2025年中考数学二轮专题复习讲义第13讲 二次函数求整点个数专项练习（含解析）

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1.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.求直线 y=−x+4与坐标轴围成的区域内(不包括边界)整点的个数.
2.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知抛物线 y=x²+2x,当 −8≤x≤8时，求抛物线上整点的个数.
3.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知抛物线 y=x²−2,将该抛物线与x轴围成的区域(含边界)记作W，求区域W内整点的个数.
4.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，把直线 y=x与抛物线 y=x²−x−3围成的封闭区域(不包含边界)记作W，求区域W内整点的个数.
5.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.把双曲线 y=2x与抛物线 y=−x²+2x+3围成的封闭区域(包含边界)记为W，求区域W内整点的个数.
设问进阶练
例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=x²−4x+3.我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
(1)将该抛物线与直线 y=x+1l 所围成的封闭区域(不含边界)记为 W₁,求 W₁内整点的个数；
(2)将抛物线沿x轴翻折得到新的抛物线y₁，将原抛物线与新 y₁,抛物线围成的封闭区域(包含边界)记为 W₂,求 W₂内整点的个数；
(3) 创新题·抛物线平移求整点将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到一个新抛物线y₂.将 y₂.新抛物线y₂与双曲线 y₂ y=3x,直线 y=3x≤1)围成的封闭区域(不含边界)记为 W₃,求 W₃内整点的个数.
综合强化练
1.在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax²+bx+3与x轴交于 A−10,,B 两点,且经过点C(1,4).
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
(2)设点M(x,y)为抛物线上一点,当 −3≤x≤8时, m≤y≤n,求代数式n-m的值； n−m
(3)(三种图象围成的区域)我们把横、纵坐标都是整数的点记为整点，抛物线与直线 y=x的上方部分和反比例函数 y=1x的图象在第一象限围成的封闭图形中(不含边界)有多少个整点?并写出这些整点的坐标.
作图区 答题区
2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线( C₁的解析式为 y=x2−72x.我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点.
(1)求抛物线( C₁与x轴围成的封闭区域(包含边界)内整点的个数；
(2)(两条抛物线围成的区域)若抛物线 C₁关于原点对称的抛物线为( C₂.
①求抛物线( C₂的函数表达式；
②直线 y=−1分别与 C₁,C₂围成两个封闭的区域W和G，求封闭区域W和G(不含边界)内整点个数的比.
作图区 答题区
一阶 方法突破练
1. 解:令x=0,得y=4,令y=0,得x=4,
∴直线y=-x+4 与坐标轴围成的区域内(不包括边界)整点的个数,即为0∴横坐标为1的整点(不包括边界)有2个，同理横坐标为2的整点(不包括边界)有1个，横坐标为3 的整点(不包括边界)没有，
∴直线与坐标轴围成的区域内(不包括边界)共有3个整点.
2.解：∵横、纵坐标都是整数的点叫做整点，
∴当x=1时,y=3,当x=2时,y=8,…,即当x取整数时，y都为整数，∴当-8≤x≤8时，抛物线上的整点有8-(-8)+1=17个.
3.解：∵ 抛物线的解析式为 y=x²−2,
令 γ= 0,解 得x₁ = 2,x2=−2,
如解图，当 −2≤x≤2时,在 x 轴上有(-1,0),(0,0),(1,0)三个整点；
在区域W内部有(0，-1)一个整点；
在抛物线上有(-1,-1),(0,-2),(1,-1)三个整点.
∴区域W内(含边界)整点的个数为7个.
4.解:联立 y=xy=x2−x−3,解得 x1=3y1=3,x2=−1y2=−1,如解图，画出直线y=x与抛物线 y=x²−x−3,在区域 W 内有(0,-2),
(0,-1),(1,0),(1,-1),
(1,-2),(2,0),(2,1)共7个整点,
∴区域W内(不包含边界)整点的个数为7个.
5.解：如解图，画出双曲线 y=2x与抛物线 y=−x²+2x+3,抛物线上有(1,4),(2,3)两个整点;双曲线上有(1,2),(2,1)两个整点;在区域W内有(1,3),(2,2)两个整点.∴区域W内(包含边界)整点的个数为6个.
二阶 设问进阶练
例 解：(1)画出抛物线 y=x²−4x+3与直线y=x+1 如解图①所示，
此时,W₁ 内(不含边界)的整点有(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)共8个;
(2)抛物线 y=x²−4x+3沿 x轴翻折得到新的抛物线 y₁=−x²+4x−3,
画出抛物线y与抛物线y₁如解图②所示，两抛物线交点为(1,0),(3,0), 此时,W₂内(包含边界)的整点有(1,0),(2,-1),(2,0),(2,1),(3,0)共5个;
(3)抛物线 y=x²−4x+3向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到新抛物线 y₂=x−1²−3,画出新抛物线y₂与双曲线 y=3x及直线y=3(x≤1),如解图③所示，
此时,W₃内(不含边界)的整点为(-1,2),(0,2),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,0),(2,-1)共13个.
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵抛物线 y=ax²+bx+3与x轴交于A(-1,0),B 两点,且经过点 C(1,4),
∴将A，C两点的坐标代入，
得 a−b+3=0a+b+3=4,解得 a=−1b=2,
∴抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3,
令y=0,解得x=-1或x=3,
∴ 点 B 的坐标为(3,0);
(2)由(1)知抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3,
∴ 抛物线的对称轴为直线x=1,-1<0,
∵点M(x,y)为抛物线上一点,当-3≤x≤8时,m≤y≤n,∴当x=1时,y取得最大值,∴n=4,
∵|8-1|>|1-(-3)|,
∴当x=8时,y取得最小值,∴m=-45,∴n-m=49;
(3)如解图，画出抛物线 y=−x²+2x+3与直线y=x，反比例函数 y=1x的图象(根据函数的解析式画出函数图象)，在封闭区域内有(1，2)，(1，3)两个整点(选区域内为整数的横坐标，确定纵坐标可以取整数的点).
∴抛物线与直线y=x的上方部分和反比例函数 y=1x的图象在第一象限围成的封闭图形中(不含边界)整点个数为2个,整点坐标为(1,2),(1,3).
2.解:(1)如解图①,画出函数 y=x2−72x的图象，由解图可知，抛物线 C₁ 与x 轴围成的封闭区域(包含边界)内的整点有(0,0),(1,0),(1,-1),(1,-2),(2,0),(2,-1),(2,-2),(2,-3),(3,0),(3,-1),∴抛物线C₁与x轴围成的封闭区域内的整点个数为10个;
(2)①∵抛物线 C₂ 与抛物线 C₁ 关于原点对称,∴抛物线C₂的函数表达式为 y=−x2−72x;
②如解图②,画出抛物线C₁,C₂及直线y=-1,由解图可知区域 W(不含边界)内的整点有(1，-2),(2,-2)共2个,区域G(不含边界)内的整点有(-3,0),(-3,1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,0),(-1,1),(-1,2)共8个,∴封闭区域W和G内(不含边界)整点个数的比为1:4.