还剩24页未读，
继续阅读
中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第27讲 等腰三角形（解析版）学案
展开
这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第27讲 等腰三角形（解析版）学案，共27页。学案主要包含了等腰三角形，等腰三角形的多解问题，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质运用等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习讲义
考点二十七：等腰三角形
聚焦考点☆温习理解
一、等腰三角形
1、等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
(2)等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角(或直角)。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二.等边三角形
1.定义
三条边都相等的三角形是等边三角形.
2.性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
3.判定
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三.线段垂直平分线
1.定义
垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
2.性质
线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等
3.判定
到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、等腰三角形的性质
【例1】(2019•浙江杭州•8分)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；
(2)根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．
【解答】解：(1)证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠APC＝2∠B；
(2)根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，
∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．
【举一反三】
如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是( )
A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°
【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题
【答案】B
点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．
考点典例二、等腰三角形的多解问题
【例2】(2018黑龙江绥化中考模拟)在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为 ．
【答案】30°或150°或90°．
【解析】
试题分析：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，[来源:学,科,网Z,X,X,K]
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
考点：1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性质．
【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
【举一反三】
(湖南省衡阳市2017-2018学年八年级上期末模拟)等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是( )
A. 35° B. 20° C. 35°或20° D. 无法确定
【答案】C
【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35°， 70°是底角，顶角是40°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°.故选C.
考点典例三、等边三角形的性质与判定
【例3】(2019▪黑龙江哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为 ．
【答案】2
【解析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的长．如图，连接AC交BD于点O
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4
∵CE∥AB
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°
∴∠DAO＝∠ACE＝30°
∴AE＝CE＝6，∴DE＝AD﹣AE＝2
∵∠CED＝∠ADB＝60°
∴△EDF是等边三角形，∴DE＝EF＝DF＝2
∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2
∴OC＝＝2
∴BC＝＝2
【举一反三】
(重庆市江津区2017-2018学年八年级上学期期末模拟)如图所示，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，Q为AC上一点，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则对下面四个结论判断正确的是( )
①点P在∠BAC的平分线上， ②AS=AR， ③QP∥AR， ④△BRP≌△QSP.
A. 全部正确; B. 仅①和②正确; C. 仅②③正确; D. 仅①和③正确
【答案】A
【解析】试题解析：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S.
∴∠ARP=∠ASP=90°.
∵PR=PS，AP=AP.
∴Rt△ARP≌Rt△ASP.
∴AR=AS，故(2)正确，∠BAP=∠CAP.
∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故(1)正确.
∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点.
∵AQ=PQ.
∴点Q是AC的中点.
∴PQ是边AB对的中位线.
∴PQ∥AB，故(3)正确.
∵∠B=∠C=60°，∠BRP=∠CSP=90°，BP=CP.
∴△BRP≌△QSP，故(4)正确.
∴全部正确．.
故选A．
考点典例四、线段垂直平分线的性质运用
【例3】．(2019•攀枝花)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：
(1)点D在BE的垂直平分线上；
(2)∠BEC＝3∠ABE．
【答案】见解析。
【解析】(1)连接DE，
∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE，
∵BD＝CE，∴BD＝DE，
∴点D在BE的垂直平分线上；
(2)∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，
∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE．
【举一反三】
(2018广西钦州市中考模拟)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长(大于AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE等于( )
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线性质求出AE=BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理求出DE即可.
解：在RtABC中，由勾股定理得：BC==4,
连接AE，
从作法可知：DE是AB的垂直评分线，
根据性质AE=BE，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC+CE=AE，
即3+(4-AE)=AE，
解得：AE=，
在Rt△ADE中，AD=AB=，由勾股定理得：DE+()=()，
解得：DE=.
故选C.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. (2018年湖北省松滋市中考模拟试题(一))如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，则AB为( )
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
【答案】C
【解析】试题解析：∵DE是AB的垂直平分线，
∵的周长
的周长
∴的周长﹣的周长=AB，
故选C．
点睛：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
2. (2018黑龙江大庆)如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为( )
A. 30° B. 15° C. 45° D. 25°
【答案】B
【解析】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，∴BE=CE=CD，∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，故选B．
3. (2019•浙江衢州•3分)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是( )
A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°
【答案】 D
【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE=75°，
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，
即x+180°-4x+75°=180°，
解得：x=25°，
∠CDE=180°-4x=80°.
故答案为：D.
4. (2019•天水)如图，等边的边长为2，则点的坐标为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点作于点，
∵是等边三角形，∴，．∴点的坐标为．故选B．
【名师点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理以及图形与坐标，正确作出辅助线是解答本题的关键．
5. (2019•滨州)如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】∵，∴，即，
在和中，，∴，∴，①正确；
∴，由三角形的外角性质得：，
∴°，②正确；
作于，于，如图所示：
则°，
在和中，，∴，∴，∴平分，④正确，正确的个数有3个，故选B．
6．在平面直角坐标系中，点A(，)，B(，)，动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B．
【解析】
考点：1．等腰三角形的判定；2．坐标与图形性质；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．
7.(浙江省上杭县2019学年模拟)如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是( )
A. △ABD≌△ACD B. AD为△ABC的高线 C. AD为△ABC的角平分线 D. △ABC是等边三角形
【答案】D
【解析】试题解析：∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，即AD是△ABC的高，AD为△ABC的角平分线，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD，
即选项A、B、C都正确，
根据已知只能推出AC=AB，不能推出AC、AB和BC的关系，
即不能得出△ABC是等边三角形，选项D错误，
故选D．
二、填空题
8. (2018广州市黄埔区中考数学一模)如图，已知△ABC和△AED均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AB相交于点F，如果AC=12，CD=4，那么BF的长度为_ _ ．
【答案】
【解析】试题分析：△ABC和△AED均为等边三角形，∴ , , , ∴ ，
∴~∆ACD,又 ,∴,∴,∴,∴,∴ 即，所以BF= 故答案为
9. （2019•重庆A卷）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC′沿BD翻折，得到
，DC与AB交于点E，连接，若AD=AC′=2，BD=3则点D到BC的距离为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接CC′，交BD于点M，过点D作DH⊥BC′于点H，
∵AD=AC'=2，D是AC边上的中点，∴DC=AD=2，
由翻折知，△BDC≌△BDC′，BD垂直平分CC′，∴DC=DC′=2，BC=BC′，CM=C′M，∴AD=AC'=DC′=2，
∴△ADC′为等边三角形，∴∠ADC=∠AC′D=∠C′AC=60°，
∵DC=DC′，∴∠DCC′=∠DC′C=×60°=30°，
在Rt△CDM中，∠DC′C=30°，DC′=2，∴DM=1，C′M=DM=，.BM=BD-DM=3-1=2，
在Rt△BMC中，BC′=，
∵，∴，∴.BM=BD-DM=3-1=2，
在Rt△C'DM中，，
∵，∴，∴，故选B．
10. ((2019▪黑龙江哈尔滨▪3分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为 ．
【答案】2
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，
BO＝OD＝4
∵CE∥AB
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°
∴∠DAO＝∠ACE＝30°
∴AE＝CE＝6
∴DE＝AD﹣AE＝2
∵∠CED＝∠ADB＝60°
∴△EDF是等边三角形
∴DE＝EF＝DF＝2
∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2
∴OC＝
∴BC＝
11. (2019四川巴中)如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP
＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝ ．
【答案】24+16．
【解析】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，
根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′＝BP＝8＝PP'；
由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，
在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，
∴S△ABP+S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'B+S△AP'P＝BP2+×PP'×AP＝24+16
故答案为：24+16．
12. (浙师大附属秀洲实验学校2017-2018学年九年级下学期第三次模拟)已知□ABCD中，AB=4， 与的角平分线交AD边于点E，F，且EF=3，则边AD的长为_______．
【答案】5或11；
【解析】∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，CD=AB=4，
∴∠AEB=∠CBE
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=4，
同理：DF=CD=4，
分两种情况：
①如图1所示：
∵EF=3，
∴AD=AE+EF+DF=4+3+4=11；
②如图2所示：
∵EF=4，AE=DF=4，
∴AF=1，∴AD=AF+DF=1+4=5；
综上所述：AD的长为11或5；
故答案为：5或11.
13. (2017新疆建设兵团第15题)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S=AC•BD．
正确的是 (填写所有正确结论的序号)
【答案】①④
【解析】
试题解析：①在△ABC和△ADC中，
∵，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠ABC=∠ADC，
故①结论正确；
②∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴OB=OD，AC⊥BD，
而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，
故②结论不正确；
③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；[来源:学科网]
故③结论不正确；
④∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD•AO+BD•CO=BD•(AO+CO)=AC•BD．
故④结论正确；
所以正确的有：①④
考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
14. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．
【答案】6或或
【解析】①如图1，
当，，则，∴底边长为6；
②如图2，
当，时，则，
∴，∴，∴此时底边长为；
③如图3，
当，时，则，∴，∴，
∴此时底边长为．故答案为：6或或．
【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论．
15. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．
【答案】70
【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．
【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16. (2019四川自贡)如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如
图所示，则cos(α+β)＝ ．
【答案】．
【解析】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．
在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠α＝30°．
同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．
又∵∠AEC＝60°，
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．
设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，
∴AD＝，
∴cos(α+β)＝＝．
故答案为：．
三、解答题
17. (2019•苏州)如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【解析】(1)∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
(2)∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键．
18. （2019•重庆）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE=FE．
【解析】（1）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，
又∠C=42°，∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°．
（2）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD=∠F，
∴AE=FE．
19. 如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．
(1)求证：OB=DC；
(2)求∠DCO的大小；
(3)设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．
【解答】(1)证明：
∵∠BAC=∠OAD=90°
∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO
∴∠DAC=∠OAB
在△AOB与△ADC中
∴△AOB≌△ADC，
∴OB=DC；
(2)∵∠BOC=130°，
∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°，
∵△AOB≌△ADC
∠AOB=∠ADC，
∴∠ADC+∠AOC=230°，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠DAO=90°，
∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°；
(3)当CD=CO时，
∴∠CDO=∠COD===70°
∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠ODA=45°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°
又∠AOB=∠ADC=α
∴α=115°；
当OD=CO时，
∴∠DCO=∠CDO=40°
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°
∴α=85°；
20. (2017内蒙古呼和浩特)如图，等腰三角形中，，分别是两腰上的中线．
(1)求证：；
(2)设与相交于点，点，分别为线段和的中点．当的重心到顶点的距离与底边长相等时，判断四边形的形状，无需说明理由．
【答案(1)证明见解析；(2)四边形DEMN是正方形.
【解析】
试题分析：(1)根据已知条件得到AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)根据三角形中位线的性质得到ED∥BC，ED=BC，MN∥BC，MN=BC，等量代换得到ED∥MN，ED=MN，推出四边形EDNM是平行四边形，由(1)知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形的性质得到OB=OC，由三角形的重心的性质得到O到BC的距离=BC，根据直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到结论．
试题解析：(1)由题意得，AB=AC，
∵BD，CE分别是两腰上的中线，∴AD=AC，AE=AB，∴AD=AE，
在△ABD和△ACE中 ，∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE；
(2)四边形DEMN是正方形，
理由：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=AB，AD=AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=BC，
∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN=BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由(1)知BD=CE，
又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，
在△BDC与△CEB中， ，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，
∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离=BC，∴BD⊥CE，
∴四边形DEMN是正方形．
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.三角形的重心；3.等腰三角形的性质．
21. （山东省淄博市2018年）(1)操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________．
(2)类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
(3)深入研究：
如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．
【答案】(1)MG=NG； MG⊥NG；(2)成立，MG=NG，MG⊥NG；(3)答案见解析
【解析】分析：(1)利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；
(2)同(1)的方法即可得出结论；
(3)同(1)的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．
详解：(1)连接BE，CD相较于H，如图1，
(2)连接CD，BE，相较于H，如图2，
同(1)的方法得，MG=NG，MG⊥NG；
(3)连接EB，DC，延长线相交于H，如图3.
点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键
中考数学一轮复习讲义
考点二十七：等腰三角形
聚焦考点☆温习理解
一、等腰三角形
1、等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
(2)等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角(或直角)。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二.等边三角形
1.定义
三条边都相等的三角形是等边三角形.
2.性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
3.判定
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三.线段垂直平分线
1.定义
垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
2.性质
线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等
3.判定
到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、等腰三角形的性质
【例1】(2019•浙江杭州•8分)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；
(2)根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．
【解答】解：(1)证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠APC＝2∠B；
(2)根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，
∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．
【举一反三】
如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是( )
A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°
【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题
【答案】B
点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．
考点典例二、等腰三角形的多解问题
【例2】(2018黑龙江绥化中考模拟)在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为 ．
【答案】30°或150°或90°．
【解析】
试题分析：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，[来源:学,科,网Z,X,X,K]
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
考点：1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性质．
【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
【举一反三】
(湖南省衡阳市2017-2018学年八年级上期末模拟)等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是( )
A. 35° B. 20° C. 35°或20° D. 无法确定
【答案】C
【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35°， 70°是底角，顶角是40°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°.故选C.
考点典例三、等边三角形的性质与判定
【例3】(2019▪黑龙江哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为 ．
【答案】2
【解析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的长．如图，连接AC交BD于点O
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4
∵CE∥AB
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°
∴∠DAO＝∠ACE＝30°
∴AE＝CE＝6，∴DE＝AD﹣AE＝2
∵∠CED＝∠ADB＝60°
∴△EDF是等边三角形，∴DE＝EF＝DF＝2
∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2
∴OC＝＝2
∴BC＝＝2
【举一反三】
(重庆市江津区2017-2018学年八年级上学期期末模拟)如图所示，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，Q为AC上一点，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则对下面四个结论判断正确的是( )
①点P在∠BAC的平分线上， ②AS=AR， ③QP∥AR， ④△BRP≌△QSP.
A. 全部正确; B. 仅①和②正确; C. 仅②③正确; D. 仅①和③正确
【答案】A
【解析】试题解析：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S.
∴∠ARP=∠ASP=90°.
∵PR=PS，AP=AP.
∴Rt△ARP≌Rt△ASP.
∴AR=AS，故(2)正确，∠BAP=∠CAP.
∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故(1)正确.
∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点.
∵AQ=PQ.
∴点Q是AC的中点.
∴PQ是边AB对的中位线.
∴PQ∥AB，故(3)正确.
∵∠B=∠C=60°，∠BRP=∠CSP=90°，BP=CP.
∴△BRP≌△QSP，故(4)正确.
∴全部正确．.
故选A．
考点典例四、线段垂直平分线的性质运用
【例3】．(2019•攀枝花)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：
(1)点D在BE的垂直平分线上；
(2)∠BEC＝3∠ABE．
【答案】见解析。
【解析】(1)连接DE，
∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE，
∵BD＝CE，∴BD＝DE，
∴点D在BE的垂直平分线上；
(2)∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，
∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE．
【举一反三】
(2018广西钦州市中考模拟)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长(大于AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE等于( )
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线性质求出AE=BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理求出DE即可.
解：在RtABC中，由勾股定理得：BC==4,
连接AE，
从作法可知：DE是AB的垂直评分线，
根据性质AE=BE，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC+CE=AE，
即3+(4-AE)=AE，
解得：AE=，
在Rt△ADE中，AD=AB=，由勾股定理得：DE+()=()，
解得：DE=.
故选C.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. (2018年湖北省松滋市中考模拟试题(一))如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，则AB为( )
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
【答案】C
【解析】试题解析：∵DE是AB的垂直平分线，
∵的周长
的周长
∴的周长﹣的周长=AB，
故选C．
点睛：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
2. (2018黑龙江大庆)如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为( )
A. 30° B. 15° C. 45° D. 25°
【答案】B
【解析】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，∴BE=CE=CD，∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，故选B．
3. (2019•浙江衢州•3分)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是( )
A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°
【答案】 D
【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE=75°，
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，
即x+180°-4x+75°=180°，
解得：x=25°，
∠CDE=180°-4x=80°.
故答案为：D.
4. (2019•天水)如图，等边的边长为2，则点的坐标为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点作于点，
∵是等边三角形，∴，．∴点的坐标为．故选B．
【名师点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理以及图形与坐标，正确作出辅助线是解答本题的关键．
5. (2019•滨州)如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】∵，∴，即，
在和中，，∴，∴，①正确；
∴，由三角形的外角性质得：，
∴°，②正确；
作于，于，如图所示：
则°，
在和中，，∴，∴，∴平分，④正确，正确的个数有3个，故选B．
6．在平面直角坐标系中，点A(，)，B(，)，动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B．
【解析】
考点：1．等腰三角形的判定；2．坐标与图形性质；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．
7.(浙江省上杭县2019学年模拟)如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是( )
A. △ABD≌△ACD B. AD为△ABC的高线 C. AD为△ABC的角平分线 D. △ABC是等边三角形
【答案】D
【解析】试题解析：∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，即AD是△ABC的高，AD为△ABC的角平分线，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD，
即选项A、B、C都正确，
根据已知只能推出AC=AB，不能推出AC、AB和BC的关系，
即不能得出△ABC是等边三角形，选项D错误，
故选D．
二、填空题
8. (2018广州市黄埔区中考数学一模)如图，已知△ABC和△AED均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AB相交于点F，如果AC=12，CD=4，那么BF的长度为_ _ ．
【答案】
【解析】试题分析：△ABC和△AED均为等边三角形，∴ , , , ∴ ，
∴~∆ACD,又 ,∴,∴,∴,∴,∴ 即，所以BF= 故答案为
9. （2019•重庆A卷）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC′沿BD翻折，得到
，DC与AB交于点E，连接，若AD=AC′=2，BD=3则点D到BC的距离为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接CC′，交BD于点M，过点D作DH⊥BC′于点H，
∵AD=AC'=2，D是AC边上的中点，∴DC=AD=2，
由翻折知，△BDC≌△BDC′，BD垂直平分CC′，∴DC=DC′=2，BC=BC′，CM=C′M，∴AD=AC'=DC′=2，
∴△ADC′为等边三角形，∴∠ADC=∠AC′D=∠C′AC=60°，
∵DC=DC′，∴∠DCC′=∠DC′C=×60°=30°，
在Rt△CDM中，∠DC′C=30°，DC′=2，∴DM=1，C′M=DM=，.BM=BD-DM=3-1=2，
在Rt△BMC中，BC′=，
∵，∴，∴.BM=BD-DM=3-1=2，
在Rt△C'DM中，，
∵，∴，∴，故选B．
10. ((2019▪黑龙江哈尔滨▪3分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为 ．
【答案】2
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，
BO＝OD＝4
∵CE∥AB
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°
∴∠DAO＝∠ACE＝30°
∴AE＝CE＝6
∴DE＝AD﹣AE＝2
∵∠CED＝∠ADB＝60°
∴△EDF是等边三角形
∴DE＝EF＝DF＝2
∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2
∴OC＝
∴BC＝
11. (2019四川巴中)如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP
＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝ ．
【答案】24+16．
【解析】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，
根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′＝BP＝8＝PP'；
由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，
在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，
∴S△ABP+S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'B+S△AP'P＝BP2+×PP'×AP＝24+16
故答案为：24+16．
12. (浙师大附属秀洲实验学校2017-2018学年九年级下学期第三次模拟)已知□ABCD中，AB=4， 与的角平分线交AD边于点E，F，且EF=3，则边AD的长为_______．
【答案】5或11；
【解析】∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，CD=AB=4，
∴∠AEB=∠CBE
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=4，
同理：DF=CD=4，
分两种情况：
①如图1所示：
∵EF=3，
∴AD=AE+EF+DF=4+3+4=11；
②如图2所示：
∵EF=4，AE=DF=4，
∴AF=1，∴AD=AF+DF=1+4=5；
综上所述：AD的长为11或5；
故答案为：5或11.
13. (2017新疆建设兵团第15题)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S=AC•BD．
正确的是 (填写所有正确结论的序号)
【答案】①④
【解析】
试题解析：①在△ABC和△ADC中，
∵，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠ABC=∠ADC，
故①结论正确；
②∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴OB=OD，AC⊥BD，
而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，
故②结论不正确；
③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；[来源:学科网]
故③结论不正确；
④∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD•AO+BD•CO=BD•(AO+CO)=AC•BD．
故④结论正确；
所以正确的有：①④
考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
14. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．
【答案】6或或
【解析】①如图1，
当，，则，∴底边长为6；
②如图2，
当，时，则，
∴，∴，∴此时底边长为；
③如图3，
当，时，则，∴，∴，
∴此时底边长为．故答案为：6或或．
【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论．
15. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．
【答案】70
【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．
【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16. (2019四川自贡)如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如
图所示，则cos(α+β)＝ ．
【答案】．
【解析】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．
在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠α＝30°．
同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．
又∵∠AEC＝60°，
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．
设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，
∴AD＝，
∴cos(α+β)＝＝．
故答案为：．
三、解答题
17. (2019•苏州)如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【解析】(1)∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
(2)∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键．
18. （2019•重庆）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE=FE．
【解析】（1）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，
又∠C=42°，∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°．
（2）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD=∠F，
∴AE=FE．
19. 如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．
(1)求证：OB=DC；
(2)求∠DCO的大小；
(3)设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．
【解答】(1)证明：
∵∠BAC=∠OAD=90°
∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO
∴∠DAC=∠OAB
在△AOB与△ADC中
∴△AOB≌△ADC，
∴OB=DC；
(2)∵∠BOC=130°，
∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°，
∵△AOB≌△ADC
∠AOB=∠ADC，
∴∠ADC+∠AOC=230°，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠DAO=90°，
∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°；
(3)当CD=CO时，
∴∠CDO=∠COD===70°
∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠ODA=45°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°
又∠AOB=∠ADC=α
∴α=115°；
当OD=CO时，
∴∠DCO=∠CDO=40°
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°
∴α=85°；
20. (2017内蒙古呼和浩特)如图，等腰三角形中，，分别是两腰上的中线．
(1)求证：；
(2)设与相交于点，点，分别为线段和的中点．当的重心到顶点的距离与底边长相等时，判断四边形的形状，无需说明理由．
【答案(1)证明见解析；(2)四边形DEMN是正方形.
【解析】
试题分析：(1)根据已知条件得到AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)根据三角形中位线的性质得到ED∥BC，ED=BC，MN∥BC，MN=BC，等量代换得到ED∥MN，ED=MN，推出四边形EDNM是平行四边形，由(1)知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形的性质得到OB=OC，由三角形的重心的性质得到O到BC的距离=BC，根据直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到结论．
试题解析：(1)由题意得，AB=AC，
∵BD，CE分别是两腰上的中线，∴AD=AC，AE=AB，∴AD=AE，
在△ABD和△ACE中 ，∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE；
(2)四边形DEMN是正方形，
理由：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=AB，AD=AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=BC，
∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN=BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由(1)知BD=CE，
又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，
在△BDC与△CEB中， ，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，
∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离=BC，∴BD⊥CE，
∴四边形DEMN是正方形．
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.三角形的重心；3.等腰三角形的性质．
21. （山东省淄博市2018年）(1)操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________．
(2)类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
(3)深入研究：
如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．
【答案】(1)MG=NG； MG⊥NG；(2)成立，MG=NG，MG⊥NG；(3)答案见解析
【解析】分析：(1)利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；
(2)同(1)的方法即可得出结论；
(3)同(1)的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．
详解：(1)连接BE，CD相较于H，如图1，
(2)连接CD，BE，相较于H，如图2，
同(1)的方法得，MG=NG，MG⊥NG；
(3)连接EB，DC，延长线相交于H，如图3.
点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键
相关学案
中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第02讲 实数的计算（解析版）学案： 这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第02讲 实数的计算（解析版）学案，共13页。学案主要包含了实数的运算，非负数的性质，实数的大小比较等内容，欢迎下载使用。
中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第23讲 视图与投影（解析版）学案： 这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第23讲 视图与投影（解析版）学案，共14页。学案主要包含了辨别立体图形的三种视图，利用三视图求几何体的面积，由三视图确定物体的形状，由视图确定立方体的个数，利用三视图求几何体的体积等内容，欢迎下载使用。
中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第19讲 统计的应用（解析版）学案： 这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第19讲 统计的应用（解析版）学案，共21页。学案主要包含了条形统计图与折线统计图，扇形统计图，频数分布直方图，利用统计量解决实际问题等内容，欢迎下载使用。
