2025年中考数学二轮专题复习讲义第20讲 等腰三角形问题（含解析）

这是一份2025年中考数学二轮专题复习讲义第20讲 等腰三角形问题（含解析），共12页。学案主要包含了思路点拨，解法提示等内容，欢迎下载使用。

1.如图，点A，B在正方形网格的格点上，请在所给的网格中确定格点C，使得. △ABC是以AB 为腰的等腰三角形.
2.如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+1l 与x轴交于点B,A(2,3)在直线上，在x轴上有一点C，使得 △ABC是以 AB 为底的等腰三角形，求点 C 的坐标.
3.如图，已知抛物线 y=23x2−43x−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C,连接AC,点 P 是y轴上一点,若. △PAC是等腰三角形，求点 P的坐标.
二阶 设问进阶练
例 如图，直线. y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点 C，抛物线 y=−x²−2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C.
(1)如图①，连接BC，在y轴上存在一点 D，使得 △BCD是以BC 为底的等腰三角形，求点 D 的坐标；
(2)如图②，在抛物线上是否存在点E，使 △EAC是以 AC 为底的等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图③,连接 BC,在直线 AC 上是否存在点 F,使 △BCF是以 BC 为腰的等腰三角形?若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点 K，使 △AHK是等腰三角形?若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由；
(5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点 G，使 △ACG是等腰三角形?若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.
三阶综合强化练
1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x²+4x−1与直线l： y=x−1交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)若点M是直线AB下方抛物线上一动点(不与A，B重合)，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点N，设点 M的横坐标为m，用含m的式子表示出MN的长，并求出 MN的范围；
(3)(y轴上的动点)在y轴是否存在一点C，使得 △ABC是等腰三角形?若存在，请求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
2.如图，抛物线 y=12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线 BC的解析式为 y= x−6.点P是x轴上的一个动点，过点P作直线. PE⊥x轴交直线 BC 于点 E，交抛物线于点 F.
(1)求抛物线的解析式；
(2)创新题·探究角的数量关系 若点 P在线段OB上运动(且不与点 O重合)，当 AE= 210时，请你猜想. ∠AEP与 ∠ACO的数量关系，并说明理由；
(3)(x轴上的动点)是否存在点 P，使得 △CEF是等腰三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
备用图②
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax²+bx+ca≠0与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点 C(0,3),且 OB=3OA=33.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD，与 BC交于点E，求 DEAE的最大值；
(3)(对称轴上的动点)若点M为抛物线的对称轴上一动点，是否存在点 M，使得. △BCM为等腰三角形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
考向1 等腰三角形问题
一阶 方法突破练
1.解：格点 C的位置如解图所示.
2. 解:∵直线y=x+1 与x轴交于点B,A(2,3),
∴B(-1,0),∠ABO=45°,∴AB=3 2,
当AB 为底边时，如解图，作线段 第2题解图AB的垂直平分线交x轴于点 C，连接AC，
∴AC=BC=3,
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∴ C(2,0).
3. 解:∵抛物线 y=23x2−43x−2与x轴交于 A,B两点,与y轴交于点 C，
∴A(3,0),B(-1,0),C(0,-2),
∴OA=3,OC=2,AC= 13.
∵点P 在y轴上,
设点 P 的坐标为(0,m),
则 PC=|m+2|,PA=m2+9,
如解图,①当PA=CA时,以点A 为圆心,AC 长为半径画弧交y轴于点 P₁，此时点A在CP的垂直平分线上,
∴OP₁=OC=2,∴P₁02;
②当. PC=CA=13时，以点 C为圆心，AC长为半径画弧,交y轴于点 P₂,P₃,
∴|m+2|=13,即 m+2=±13,
解得 m=13−2或 m=−2−13,
∴P2013−2,P30−2−13;
③当PC=PA时,作线段AC的垂直平分线交y轴于点 P₄，
∴|m+2|=m2+9,即 m+2²= m²+9,解得 m=54,
∴P₄(0, 54).
综上所述,点P的坐标为(0,2)或(0, 13−2)或(0, −2−13)或 054.
二阶 设问进阶练
例 解:(1)∵直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,∴A(-3,0),C(0,3),
∵ 抛物线 y=−x²−2x+3与x轴交于点B，
∴B(1,0),
如解图①，当△BCD 是以 BC 为底的等腰三角形，作 BC 的垂直平分线交y轴于点 D,则有 BD=CD,
∵ 点 D 是y轴上的点,
∴设D(0,d),. ∴BD²=d²+1,
∵CD²=3−d²,BD=CD,
∴BD²=CD²,即 d²+1=3−d²,解得 d=43,
∴ 点D 的坐标为 043;
(2)存在.
如解图②,过点 O 作直线 OP⊥AC 于点 P,交抛物线于点 E₁,E₂,则点 E₁,E₂即为所求.
∵OA=OC=3,
∴OP 是线段AC 的垂直平分线，
∴AP=CP,E₁A=E₁C,E₂A=E₂C.
∵A(-3,0),C(0,3),∴ P−3232,
∴直线OP 的解析式为y=-x,
联立 y=−xy=−x2−2x+3,
解得 x=1−132y=1+132, x=1+132y=1−132,
∴点E的坐标为 −1−1321+132或 −1+132 1−132);
(3)存在.
①当BC=BF时,如解图③,以点 B 为圆心,BC长为半径画弧,交直线AC于点 F₁,设F₁(f,f+3),由题意可得， BC2=10,BF12=f−12+f+32= 2f²+4f+10,
∵BC=BF1,∴BC2=BF12,
∴10=2f²+4f+10,解得.f₁=0(舍去),. f₂=−2.∴F₁(-2,1);
②当BC=CF时,如解图③,以点C为圆心，CB 长为半径画弧,交直线AC于点 F₂,F₃,设F(m,m+3),
由题意可得 CF²=m²+m+3−3²=2m²,BC²=10,
∵CF=BC,∴CF²=BC²,
∴2m²=10,解得 m=−5或 m=5.
∴F2−5−5+3,F355+3.
综上所述,点F 的坐标为(-2,1)或( −5−5+3或 55+3;
(4)存在.
∵ 抛物线的解析式为 y=−x²−2x+3=−x+1²+4,
∴H(-1,4),
∵A(-3,0),∴AH=2 5,
①如解图④,当AH为△AHK 的底时,作AH 的垂直平分线K₁L交x轴于点 K₁,交 AH 于点 L,
∴L(-2,2),
设直线AH 的解析式为y=kx+b,将A,H两点坐标代入,得y=2x+6,
∵K₁L⊥AH,
∴设直线 K₁L的解析式为 y=−12x+c,
将L(-2,2)代入得c=1,
∴ 直线 K₁L 的解析式为 y=−12x+1,
∴令y=0,得x=2,∴K₁(2,0);
②如解图④,当 AH 为△AHK 的腰时,以点 A 为圆心,AH为半径画弧,与x轴交于点 K₂,K₃,
此时 AH=AK2=AK3=25,
∴K225−30,K3−3−250;
同理，以点 H为圆心，AH为半径画弧，与x轴交于点 K₄,此时 K₄ 与点 B 重合,即K₄(1,0).
综上所述，点K的坐标为(2，0)或(2 5-3,0)或 −3−250或(1,0);
(5)存在.
由题意得，抛物线 y=−x²−2x+3的对称轴是直线x=-1,∴设G(-1,n),
∴AC²=3²+3²=18,AG²=−1−−3²+n²=4+n², CG²=1²+n−3²=n²−6n+10.
当△ACG是等腰三角形时，分以下三种情况：
①当AG=AC时,如解图⑤,以点A为圆心,AC长为半径画弧，交对称轴于点 G₁，G₂，
∵AG²=AC²,∴4+n²=18,解得 n=±14,
∴G1−114,G2−1−14;
②当CA=CG时,如解图⑤,以点C 为圆心,CA长为半径画弧，交对称轴于点G₃，G₄，
∵AC²=CG²,∴18=n²−6n+10,解得 n=3±17,
∴G3−13+17,G4−13−17;
③当GA=GC时，如解图⑤，作AC的垂直平分线交对称轴于点 G₅，
∵AG²=CG²,∴4+n²=n²−6n+10,解得n=1,
∴G₅(-1,1).
综上所述，点 G 的坐标为( −114或(-1, −14)或 −13+17或 −13−17或(-1,1).
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵抛物线 y=x²+4x−1与直线l:y=x-1交于A,B 两点,
∴联立 y=x2+4x−1y=x−1,解得 x1=0y1=−1,x2=−3y2=−4,
∴A(-3,-4),B(0,-1);
(2)设点M的坐标为( mm²+4m−1,则点 N的坐标为(m,m-1),
∴MN=m−1−m²+4m−1=−m²−3m=−(m+ 32)2+94,
∵ 点M是抛物线上A，B 两点之间的一个动点(不与A,B 重合),∴-3 ∵−3<−32<0,∴−m+322+94的最大值为 94,
∴ MN的取值范围为 0(3)存在.
∵A(-3,-4),B(0,-1),∴AB=3 2,
①如解图，当AB 是△ABC的底时，作线段AB 的垂直平分线,交AB 于点D,交y轴于点C₁,
∴D−32−52,
∵C₁D⊥AB,
∴设直线C₁D的解析式为：:y=-x+b,将点 D−32−52代入,得b=-4,
∴直线C₁D的解析式为：:y=-x-4,∴C₁(0,-4);
②如解图,当AB是△ABC的腰时,分别以点 A,B 为圆心,以AB长为半径作圆,交y轴于点 C₂,C₃,C₄,
∴AB=AC2=BC3=BC4=32.
∴BC₂=6,
∴C20−7,C3032−1,C40−1−32,综上所述,C点坐标为(0,-4)或(0,-7)或(0, 32−1)或 0−1−32.
2. 解:(1)∵直线 BC分别与x轴,y轴交于点 B,C,∴B(6,0),C(0,-6).
∵抛物线 y=12x2+bx+c经过点B,C,
∴将B，C两点坐标代入，
得 18+6b+c=0c=−6,解得 b=−2c=−6
∴抛物线的解析式为 y=12x2−2x−6;
(2)∠AEP+∠ACO=90°.
理由：由(1)知抛物线的解析式为 y=12x2−2x−6,令y=0,解得x₁=-2,x₂=6,∴A(-2,0),∴OA=2, ∴AC=OA2+OC2=210.
∵AE=210,
∴AC=AE,∴∠ACE=∠AEC,
∴∠ACO+∠OCB=∠PAE+∠CBO.
∵OB=OC,∴∠OCB=∠CBO=45°,
∴∠ACO=∠PAE.
∵∠AEP+∠PAE=90°,
∴∠AEP+∠ACO=90°;
(3)存在.
设P(m,0),则 Fm12m2−2m−6,Emm−6, ∴EF2=m−6−12m2−2m−62=−12m2+3m2, CE²=m²+m−6+6²=2m²,
CF2=m2+12m2−2m−6+62=m2+m212m−22,
当△CEF是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当CE=EF时,
∴CE2=EF2,∴2m2=−12m2+3m2,
解得m=0(舍去)或 m=6+22或 m=6−22,
∴P6+220或 P6−220;
②当CE=CF时,点C在EF的垂直平分线上,
∴yE+yF=2×−6,
∴m−6+12m2−2m−6=−12,
解得m=0(舍去)或m=2,
∴P(2,0);
③当CF=EF时,. ∴CF²=EF²,
∴m2+m212m−22=−12m2+3m2,
解得m=4或m=0(舍去).
∴P(4,0).
综上所述，点 P 的坐标为 6+220或 6−220或(2,0)或(4,0).
3. 解: 1∵OB=3OA=33,∴OA=3,
∴A(- 3,0),B(3 3,0),
∵C(0,3),
∴ 抛物线的解析式为 y=ax²+bx+3,
∴将A，B 两点坐标代入抛物线解析式，
得 3a−3b+3=027a+33b+3=0,解得 a=−13b=233
∴抛物线的解析式为 y=−13x2+233x+3;
(2)【思路点拨】看见求比例关系或线段比值，可考虑利用相似三角形的比例关系求解.
如解图①,过点D作DG⊥x轴于点G,交BC于点F,过点 A 作AK⊥x轴交直线 BC 于点 K,
设直线 BC的解析式为y=kx+d(k≠0),将B(3 3,0),C(0,3)分别代入y=kx+d,
得 33k+d=0d=3,
解得 k=−33,d=3,
∴直线 BC 的解析式为 y=−33x+3,
∵A−30,
∴K−34,∴AK=4,
设点 Dp−13p2+233p+3,则 Fp−33p+3,
∴DF=−13p2+3p,
∵DG⊥x轴,AK⊥x轴,
∴AK∥DG,△DFE∽△AKE,
∴DEAE=DFAK=−13p2+3p4=−112p−3322+916,
∵−112<0,0∴当 p=332时 DEAE取得最大值，最大值为 916;
(3)存在，点M的坐标为 3−26或( 3,2 6)或( 3,0)或( 333+3或 3−33+3.
【解法提示】∵ 点 M 是抛物线对称轴上一点，∴ 设M( 3,m),∵B(3 3,0),C(0,3),∴BC²=36,BM²= 12+m²,CM²=3+3−m²,如解图②，分三种情况：①当CM=BM时,作线段 BC 的垂直平分线,交BC于点 F，交抛物线对称轴于点 M1,∴F33232,∵ 直线 BC 的解析式为 y=−33x+3,∴设直线 M₁F的解析式为 y=3x+f,，将点 F 的坐标代入得 y=3x-3,∴M₁( 3,0);②当BC=BM时,以点B为圆心,BC长为半径画弧，交抛物线对称轴于点M₂，M₃， ∵BC²=MB²,∴36=12+m²,解得 m1=26,m2=−2 6,∴M2326,M33−26;;③当 CM=BC时，以点C 为圆心，BC长为半径画弧，交抛物线对称轴于点 M₄,M₅,∵CM²=BC²,∴3+3−m²=36,解得 m1=33+3,m2=−33+3,∴M4333+3, M53−33+3.综上所述，点M的坐标为( 3,0)或( 3,2 6)或( 3−26或 333+3或 3−33+3.