
②比值为：，理由如下，如图2，过点作，
∵，∴，设两灯转动时间为秒，则，，
∴，，
∴，
即，
又∵，
即，而，
∴
．
∴．
即比值为：；
（2）两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．
设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，
A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180-30=150（秒）
即，
①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3=30（秒），
此时A射线共计运动30+30=60秒，即，
即在灯射线到达之前，如图3所示，
∵，，∴，，
∴，∴，
即有：，解得：（秒）；
②如图4，在灯射线到达之后，回到前，
根据①中，同理有：∵
即有：，解得：．
③如图5，在灯射线回到后，第二次到前，
由题意得：
，解得：（舍去）．
综上所述，灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．