浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题3.6 整式的乘除全章五类必考压轴题（学生版+教师版）

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1．已知，那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意得出，则即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴
∴，
故选：C．
2．已知，，则的值是（ ）
A．0B．C．3D．
【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
3．若x，y均为实数，，则_______．
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则得出，再根据积的乘方法则得出，得出，从而求出答案．
【详解】解：∵，
∴；
又∵，
∴
∴，
∴
4．我们知道下面的结论，若 (a>0，且a≠1)，则m=n，利用这个结论解决下列问题：设，，，现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①，②，③，其中正确的是___________．（填编号）
【分析】由，得出，由，得出，进而得出，进一步对，，代入计算，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
①符合题意；
，
②符合题意；
，
③不符合题意，
故答案为：①②．
5．比较下列各题中幂的大小：
（1）已知，比较a、b、c的大小关系;
（2）比较这4个数的大小关系;
（3）已知，比较P、Q的大小关系;
（4）_______（填“>”“<”或“=”）.
【分析】（1）根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较；（2）根据幂的乘方公式，化为指数是11的形式进行比较；（3）用求商法比较大小；（4）由易得结果.
【详解】（1)因为，，，所以．
(2)因为，，，，，所以．
(3)因为，所以.
(4)因为，所以．
6．由幂的运算法则逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解，收到事半功倍的效果．请解决以下问题：
(1)计算：；
(2)若，求m的值；
(3)比较大小：，，，，请确定a，b，c，d的大小关系．
【分析】（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；
（2）转化为同底数幂进行计算，即可解答；
（3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．
【详解】（1）解：
故答案为：25；
（2）∵，
∴，
∴，即，
∴，解得；
（3）由题可得：，，，，
∵，
∴，
即．
7．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ．理由如下：设，，所以，，所以，由对数的定义得，又因为，所以．解决以下问题：
（1）将指数转化为对数式： ．
（2）仿照上面的材料，试证明：
（3）拓展运用：计算 ．
【分析】（1）根据题意可以把指数式53=125写成对数式；
（2）先设lgaM=x，lgaN=y，根据对数的定义可表示为指数式为：M=ax，N=ay，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：lga（M•N）=lgaM+lgaN和的逆用，将所求式子表示为：lg3（2×18÷4），计算可得结论．
【详解】（1）∵一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x=lgaN．
∴3=lg5125，
故答案为：3=lg5125；
（2）证明：设，
∴，，
∴，
由对数的定义得
又∵，
∴
（3） lg3（2×18÷4）= lg39=2.
故答案为：2.
1．关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ）
①当为关于x的三次三项式时，则；
②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则；
③；
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据整式的加减混合运算即可判断①，根据整式的乘法运算即可判断②，将和代入即可判断③．
【详解】解：∵，，
∴，
∵为关于x的三次三项式，且e为非零常数，
∴，
解得：，说法①正确；
，
∵多项式A与B的乘积中不含x⁴项，
∴，
解得，说法②错误；
，
当时，，
当时，，
则，说法③错误．
故选：B．
2．已知的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为______．
【分析】利用多项式乘多项式法则将原式展开，根据题意展开式中不含三次项和四次项，可得，，求解即可得的值，然后代入求值可确定展开式中二次项和一次项的系数，求和即可得答案．
【详解】解：

根据题意，展开式中不含三次项和四次项，
∴，，
解得 ，，
∴，，
即展开式中二次项系数为4，一次项的系数为，
∴展开式中二次项和一次项的系数之和为．
3．若的积中不含x项与项，
(1)求p、q的值；
(2)求代数式的值．
【分析】（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与项可知x项与项的系数均等于0，可得关于p、q的方程组，解方程组即可；
（2）由（1）中p、q的值得，将原式整理变形成，再将p、q、的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
∵积中不含x项与项，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，．
4．（1）试说明代数式的值与、的值取值有无关系；
（2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值；
（3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
【分析】（1）先算多项式乘多项式以及单项式乘多项式，再合并同类项，即可得到结论；
（2）先算多项式乘多项式，从而得到2a+b=0，-2b=-4，进而即可求解；
（3）由题意得= ，进而即可求解．
【详解】解：（1）
＝s2＋2st＋s−2st−4t2−2t＋4t2＋2t
＝s2＋s．
故代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；
（2）∵（）（）=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx-2b，
又∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，
∴2a+b=0，-2b=-4，
∴a=-1，b=2，
∴=；
（3）∵二次三项式有一个因式是，
∴= =，
∴2m-5=3，5m=k，
∴m=4，k=20，另一个因式为：．
5．给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的附属系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的附属多项式．
(1)关于的二次多项式的附属系数对为_________；
(2)有序实数对的附属多项式与有序实数对的附属多项式的差中不含一次项，求的值．
【分析】（1）根据新定义进行求解即可；
（2）根据新定义先表示出两个多项式，再根据题意进行计算即可．
【详解】（1）根据题意可得，多项式的附属系数对为，
故答案为：；
（2）根据题意得，有序实数对所对应的多项式为，
有序实数对所对应的多项式为，
∵两个多项式的差中不含一次项，
∴，
∴，
∴．
1．若一个只含字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推．
①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；
②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；
③将多项式以上述方式进行4次操作后，当时，所得多项式的值为243；
④将多项式以上述方式进行次操作后所得多项式为；
四个结论错误的有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据题意，计算出进行2次操作后所得多项式，即可判定①；根据题意，计算出以上述方式进行3次操作后所得多项式，即可判定②；根据题意，计算出进行4次操作后所得多项式，再把代入计算即可判定③；根据题意，总结归纳出进行次操作后所得多项式规律，即可判定④．
【详解】解：第1次操作后，得，
第2次操作后，得，
∴第2次操作后所得多项式项数是4，
故①错误；
第1次操作后，得，
第2次操作后，得，
第3次操作后，得，
∴将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为
故②正确；
第1次操作后，得，
第2次操作后，得，
第3次操作后，得，
第4次操作后，得，
当a=2时，，
故③正确；
第1次操作后，得，
第2次操作后，得，
第3次操作后，得
第4次操作后，得
…
第n次操作后，得，
故④错误；
综上，错误的有①④共2个，
故选：C．
2．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项式的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，从左起第四项是____________．
···································1
································1 1
·······················1 2 1
··········1 3 3 1
··1 4 6 4 1
【分析】通过观察可知“杨辉三角”的规律：①每个数等于上方两数之和；②每行数字左右对称，由1开始逐渐变大；③a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大；依据此规律，可得出最后答案．
【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和，
∴的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1，
∴的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1，
又∵a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大，
∴展开式左起第四项是．
故答案为：．
3．观察下列各式及其展开式：
，
，
，
，

请你猜想的展开式中含项的系数是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由材料可知，括号里的前项的指数从高到底的排列，括号里的后项的指数从低到高的排列，首位系数都是，中间数字分别为上一组数据相邻两数之和，由此即可求解．
【详解】解：根据材料可知，系数的关系如下，
二次幂时的系数：
三次幂时的系数：
四次幂时的系数：
五次幂时的系数：
六次幂时的系数：
七次幂时的系数：
八次幂时的系数：
∴含项的系数是，
故选：．
4．阅读下列材料，完成相应任务．
完成下列任务：
(1)写出的展开式．
(2)计算：．
【分析】（1）根据前面4个等式的提示，归纳出系数与指数的规律，从而可得的展开式；
（2）利用（1）中展开式，设，，从而可得答案．
【详解】（1）解：
∵
∴；
（2）∵，令，，
∴

．
5．观察下列各式：
(1)根据以上规律，则___________．
(2)你能否由此归纳出一般规律___________．
(3)根据以上规律求的值．
【分析】（1）根据给出式子的规律书写即可；
（2）根据给出式子的规律即可得出结果；
（3）根据（2）中的规律计算即可；
【详解】（1）∵，
，
，
∴ ；
故答案是：．
（2）根据题意得：；
故答案是：；
（3）∵，
∴．
6．（1）计算并观察下列各式：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ；
（3）利用（2）的猜想计算： ．
（4）拓广与应用： ．
【分析】（1）根据平方差公式及多项式乘法的计算求解即可；
（2）由（1）中计算得出相应规律即可；
（3）利用（2）中所得规律求解即可；
（4）根据（2）中所得规律计算即可．
【详解】解：（1）；
；
；
故答案为：，，；
（2）根据（1）中规律得：
，
故答案为：；
（3）
故答案为：．
（4），
故答案为：．
1．已知：，，则的值为_____．
【分析】利用完全平方公式将已知等式展开，然后将其相加即可求得的值，将其相减得到代的值，继而代入，即可得解
【详解】解： ，，①②
，
②＋①得：，
①－②得：，
，
故答案为：14
2．已知，，则的值为______．
【分析】由可得，将转化后再代入计算可求解，，的值，进而可求解．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
3．已知a，b，c满足：，则的值等于______．
【分析】将已知等式左右两边分别相加，再配方成非负数的和为0，求出a、b、c的值，代入即可求出式子的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
4．已知时，多项式的值为，则的值为( )
A．B．C．D．0
【分析】根据已知条件得出，又，进而得出， ,，进而即可求解．
【详解】解：∵时，多项式的值为，
∴，
∴
即
∴
即，又∵
∴
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．已知有理数a，b，c满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】由得，再求得得，进一步求出，，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
整理，得，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
把，，代入得：
原式，
故选：C．
6．已知，，，那么的值为（ ）
A．1B．3C．6D．1010
【分析】分别求出、、的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，再整体代入即可完成．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴
故选：B．
7．已知：．
求：①；②．
【分析】利用完全平方公式的变形将所求的式子变形为进行求解即可；
先根据完全平方公式的变形和积的乘方计算法则得到，，再根据进行求解即可．
【详解】解：①∵，
∴；
②∵，
∴，
∴．
8．阅读下列材料，完成后面的任务．
完全平方公式的变形及其应用
我们知道，完全平方公式有：；．
在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：
①；②；③；
④．
根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题．
例如：已知，，求的值．
解：．
任务：
(1)已知，，则______．
(2)已知，，求的值．
【分析】（1）根据已知，即可解得．
（2）根据已知，即可解得．
【详解】（1）∵，
∴．
（2）∵，
∴，，
∴．
1．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：_________；
方法2：__________．
(2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系．
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求和的值．
②已知，求的值．
【分析】（1）利用阴影两部分直接求和与用总面积减去空白部分面积两种方法即可求解；
（2）由图2中阴影部分面积的表示即可得到答案；
（3）①由（2）的关系可得，进而求解即可；
②设，则，，依题意，得，
∴，利用整体思想求解即可．
【详解】（1）阴影两部分求和为：；
用总面积减去空白部分面积为：，
故答案为：；；
（2）由题意得，；
（3）①由（2）得，
∴，
解得，
∴，
②设，则，，
依题意，得，
∴，
可求得.
由整体思想，得．
2．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
（1）用含a、b的代数式分别表示、；
（2）若，，求的值；
（3）用a、b的代数式表示；并当时，求出图③中阴影部分的面积．
【分析】（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；
（2）根据，将a-b＝8，ab＝13代入进行计算即可；
（3）根据和 ，可求得图 中阴影部分的面积 ．
【详解】解：（1）由图可得，， ．
（2），
所以的值为77．
（3）由图可得：
所以图中阴影部分的面积为17．
3．阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．
（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
【分析】(1)由图②中各个部分面积之间的关系可得答案；
(2)根据图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个长方形的面积为ab，由各个部分的面积之间的关系可得出答案；
(3)由公式变形，再整体代入计算即可；
(4)大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，在分别表示出大正方形中9块的面积，可得答案；
(5)根据拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b），即为3a2＋3b2＋10ab，因此x＝3，y＝3，z＝10，进而拼图即可；
(6)根据大正方体的体积为（a＋b）3，以及8个“小块”的体积之间的关系得出结果即可．
【详解】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：
（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；
（2）图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，
小正方形的面积为（a﹣b）2，
每个长方形的面积为ab，
，
故答案为：；
（3）利用（2）的结论，
可知，
x＋y＝8，xy＝2，
（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；
（4）根据图④，
大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，
内部9块的面积分别为：
，
（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
故答案为：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
（5）（3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，
，
即需要3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张宽、长分别为a、b的长方形纸片，
画图如下：
∴x＋y＋z＝16；
（6）根据图⑥，
大正方体的体积为（a＋b）3，
分割成8个“小块”的体积分别为：
，
（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
故答案为：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．
4．（1）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．
图1中阴影部分面积为__________，图2中阴影部分面积为__________，请写出这个乘法公式__________．
（2）【知识应用】应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知，，比较P、Q大小．
（3）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________________．
【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；
（2）利用平方差公式，计算P-Q的差即可；
（3）分别用代数式表示图3中左图、右图的体积即可．
【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2-b2，
图2是长为a+b，宽为a-b的长方形，因此面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b），a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）P-Q=（m2+2m+1）（m2-2m+1）-（m2+m+1）（m2-m+1）
=（m2+1）2-4m2-（m2+1）2+m2
=-3m2，
∵m是不为0的有理数，
∴-3m2＜0，
即P-Q＜0，
∴P＜Q；
（3）图3左图的体积为x•x•x-1×1×x=x3-x，
图3右图是长为x+1，宽为x，高为x-1的长方体，因此体积为（x+1）•x•（x-1），
因此有x3-x=x（x+1）（x-1），
故答案为：x3-x=x（x+1）（x-1）．
．
5．若满足，求的值：
解：设，则
所以
请仿照上面的方法求解下面的问题
（1）若满足，求的值；
（2）已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是28，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积．
【分析】（1）设，从而可得，再利用完全平方公式进行变形运算即可得；
（2）先根据线段的和差、长方形的面积公式可得，再利用正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积可得阴影部分的面积，然后仿照（1）的方法思路、结合平方差公式进行变形求解即可得．
【详解】（1）设，则，
所以，
，
，
；
（2）由题意得：，，
因为阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，
所以阴影部分的面积为，
设，则，
所以，
由平方根的性质得：或（不符题意，舍去），
所以，
，
，
，
故阴影部分的面积为33．
6．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题
（1）写出图2中所表示的数学等式
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则
（4）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则
【分析】（1）利用整体法求解正方形的面积为，利用分割法求解正方形的面积为：，从而可得答案；
（2）利用多项式乘以多项式的法则把左边通过计算展开，合并同类项后可得结论；
（3）利用变形公式：，再整体代入即可得到答案；
（4）由题意可得，所拼图形的面积为:，再利用整式的乘法运算法则计算：，由面积相等可得的值，从而可得答案．
【详解】解：（1）正方形的面积;
正方形的面积
故答案为:
（2）证明：
（3）
故答案为:
（4）由题可知，所拼图形的面积为:
故答案为：
7．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ．
(1)请补全小明的解法；
(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．
类比研究
(3)若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．
拓伸延伸
(4)如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．
【分析】（1）根据题干步骤进行求解即可；
（2）由（1）的步骤进行求解即可；
（3）根据题干的步骤反向求解即可；
（4）先表示出相应的量，再按照题干方法步骤求解即可；
【详解】（1）解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝2，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21．
（2）设（30﹣x）＝m，（x﹣20）＝n，
则mn＝（30﹣x）（x﹣20）＝-10，m+n＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10．
所以（30﹣x）2+（x﹣20）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝120．
（3）设（2023﹣x）＝t，（x﹣2021）＝h，
则（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝t2+h2＝（t+h）2﹣2th＝2022．
因为t+h＝（2023﹣x）+（x﹣2021）＝2．
所以th＝（2023﹣x）（x﹣2021）＝(22-2022)÷2=-1009．
（4）∵
∴
∵，
∴
阴影部分的面积为：．
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示：
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