2025年中考数学二轮专题复习讲义第22讲 利用“阿氏圆”解决线段最值问题（含解析）

这是一份2025年中考数学二轮专题复习讲义第22讲 利用“阿氏圆”解决线段最值问题（含解析），共9页。学案主要包含了思路点拨，方法解读，思 路 点 拨等内容，欢迎下载使用。

1. 如图，点P是半径为2的⊙O上一动点，点A，B为⊙O外的定点.连接PA,PB,点 B 与圆心 O 的距离为4.要使 PA+12PB的值最小，如何确定点P，并说明理由.
2. 如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),点E是以原点O为圆心，2为半径的圆上一点，求 AE+23BE的最小值.
3.如图，已知抛物线 y=x²+4x−5与x轴交于A，B两点(点A在点B 左侧),与y轴交于点 C,点 D 的坐标为( −30,,将线段 OD绕点 O逆时针旋转得到( OD',旋转角为( α(0°<α<90°),连接 AD',CD',求 AD'+35CD'的最小值.
设问进阶练
例 如图，已知抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于点A，B(点A在点B 的右侧),与y轴交于点 C.
(1)如图①，若点 D 为抛物线的顶点，以点B 为圆心，3 为半径作⊙B,点E为⊙B上的动点,连接AE,DE,求 DE+34AE的最小值；
(2)如图②，若点 H 是直线AC 与抛物线对称轴的交点，以点 H为圆心，1为半径作⊙H，点Q是⊙H上一动点，连接OQ，AQ，求 OQ+5AQ的最小值；
(3)如图③，点 D 是抛物线上横坐标为2的点，过点 D 作. DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接CD,DP,PE,求 PD−12PE的最大值.
综合强化练
1.如图①,抛物线 y=−x²+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点 C，直线 y=kx+1l经过点A,与y轴交于点 D,与抛物线交于点 E(2,3),点 F 是抛物线的顶点,连接DF,EF.
(1)求直线 AE 和抛物线的函数解析式；
(2)求 tan∠EDF的值；
(3)如图②,以点 D 为圆心,OD长为半径作圆,点 G 是⊙D 上一点,连接BG 和 FG,则 10BG+10FG是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
2.如图，已知抛物线 y=ax²+bx+ca≠0经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,4).
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，连接BC，点P为BC上方抛物线上的一点， PR‖y轴交 BC于点R, PQ⊥BC于点Q,求 △PQR周长的最大值及此时点 P 的坐标；
(3)如图②,若点 N(0,3),D(2,0),矩形 ODFN的顶点 F 在第一象限内.以点N为圆心,1为半径作⊙N,点M是⊙N上一动点,连接DM,MF,求 DM−12MF的最大值.
作图区 答题区

一阶 方法突破练
1. 解:如解图,连接OB,OP,找带有系数的线段 PB.在OB 上截取OC=1,连接AC交⊙O于点P',点P'即为所求.连接PC.
理由:∵OP=2,OB=4,
∴OPOB=OCOP=12,∠POC=∠BOP,
∴△POC∽△BOP.
∴PCPB=12,即 12PB=PC(利用相似将 12PB转化为PC).
确定线段和最小时动点的位置.
∴PA+12PB=PA+PC≥AC,当A,P,C三点共线时,PA+PC的值最小，最小值为AC的长，
∴ 当点 P与点 P'重合时, PA+12PB的值最小.
2.解：找带系数的线段 BE.如解图，在y轴上取一点 M(0, 43),连 接 OE,EM,AM. 则 OE = 2,OB = 3, OM=43,
∴OEOB=OMOE=23.
又∵∠EOM=∠BOE,
∴△EOM∽△BOE.
∴EMBE=OMOE=23,
即 EM=23BE.
∴AE+23BE=AE+EM≥AM,
当A，E，M三点共线时，AE+EM 的值最小，最小值为AM 的长.
在 Rt △AOM 中, AM=OM2+OA2=432+42 =4103.
∴当E为线段AM与⊙O的交点时， AE+23BE的值最小，最小值为 4103.
3.解：∵抛物线的解析式为 y=x²+4x−5,
∴A(-5,0),C(0,-5),
∵点D的坐标为(-3,0),∴OD=OD'=3,
∴点 D'的运动轨迹为以原点 O 为圆心，3 为半径的圆在第三象限内的一段圆弧，
如解图，在y轴上取一点.M(,- 95),连接D'M,AM,
则 OD'=3,OC=5,OM=95,
∴OD'OC=OMOD'=35,
又∵∠D'OM=∠COD',
∴△D'OM∽△COD',
∴D'MCD'=35,即 D'M=35CD',
∴AD'+35CD'=AD'+D'M≥AM,
当A,D',M三点共线时, AD'+35CD'的值最小，最小值为AM的长.
在 Rt △AOM 中, AM=AO2+OM2=52+952 =7065,
∴当D'为AM与圆弧的交点时， AD'+35CD'的值最小，最小值为 7065.
二阶 设问进阶练
例 解:(1)∵抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于点A,B,∴A(3,0),B(-1,0).∴AB=4.
∵ 点 D 为抛物线的顶点，
∴D(1,4),抛物线对称轴为直线x=1,
如解图①，连接 BE，在 x 轴上截取 BF=94,则 BFBE =34,
设抛物线对称轴与x轴交于点 M，连接EF，DF，
∵BEBA=34,∠EBF=∠ABE,
∴△FBE∽△EBA,
∴BEBA=EFAE=34,
∴EF=34AE,
∴DE+34AE=DE+EF≥
DF,当D,E,F 三点共线时, DE+34AE取得最小值，最小值为 DF 的长,
∵BF=94,∴MF=14,∴在 Rt△DMF 中,DF = DM2+MF2=42+142=2574.
∴DE+34AE的最小值为 2574;
(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x=1.
∵A(3,0),C(0,3),
∴ 直线 AC 的解析式为y=-x+3.
∵ 点 H为直线AC 与抛物线对称轴的交点，
∴点H的坐标为(1,2).
如解图②,连接 OH 交⊙H 于点 D,在 OH 上截取 HN=55,过点 N作 NE⊥x轴于点 E，设抛物线对称轴与x轴交于点 M,连接AN,NQ,HQ.
∵H(1,2),∴OM=1,HM=2.
∴OH=OM2+HM2=5.
又∵ HQ=1,
∴HNHQ=HQHO=55,
又∵∠NHQ=∠QHO,
∴△QHN∽△OHQ.
∴QNOQ=HNHQ=55,
即 QN=55OQ.
∴OQ+5AQ=555OQ+AQ=5QN+AQ≥ 5AN.当A,Q,N三点共线时,( OQ+5AQ值最小，最小值为 5AN.
∵NE⊥x轴,
∴ONE∼OHM,∴ONOH=NEHM=OEOM
∵ON=OH−NH=455,∴ONOH=NEHM=OEOM=45,
∴NE=85,OE=45,∴AE=OA−OE=115,
∴5AN=5⋅AE2+NE2=37,
∴OQ+5AQ的最小值为 37;
(3)∵ 点D 是抛物线上的点,且横坐标为2,∴D(2,3).
∵C(0,3),∴CD⊥y轴.
∵ DE⊥x轴,
∴ 四边形 OCDE 为矩形.∴OE=CD=2.
如解图③，在 OA 上截取 OH=12,连接 DH 并延长交⊙O 于点 P,连接EP.
易得直线 DH 的解析式为：y=2x-1.∴P(0,-1).
∴OHOP=12,OPOE=12,
且∠POH=∠EOP,
∴ △POH∽△EOP.
∴PHEP=OPOE=12,∴PH=12PE.
∴PD−12PE=PD−PH≤DH,当点 P 在 DH 的延长线上时， PD−12PE的值最大，最大值为 DH 的长.
∵H( 12 ,0),D(2,3),
∴DE=3,EH=32.
∴DH=DE2+EH2=352.
∴PD−12PE的最大值为 352.
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵点E在直线y=kx+1上,
∴把E(2,3)代入y=kx+1,得2k+1=3,解得k=1,
∴ 直线AE的解析式为y=x+1,
把y=0代入y=x+1,得x=-1,∴A(-1,0),
把A(-1,0)与E(2,3)代入抛物线 y=−x²+bx+c,
得 −1−b+c=0−4+2b+c=3,解得 b=2c=3,
∴ 抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3;
(2)∵点F是抛物线的顶点,∴F(1,4),
把x=0代入y=x+1,得y=1,∴D(0,1)
把x=0代入 y=−x²+2x+3,得y=3,∴C(0,3),∴CD=2,
如解图①,连接CE,
∵E(2,3),则CE⊥y轴,CE=CD=2,
∴∠CED=45°,DE=2 2,
过点 F 作 FM⊥CE于点 M,则 FM=EM=1,
∴∠FEC=45∘,FE=2,∠FED=90∘,
∴ 在Rt△FDE 中, tan∠EDF=FEDE=12;
(3)【思路点拨】将 10BG+10FG提公因式转化为 10BG+1010FG,再构造相似三角形将 1010FG转化到对应边，根据“一阶方法突破练”中的【方法解读】求解即可.
存在.
如解图②,在 DF 上取 DH=1010,连接 DG,HG,BH,则 DHDG=1010,
∵D(0,1),F(1,4),∴ DF=10,
∵DGDF=110=1010,∴DHDG=DGDF,
∵∠HDG=∠GDF,∴△HDG∽△GDF,
∴HGGF=1010,∴HG=1010FG,
∴10BG+10FG=10BG+1010FG=10(BG+
HG)≥10BH,∴10BG+ 10FG的最小值为10BH,
过点 H作 HP⊥y轴于点 P,过点 F 作 FQ⊥y 轴于点 Q,则HP∥FQ,
∴△DHP∽△DFQ,
∴DPDQ=HPFQ=DHDF=110,
∴DP3=HP1=110,
∴DP=310,HP=110,
∵D(0,1),∴H( 1110,¹³),
根据勾股定理，得 HB=3−1102+13102=101010.
∴10BH=1010,
∴10BG+10FG的最小值是 1010.
2. 解:(1)∵抛物线 y=ax²+bx+ca≠0过C(0,4),
∴抛物线的解析式为 y=ax²+bx+4,
∴将点 A，B的坐标代入抛物线的解析式，得 a−b+4=09a+3b+4=0,解得 a=−43b=83,
∴ 抛物线的解析式为 y=−43x2+83x+4;
(2)【思 路 点 拨】由 PR∥y 轴,得到 ∠OCB =∠PRQ，设出点P的坐标，表示出PR的长，结合三角函数表示 PQ，QR的长，再利用二次函数的性质求解即可.
∵B(3,0),C(0,4),
∴ 直 线 BC 的 解 析 式 为 y=−43x+4,BC= OC2+OB2=5,
∵PR∥y轴,∴∠OCB=∠PRQ,
∴sin∠PRQ=sin∠OCB=PQPR=OBBC=35,
cs∠PRQ=cs∠OCB=RQPR=OCBC=45,
∴PQ=35PR,QR=45PR.
∴△PQR 的周长为 PR+PQ+QR=PR+35PR+45 PR=125PR,
设点 Px−43x2+83x+4,且 0∴△PQR 的周长 =125−43x2+4x=−165x−322 +365,
∵−165<0,0<32<3,
∴当 x=32时，△PQR 的周长取得最大值，最大值为 365,
∴当点P 的坐标为( 32,5)时,△PQR 的周长最大，最大值为 365;
(3)∵N(0,3),D(2,0),四边形ONFD 为矩形,
∴NF=OD=2,ON=DF=3,
∵C(0,4),∴NC=4-3=1,
如解图②，在 NF 上截取 NE=12,
∵MN=1,NF=2,12=12×2,
∴MN²=NE⋅NF,即 MNNE=NFMN,
∵∠MNE=∠FNM,∴△MNE∽△FNM,
∴MEFM=MNFN=12,即 ME=12MF,
∵DE≥DM−ME=DM−12MF,.当且仅当M,E,D三点共线时， DM−12MF的值最大，最大值为 DE 的长，故此时点M 与点 C 重合，
在 Rt△EFD 中,由勾股定理得 DE=EF2+DF2 =352,
∴DM−12MF的最大值为 352.