还剩56页未读，
继续阅读
所属成套资源：第二十一章 一元二次方程 单元测试
成套系列资料，整套一键下载
第21章 一元二次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）解析版
展开
这是一份第21章 一元二次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）解析版，共59页。
第21章 一元二次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）知识点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 解题策略：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点二、一元二次方程的解法1．基本思想 一元二次方程一元一次方程2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．解题策略：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．知识点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.解题策略：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.解题策略： 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.考点1：一元二次方程的有关概念【例题1】（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）A． B．C． D．【变式1】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）一元二次方程的二次项系数是，则一次项系数为（ ）A． B．−2 C． D．【变式2】（23-24九年级上·广东深圳·期末）如果是关于x的一元二次方程的一个实数根，那么 ；【变式3】（2024九年级上·江苏·专题练习）若是关于x的一元二次方程，求m的值．考点2：一元二次方程的解法【例题2】（2024九年级上·全国·专题练习）解方程：．【变式1】（23-24九年级上·福建厦门·期末）（1）用配方法解方程：（2）用适当的方法解方程：【变式2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：(1) (2)【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：(1)； (2)．考点3：一元二次方程根的判别式【例题3】（2024九年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个【变式1】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（ ）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ．【变式3】（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个实数根，求k的取值范围．考点4：一元二次方程根与系数的关系【例题4】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程一个实根为1，则另一个实根为（ ）A．2 B．3 C． D．【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（ ）A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的一元二次方程有一个根为3，则另一个根为 ．【变式3】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知，是方程的两个实数根，求代数式的值．考点5：一元二次方程的应用【例题5】（2024九年级上·江苏·专题练习）进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ）A． B．C． D． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ．【变式2】（22-23九年级上·四川成都·期末）某超市经销一种商品，每件成本为40元．经市场调研，当该商品每件的销售价为50元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．(1)求y与x的函数表达式；(2)若超市某月销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少元？【变式3】（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．(1)求、两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？方法1：整体思想【例题6】（2024九年级上·全国·专题练习）若m，n为方程的两个实数根，则（ ）A． B． C． D．【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【变式2】（22-23九年级上·内蒙古包头·期末）若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）若a是方程的一个根，求代数式的值．方法2：降次思想【例题7】（22-23八年级上·山东淄博·期中）若实数x满足，则代数式的值为 ．【变式1】（四川内江·中考真题）若实数x满足，则= ．【变式2】（20-21八年级上·重庆万州·期中）若实数x满足，则的值为 ．【变式3】（23-24九年级上·山东德州·期末）已知实数m，n满足．(1)求的值；(2)求的值；方法3：分类讨论思想【例题8】（22-23九年级上·山东济宁·期中）已知三角形两边长分别为和，第三边的长为二次方程的根，则这个三角形的周长为（ ）A．或 B． C．或 D．【变式1】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）A．12 B．14 C．12或14 D．24【变式2】（23-24九年级上·新疆·期中）已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 .【变式3】（23-24八年级下·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根．(1)求实数的取值范围：(2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长．一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A． B．C． D．2．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）A．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定3．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．4．（2022·青海·中考真题）已知方程的一个根是，则的值为（ ）A． B． C． D．5．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）A． B．2024 C． D．1二、填空题6．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ．7．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．8．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．三、解答题9．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 10．（2023·辽宁大连·中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．一、单选题1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．有一个实数根2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的常数项是（ ）A．2 B．3 C． D．13．（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）A．ax2+bx+c=0 B．C． D．4．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解方程，得（ ）A． B． C． D．5．（22-23九年级上·山东济宁·期中）将式子化为的形式，其结果为（ ）A． B． C． D．6．（23-24九年级上·北京·期末）某药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）A． B．C． D．7．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列方程中有一个解为的是（ ）A． B．C． D．8．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）方程的根是（ ）A． B． C． D．9．（2024九年级上·全国·专题练习）关于x的方程，则的值是（ ）A． B．1 C．或1 D．3或10．（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数x满足，则代数式的值为（ ）A．7 B． C．7或 D．或1二、填空题11．（22-23九年级上·海南海口·期中）一元二次方程的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ．12．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围为 ．13．（23-24九年级上·北京·期末）已知，，则 ．14．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根．15．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知，关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ．16．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则代数式的最小值等于 ．17．（23-24九年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ．18．（2024九年级上·江苏·专题练习）（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ．（2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ．三、解答题19．（23-24九年级上·福建福州·期末）解方程：(1)； (2)．20．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程：(1) (2)(3) (4)21．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)任取一个符合条件的的值，解上述方程．22．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，）23．（22-23九年级上·贵州六盘水·期末）由于疫情反弹，某社区开展了连续全员核酸检测．2022年11月11日，医院派出16名医护人员在该社区设置了两个采样点进行核酸采样，当天共采样12600份．已知采样点平均每人采样780份，采样点平均每人采样800份．(1)求两个采样点各有多少名医护人员；(2)11月12日，医院继续派出这16名医护人员前往两个采样点进行核酸采样，这天，社区附近的某住宿区也纳入社区采样范围，同时重新规划，决定从采样点抽调部分医护人员到采样点．经调查发现，采样点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，采样点人均采样量不变，最后当天共采样12800份．求从采样点抽调了多少名医护人员到采样点．24．（23-24九年级上·北京海淀·期中）列一元二次方程解决实际问题：如图，某校计划在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．若要使草坪的面积为，求道路宽的长度．25．（22-23九年级上·宁夏银川·期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请问在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？26．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为 (1)用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围；(2)多长时间后的面积为？(3)多长时间后P点、Q点的距离为52？第21章 一元二次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）知识点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 解题策略：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点二、一元二次方程的解法1．基本思想 一元二次方程一元一次方程2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．解题策略：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．知识点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.解题策略：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.解题策略： 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.考点1：一元二次方程的有关概念【例题1】（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．本题根据一元二次方程的定义求解．【详解】解：A、该方程属于分式方程，不符合题意；B、该方程中，当a＝0时，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意；C、化简得：符合一元二次方程的定义，符合题意；D、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意；故选：C．【变式1】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）一元二次方程的二次项系数是，则一次项系数为（ ）A． B．−2 C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把右式移到左边，把方程化为一般式，再根据一元二次方程的一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴二次项系数是，一次项系数为，故选：【变式2】（23-24九年级上·广东深圳·期末）如果是关于x的一元二次方程的一个实数根，那么 ；【答案】2【分析】本题考查二元一次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键．把代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．【详解】解：把x=1代入方程得，解得．故答案为：2．【变式3】（2024九年级上·江苏·专题练习）若是关于x的一元二次方程，求m的值．【答案】4【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义解答即可，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．【详解】解：∵∴且，解得．即m的值为4．考点2：一元二次方程的解法【例题2】（2024九年级上·全国·专题练习）解方程：．【答案】，【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键．利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：，，，，，解得：，【变式1】（23-24九年级上·福建厦门·期末）（1）用配方法解方程：（2）用适当的方法解方程：【答案】（1）， （2），【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法解一元二次方程．（1）用配方法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可．【详解】解：（1），解得：，；（2）或，解得：，【变式2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键，（1）先整理方程，利用提取公因式方法求解即可；（2）先整理方程，利用因式分解法求解即可，【详解】（1）解：，∴，则，∴或，解得：，．（2），化简得，，，或，解得，，．【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，．【分析】此题考查了解一元二次方程配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】（1）解：原方程可化为．配方，得，即．两边直接开平方，得，所以或，所以，；（2）解：原方程可化为．配方，得，即．两边直接开平方，得，所以或，所以，．考点3：一元二次方程根的判别式【例题3】（2024九年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．根据直线不经过第四象限，可得，分情况讨论：当时，方程变为一元一次方程，有1个实数根；当时，，方程有两个不相等的实数根，即可进行选择．【详解】解：∵直线不经过第四象限，∴，解得，当时，关于x的方程化为，∴方程有1个实数根；当时，，∴方程有两个不相等的实数根，综上所述，方程的实数根为1或2个，故选：D．【变式1】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（ ）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．【详解】解：∵，∴一元二次方程没有实数根，故选：．【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ．【答案】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式为，代入数据求解即可【详解】解：，，，解得，故答案为：．【变式3】（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个实数根，求k的取值范围．【答案】且【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式的定义得到，且，即可求解．【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，且，解得：，且考点4：一元二次方程根与系数的关系【例题4】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程一个实根为1，则另一个实根为（ ）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“是一元二次方程的两根时，”是解题的关键，根据两根之和等于，结合方程的一个根是1，即可求出方程的另一个根．【详解】解：，∴方程的两根之和，∴方程的另一根．故选：D．【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（ ）A． B． C． D． 【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，可以得到关于y的方程的根符合，，然后整理化简，即可解答本题．【详解】解：设关于y的方程的两根分别为，，∵关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，∴，，∴，，化简，得：，，整理可得，，故选：A．【变式2】（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的一元二次方程有一个根为3，则另一个根为 ．【答案】【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得到，然后解关于t的一次方程即可．【详解】解：设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得，，解得，即方程的另一个根为．故答案为【变式3】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知，是方程的两个实数根，求代数式的值．【答案】【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．通过解一元二次方程可得出、，代入中即可求出结论．【详解】解：当时，原方程为，即，解得：，（舍去）；当时，原方程为，即，解得：，（舍去）．,是方程的两个实数根，，，考点5：一元二次方程的应用【例题5】（2024九年级上·江苏·专题练习）进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ）A． B．C． D． 【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人，第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染．根据题意得：．故选：A．【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ．【答案】【分析】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识—增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．【详解】解：设每个季度的增长率为 x，列方程得，故答案为：【变式2】（22-23九年级上·四川成都·期末）某超市经销一种商品，每件成本为40元．经市场调研，当该商品每件的销售价为50元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．(1)求y与x的函数表达式；(2)若超市某月销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少元？【答案】(1)(2)这个月该商品每件的销售价为60元【分析】本题考查了一元二次方程的应用及一次函数的应用的知识，此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得函数解析式和一元二次方程．（1）结合“当该商品每件的销售价为50元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件”进行列式即可作答．（2）根据等量关系“利润（售价进价）销量”列出一元二次方程，进行求解即可．【详解】（1）解：根据题意， ∴y与x的函数表达式为：；（2）解：设每个月的销售利润为w元， 即，由题意得：，即，解得：，∴这个月该商品每件的销售价为60元【变式3】（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．(1)求、两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人(2)从B检测队中抽调了2人到A检测队【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人，依题意得：，分解得：答：A检测队有6人，B检测队有7人；（2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人，依题意得：，解得：，解得：，，由于从B对抽调部分人到A检测队，则故，答：从B检测队中抽调了2人到A检测队．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程方法1：整体思想【例题6】（2024九年级上·全国·专题练习）若m，n为方程的两个实数根，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据一元二次方程的定义得到m2=2016﹣2m，则m2+3m+n可化为2016+m+n，再根据根用途系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：m为方程的实数根，∴，即，∴，∵m，n为方程的两个实数根，∴，∴．故选：A．【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，∴，∴．故选：B．【变式2】（22-23九年级上·内蒙古包头·期末）若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．【答案】4【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根，∴，∴，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，掌握整体代入思想是解题的关键【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）若a是方程的一个根，求代数式的值．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将a代入方程再将方程变换得到，，代入所求代数式即可求解；【详解】解：∵a是方程的一个根，∴，，∴．方法2：降次思想【例题7】（22-23八年级上·山东淄博·期中）若实数x满足，则代数式的值为 ．【答案】2022【分析】根据，可得，从而得到，再把原式变形为，然后代入，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴故答案为：2022【点睛】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键【变式1】（四川内江·中考真题）若实数x满足，则= ．【答案】﹣2020【详解】解：∵，∴，∴== ==4﹣2024=﹣2020，故答案为﹣2020．【变式2】（20-21八年级上·重庆万州·期中）若实数x满足，则的值为 ．【答案】-2019【分析】先将变形为，再将要求的式子逐步变形，将整体代入降次，最后可化简求得答案．【详解】∵，∴，，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解在代数式化简求值中的应用，将已知条件恰当变形并将要求的式子进行因式分解，是解题的关键．【变式3】（23-24九年级上·山东德州·期末）已知实数m，n满足．(1)求的值；(2)求的值；【答案】(1)(2)【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解以及分式的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）根据多项式乘多项式的法则把原式展开，把已知条件代入计算即可；（2）先提公因式，得，再把代入计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：∵∴原式；方法3：分类讨论思想【例题8】（22-23九年级上·山东济宁·期中）已知三角形两边长分别为和，第三边的长为二次方程的根，则这个三角形的周长为（ ）A．或 B． C．或 D．【答案】D【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系，运用因式分解法求出方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：，解得，，∴当三边的长为，，，不能构成三角形，不符合题意；当三边的长为，，，能构成三角形，符合题意；∴周长为，故选：．【变式1】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）A．12 B．14 C．12或14 D．24【答案】A【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形的三边关系，利用因式分解法求出已知方程的解，再利用三角形三边关系确定出第三边长，即可求出周长．【详解】解：方程，分解因式得：，可得或，解得：或，∵三角形第三边的长是方程的根，∴第三边的长为5或7，当第三边长为5时，周长为；当第三边长为7时，，不能构成三角形，舍去，综上，该三角形的周长为12．故选：A．【变式2】（23-24九年级上·新疆·期中）已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 .【答案】16【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【详解】解： ,解得或，当时，，不能构成三角形，舍去；当时，，能构成三角形，此时三角形的周长为，故答案为：16【变式3】（23-24八年级下·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根．(1)求实数的取值范围：(2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长．【答案】(1)(2)，【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式之间的关系，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间的关系是解题的关键．（1）由根的判别式即可得出答案；（2）由题意得出方程的一个根为，将代入求出的值，再根据三角形三边之间的关系进行判断，即可得出答案．【详解】（1）解：由题意得：，解得：；（2）解：由题意可知：，只能取或，即是方程的一个根，将代入得：，解得：或，当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，能构成一个等腰三角形；当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，不能构成一个三角形；综上所述，这个三角形另外两边的长分别为，．一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；B、，解得：，故本选项符合题意；C、，，解得，故本选项不符合题意；D、，，解得，故本选项不符合题意．故选：B．2．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）A．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【答案】C【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论．【详解】解： ∵，∴，∴ ，，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：C．3．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案．【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，故选：B．4．（2022·青海·中考真题）已知方程的一个根是，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．把代入一元二次方程得到，求解即可得出的值．【详解】解：把代入方程得：，解得：．故选：B．5．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）A． B．2024 C． D．1【答案】D【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．用配方法把移项，配方，化为，即可．【详解】解：∵，移项得，，配方得，，即，∴，，∴．故选：D．二、填空题6．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ．【答案】/【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可．【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根，∴，∴，故答案为：．7．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．【答案】4【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设方程的另一个根为m，∵方程有一个根为，∴，解得：．故答案为：4．8．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．【答案】/0.5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先根据根与系数的关系得到，x1x2=−2，然后把化简为然后整体代入即可．【详解】解：方程的两根分别为，，，x1x2=−2，．故答案为：．三、解答题9．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 【答案】的长为米或米【分析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解．【详解】解：设米，则米，根据题意得，，解得：，答：的长为米或米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．10．（2023·辽宁大连·中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．【答案】【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得．【详解】解：设年买书资金的平均增长率为，由题意得：，解得或（不符合题意，舍去），答：年买书资金的平均增长率为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键一、单选题1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．有一个实数根【答案】A【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况，直接利用根的判别式计算即可选出正确答案．【详解】解：，，此方程有两个相等的实数根．故选：A．2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的常数项是（ ）A．2 B．3 C． D．1【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键，解题时要注意查看是否是一元二次方程一般形式．任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此可得答案．【详解】把化成一般式，得，∴常数项是故选：C3．（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）A．ax2+bx+c=0 B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答．【详解】解：A、 当时是一元一次方程，而不是一元二次方程，故本选项不合题意；B、，不是一元二次方程，故本选项不合题意；C、，是一元二次方程，故本选项符合题意；D、，不是一元二次方程，故本选项不合题意．故选：．4．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解方程，得（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟记一元二次方程的常见解法是解决问题的关键．【详解】解：，∵，∴，∴，故选：A．5．（22-23九年级上·山东济宁·期中）将式子化为的形式，其结果为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤求解即可．【详解】解：故选C6．（23-24九年级上·北京·期末）某药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．根据“药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元”列出方程即可．【详解】解：依题意得：．故选：B．7．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列方程中有一个解为的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断．【详解】解：A、当时，，所以不是方程的解；B、当时，，所以不是方程的解；C、当时，，所以不是方程的解；D、当时，，所以是方程的解．故选：D．8．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）方程的根是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，运用直接开平方法求解即可．【详解】解：∴，∴，故选：C9．（2024九年级上·全国·专题练习）关于x的方程，则的值是（ ）A． B．1 C．或1 D．3或【答案】B【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，求出t的值，进而可得出结论，熟知把某个式子看成一个整体，用一个变量去替代它，从而使问题得到简化，这叫换元法是解此题的关键．【详解】解：设，则此方程可化为，∴，∴或，解得，∴的值是1或．当时，，∵，∴此方程无解，∴的值是1．故选：B．10．（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数x满足，则代数式的值为（ ）A．7 B． C．7或 D．或1【答案】A【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将看作一个整体，再用换元法解方程求出的值即可，解题的关键是掌握换元法解方程．【详解】解：设，则原方程可化为：，解得；当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去；当时，，即，，故的值为6；∴．故选：A．二、填空题11．（22-23九年级上·海南海口·期中）一元二次方程的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ．【答案】 1 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式：，首先把一元二次方程化为一般形式，然后进行解答即可．【详解】解：∵∴∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为，故答案为：；1；．12．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围为 ．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，根据一元二次方程的一般形式即可解答．【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴，即，故答案为：．13．（23-24九年级上·北京·期末）已知，，则 ．【答案】或【分析】本题主要考查运用一元二次方程的根解代数式的值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，结合，，将转化为关于的一元二次方程的两根，由此可求出的值，代入求解即可．【详解】解：∵，，∴是关于的一元二次方程的两根，∴，解得，，∴或，∴或，故答案为：或．14．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根．【答案】有两个不相等的【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：由题意得，，∴原方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的．15．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知，关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ．【答案】【分析】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键．由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，解得：．故答案为：．16．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则代数式的最小值等于 ．【答案】11【分析】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用；根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．【详解】解：，，则原式化为：，，代数式的最小值等于，故答案为：11．17．（23-24九年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定义求出k的值．先根据一元二次方程的定义求出k的值，然后再代入不等式，解不等式即可．【详解】解：是一元二次方程，且，解得：且，， 原不等式为：，即∴，故答案为：．18．（2024九年级上·江苏·专题练习）（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ．（2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ．【答案】 2042【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．（1）根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，再整体代入即可求出结论．（2）由m，n是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案．【详解】解：（1）∵一元二次方程的两根为，∴，∴．故答案为：．（2）∵m，n是方程的两个实数根，∴，∴，∴．故答案为：2042．三、解答题19．（23-24九年级上·福建福州·期末）解方程：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴或，解得；（2）解：∵，∴，∴或，解得．20．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程：(1) (2)(3) (4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，（1）移项后再配方即可求解；（2）移项后再配方即可求解；（3）直接配方即可求解；（4）移项后再配方即可求解；解题的关键是掌握：解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将常数项移到方程的另一边，再将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；②在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．【详解】（1）解：，移项，得：，配方，得：，合并，得：，直接开平方，得：，解得：，；（2），移项，得：，配方，得：，合并，得：，直接开平方，得：，解得：，；（3），配方，得：，合并，得：，直接开平方，得：，解得：，；（4），移项，得：，配方，得：，合并，得：，直接开平方，得：，解得：，．21．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)任取一个符合条件的的值，解上述方程．【答案】(1)(2)（答案不唯一）可以取，过程见解析【分析】本题主要考查的是根的判别式，因式分解法解方程的有关知识．（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求解即可；（2）本题答案不唯一，可以取，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．∴，解得；（2）解：取，则原方程为即，∴，解得：，．22．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，）【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少(2)小球滚动约用了秒【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，答：小球的滚动速度平均每秒减少．（2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为，由题意得：，整理得：，解得：或，当时，，不符题意，舍去，，答：小球滚动约用了秒．23．（22-23九年级上·贵州六盘水·期末）由于疫情反弹，某社区开展了连续全员核酸检测．2022年11月11日，医院派出16名医护人员在该社区设置了两个采样点进行核酸采样，当天共采样12600份．已知采样点平均每人采样780份，采样点平均每人采样800份．(1)求两个采样点各有多少名医护人员；(2)11月12日，医院继续派出这16名医护人员前往两个采样点进行核酸采样，这天，社区附近的某住宿区也纳入社区采样范围，同时重新规划，决定从采样点抽调部分医护人员到采样点．经调查发现，采样点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，采样点人均采样量不变，最后当天共采样12800份．求从采样点抽调了多少名医护人员到采样点．【答案】(1)采样点有10名医护人员，采样点有6名医护人员(2)从采样点抽调了2名医护人员到采样点【分析】本题考查二元一次方程组及一元二次方程解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程是解决问题的关键．（1）设采样点有名医护人员，采样点有名医护人员，由等量关系列方程组求解即可得到答案；（2）设从采样点抽调了名医护人员到采样点，由等量关系列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：设采样点有名医护人员，采样点有名医护人员，依题意得：，解得，答：采样点有10名医护人员，采样点有6名医护人员；（2）解：设从采样点抽调了名医护人员到采样点，依题意得：，整理得，解得（不符合题意，舍去），答：从采样点抽调了2名医护人员到采样点．24．（23-24九年级上·北京海淀·期中）列一元二次方程解决实际问题：如图，某校计划在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．若要使草坪的面积为，求道路宽的长度．【答案】道路宽的长度为．【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路宽的长度为，根据题意列出方程，然后求解即可，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．【详解】解：设道路宽的长度为，由题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：道路宽的长度为25．（22-23九年级上·宁夏银川·期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请问在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？【答案】30元【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解是解题的关键．设每箱降价元，则每箱的利润为元，每天可售出箱，利用这种饮料每天销售利润=每箱的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每箱饮料获利大于80元，即可确定的值．【详解】解：设每箱降价元，则每箱的利润为元，每天可售出箱，依题意得：，整理得：，解得：，．∵每箱饮料获利大于80元，∴，∴，∴．答：要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价30元．26．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为 (1)用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围；(2)多长时间后的面积为？(3)多长时间后P点、Q点的距离为52？【答案】(1)，，(2)或时，的面积为(3)秒【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.注意分类思想的运用.（1）根据题意即可得到结论；（2）根据题意列方程即可得到结论；（3）根据勾股定理解方程即可得到结论.【详解】（1）解：；；的取值范围为：；（2）设秒后,的面积为根据题意得，解得：，答: 经过或时，的面积为；（3）设秒后点、点的距离为，根据题意得，，解得： 或 (不合题意舍去)，答：秒后点、点的距离为 ．
第21章 一元二次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）知识点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 解题策略：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点二、一元二次方程的解法1．基本思想 一元二次方程一元一次方程2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．解题策略：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．知识点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.解题策略：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.解题策略： 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.考点1：一元二次方程的有关概念【例题1】（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）A． B．C． D．【变式1】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）一元二次方程的二次项系数是，则一次项系数为（ ）A． B．−2 C． D．【变式2】（23-24九年级上·广东深圳·期末）如果是关于x的一元二次方程的一个实数根，那么 ；【变式3】（2024九年级上·江苏·专题练习）若是关于x的一元二次方程，求m的值．考点2：一元二次方程的解法【例题2】（2024九年级上·全国·专题练习）解方程：．【变式1】（23-24九年级上·福建厦门·期末）（1）用配方法解方程：（2）用适当的方法解方程：【变式2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：(1) (2)【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：(1)； (2)．考点3：一元二次方程根的判别式【例题3】（2024九年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个【变式1】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（ ）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ．【变式3】（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个实数根，求k的取值范围．考点4：一元二次方程根与系数的关系【例题4】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程一个实根为1，则另一个实根为（ ）A．2 B．3 C． D．【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（ ）A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的一元二次方程有一个根为3，则另一个根为 ．【变式3】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知，是方程的两个实数根，求代数式的值．考点5：一元二次方程的应用【例题5】（2024九年级上·江苏·专题练习）进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ）A． B．C． D． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ．【变式2】（22-23九年级上·四川成都·期末）某超市经销一种商品，每件成本为40元．经市场调研，当该商品每件的销售价为50元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．(1)求y与x的函数表达式；(2)若超市某月销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少元？【变式3】（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．(1)求、两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？方法1：整体思想【例题6】（2024九年级上·全国·专题练习）若m，n为方程的两个实数根，则（ ）A． B． C． D．【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【变式2】（22-23九年级上·内蒙古包头·期末）若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）若a是方程的一个根，求代数式的值．方法2：降次思想【例题7】（22-23八年级上·山东淄博·期中）若实数x满足，则代数式的值为 ．【变式1】（四川内江·中考真题）若实数x满足，则= ．【变式2】（20-21八年级上·重庆万州·期中）若实数x满足，则的值为 ．【变式3】（23-24九年级上·山东德州·期末）已知实数m，n满足．(1)求的值；(2)求的值；方法3：分类讨论思想【例题8】（22-23九年级上·山东济宁·期中）已知三角形两边长分别为和，第三边的长为二次方程的根，则这个三角形的周长为（ ）A．或 B． C．或 D．【变式1】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）A．12 B．14 C．12或14 D．24【变式2】（23-24九年级上·新疆·期中）已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 .【变式3】（23-24八年级下·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根．(1)求实数的取值范围：(2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长．一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A． B．C． D．2．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）A．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定3．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．4．（2022·青海·中考真题）已知方程的一个根是，则的值为（ ）A． B． C． D．5．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）A． B．2024 C． D．1二、填空题6．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ．7．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．8．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．三、解答题9．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 10．（2023·辽宁大连·中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．一、单选题1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．有一个实数根2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的常数项是（ ）A．2 B．3 C． D．13．（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）A．ax2+bx+c=0 B．C． D．4．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解方程，得（ ）A． B． C． D．5．（22-23九年级上·山东济宁·期中）将式子化为的形式，其结果为（ ）A． B． C． D．6．（23-24九年级上·北京·期末）某药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）A． B．C． D．7．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列方程中有一个解为的是（ ）A． B．C． D．8．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）方程的根是（ ）A． B． C． D．9．（2024九年级上·全国·专题练习）关于x的方程，则的值是（ ）A． B．1 C．或1 D．3或10．（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数x满足，则代数式的值为（ ）A．7 B． C．7或 D．或1二、填空题11．（22-23九年级上·海南海口·期中）一元二次方程的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ．12．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围为 ．13．（23-24九年级上·北京·期末）已知，，则 ．14．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根．15．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知，关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ．16．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则代数式的最小值等于 ．17．（23-24九年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ．18．（2024九年级上·江苏·专题练习）（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ．（2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ．三、解答题19．（23-24九年级上·福建福州·期末）解方程：(1)； (2)．20．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程：(1) (2)(3) (4)21．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)任取一个符合条件的的值，解上述方程．22．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，）23．（22-23九年级上·贵州六盘水·期末）由于疫情反弹，某社区开展了连续全员核酸检测．2022年11月11日，医院派出16名医护人员在该社区设置了两个采样点进行核酸采样，当天共采样12600份．已知采样点平均每人采样780份，采样点平均每人采样800份．(1)求两个采样点各有多少名医护人员；(2)11月12日，医院继续派出这16名医护人员前往两个采样点进行核酸采样，这天，社区附近的某住宿区也纳入社区采样范围，同时重新规划，决定从采样点抽调部分医护人员到采样点．经调查发现，采样点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，采样点人均采样量不变，最后当天共采样12800份．求从采样点抽调了多少名医护人员到采样点．24．（23-24九年级上·北京海淀·期中）列一元二次方程解决实际问题：如图，某校计划在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．若要使草坪的面积为，求道路宽的长度．25．（22-23九年级上·宁夏银川·期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请问在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？26．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为 (1)用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围；(2)多长时间后的面积为？(3)多长时间后P点、Q点的距离为52？第21章 一元二次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）知识点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 解题策略：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点二、一元二次方程的解法1．基本思想 一元二次方程一元一次方程2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．解题策略：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．知识点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.解题策略：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.解题策略： 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.考点1：一元二次方程的有关概念【例题1】（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．本题根据一元二次方程的定义求解．【详解】解：A、该方程属于分式方程，不符合题意；B、该方程中，当a＝0时，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意；C、化简得：符合一元二次方程的定义，符合题意；D、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意；故选：C．【变式1】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）一元二次方程的二次项系数是，则一次项系数为（ ）A． B．−2 C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把右式移到左边，把方程化为一般式，再根据一元二次方程的一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴二次项系数是，一次项系数为，故选：【变式2】（23-24九年级上·广东深圳·期末）如果是关于x的一元二次方程的一个实数根，那么 ；【答案】2【分析】本题考查二元一次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键．把代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．【详解】解：把x=1代入方程得，解得．故答案为：2．【变式3】（2024九年级上·江苏·专题练习）若是关于x的一元二次方程，求m的值．【答案】4【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义解答即可，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．【详解】解：∵∴且，解得．即m的值为4．考点2：一元二次方程的解法【例题2】（2024九年级上·全国·专题练习）解方程：．【答案】，【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键．利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：，，，，，解得：，【变式1】（23-24九年级上·福建厦门·期末）（1）用配方法解方程：（2）用适当的方法解方程：【答案】（1）， （2），【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法解一元二次方程．（1）用配方法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可．【详解】解：（1），解得：，；（2）或，解得：，【变式2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键，（1）先整理方程，利用提取公因式方法求解即可；（2）先整理方程，利用因式分解法求解即可，【详解】（1）解：，∴，则，∴或，解得：，．（2），化简得，，，或，解得，，．【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，．【分析】此题考查了解一元二次方程配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】（1）解：原方程可化为．配方，得，即．两边直接开平方，得，所以或，所以，；（2）解：原方程可化为．配方，得，即．两边直接开平方，得，所以或，所以，．考点3：一元二次方程根的判别式【例题3】（2024九年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．根据直线不经过第四象限，可得，分情况讨论：当时，方程变为一元一次方程，有1个实数根；当时，，方程有两个不相等的实数根，即可进行选择．【详解】解：∵直线不经过第四象限，∴，解得，当时，关于x的方程化为，∴方程有1个实数根；当时，，∴方程有两个不相等的实数根，综上所述，方程的实数根为1或2个，故选：D．【变式1】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（ ）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．【详解】解：∵，∴一元二次方程没有实数根，故选：．【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ．【答案】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式为，代入数据求解即可【详解】解：，，，解得，故答案为：．【变式3】（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个实数根，求k的取值范围．【答案】且【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式的定义得到，且，即可求解．【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，且，解得：，且考点4：一元二次方程根与系数的关系【例题4】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程一个实根为1，则另一个实根为（ ）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“是一元二次方程的两根时，”是解题的关键，根据两根之和等于，结合方程的一个根是1，即可求出方程的另一个根．【详解】解：，∴方程的两根之和，∴方程的另一根．故选：D．【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（ ）A． B． C． D． 【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，可以得到关于y的方程的根符合，，然后整理化简，即可解答本题．【详解】解：设关于y的方程的两根分别为，，∵关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，∴，，∴，，化简，得：，，整理可得，，故选：A．【变式2】（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的一元二次方程有一个根为3，则另一个根为 ．【答案】【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得到，然后解关于t的一次方程即可．【详解】解：设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得，，解得，即方程的另一个根为．故答案为【变式3】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知，是方程的两个实数根，求代数式的值．【答案】【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．通过解一元二次方程可得出、，代入中即可求出结论．【详解】解：当时，原方程为，即，解得：，（舍去）；当时，原方程为，即，解得：，（舍去）．,是方程的两个实数根，，，考点5：一元二次方程的应用【例题5】（2024九年级上·江苏·专题练习）进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ）A． B．C． D． 【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人，第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染．根据题意得：．故选：A．【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ．【答案】【分析】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识—增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．【详解】解：设每个季度的增长率为 x，列方程得，故答案为：【变式2】（22-23九年级上·四川成都·期末）某超市经销一种商品，每件成本为40元．经市场调研，当该商品每件的销售价为50元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．(1)求y与x的函数表达式；(2)若超市某月销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少元？【答案】(1)(2)这个月该商品每件的销售价为60元【分析】本题考查了一元二次方程的应用及一次函数的应用的知识，此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得函数解析式和一元二次方程．（1）结合“当该商品每件的销售价为50元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件”进行列式即可作答．（2）根据等量关系“利润（售价进价）销量”列出一元二次方程，进行求解即可．【详解】（1）解：根据题意， ∴y与x的函数表达式为：；（2）解：设每个月的销售利润为w元， 即，由题意得：，即，解得：，∴这个月该商品每件的销售价为60元【变式3】（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．(1)求、两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人(2)从B检测队中抽调了2人到A检测队【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人，依题意得：，分解得：答：A检测队有6人，B检测队有7人；（2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人，依题意得：，解得：，解得：，，由于从B对抽调部分人到A检测队，则故，答：从B检测队中抽调了2人到A检测队．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程方法1：整体思想【例题6】（2024九年级上·全国·专题练习）若m，n为方程的两个实数根，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据一元二次方程的定义得到m2=2016﹣2m，则m2+3m+n可化为2016+m+n，再根据根用途系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：m为方程的实数根，∴，即，∴，∵m，n为方程的两个实数根，∴，∴．故选：A．【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，∴，∴．故选：B．【变式2】（22-23九年级上·内蒙古包头·期末）若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．【答案】4【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根，∴，∴，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，掌握整体代入思想是解题的关键【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）若a是方程的一个根，求代数式的值．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将a代入方程再将方程变换得到，，代入所求代数式即可求解；【详解】解：∵a是方程的一个根，∴，，∴．方法2：降次思想【例题7】（22-23八年级上·山东淄博·期中）若实数x满足，则代数式的值为 ．【答案】2022【分析】根据，可得，从而得到，再把原式变形为，然后代入，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴故答案为：2022【点睛】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键【变式1】（四川内江·中考真题）若实数x满足，则= ．【答案】﹣2020【详解】解：∵，∴，∴== ==4﹣2024=﹣2020，故答案为﹣2020．【变式2】（20-21八年级上·重庆万州·期中）若实数x满足，则的值为 ．【答案】-2019【分析】先将变形为，再将要求的式子逐步变形，将整体代入降次，最后可化简求得答案．【详解】∵，∴，，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解在代数式化简求值中的应用，将已知条件恰当变形并将要求的式子进行因式分解，是解题的关键．【变式3】（23-24九年级上·山东德州·期末）已知实数m，n满足．(1)求的值；(2)求的值；【答案】(1)(2)【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解以及分式的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）根据多项式乘多项式的法则把原式展开，把已知条件代入计算即可；（2）先提公因式，得，再把代入计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：∵∴原式；方法3：分类讨论思想【例题8】（22-23九年级上·山东济宁·期中）已知三角形两边长分别为和，第三边的长为二次方程的根，则这个三角形的周长为（ ）A．或 B． C．或 D．【答案】D【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系，运用因式分解法求出方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：，解得，，∴当三边的长为，，，不能构成三角形，不符合题意；当三边的长为，，，能构成三角形，符合题意；∴周长为，故选：．【变式1】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）A．12 B．14 C．12或14 D．24【答案】A【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形的三边关系，利用因式分解法求出已知方程的解，再利用三角形三边关系确定出第三边长，即可求出周长．【详解】解：方程，分解因式得：，可得或，解得：或，∵三角形第三边的长是方程的根，∴第三边的长为5或7，当第三边长为5时，周长为；当第三边长为7时，，不能构成三角形，舍去，综上，该三角形的周长为12．故选：A．【变式2】（23-24九年级上·新疆·期中）已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 .【答案】16【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【详解】解： ,解得或，当时，，不能构成三角形，舍去；当时，，能构成三角形，此时三角形的周长为，故答案为：16【变式3】（23-24八年级下·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根．(1)求实数的取值范围：(2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长．【答案】(1)(2)，【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式之间的关系，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间的关系是解题的关键．（1）由根的判别式即可得出答案；（2）由题意得出方程的一个根为，将代入求出的值，再根据三角形三边之间的关系进行判断，即可得出答案．【详解】（1）解：由题意得：，解得：；（2）解：由题意可知：，只能取或，即是方程的一个根，将代入得：，解得：或，当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，能构成一个等腰三角形；当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，不能构成一个三角形；综上所述，这个三角形另外两边的长分别为，．一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；B、，解得：，故本选项符合题意；C、，，解得，故本选项不符合题意；D、，，解得，故本选项不符合题意．故选：B．2．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）A．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【答案】C【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论．【详解】解： ∵，∴，∴ ，，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：C．3．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案．【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，故选：B．4．（2022·青海·中考真题）已知方程的一个根是，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．把代入一元二次方程得到，求解即可得出的值．【详解】解：把代入方程得：，解得：．故选：B．5．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）A． B．2024 C． D．1【答案】D【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．用配方法把移项，配方，化为，即可．【详解】解：∵，移项得，，配方得，，即，∴，，∴．故选：D．二、填空题6．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ．【答案】/【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可．【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根，∴，∴，故答案为：．7．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．【答案】4【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设方程的另一个根为m，∵方程有一个根为，∴，解得：．故答案为：4．8．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．【答案】/0.5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先根据根与系数的关系得到，x1x2=−2，然后把化简为然后整体代入即可．【详解】解：方程的两根分别为，，，x1x2=−2，．故答案为：．三、解答题9．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 【答案】的长为米或米【分析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解．【详解】解：设米，则米，根据题意得，，解得：，答：的长为米或米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．10．（2023·辽宁大连·中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．【答案】【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得．【详解】解：设年买书资金的平均增长率为，由题意得：，解得或（不符合题意，舍去），答：年买书资金的平均增长率为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键一、单选题1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．有一个实数根【答案】A【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况，直接利用根的判别式计算即可选出正确答案．【详解】解：，，此方程有两个相等的实数根．故选：A．2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的常数项是（ ）A．2 B．3 C． D．1【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键，解题时要注意查看是否是一元二次方程一般形式．任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此可得答案．【详解】把化成一般式，得，∴常数项是故选：C3．（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）A．ax2+bx+c=0 B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答．【详解】解：A、 当时是一元一次方程，而不是一元二次方程，故本选项不合题意；B、，不是一元二次方程，故本选项不合题意；C、，是一元二次方程，故本选项符合题意；D、，不是一元二次方程，故本选项不合题意．故选：．4．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解方程，得（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟记一元二次方程的常见解法是解决问题的关键．【详解】解：，∵，∴，∴，故选：A．5．（22-23九年级上·山东济宁·期中）将式子化为的形式，其结果为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤求解即可．【详解】解：故选C6．（23-24九年级上·北京·期末）某药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．根据“药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元”列出方程即可．【详解】解：依题意得：．故选：B．7．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列方程中有一个解为的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断．【详解】解：A、当时，，所以不是方程的解；B、当时，，所以不是方程的解；C、当时，，所以不是方程的解；D、当时，，所以是方程的解．故选：D．8．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）方程的根是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，运用直接开平方法求解即可．【详解】解：∴，∴，故选：C9．（2024九年级上·全国·专题练习）关于x的方程，则的值是（ ）A． B．1 C．或1 D．3或【答案】B【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，求出t的值，进而可得出结论，熟知把某个式子看成一个整体，用一个变量去替代它，从而使问题得到简化，这叫换元法是解此题的关键．【详解】解：设，则此方程可化为，∴，∴或，解得，∴的值是1或．当时，，∵，∴此方程无解，∴的值是1．故选：B．10．（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数x满足，则代数式的值为（ ）A．7 B． C．7或 D．或1【答案】A【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将看作一个整体，再用换元法解方程求出的值即可，解题的关键是掌握换元法解方程．【详解】解：设，则原方程可化为：，解得；当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去；当时，，即，，故的值为6；∴．故选：A．二、填空题11．（22-23九年级上·海南海口·期中）一元二次方程的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ．【答案】 1 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式：，首先把一元二次方程化为一般形式，然后进行解答即可．【详解】解：∵∴∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为，故答案为：；1；．12．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围为 ．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，根据一元二次方程的一般形式即可解答．【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴，即，故答案为：．13．（23-24九年级上·北京·期末）已知，，则 ．【答案】或【分析】本题主要考查运用一元二次方程的根解代数式的值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，结合，，将转化为关于的一元二次方程的两根，由此可求出的值，代入求解即可．【详解】解：∵，，∴是关于的一元二次方程的两根，∴，解得，，∴或，∴或，故答案为：或．14．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根．【答案】有两个不相等的【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：由题意得，，∴原方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的．15．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知，关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ．【答案】【分析】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键．由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，解得：．故答案为：．16．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则代数式的最小值等于 ．【答案】11【分析】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用；根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．【详解】解：，，则原式化为：，，代数式的最小值等于，故答案为：11．17．（23-24九年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定义求出k的值．先根据一元二次方程的定义求出k的值，然后再代入不等式，解不等式即可．【详解】解：是一元二次方程，且，解得：且，， 原不等式为：，即∴，故答案为：．18．（2024九年级上·江苏·专题练习）（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ．（2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ．【答案】 2042【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．（1）根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，再整体代入即可求出结论．（2）由m，n是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案．【详解】解：（1）∵一元二次方程的两根为，∴，∴．故答案为：．（2）∵m，n是方程的两个实数根，∴，∴，∴．故答案为：2042．三、解答题19．（23-24九年级上·福建福州·期末）解方程：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴或，解得；（2）解：∵，∴，∴或，解得．20．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程：(1) (2)(3) (4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，（1）移项后再配方即可求解；（2）移项后再配方即可求解；（3）直接配方即可求解；（4）移项后再配方即可求解；解题的关键是掌握：解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将常数项移到方程的另一边，再将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；②在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．【详解】（1）解：，移项，得：，配方，得：，合并，得：，直接开平方，得：，解得：，；（2），移项，得：，配方，得：，合并，得：，直接开平方，得：，解得：，；（3），配方，得：，合并，得：，直接开平方，得：，解得：，；（4），移项，得：，配方，得：，合并，得：，直接开平方，得：，解得：，．21．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)任取一个符合条件的的值，解上述方程．【答案】(1)(2)（答案不唯一）可以取，过程见解析【分析】本题主要考查的是根的判别式，因式分解法解方程的有关知识．（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求解即可；（2）本题答案不唯一，可以取，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．∴，解得；（2）解：取，则原方程为即，∴，解得：，．22．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，）【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少(2)小球滚动约用了秒【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，答：小球的滚动速度平均每秒减少．（2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为，由题意得：，整理得：，解得：或，当时，，不符题意，舍去，，答：小球滚动约用了秒．23．（22-23九年级上·贵州六盘水·期末）由于疫情反弹，某社区开展了连续全员核酸检测．2022年11月11日，医院派出16名医护人员在该社区设置了两个采样点进行核酸采样，当天共采样12600份．已知采样点平均每人采样780份，采样点平均每人采样800份．(1)求两个采样点各有多少名医护人员；(2)11月12日，医院继续派出这16名医护人员前往两个采样点进行核酸采样，这天，社区附近的某住宿区也纳入社区采样范围，同时重新规划，决定从采样点抽调部分医护人员到采样点．经调查发现，采样点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，采样点人均采样量不变，最后当天共采样12800份．求从采样点抽调了多少名医护人员到采样点．【答案】(1)采样点有10名医护人员，采样点有6名医护人员(2)从采样点抽调了2名医护人员到采样点【分析】本题考查二元一次方程组及一元二次方程解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程是解决问题的关键．（1）设采样点有名医护人员，采样点有名医护人员，由等量关系列方程组求解即可得到答案；（2）设从采样点抽调了名医护人员到采样点，由等量关系列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：设采样点有名医护人员，采样点有名医护人员，依题意得：，解得，答：采样点有10名医护人员，采样点有6名医护人员；（2）解：设从采样点抽调了名医护人员到采样点，依题意得：，整理得，解得（不符合题意，舍去），答：从采样点抽调了2名医护人员到采样点．24．（23-24九年级上·北京海淀·期中）列一元二次方程解决实际问题：如图，某校计划在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．若要使草坪的面积为，求道路宽的长度．【答案】道路宽的长度为．【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路宽的长度为，根据题意列出方程，然后求解即可，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．【详解】解：设道路宽的长度为，由题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：道路宽的长度为25．（22-23九年级上·宁夏银川·期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请问在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？【答案】30元【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解是解题的关键．设每箱降价元，则每箱的利润为元，每天可售出箱，利用这种饮料每天销售利润=每箱的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每箱饮料获利大于80元，即可确定的值．【详解】解：设每箱降价元，则每箱的利润为元，每天可售出箱，依题意得：，整理得：，解得：，．∵每箱饮料获利大于80元，∴，∴，∴．答：要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价30元．26．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为 (1)用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围；(2)多长时间后的面积为？(3)多长时间后P点、Q点的距离为52？【答案】(1)，，(2)或时，的面积为(3)秒【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.注意分类思想的运用.（1）根据题意即可得到结论；（2）根据题意列方程即可得到结论；（3）根据勾股定理解方程即可得到结论.【详解】（1）解：；；的取值范围为：；（2）设秒后,的面积为根据题意得，解得：，答: 经过或时，的面积为；（3）设秒后点、点的距离为，根据题意得，，解得： 或 (不合题意舍去)，答：秒后点、点的距离为 ．
相关资料
更多
