2025年中考数学二轮专题复习讲义第15讲 正方形问题（含解析）

这是一份2025年中考数学二轮专题复习讲义第15讲 正方形问题（含解析），共11页。学案主要包含了解法提示，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在正方形网格中有格点A，B，在网格中确定格点 C，D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形.
2.如图，在平面直角坐标系中， A−30,B01,平面内是否存在点M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为正方形?若存在，求出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由.
3.如图，抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接BP，以BP 为边在图示一侧作正方形BPMN，当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时，求点 P的坐标.
设问进阶练
例 如图，抛物线 y=56x2−136x+1分别与x轴、y轴交于 B，A两点.
(1)如图①,连接AB,以AB为边向上作正方形ABCD,求点 C的坐标并判断点 C 是否在抛物线上?
(2)将抛物线平移，平移后的抛物线的顶点为P，点 Q 为平面内一点，若以A，B，P，Q 为顶点的四边形是面积为5的正方形，求平移后的抛物线解析式；
(3)点M 是抛物线上一点，点H为平面内一点，连接BM，若点G在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，M，G，H为顶点且BM为边的四边形是正方形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
综合强化练
1.创新题·探究性试题已知抛物线 L₁:y=x²+2kx+k−2的顶点为M.抛物线 L₂:y=ax²+bx+c(a ≠0)的顶点为 M'.
感知特例：
(1)当k=0 k=0时，抛物线. L₁与抛物线 L₂的部分自变量及其对应的函数值如下表所示：
①抛物线.L₁的 解析式为 ，抛物线L₂的 解析式为 ；
②补全表格；
形成概念：
我们发现(1)中的抛物线 L₁上的点和抛物线 L₂上的点关于直线 y=kx对称，则称抛物线. L₁与抛线物 L₂是关于k的反射抛物线.
探究问题：
(2)若抛物线. L₁与抛线物 L₂是关于k的反射抛物线.
①当 k=1时,M'的坐标为 ;
②在①的基础上，请求出抛物线. L₂的解析式，并在如图的网格中画出抛物线 L₂的图象；
③点 B 是抛物线 L₁上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线 L₂于点C，分别作点B，C关于抛物线L₁ 的对称轴对称的点. B',C',连接BC, CC',B'C',BB',当四边形 BB'C'C 为正方形时，求k的值.
作图区 答题区
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线
l:y=kx+b经过点A,C.
(1)求直线l的解析式；
(2)在第一象限内存在一点 D，使得 △ACD是以 AC 为直角边的等腰直角三角形，求点 D 的
坐标；
(3)(抛物线旋转后对应的两点)在直线AC左侧有一点M，将抛物线绕点 M旋转 180°得到新
抛物线，其中点A，C的对应点分别是 A',C',，若以A，C，A'，C'为顶点的四边形是正方形，求点
M的坐标.
3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax²+bx−2a≠0与x轴相交于A(1,0),B(5,0)两点，与y轴相交于点 C，点 D 为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标；
(2)求 △BCD的面积；
(3)(抛物线上的动点+任意一点)点M为抛物线上一动点，点 N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点，AI为对角线作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上?若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
考向4 正方形问题
一阶 方法突破练
1. 解:作正方形ACBD 和正方形ABC'D'如解图.
2.解:存在.
如解图，①当AB为正方形的边时(定线段为边)，当M,N在x轴上方时,过点 M₁作 M₁E⊥y轴于点E,过点 N₁作N₁D⊥x轴于点 D.
∵∠N₁DA=∠BEM₁=∠AOB=90°,
∴∠DN₁A+∠N₁AD=90°.
∵ ∠BAO+∠N₁AD=90°,∴∠DN₁A=∠BAO.
同理可得. ∠M₁BE=∠BAO,
∴∠DN₁A=∠M₁BE=∠BAO.
又∵ N₁A=M₁B=AB,
∴△N₁AD≅△BM₁E≅△ABO(依托一线三垂直模型构造全等三角形).
∵A(- 3 ,0),B(0,1),
∴N1D=BE=OA=3,AD=M1E=OB=1,
∴M1−13+1,N1−3−13;
当M，N在x轴下方时，
同理可得 M211−3,N21−3−3;
②当AB为正方形的对角线时，作M₃G⊥x轴于点G，过点M₃作M₃F⊥y轴于点 F.
设AG=x,则 OG=3−x,
∵AB=OA2+OB2=2,同①可证得 △AGM₃≅△BFM₃,
∴M3F=M3G=OG=3−x,
∴AM3=22AB=2,AM32= AG²+M₃G²,
∴2=x2+3−x2,
解得 x1=3+12 舍去), x2=3−12,
∴M3−3+123+12,同理可得 N31−321−32,综上所述，符合条件的M，N的坐标为M(-1， 3+1) ,N−3−13或 M11−3,N1−3−3或 M−3+123+12,N1−321−32(M,N两点的坐标可互换).
3.解：∵抛物线的解析式为 y=x²−2x−3,∴B(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1,
①如解图①，当点 M在对称轴上时，过点 P 作PE 垂直直线x=1于点E,过点 B作BF⊥EP交EP的延长线于点F,
∵ ∠BPM = 90°,∴ ∠MPE +∠BPF = 90°,又∵∠PBF+∠BPF=90°,∴∠MPE=∠PBF,
∵BP=MP,∠PBF=∠MPE,∠PFB=∠MEP=90°,
∴△PFB≌△MEP,∴PF=ME,BF=PE,
设点P(m,m²-2m-3)(0则 PE=m−1,BF=−m²+2m+3,
∴m−1=−m²+2m+3,
解得 m1=1+172,m2=1−172舍去),
∴点 P 的坐标为 1+1721−172;
②如解图②,当点 N在对称轴上时,过点 P 作 PF⊥x轴于点 F，设对称轴交x轴于点 G，
∵∠NGB=∠PFB=∠PBN=90°,
∴∠GNB+∠NBG=90°,∠PBF+∠NBG=90°.
∴∠GNB=∠PBF.
∵BN=PB,∴△PBF≌△BNG,∴PF=BG.
∵ B(3,0),对称轴为直线x=1,
∴BG=2,∴PF=2.
将y=-2代入. y=x²−2x−3,可得 x²−2x−3=−2,解得 x1=1+2,x2=1−2(舍去),
∴点 P 的坐标为 1+2−2.
综上所述，点 P 的坐标为 1+1721−172或 1+2−2.
二阶 设问进阶练
例 解: 1∵y=56x2−136x+1,
∴A(0,1),B(2,0).
如解图①，以AB 为边向上作正方形ABCD，过点 C作CH⊥x轴于点 H.
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBH=90°.
又∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠CBH.
∵∠AOB=∠BHC=90°,
∴△ABO≌△BCH(AAS).
∴BH=AO=1,CH=BO=2,
∴ 点C的坐标为(3,2);
将C(3，2)代入抛物线解析式验证，满足点C在抛物线上；
(2)∵OA=1,OB=2,∴AB= 5.
∵以A，B，P，Q 为顶点的四边形是面积为5 的正方形，∴AB 为正方形的一条边.
分AP⊥AB 和 BP⊥AB 两种情况讨论:
①当AP⊥AB 时,如解图②,过点 P₁ 作 P₁N⊥y轴于点 N,
∵∠NAP₁+∠OAB=90°,∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠NAP₁=∠OBA.
∵∠ANP₁=∠BOA,AP₁=BA,
∴△AP₁N≌△BAO,
∴AN=OB=2,P₁N=OA=1,∴P₁(1,3).
易得点 P₁，P₂关于点A对称，则P₂(-1,-1);
②当BP⊥AB时,如解图②,同①可得点 P₃ 的坐标为(3,2),点 P₃ 关于点 B 对称的点 P₄的坐标为(1,-2).
综上所述，点 P 的坐标 为 ( 1, 3 ) 或(-1,-1)或(3,2)或(1,-2),
∴平移后的抛物线解析式为 y=56x−12+3或y= 56x+12−1或 y=56x−32+2或 y=56(x− 1)²−2;
(3)存在.
∵抛物线 y=56x2−136x+1,
∴抛物线的对称轴为直线 x=1310.
如解图③④⑤⑥,过点 M 作 MK⊥直线 x=1310于点K,过点 B 作BZ⊥直线 MK 于点 Z.
设 Mm56m2−136m+1,则 K131056m2−136m+1, Z256m2−136m+1.
①如解图③④,易得△MKG≌△BZM,∴MK=BZ,即 m−1310=56m2−136m+1,化简得 25m²−95m+69=0,解得 m=19±8510.
∴M119+85106+8510,M219−85106−8510;
②如解图⑤⑥,易得△GMK≌△MBZ,∴MK=BZ,即 1310−m=56m2−136m+1,化简得 25m²−35m−9=0,解得 m=7±8510. ∴M37+85106−8510,M47−85106+8510.
综上所述，存在满足题意的点 M，其坐标为 19+85106+8510或 19−85106−8510 或 7+85106−8510或 7−85106+8510.
三阶 综合强化练
1. 解: 1①y=x²−2;y=−x²+2;
②-1;-2;x

-1
0
1
2

y=x²+2kx+k-2

-1
-2
—
2

y=ax²+ bx+c(a≠0)

1
2
1


(2)①(-1,4);【解法提示】∵ L₁:y=x²+2kx+k−2= x+k²−k²+k−2,.顶点.. M−k−k²+k−2,∴ 顶点M'(-k,k²+k+2),∵k=1,∴M'(-1,4).
②∵抛物线 L₁ 与抛线物 L₂ 是关于 y=1 的反射抛物线，
∴由(2)①得抛物线L₂的解析式为 y=−x+1²+4,画出函数图象如解图所示；
③当x=1时,y=1+2k+k-2,即B(1,3k-1),
∴C(1,1-k),即BC=|2-4k|;
∵ 抛物线 L₁ 的对称轴为直线 x=−2k2=−k;
∴B'(-2k-1,3k-1),∴BB'=1-2-2kl,
∵ 四边形 BB'C'C 是正方形,
∴BC=BB',即|-2-2k|=|2-4k|,解得 k₁=2,k₂=0.
2. 解:(1)直线l的解析式为y=-3x-3;
(2)如解图①,当∠DAC=90°时,过点 D 作DE⊥x轴于点 E,
∵A(-1,0),C(0,-3),∴OA=1,OC=3.
∵ ∠DAE+∠CAO=∠DAE+∠ADE = 90°,
∴∠ADE=∠CAO.
又∵AD=AC,∠AOC=∠AED=90°,
∴△ADE≌△CAO,∴OA=DE=1,OC=AE=3,
∴OE=2,∴D(2,1);
当∠ACD=90°，此时点 D在第四象限不符合题意，
∴ 点D 的坐标为(2,1);
(3)【思路点拨】构造一线三垂直模型，利用三角形全等即可求得点M的坐标.
如解图②,由题意得A',C',过点 C'作C'F⊥x轴于点F,
∵ 四边形A'C'AC 是正方形,
∴AC'=AC,∠C'AC=∠AOC=90°,
∴∠C'AF+∠CAO=∠CAO+∠ACO=90°,
∴∠C'AF=∠ACO,∴△ACO≌△C'AF,
∴AO=C'F=1,AF=CO=3,∴C'(-4,-1).
∵点 M 是CC'的中点,
∴M(-2,-2).
3.解：(1)抛物线的解析式为 y=−25x2+125x−2=−25 x−32+85;D385;
(2)如解图①，设抛物线的对称轴与 BC的交点为 H.∵B(5,0),C(0,-2),
∴ 直线 BC 的解析式为 y=25x-2,
由(1)得抛物线对称轴为直线x=3,将x=3 代入 y=25x−2,得 y=−45,
∴H3−45,
∴DH=85+45=125,
∴SBCD=SDHB+SDHC=12×125×5=6;
(3)【思路点拨】由题意作以A，M，I，N为顶点的正方形，设出M点坐标构造全等三角形，得对应边相等，列方程求解M点坐标即可.
存在.
设点 M的坐标为 x−25x2+125x−2,
分以下两种情况：
①如解图②③，过点 M 作AM 的垂线，交对称轴于点I，过点A作AM的垂线，过点I作MI的垂线，交于点N，过点M作x轴的平行线交对称轴于点 H，过点A作y轴的平行线交 MH于点 G，
∵AG⊥MH,∠AMI=90°,
∴ ∠MAG + ∠AMG = 90°,∠HMI+∠AMG=90°.
∴∠MAG=∠HMI.
∵ AM = MI, ∠AGM = ∠MHI=90°,
∴△GAM≌△HMI,
∴AG=MH,
即 25x2−125x+2=3−x,
解得 x1=7+894,x2=7−894,
∴ 点 M 的坐标为 7+894−5+894或 7−894 −5−894);
②如解图④⑤，过点 M 作AM 的垂线，交对称轴于点I，过点A作AM的垂线，过点I作MI的垂线，交于点N，过点M作x轴的垂线交x轴于点 P，过点 M作对称轴的垂线交对称轴于点 Q，同①可证得△MAP≌△MIQ,
∴MP=MQ,即 −25x2+125x−2=3−x,
解得 x1=17+894,x2=17−894,
∴点M的坐标为 17+894−5−894或 17−894 −5+894).
综上所述，点 M 的坐标为 7+894−5+894或 7−894−5−894或 17+894−5−894或 17−894−5+894.