浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题5.8 分式全章八类必考压轴题（学生版+教师版）

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必考点1
探究分式值为整数问题
1．若是整数，则使分式的值为整数的值有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先将假分式分离可得出，根据题意只需是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知，是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有：共4个．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到，从而使问题简单．
2．若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【答案】B
【分析】先化简分式，若的值为整数即的值为整数，故（x-2）为4的因数，由此确定整数x的值.
【详解】原式＝，
因为x为整数，分式的值也为整数，且x≠-2，
所以分式的值分别为﹣2、﹣4、4、2、1时，得
X=0、1、3、4、6，
所以所有符合条件的x的值有5个．
故选：B．
【点睛】此题考查分式的化简，分式有意义的条件，根据分式的值为0确定分母的值，由此得出x的值，注意分母中虽约去了（x+2），但是要考虑到x≠-2，避免错误.
3．如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】分式，讨论就可以了，即是2的约数即可完成.
【详解】∵
若原分式的值为整数，那么
由得，；
由得，；
由得，；
由得，；
∴，共4个
故选C
【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键.
4.当x取何整数时，分式的值是正整数
【答案】x=0或-1或-2或-5．
【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值是正整数，得出的取值，从而得出x的值．
【详解】解：
∴要使的值是正整数，则分母必须是6的约数，
即或2或3或6，
则x=0或-1或-2或-5．
【点睛】此题考查了分式的值，解题的关键是根据分式的值是正整数，讨论出分母的取值．
5.阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者为了分子的次数告诉于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：9x+y
材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b
∵对于任意x上述等式成立．
∴解得：．
∴x﹣2．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ．
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝ ；
（3）已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的x，y的值．
【答案】（1）x+7；（2）2或4或﹣10或16；（3），x＝2、y＝9；x＝6、y＝2； x＝9、y＝5．
【分析】（1）将分子x2＋6x－3化为(x－1)(x＋7) ＋4，依据题意可解答；
（2）将分子2x2＋5x－20化为（2x＋11）＋13，根据题意可解答；
（3）由题意得出：＝即可知10x＋y＋4为33的倍数，据此可解答．
【详解】解：（1）
＝
＝
＝
＝
答案为：；
（2）
＝
＝
＝
＝
∵分式的值为整数，
∴是整数，
∴x－3＝±1或x－3＝±13，
解得：x＝2或4或﹣10或16，
故答案为：2或4或﹣10或16；
（3）
＝
＝
＝
∵整数能被33整除，
∴为整数，即10x＋y＋4＝33k，（k为整数）,
当k＝1时，x＝2、y＝9符合题意；
当k＝2时，x＝6、y＝2符合题意；
当k＝3时，x＝9、y＝5符合题意．
【点睛】本题考查分离整数法解决分式的整数值问题，熟练掌握分式的化简求值的方法是解题的关键．
必考点2
探究利用分式性质求值问题
1.若满足,则的值为（ ）
A．1或0B． 或0C．1或D．1或
【答案】D
【详解】令,则 则且,则k=1，当k=1则；当k=-1，.
故选D.
2.已知，则的值______．
【答案】为-1或3
【分析】根据题设知a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，得到a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，推出3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，得到(a+b+c+d）(m-3)=0，当a+b+c+d=0时，得到a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，推出m=-1；当a+b+c+d≠0时，推出m-3=0，得到m=3．
【详解】∵，
∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，
∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，
∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，
∴(a+b+c+d）(m-3)=0，
当a+b+c+d=0时，
a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，
∴m=-1；
当a+b+c+d≠0时，
m-3=0，m=3，
综上，m=-1或m=3．
故答案为：为-1或3．
【点睛】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，等式的基本性质，分式值的意义及满足条件．
3．若，．则的值为______
【答案】
【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出.
【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，
将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．
①+③得: 10x+ 5y= 0，
∴y= -2x，
将y= - 2x代入①中
得:2x- (-2x)+4z=0
∴z=-x
将y= -2x，z=-x，代入上式
=
=
=
=
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简.
4．已知三个数，x，y，z满足，则y的值是______
【答案】
【分析】将变形为，得到，利用，求出，代入即可求出答案．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
得，
∴，
将代入，得，
∴y=，
故答案为：．
【点睛】此题考查分式的性质，分式的变形计算，根据分式的性质得到是解题的关键．
5．若满足和，则分式的值为_______．
【答案】
【分析】根据题意，把两个方程联合组成方程组，然后两方程相减得到③，再把③整理，代入到①方程，得到④，再由，得到，然后代入分式进行求解，即可得到答案.
【详解】解：根据题意，两个方程了联合组成方程组，有：
，
由，得：③，
∴，
把代入①，得：④，
把得：；
∴；
故答案为：.
【点睛】本题考查了三元一次方程组，以及求分式的值，熟练掌握解方程组的方法，正确得到和是解题的关键.
必考点3
探究分式的规律性问题
1.观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：________；
（2）用含有n的式子表示第n个等式：________（n为正整数）；
（3）求…的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据前3个等式归纳类推出一般规律，由此即可得出第5个等式；
（2）根据前3个等式归纳类推出一般规律即可得；
（3）根据（2）的结论，分别可得的值，再根据有理数的乘法运算律进行计算即可得．
【详解】（1）第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
归纳类推得：第n个等式：（n为正整数），
则第5个等式：，
即；
（2）由（1）知，；
（3）由（2）得：，
则，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了分式的规律性问题、有理数的乘法运算律，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
2.2．观察下列等式：a1=n，a2=1﹣，a3=1﹣，…；根据其蕴含的规律可得（ ）
A．a2013=nB．a2013=C．a2013=D．a2013=
【答案】D
【详解】试题分析：由a1=n，得到a2=1﹣=1﹣=，a3=1﹣=1﹣=﹣=，a4=1﹣=1﹣（1﹣n）=n，以n，，为循环节依次循环，∵2013÷3=671，∴a2013=．
考点：分式的混合运算．
3．已知一列分式，，，，,,…，观察其规律，则第n个分式是_______．
【答案】
【分析】分别找出符号，分母，分子的规律，从而得出第n个分式的式子．
【详解】观察发现符号规律为：正负间或出现，故第n项的符号为：
分母规律为：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n项为：=
分子规律为：x的次数为对应项的平方加1，故第n项为：
故答案为：．
【点睛】本题考查找寻规律，需要注意，除了寻找数字规律外，我们还要寻找符号规律．
4．观察下列等式：
，
，
，
(1)依此规律进行下去，第5个等式为 ，猜想第个等式为 ；
(2)证明（1）中猜想的第个等式．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）根据给定的等式的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论；
（2）利用统分的方法即可得出等式的左边=等式右边，此题得证．
【详解】（1）解：第5个等式为，猜想第个等式为；
故答案为：，；
（2）证明：等式左边，等式右边，
∴等式左边=等式右边
即
证毕．
【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，根据数据的变化找出变化规律是解题的关键．
5．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式： ________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第6个等式；
（2）结合（1）即可写出第n个等式，再利用分式的加减法法则，进行验证，即可．
（1）
解：，
故答案为：；
（2）
．
证明：左边＝＝＝==＝右边，
所以等式成立．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
6．观察下列等式：
，，，……
（1）请写出第四个等式： ；
（2）观察上述等式的规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．
【答案】（1）4-=42×；（2）第n个等式是，见解析．
【分析】（1）把前三个等式都看作减法算式的话，每个算式的被减数分别是1、2、3，减数的分母分别是、、，减数的分子分别是，，，差分别是被减数的平方和以减数的分母作分母，以1作分子的分数的乘积；据此判断出第四个等式的被减数是4，减数的分母是8，分子是4的4倍，差等于与的乘积；
（2）根据上述等式的规律，猜想第个等式为：，然后把等式的左边化简，根据左边右边，证明等式的准确性即可．
【详解】解：（1）4-=42×
（2）第n个等式是．
证明：∵左边= =右边，
∴等式成立．
【点睛】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：第个等式为：．
7．观察一下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________.
(2)写出你猜想的第个等式：________(用含的等式表示).
(3)证明(2)中的等式.
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.
【分析】（1）根据已知等式即可得；（2）根据等式规律可得到；（3）对等式右边利用分式的混合运算法则进行计算，即可验证.
【详解】解：(1)；
(2)猜想：，
(3)证明：
右边，
左边，
左边右边，原等式成立，
所以猜想正确，第个等式为：
【点睛】本题主要考查规律探索和分式的运算，能够找到规律是解题关键.
必考点4
探究分式方程的正负解问题
1．关于x的分式方程的解是正数，则实数m的取值范围是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】D
【分析】首先解此方程，再根据此方程的解是正数及，即可求解．
【详解】解：去分母，得：，
解得，
此方程的解是正数且，
且，
解得且，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
2．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程＝+2的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．﹣21B．﹣20C．﹣17D．﹣16
【答案】D
【分析】首先解不等式组并根据不等式组的解集，确定a的取值范围，再根据分式方程的解是正数确定a的取值范围，注意排除增根的情况，最后两个a的取值范围合并，就可以算出所有整数a的和．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵该不等式组的解集为，
∴，解得，
∵关于y的分式方程＝+2的解为正数，
∴，
∴且，解得且，
∴a的取值范围为且，
∴符合条件的整数a有：-6、-5、-3、-2、-1、0、1，
所有整数a相加的和为：．
故选：D．
【点睛】本题考查含参的一元一次不等式组和含参的分式方程的解，注意含参的不等式的解法和增根的情况是解决本题的关键．
3．关于x的分式方程解为非负数，关于x的不等式组至少有四个整数解，则满足条件的所有整数a的积为（ ）
A．3B．2C．6D．0
【答案】B
【分析】由分式方程的解可得且，，再由不等式组的解集可得，则可求满足条件的的整数有1，2，即可求解．
【详解】解：解分式方程得，
，且，
且，，
解不等式组得，
不等式至少有四个整数解，
，
解得，
满足条件的的整数有1，2，
满足条件的所有整数的积为2，
故选：B．
【点睛】本题考查含参分式方程的解、含参一元一次不等式组的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意增根的情况是解题的关键．
4．从，0，1，2，3，4，5这个数中随机抽取一个数，记为若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程的解为非负数，那么这个数中所有满足条件的的值之积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据不等式组无解确定a的取值，再根据分式方程解为非负数，确定a的取值，进而确定a的最终取值，问题得解．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
由不等式组无解，得到，
∴，
解分式方程，
去分母得：，
解得：，且，
∵，且，
∴，且，
综上所述：1≤a＜4
，2，3，
所有满足条件的的值之积是6，
故选：A．
【点睛】此题考查了依据分式方程解的情况，一元一次不等式（组解的情况，确定字母取值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，其中分式方程解为非负数，要注意x≠2，这个隐含条件．
5．阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
(3)若关于的方程无解，求的值．
【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；
(2)且；
(3)或．
【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
（2）解：原方程可化为
去分母得：
解得：
∵解为非负数
∴，即
又∵
∴，即
∴且
（3）解：去分母得：
解得：
∵原方程无解
∴或者
①当时，得：
②当时，，得：
综上：当或时原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．
必考点5
探究分式方程的整数解问题
1．若关于的方程的解为整数，则整数的值的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有整数解确定出整数的取值即可得到结论．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解为整数，
∴是，且，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
综上，符合条件的整数为，
∴所有符合条件的整数a有3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的解，熟练分式方程的解法是解本题的关键．
2．若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24B．12C．6D．4
【答案】B
【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组至多有3个整数解，确定求出的范围；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定的值即可解答．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴
∵不等式组至多有3个整数解，
∴，
∴．
方程，
，解得：
∵分式方程有非负整数解，
∴（x为非负整数）且，
∴且，
∴的偶数且，
∴且且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a的值为：，0，4，6，8．
∴符合条件的所有整数．a的和是：12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解分式方程、一元一次不等式组的整数解等知识点，熟练掌握解一元一次不等式组和解分式方程是解题的关键．
3．若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为（ ）
A．B．4C．D．4或
【答案】C
【分析】先解分式方程，再根据是一个完全平方式求出a的值，最后找出符合条件的值．
【详解】方程两边同时乘以得
去括号得
移项合并同类项得
∵是一个完全平方式，
∴，
解得，
∵关于y的分式方程的解为整数，
当时，，经检验，是原分式方程的解；
当时，，此时分式分母为0；
故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程和完全平方式，求出y的值后注意检验．
4．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】先计算不等式的解集，再解分式方程，联合确定a的值，最后求和．
【详解】因为中第一个不等式的解集为，第二个不等式的解集为，且不等式组的解集为，
所以，
解得；
因为，
解得，
因为关于的分式方程有非正整数解，且方程有增根，
所以且，
解得且，
所以且，
因为非正整数解，
所以a的值为，
所以，
故选A．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握解不等式组，解分式方程是解题的关键．
5．若关于的分式方程有正整数解，则整数______．
【答案】2或##或2
【分析】先去分母解整式方程得，根据分式方程有正整数解，得到的值为1或2或4，且，由此求出答案．
【详解】解：去分母得，，
整理得，，
解得，
∵分式方程有正整数解，
∴的值为1或2或4，且，
解得或，
故答案为：2或．
【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键．
6．若整数a既使得关于x的分式方程有整数解，又使得关于x，y的方程组的解为正数，则____．
【答案】5
【分析】先解分式方程，根据分式方程有整数解求出a的值，再解不等式组，根据不等式组解为正求出a的取值范围，再综合得出结论．
【详解】解：解方程得，
，
∵分式方程有整数解，且，
∴或或或1或2或4，且，
∴或1或2或4或5，
解方程组得，
，
∵方程组的解为正数，
∴，
解得，
综上，．
故答案为：5．
【点睛】本题考查解分式方程与不等式组，熟练掌握根据分式方程与不等式组解的情况求字母参数值是解题的关键．
必考点6
探究分式方程的无解问题
1．若关于x的方程无解，则m的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先去分母方程两边同乘以，根据无解的定义即可求出m．
【详解】解：方程去分母得，，
则，
当分母即时，方程无解，
所以即时方程无解，
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
2．已知关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．B．或C．D．或或
【答案】D
【分析】先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.
【详解】解：由得x=
∵分式方程无解
∴=±2或m+4=0
∴m=0或m=-8或
∴或或
故答案为D.
【点睛】本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点.
3．已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，不等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4，
∴−4∴0综上所述当m=2或时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故选B．
【点睛】此题考查了分式方程的无解的问题，以及一元一次不等式组的偶数解，其中分式方程无解的情况有两种情况，一种是分式方程化成整式方程后整式方程无解，另一种是化成整式方程后有解，但是解为分式方程的增根，易错点是容易忽略某种情况；对于已知一元一次不等式组解，求参数的值，找到参数所表示的代数式的取值范围是解题关键．
4．已知，关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)3、29、55、185
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
解得：，
检验：把代入，
∴原分式方程的解为：．
（2）解：把a=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
①当时，即，原分式方程无解；
②当时，得，
Ⅰ.时，原分式方程无解，
即时，
此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，
即时，
此时b=5；
综上所述，时，分式方程无解．
（3）解：把a=3b代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
，
解得：，
∵b为正整数，x为整数，
∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
5．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点的“系雅培点”；
例如：的“3系雅培点”为，即.
（1）点的“2系雅培点”的坐标为 ；
（2）若点在轴的正半轴上，点的“系雅培点”为点，若在△中，，求的值；
（3）已知点在第四象限，且满足；点是点的“系雅培点”，若分式方程无解，求的值.
【答案】（1）（8，4）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据新定义的运算法则，即可求出的坐标；
（2）设点P的坐标为（0，y），根据“k系雅培点”的概念求出P′点的坐标，结合列出方程，即可求出k的值；
（3）根据点是点的“系雅培点”，且点A在第四象限，结合，求出（m-3n）的值，由分式方程无解，得到，然后把分式方程化为整式方程，再把和的值代入，即可求出c的值.
【详解】解：（1）根据题意，∵，
∴点P的“2系雅培点”的坐标为：，
∴的坐标为：（8，4）；
故答案为（8，4）；
（2）根据题意，设点P的坐标为：（0，y），
∴点P的“k系雅培点” 为：，
即点为：，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵点是点的“系雅培点”，
∴点A为：，
∵，
则，
整理得：，
∵点A在第四象限，
∴，
∴；
∵分式方程无解，
∴，
分式方程去分母可化简为：，
把，代入上述方程，得：
解得：.
【点睛】本题考查了新定义的运算法则，解分式方程，以及点的坐标问题，解题的关键是掌握新定义的运算法则，弄清题意，找到解题的突破口.
必考点7
探究分式方程的增根问题
1．若分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】D
【分析】首先根据解分式方程的一般方法得出方程的根，然后根据增根的定义将增根代入方程的解求出a的值．
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴，
∴或，
当时，，
当时不合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式增根，解题的关键是分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根求出a的值．
2．如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为_____________．
【答案】或．
【分析】分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：原方程变形为，
方程去分母后得：，
整理得：，分以下两种情况：
令，，；
令，，，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于的方程是解题关键．
3．若解关于x的分式方程产生增根，则m＝_____．
【答案】-5
【详解】试题分析：根据分式方程增根的产生的条件，可知x+4=0，
解得x=-4，
然后把分式方程化为整式方程x-1=m，
解得m=-5
故答案为-5.
4．当m为何值时，分式方程会产生增根．
【答案】
【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可．
【详解】将方程去分母得到：
，
整理，得，
∵分式会产生增根，
∴
解得，
当时，，不存在；
当时，，
解得．
【点睛】本题考查的是含参分式方程有增根的问题，掌握增根的意义是解题的关键．
5．关于x的方程：－＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
【答案】（1）x＝－2；（2）a＝－3.
【分析】（1）将a=3代入,求解－＝1的根,验根即可,
（2）先求出增根是x＝1，将分式化简为ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值.
【详解】解：(1)当a＝3时，原方程为－＝1,
方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，
解这个整式方程得x＝－2，
检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解．
(2)方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，
若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，
将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
【点睛】本题考查解分式方程,属于简单题,对分式方程的结果进行验根是解题关键.
6．已知关于的分式方程
(1)若方程的增根为，求的值；
(2)若方程无解，求的值．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再把代入整式方程，即可求解；
（2）根据方程无解可得两种情况：①时，方程无解，②方程有增根，进而即可求解．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以，
去分母并整理得，
是分式方程的增根，
，
解得：；
（2）解：由（1）知，当时，该方程无解，此时；
当时，要使原方程无解，
则，
解得：或，
即或 ，
或，
综上，的值为或 或．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，把分式方程化为整式方程，理解分式方程产生增根的原因是解题的关键．
7．已知关于x的分式方程.
(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程无解，求a的值．
【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2
【详解】试题分析：（1）原方程化为整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；
（2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；
（3）方程无解，可分为有增根和化成的整式方程无解两种情况求解即可.
试题解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.
因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.
因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；
②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.
点睛：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．
必考点8
分式方程的应用
1．随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为，班主任李老师提醒要学科均衡，补短板．他便将数学复习时间的分给了语文和英语，调整后语文和英语的复习时间之比为．李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学科，其中分给了语文，余下的分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为．若李勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为，那么数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为__________．
【答案】##．
【分析】：设李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间分别为，设他分给语文的时间为，则分给英语的时间为，此时语文时间为：，英语时间为：，依据语文英语时间的比值解得：，此时各科学习时间分别为语文：，数学：，英语：，设挤出的休息时间为，则第二次调整后语文时间为：，依据语文时间的比求出，则总学习时间为：，设此时他的数学时间为，则英语，依据数学英语时间和占总时间的，求出，从而求出数学时间以及和总时间的比值．
【详解】解：设李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间分别为，
依题意：
他分给语文和英语的复习时间和为，剩余数学时间为，
设他分给语文的时间为，则分给英语的时间为，
此时语文时间为：，
英语时间为：，
依题意得：，
解得：，
故第一次调整后语文时间为：，
数学时间为：，
英语时间为：，
设挤出的休息时间为，
则第二次调整后语文时间为：，
依题意得：，
解得，
则总学习时间为：，
设此时他的数学时间为，则英语，
依题意得，
解得：，
故数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为：
，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了分式的实际应用；解题的关键是用代数式准确表示出每次调整后各学科的时间，依据比例列方程求解．
2．杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同．
(1)问，款丝巾的进货单价分别是多少元？
(2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示：
问：两款丝巾的销售单价分别是多少？
(3)根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高．
【答案】(1)款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元
(2)款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元
(3)有三种进货方案，方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条；方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条；方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条．选择方案一利润最高．
【分析】（1）设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出分式方程，求解即可获得答案；
（2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出方程组并求解即可；
（3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，根据题意可列出方程，由均为正整数，确定的值，得到进货方案，再分别求出总利润，比较即可确定答案．
【详解】（1）解：设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴，
∴款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元；
（2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
∴款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元；
（3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，
根据题意，可得 ，
整理，可得，
∴，
∵均为正整数，
∴；；，
即有三种进货方案：
方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条，
则利润为：元；
方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条，
则利润为：元；
方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条，
则利润为：元；
综上所述，选择方案一利润最高．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题关键．
3．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？
(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．
【答案】(1)30
(2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元
(3)70
【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出与，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出的最小值即可．
【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，
∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天），
∴，
解得，，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
故乙队单独施工30天完成全部工程；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元,
∴，
解得，，
故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，
则
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴
∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程．
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键．
4． 两港之间的距离为千米．
(1)若从港口到 港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快千米时， 顺流所用时间比逆流少用小时，求水流的速度；
(2)若轮船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，该船从 港顺流航行到 港，再从 港逆流航行返回到 港所用的时间为；若轮船从港航行到 港再返回到 港 均为静水航行，且所用时间为，请比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)水流的速度为千米/时
(2)，理由见解析
【分析】（1）设水流的速度为千米/时，则轮船在静水中的速度为千米时，利用时间差列出分式方程，解方程即可求解．
（2）根据题意，分别表示出与，根据分式的减法计算，即可求解．
【详解】（1）解：设水流的速度为千米/时，则轮船在静水中的速度为千米时，根据题意得，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：水流的速度为千米/时；
（2）解：依题意，
∵，，
∴
即．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，分式减法的应用，根据题意列出方程与代数式是解题的关键．
5．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少
【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．
【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，则甲工程队每天道路的长度为米，
根据题意，得：，
解得：，
检验，当时，，
∴原分式方程的解为：，
，
答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；
（2）设方案一所用时间为：，
方案二所用时间为，则，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴方案二所用的时间少．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．
6．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a吨，原来产m吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．
（1）当a＝0.8，m＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？
（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是 吨，现在小麦的平均每公顷产量是 吨；（用含a、m的式于表示）
（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？
【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2），；（3）两组一起收割完这块麦田需要小时．
【分析】（1）设原来小麦平均每公顷产量是x吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为：，乙的工作效率为：，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间.
【详解】解：（1）设原来平均每公顷产量是x吨，则现在平均每公顷产量是（x+0.8）吨，
根据题意可得：
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x（x+0.8）≠0，
∴原分式方程的解为x＝4，
∴现在平均每公顷产量是4.8吨，
答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨．
（2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y+a）吨，
根据题意得：
解得；y＝，
经检验：y＝是原方程的解，
则现在小麦的平均每公顷产量是:
故答案为:，；
（3）根据题意得：
答：两组一起收割完这块麦田需要小时．
【点睛】本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键.
7．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距离上班地点，他乘坐公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程的倍还多.他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的.
（1）小王用自驾车上班平均每小时行驶多少千米？
（2）上周五，小王上班时先步行了，然后乘公交车前往，共用小时到达.求他步行的速度.
【答案】（1）小王用自驾车上班平均每小时行驶；（2）小王步行的速度为每小时.
【分析】（1））设小王用自驾车上班平均每小时行驶，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶.再利用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾SS式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米和乘公交车所用时间是自驾车方式所用时间的，列方程求解即可；
（2）设小王步行的速度为每小时，然后根据“步行时间+乘公交时间=小时”列方程解答即可.
【详解】解（1）设小王用自驾车上班平均每小时行驶，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶.根据题意得：
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意.
所以小王用自驾车上班平均每小时行驶；
（2）由（1）知：小王乘坐公交车上班平均每小时行驶（）；
设小王步行的速度为每小时，根据题意得：
解得：.
经检验：是原方程的解且符合题意
所以小王步行的速度为每小时.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答的关键在于弄清题意、找到等量关系、列出分式方程并解答.日期
款丝巾（条）
款丝巾（条）
销售总额（元）
12月10日
4
6
2160
12月11日
6
8
3040