2025年中考数学二轮专题复习讲义第21讲 线段最值专项练习（含解析）

这是一份2025年中考数学二轮专题复习讲义第21讲 线段最值专项练习（含解析），共10页。

直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短
1.如图，在平面直角坐标系中，直线 l y=−43x+4分别交x轴，y轴于点A，B，点P为直线l上任意一点，连接OP，求线段OP的最小值.
2.如图，抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，顶点为C，点D为线段AC上一点，点E为抛物线对称轴上一点，连接AE，DE，求 AE+DE的最小值.
3.如图，抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在平面内有一定点 D(3，4)，点P，Q分别是抛物线、直线BC 上的动点，求 DP+PQ的最小值及此时点 P的坐标.
利用“胡不归”求线段最值
4.如图，在平面直角坐标系中， A0−2,B30,点P 是x轴上任意一点，连接AP，求 PA+12PB的最小值.
5.如图，已知抛物线 y=−x²−2x+3与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，D为抛物线的顶点.若R 为y轴上的一个动点，连接AR ,求 AR+22BR的最小值.
6.如图，已知抛物线 y=x²−6x+8与x轴交于A，B两点(点A在点B 的左侧)，直线 y=43x与抛物线对称轴交于点C，点D是直线 y=43x上一点，连接AD，求 AD+45CD的最小值.
设问进阶练
例如图，已知抛物线 y=−12x2+52x−2与x轴交于点A，B(点B在点A左侧)，与y轴交于点 C，抛物线顶点为点 D，对称轴为直线l.(1)如图①，若点 P为x轴上一点，点N为直线AC上一点，求 CP+PN的最小值；
(2)如图②，若点P为y轴上一点，连接BP，求 BP+12CP的最小值;
(3)如图③，若点 P 为抛物线对称轴上一点，点 M 为 AB 上一点，且 BM=2AM,连接MP,BD,求 DP+54MP的最小值.
综合强化练
1. 创新题·探究性试题学习了二次函数之后，我们知道二次函数的图象是抛物线，有同学猜想，抛物线上的点到定点和定直线的距离相等，经过小组探究，发现：如图，点P是平面内一动点，点Q 是y轴正半轴上一点，设( OQ=n,连接PQ,若点 P 到直线y=-n 的距离等于 PQ 的长 y=−n度，则所有符合的点 P形成的轨迹是抛物线 y=ax².
【初步感知】
(1)当x≠0时，a与n的数量关系为 ；
(2)若动点P(x,y),Q(0,3),连接PQ,且点P 到直线. y=−3的距离等于 PQ 的长，直接写出所有符合的点 P形成的轨迹的抛物线解析式；
【灵活应用】
(3)若点D的坐标是(1，5)，在(2)中求得的抛物线上是否存在点M，使得 MQ+MD最短?若存在，求出点 M的坐标，若不存在，请说明理由；
【拓展延伸】
(4)由上述发现可知，二次函数 y=14x−12+2的图象可以看作平面内一动点到定点F的距离等于它到定直线 y=−n=-n 的距离，所有符合这一条件的动点所形成的图形，求点 F 的坐标和n的值.
作图区 答题区

考向4 利用“垂线段最短”解决线段最值问题
一阶 方法突破练
1.解：确定线段长最小值时动点的位置.当 OP⊥AB时，线段 OP 的值最小.
∵直线l的解析式为 y=−43x+4,
∴A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,∴AB=5.
∵SAOB=12OA⋅OB=12AB⋅OP,
∴OP=OA⋅OBAB=125(求出线段长度)，
∴线段 OP 的最小值为 125.
2.解：∵确定定点坐标.抛物线 y=x²−2x−3的顶点为 C,y=x−1²−4,
∴C(1,-4).
令y=0,解得x=-1或x=3,∴A(-1,0),B(3,0),如解图,连接BE,过点 B 作BD'⊥AC 于点 D',与抛物线对称轴交于点 E'，
∵ 点 A 与点 B 关于对称轴对称，
∴AE=BE,
∴ AE + DE = BE + DE ≥ BE'+ D'E'=BD',
∴ AE+DE 的最小值为 BD'的长.
∵AC=2 5,AB=4,连接BC,
∴SABC=12AB×4=12AC⋅BD',∴BD'=855.
∴AE+DE的最小值为 855.
3. 解:如解图,过点 D 作 DQ⊥BC 于点 Q,交抛物线于点 P,此时 DP+PQ 取得最小值,最小值为 DQ 的长，则P，Q即为所求作的点.
过点 Q作QE⊥x轴于点 E,连接BD,
∵抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3,
∴B(3,0),C(0,3),∴OB=OC=3,∴∠CBO=45°.
∵D(3,4),∴∠DBO=90°,BD=4,
∴∠QBD=45∘,∴DQ=BQ=4×22=22,
∴DP+PQ的最小值为2 2.
∵QE⊥x轴,∠QBE=45°,
∴∠BQE=∠QBE=45°,
∴QE=BE=22BQ=2,
∴OE=OB-BE=1,∴ 点 Q的坐标为(1,2).
∵D(3,4),Q(1,2),∴直线DQ的解析式为y=x+1,联立 y=x+1y=−x2+2x+3,解得x=2或x=-1(舍去),当x=2时,y=3.
∴点P的坐标为(2,3).
4. 解:如解图,作∠OBC=30°,交y轴正半轴于点 C,过点A作AD⊥BC 于点 D,交x轴于点 P',过点 P 作PD'⊥BC 于点 D'.
构造直角三角形及特殊角.
∵∠OBC=30∘,∴DP'=12BP',D'P=12BP,
∴PA+12PB=PA+D'P≥AP'+P'D=AD(“化折为直”，确定动点位置)，
∴当点 P'与点 P 重合时,PA+ 12PB的值最小，即AD的长.
∵A(0,-2),B(3,0),
∴OA=2,OB=3,
∴OC=33OB=3,
∴AC=2+3.
∵∠OBC=30°,∴∠OCB=60°,
∴AD=AC⋅sin60∘=2+3×32=32+3(求出线段的长),
∴PA+12PB的最小值为 32+3.
5. 解:如解图,连接BC,过点R作RH⊥BC于点H,过点A 作 AG⊥BC 于点 G.
∵ 抛物线的解析式为 y=−x²−2x+3,
∴A(1,0),C(-3,0),B(0,3),∴OB=OC=3.
∵∠COB=90°,
∴BC=3 2,∠HBR=45°.
在 Rt△BHR中, RH=22BR,
∴AR+22BR=AR+RH≥AG.
∴当H,R,A三点共线且AH⊥BC时, AR+22BR的值最小，最小值为AG的长，连接AB.
∵SABC=12BC⋅AG=12AC⋅OB,
∴AG=AC⋅OBBC=22,
∴AR+22BR的最小值为2 2.
6. 解:∵ 抛物线 y=x²−6x+8与x轴交于A，B两点(点A在点 B 的左侧),
∴令y=0,解得x=2或x=4,∴A(2,0).
∵ 直线 y=43x与抛物线对称轴交于点 C，抛物线对称轴为直线x=3，
∴当x=3时, y=43x=4,∴C(3,4).
如解图,过点 C 作CE⊥y轴于点 E,过点 D 作 DF⊥CE 于点 F,过点A 作AG⊥CE于点G,交直线 y=43x于点 D',∴CE=3,OE=4,OC=5,
∴sin∠ECO=OEOC=FDCD=45,
∴FD=45CD,
∴AD+45CD=AD+FD≥AD'+D'G=AG,
∴ 当点 D 与点 D'重合时, AD+45CD的值最小，即为AG的长,
∵四边形 OAGE 为矩形,
∴AG=OE=4,
∴AD+45CD的最小值为4.
二阶 设问进阶练
例 解:(1)将y=0代入抛物线 y=−12x2+52x−2中,解得 x₁=1,x₂=4,
∵点B在点A左侧,∴A(4,0),B(1,0).
当x=0时,y=-2,∴C(0,-2).
∴OA=4,OC=2,∴AC=2 5.
如解图①,作点C关于x轴的对称点 F(0,2),过点 F作 FN⊥AC于点N,交x轴于点 P.
由轴对称的性质及垂线段最短可知，此时CP+PN=FP+PN的值最小,最小值为 FN的长.
易得△ACO∽△FCN,
∴ACFC=OANF,
∴NF=FC⋅OAAC=4×425=855,
∴ CP+PN的最小值为 855;
(2)如解图②,过点C作∠OCE=30°,交x轴负半轴于点 E,过点 B 作EC的垂线交EC于点 F,交y轴于点P，点 P 即为所求作的点.
∵∠OCE=30°,∴∠BEC=60°,PF= 12PC,
∴BP+12CP=BP+PF=BF,
∴BP+12CP的最小值为BF 的长，
由(1)得,A(4,0),B(1,0),C(0,-2),
∴OC=2,OB=1,
∴EO=0C⋅tan30∘=233,∴BE=233+1,
∴BF=BE⋅sin60∘=32+1,
∴BP+12CP的最小值为 32+1;
(3)如解图③,过点 P作PE⊥BD于点 E,设抛物线的对称轴与x轴交于点 F,由(1)得B(1,0).
:y=−12x2+52x−2=−12x−522+98,∴D5298,
∴BF=52−1=32,BD=158,
∴sin∠BDP=BFBD=PEDP=45,∴PE=45DP,
∴DP+54MP=5445DP+MP=54PE+MP,易知M(3,0),BM=2,
过点 M作MH⊥BD于点 H,则 PE+MP的最小值即为MH的长,连接DM,∴ DP+54MP的最小值为 54MH.
∵SBDM=12MB⋅DF=12BD⋅MH,
∴MH=MB⋅DFBD=2×98158=65,∴54MH=32,
∴DP+54MP 的最小值为 32.
三阶 综合强化练
1. 解: 1a=14n; 【解法提示】由题意可知,PQ=PB,Q(0,n),设点 P 的坐标为(x,y),∴ x²+y−n²= y+n2,∴x2=4ny.:y=ax2,∴x2=ya=4ny.:x≠ 0,∴a=14n.
2y=112x2; 【解法提示】由(1)知,此时n=3,∴ a=14n=112,.所有符合的点 P 形成的轨迹的抛物线解析式为 y=112x2.
(3)存在；如解图①，过点 D作直线y=-3的垂线，垂足为E,与抛物线交于点 M,此时 MQ+MD=ME+MD=DE(垂线段最短),此时 M1112;
(4)如解图②，构造新的平面直角坐标系x'O'y'，
∵ 二次函数的解析式为 y=14x−12+2,
∴二次函数的顶点坐标为(1，2)， a=14,由(1)可知n=1，即在新的平面直角坐标系中n=-1，
∴二次函数 y=14x−12+2的图象可以看作到定点F(1，3)的距离等于它到定直线y=1的距离，所有符合的动点所形成的图形，
∴定点 F的坐标为(1,3),n的值为-1.
2. 解:(1)∵抛物线经过点C(0,2 3),
∴ 抛物线的解析式为 y=ax2+bx+23,
将A，B两点的坐标代入抛物线解析式，
得 4a−2b+23=016a+4b+23=0,解得 a=34b=32
∴ 抛物线的解析式为 y=−34x2+32x+23;
(2)【思路点拨】作点 G关于x轴的对称点 N，过N作BC的垂线，垂足为点 M，则GH+HM 的最小值为NM 的长.
如解图①，作点 G关于 x轴的对称点 N，过点 N 作NM⊥BC于点M，交x轴于点 H(确定线段和最小时动点的位置)，
∴ GH =NH,∴ 此时 GH+HM 最小,最小值为 NM的长.
∵B(4,0),C(0,2 3),∠COB=90°,G(0,1),
∴OC=23,OB=4,
BC=2 7,N(0,-1),
∴sin∠OCB=OBBC=427=277.
∵NM⊥BC,
∴sin∠OCB=NMCN=277.
∵CN=1+23,
∴NM=27+4217.
∴GH+HM的最小值为 27+4217;
(3)存在.
如解图②，过点C作与y轴夹角为30°的射线 CQ交x轴负半轴于点 N(构造角度，使 sin∠OCH=12),过点 B作BR⊥CQ于点 R,交线段 OC 于点 P(构造直角三角形，确定动点的位置)，
则RP= 12CP,∠CON=90°,∠OCN=30°,
∴BP+12CP=BP+RP=BR,即 BR 的值为 BP+12CP的最小值(画折为直，求出线段的长).
∵C(0,2 3),
tan30∘=NOCO=33,
∴NO=2,
∴点 N与点 A 重合.
∵A(-2,0),B(4,0),
∴AB=6.
∵∠OCN=30°,
∴∠CNO=60°,
在 Rt△NRB中, sin60∘=BRNB=32,
∴BR=33,
∴BP+12CP的最小值为3 3.