人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数习题

这是一份人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数习题，共44页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32174" 【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】 PAGEREF _Tc32174 \h 1
\l "_Tc18951" 【题型2 二次函数的图象与系数关系的综合判断】 PAGEREF _Tc18951 \h 3
\l "_Tc7489" 【题型3 根据二次函数的性质求值】 PAGEREF _Tc7489 \h 4
\l "_Tc20207" 【题型4 根据二次函数的性质求字母取值范围】 PAGEREF _Tc20207 \h 5
\l "_Tc31559" 【题型5 二次函数的平移】 PAGEREF _Tc31559 \h 5
\l "_Tc10184" 【题型6 利用二次函数的图象解一元二次方程】 PAGEREF _Tc10184 \h 6
\l "_Tc27796" 【题型7 估算一元二次方程的近似根】 PAGEREF _Tc27796 \h 7
\l "_Tc25205" 【题型8 探究二次函数与不等式之间的关系】 PAGEREF _Tc25205 \h 9
\l "_Tc2680" 【题型9 二次函数的应用】 PAGEREF _Tc2680 \h 10
【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】
【例1】（2023春·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）y=ax+b(ab≠0)不经过第三象限，那么y=ax2+bx+3的图象大致为 （ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023春·福建福州·九年级校考期末）已知二次函数y=a(x−1)2+c的图像如图，则一次函数y＝ax+c的大致图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023春·山东淄博·九年级周村二中校考期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝ax2＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（ ）
B．
C． D．
【变式1-3】（2023春·山东泰安·九年级校考期末）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=−mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 二次函数的图象与系数关系的综合判断】
【例2】（2023春·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）如图是二次函数y=ax2+bx+ca≠0图像的一部分，对称轴为x=12，且经过点2,0，下列说法：①abc>0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若−2020,y1,2022,y2是抛物线上的两点，则y1>y2；⑤14b>mam+b，（其中m≠12）；其中说法正确的是（ ）

A．①②③B．②④⑤C．②③④D．①④⑤
【变式2-1】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(−1,0)、点B(3,0)、点C(4,y1)，若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①abc>0；②4a−2b+c<0；③二次函数y=ax2+bx+c的最小值为−4a；④若y2>y1，则x2>4；⑤一元二次方程bx2+cx−a=0的两个根为−1和−12．其中正确结论的是 (填序号)．
【变式2-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c（a<0）的图象过点A（m，n），B（-2-m，n），C（-1，4）．现给出以下结论：
①b-2a=0；
②c=a+4；
③对于任意实数p，不等式ap2+bp≤a-b一定成立；
④关于t的方程a（t−1）2+b（t−1）+c−5=0有实数根．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式2-3】（2023春·重庆·九年级期末）如图，函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(m,0)，下列判断：
①abc<0；
②a+4c<2b；
③|m+1|=|b2−4aca|；
④x=2和x=m−3处的函数值相等．
其中正确的是 （只填序号）．
【题型3 根据二次函数的性质求值】
【例3】（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）二次函数y=x2−2x−2022的图象上有两点Aa,−1和Bb,−1，则a2+2b−3的值等于（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【变式3-1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）二次函数y=−x2−2x+m，在−3≤x≤2的范围内有最小值−3，则m的值是（ ）
A．−6B．−2C．2D．5
【变式3-2】（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）已知点Pa,b是二次函数y=−x−m2+m2+1图象上一点，当−2≤a≤1时，b的最大值为4，则实数m的值为 ．
【变式3-3】（2023春·浙江温州·九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+4ax+3a−1的图象开口向下.
(1)若点m,−9和1,−9是该图象上不同的两点，求m的值．
(2)当−4≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为6，求a的值．
【题型4 根据二次函数的性质求字母取值范围】
【例4】（2023春·江西九江·九年级校考期中）已知三个不重合的点An,y1,B1−n,y2,C−1,y3均在抛物线y=ax2+bx+ca≠0上，且2an+b=0，点B，C在抛物线对称轴同侧．若y1>y2>y3，则n的取值范围为（ ）
A．n>2B．n<2C．12−32
【变式4-1】（2023春·浙江杭州·九年级校联考期末）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．则S＝a+b+c的值的变化范围是 ．
【变式4-2】（2023春·云南德宏·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
则当−2【变式4-3】（2023春·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数y＝−（x－m）2＋m2＋1，且−2≤x≤32．
（1）当m＝1时，函数y有最大值 ．
（2）当函数值y恒不大于4时，实数m的范围为 ．
【题型5 二次函数的平移】
【例5】（2023春·甘肃兰州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−12x2+b的图象经过正方形ABOC的顶点A,B,C，且A点为顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为C点，则平移后抛物线的表达式为（ ）

A．y=−12x−22+2B．y=−12x+22+2
C．y=2x+22−2D．y=2x−22+2
【变式5-1】（2023春·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）将抛物线y=−x2−2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点是（ ）
A．(−1,4)B．(1,−2)C．(0,−2)D．(0,2)
【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）将抛物线y=x2+3x−6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限，则m的值可能是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【变式5-3】（2023春·河北张家口·九年级张家口市实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点A(1,3)，B(3,5)，C(3,−7)，直线l:y=x+m经过点A，抛物线L:y=ax2+bx+2恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线l上，并说明理由；
(2)求a,b的值；
(3)平移抛物线L，
①使其顶点为B，求此时抛物线与y轴交点的坐标；
②使其顶点仍在直线l上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【题型6 利用二次函数的图象解一元二次方程】
【例6】（2023春·河南周口·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（ ）

A．−3B．3C．−5D．9
【变式6-1】（2023春·宁夏石嘴山·九年级校考期中）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．
(1)方程ax2+bx+c＝0的根为 ；
(2)方程ax2+bx+c＝﹣3的根为 ；
(3)方程ax2+bx+c＝﹣4的根为 ；
【变式6-2】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）二次函数y=ax2−bx−5的图象与x轴交于(1,0)、(−3,0)，则关于x的方程ax2−bx=5的解为（ ）
A．1，3B．1，−5 C．−1，3D．1，−3
【变式6-3】（2023春·浙江丽水·九年级期末）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值列表如下：
则一元二次方程a(2x−1)2+b(2x−1)+c=7的解为 ．
【题型7 估算一元二次方程的近似根】
【例7】（2023春·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期末）根据下面表格中的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3.22C．3.24【变式7-1】（2023春·福建厦门·九年级厦门一中校考期中）如图，以直线x=1为对称轴的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（ ）．

A．2【变式7-2】（2023春·北京丰台·九年级统考期中）在关于的x二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值：
根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 （结果保留小数点后一位）．
【变式7-3】（2023春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期中）二次函数y=2x2+4x−1的图象如图所示，若方程2x2+4x−1=0的一个近似根是x=−2.2，则方程的另一个近似根为 ．（结果精确到0.1）
【题型8 探究二次函数与不等式之间的关系】
【例8】（2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是（ ）
A．x>−1B．x<−1C．−13
【变式8-1】（2023春·北京石景山·九年级校考期中）已知二次函数y=x2+2x−3
(1)用配方法将其化为y=ax−ℎ2+k的形式；
(2)结合函数图象直接写出当y>−3时，x的取值范围．
【变式8-2】（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知，在同一坐标系中二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图，它们相交于点B（0，2），C（3，8），抛物线的顶点D（1，0），直线BC交x轴于点A．
（1）当y1＜y2时，x的取值范围是 ．
（2）当y1y2＞0时，x的取值范围是 ．
【变式8-3】（2023春·广西南宁·九年级南宁二中校考期中）如图，直线y1=kx+b与抛物线y2=ax2+bx+c交于点A−2,3和点B2,−1，若y2【题型9 二次函数的应用】
【例9】（2023春·辽宁鞍山·九年级统考期末）某校数学兴趣小组对我市某大型商场的停车场车流量进行了调查，某天上午从开业开始一小时内累计进入商场停车场的车数y（单位：辆）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合二次函数关系式：y=ax2+bx+c0≤x≤60，数据如表．
(1)求a，b，c的值；
(2)如果平均每辆车载入停车场2名顾客，顾客需下车排队“测体温”，体温正常可以从停车场进入商场，若所有驾车的顾客都体温正常，且平均每分钟有16名顾客经过“测体温”进入商场，求排队人数的最大值．（排队人数＝累计人数－已进入商场人数）
【变式9-1】（2023春·辽宁盘锦·九年级统考期末）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有______棵橙子树；这时平均每棵树结______个橙子．
(2)在（1）的条件下，求增种多少棵橙子树，可以使果园橙子总产量最大？最大产量是多少？
【变式9-2】（2023春·辽宁盘锦·九年级校考期中）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元． 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？
【变式9-3】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）自新冠疫情防控“新十条”发布以来，市场上对日常居民所用消毒液的需求量日益加大，某消毒液厂为满足市场需求，改造了10条消毒液生产线，每条生产线每天可生产消毒液300吨．由于人员和资金限制，如果每增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产20吨消毒液．设增加x条生产线(x为正整数)，每条生产线每天可生产消毒液y吨
(1)y与x之间的函数关系式为___________；
(2)设该厂每天可以生产消毒液w吨，请求出w与x的函数关系式，并求出当x为多少时，每天生产的消毒液最多？最多为多少吨？
专题22.11 二次函数章末九大题型总结（培优篇）
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32174" 【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】 PAGEREF _Tc32174 \h 1
\l "_Tc18951" 【题型2 二次函数的图象与系数关系的综合判断】 PAGEREF _Tc18951 \h 4
\l "_Tc7489" 【题型3 根据二次函数的性质求值】 PAGEREF _Tc7489 \h 10
\l "_Tc20207" 【题型4 根据二次函数的性质求字母取值范围】 PAGEREF _Tc20207 \h 13
\l "_Tc31559" 【题型5 二次函数的平移】 PAGEREF _Tc31559 \h 16
\l "_Tc10184" 【题型6 利用二次函数的图象解一元二次方程】 PAGEREF _Tc10184 \h 20
\l "_Tc27796" 【题型7 估算一元二次方程的近似根】 PAGEREF _Tc27796 \h 22
\l "_Tc25205" 【题型8 探究二次函数与不等式之间的关系】 PAGEREF _Tc25205 \h 25
\l "_Tc2680" 【题型9 二次函数的应用】 PAGEREF _Tc2680 \h 28
【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】
【例1】（2023春·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）y=ax+b(ab≠0)不经过第三象限，那么y=ax2+bx+3的图象大致为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据直线y=ax+bab≠0不经过第三象限判断出a、b的取值范围，再根据a的取值范围可判断出开口方向，再加上b的取值范围可判断出对称轴，最后根据c=3判断出与y轴交点，进而可得答案．
【详解】解：∵直线y=ax+bab≠0不经过第三象限，
∴a<0，b>0，
∴y=ax2+bx+3的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于0，3，
∴D符合．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数图象，关键是掌握一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【变式1-1】（2023春·福建福州·九年级校考期末）已知二次函数y=a(x−1)2+c的图像如图，则一次函数y＝ax+c的大致图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先根据二次函数图像得出a，c的值，进而利用一次函数性质得出图像经过的象限．
【详解】解：根据二次函数开口向上则a＞0，根据c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＜0，
故一次函数y＝ax+c的大致图像经过一、三、四象限，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图像以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的符号是解题关键．
【变式1-2】（2023春·山东淄博·九年级周村二中校考期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝ax2＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，可得方程ax2＋bx＋c＝kx有两个不等的实数根，从而可判断；
【详解】由图像可知a＞0，b＞0，c＞0，k＜0，则b－k＞0，可排除选项B、D，由图像可知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx有两个不同的交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝kx有两个不等的实数根，即一元二次方程ax2＋（b－k）x＋c＝0有两个不等的实数根，所以二次函数y＝ax2＋（b﹣k）x＋c的图象与x轴有两个交点，故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，结合二次函数与一元二次方程的关系求解是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·山东泰安·九年级校考期末）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=−mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的m的符号，再判断即可．
【详解】解：选项A：由y=mx+m的图象可得：m<0，
由y=−mx2+2x+2的图象可得：−m<0，则m>0，故A不符合题意；
选项B：由y=mx+m的图象可得：m<0，
由y=−mx2+2x+2的图象开口方向可得：−m>0，则m<0，
而抛物线的对称轴为：x=−2−2m=22m>0，则m>0，故B不符合题意；
选项C：由y=mx+m的图象可得：m>0，
由y=−mx2+2x+2的图象开口方向可得：−m>0，则m<0， 故C不符合题意；
选项D：由y=mx+m的图象可得：m<0，
由y=−mx2+2x+2的图象开口方向可得：−m>0，则m<0，
而抛物线的对称轴为：x=−2−2m=22m<0，则m<0，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键．
【题型2 二次函数的图象与系数关系的综合判断】
【例2】（2023春·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）如图是二次函数y=ax2+bx+ca≠0图像的一部分，对称轴为x=12，且经过点2,0，下列说法：①abc>0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若−2020,y1,2022,y2是抛物线上的两点，则y1>y2；⑤14b>mam+b，（其中m≠12）；其中说法正确的是（ ）

A．①②③B．②④⑤C．②③④D．①④⑤
【答案】B
【分析】根据抛物线开口方向得a<0，根所抛物线的对称轴得b=−a>0，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上得c>0，从而可对①②作出判断；根据抛物线过点(2，0)得4a+2b+c=0，可对③作出判断；根据抛物线的对称轴及二次函数的对称性可对④作出判断；根据顶点位置时取得最大值可对⑤作出判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴为x=12，
∴−b2a=12，
∴b=−a>0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，
∴c>0，
∴abc<0，故①错误；
∵b=−a>0，
∴a+b=0，故②正确；
∵抛物线过点(2，0)，
∴4a+2b+c=0，故③错误；
∵抛物线的对称轴为x=12，
∴点−2020,y1与点2021,y1对称，
∵a<0，2021<2022，
∴y1>y2，故④正确；
当x=12时，函数有最大值y=14a+12b+c=−14b+12b+c=14b+c，
当x=m时，y=am2+bm+c，
∵m≠12，
∴14b+c>am2+bm+c，即14b>m(am+b)，故⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解题关键是掌握二次函数的相关性质，是中考常考题．
【变式2-1】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(−1,0)、点B(3,0)、点C(4,y1)，若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①abc>0；②4a−2b+c<0；③二次函数y=ax2+bx+c的最小值为−4a；④若y2>y1，则x2>4；⑤一元二次方程bx2+cx−a=0的两个根为−1和−12．其中正确结论的是 (填序号)．
【答案】①③⑤
【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号即可对①进行判断；利用图像即可判断②；利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2−2ax−3a，配成顶点式得y=a(x−1)2−4a，则可对③进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对④进行判断；由于b=−2a，c=−3a，则方程bx2+cx−a=0化为−2ax2−3ax+a=0，然后解方程可对⑤进行判断．
【详解】解：①：由图像可得，a>0，b<0，c<0，
∴abc>0，所以①正确；
②：当x=−2时，y=4a−2b+c>0，所以②错误；
③∵二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A−1,0、点B3,0，
∴抛物线解析式为y=ax+1x−3，即y=ax2−2ax−3a，
∵y=a(x−1)2−4a，
∴当x=1时，二次函数有最小值−4a，所以③正确；
④∵点C4,y1关于直线x=1的对称点为−2,y1，
∴当y2>y1，则x2>4或x<−2，所以④错误；
⑤∵b=−2a，c=−3a，
∴方程bx2+cx−a=0化为−2ax2−3ax−a=0，
整理得2x2+3x+1=0，解得x1=−1，x2=−12，所以⑤正确．
故答案为：①③⑤．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练地掌握二次函数的增减性和对称性，会结合图像以及运用交点式和顶点式分析二次函数的性质是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c（a<0）的图象过点A（m，n），B（-2-m，n），C（-1，4）．现给出以下结论：
①b-2a=0；
②c=a+4；
③对于任意实数p，不等式ap2+bp≤a-b一定成立；
④关于t的方程a（t−1）2+b（t−1）+c−5=0有实数根．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②③
【分析】根据题意经过点A、B即得出其对称轴为x=−1，再结合对称轴公式即得出a、b关系，可判断①；将C点坐标代入抛物线解析式，再结合①所求a、b的关系，即可得出a、c的关系，可判断②；由a<0，可判断该抛物线开口向下，在对称轴处有最大值，即确定抛物线上任一点的纵坐标都小于等于顶点的纵坐标，由此即可判断③；将①②中，a、b关系和a、c的关系代入方程，整理即可得出at2−1=0，由a<0，可判断at2−1<0，即原方程无解，即可判断④．
【详解】根据题意可知，A、B两点关于该抛物线对称轴对称，
∴该抛物线对称轴为x=−b2a=m+(−2−m)2=−1，
整理得：b−2a=0，故①正确；
将C点坐标代入抛物线解析式得：4=a−b+c，
∵b−2a=0，即b=2a，
∴4=a−2a+c，
整理得：c=a+4，故②正确；
∵a<0，
∴该抛物线开口向下，在对称轴处有最大值，
∴yp≤y−1，即ap2+bp+c≤a−b+c，
整理得：ap2+bp≤a−b，故③正确；
∵b=2a，c=a+4，
∴关于t的方程可化为a(t−1)2+2a(t−1)+a+4−5=0，
整理得：at2−1=0
∵a<0，
∴at2−1<0，
∴原方程无解，故④错误；
综上可知正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一元二次方程的解．掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键．
【变式2-3】（2023春·重庆·九年级期末）如图，函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(m,0)，下列判断：
①abc<0；
②a+4c<2b；
③|m+1|=|b2−4aca|；
④x=2和x=m−3处的函数值相等．
其中正确的是 （只填序号）．
【答案】①③④
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据c、a的符号得出2c>a，即可得到a+4c>2a+2c，根据x=−1时，y=0得到b=a+c，即可得到a+4c>2b，即可判断②；根据抛物线与一元二次方程的关系即可判断③；根据抛物线的对称性即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c>0，
∵−b2a>0，
∴b>0，
∴abc<0，故①正确，
∵c>0，a<0，
∴2c>a，
∴a+4c>2a+2c，
x=−1时，y=a−b+c=0，则b=a+c，
∴2a+2c=2b，
∴a+4c>2b，故②错误，
∵y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(m,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=−1，x2=m，
∵方程ax2+bx+c=0的根为x=−b±b2−4ac2a，
∴|x1−x2|=|b2−4aca|，
∴|m+1|=|b2−4aca|，故③正确；
∵y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(m,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=m−12，
∵ m−3+22=m−12，
∴x=2和x=m−3处的函数值相等，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；△决定抛物线与x轴交点个数：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
【题型3 根据二次函数的性质求值】
【例3】（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）二次函数y=x2−2x−2022的图象上有两点Aa,−1和Bb,−1，则a2+2b−3的值等于（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】C
【分析】由题意可得a、b是方程x2−2x−2022=−1的两个根，则有a+b=2，又由a2=2a+2021，将所求式子变形为a2+2b−3=2a+2021+2b−3，然后再求值即可．
【详解】解：∵点Aa,−1和Bb,−1在二次函数y=x2−2x−2022的图象上，
∴a、b是方程x2−2x−2022=−1的两个根，
∴a+b=2，
∵将Aa,−1代入y=x2−2x−2022，
∴a2−2a−2022=−1，
∴a2=2a+2021，
∴a2+2b−3=2a+2021+2b−3=2a+b+2018=4+2018=2022，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）二次函数y=−x2−2x+m，在−3≤x≤2的范围内有最小值−3，则m的值是（ ）
A．−6B．−2C．2D．5
【答案】D
【分析】根据抛物线y=−x2−2x+m的开口向下，对称轴是：直线x=-1，则抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小，即可得到答案．
【详解】∵抛物线y=−x2−2x+m的开口向下，对称轴是：直线x=-1，
∴在−3≤x≤2的范围内，当x=2时，y取最小值，
即：−3=−22−2×2+m，解得：m=5，
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的轴对称性，是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）已知点Pa,b是二次函数y=−x−m2+m2+1图象上一点，当−2≤a≤1时，b的最大值为4，则实数m的值为 ．
【答案】2或−3
【分析】分m≤−2、m≥1、−2≤m≤1三种情况，根据b的最大值为4，结合二次函数的性质求解即可．
【详解】解：对于y=−x−m2+m2+1来说，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=m，
∴当x≤m时，y随着x的增大而增大，当x≥m时，y随着x的增大而减小，
①若m≤−2，
当a=−2时，b=−−2−m2+m2+1=4，
解得m=−74，
∵m=−74<−2，
∴m=−74不合题意，舍去，
②若m≥1，
当a=1时，b=−1−m2+m2+1=4，
解得m=2，符合题意，
③若−2≤m≤1，
当a=m时，b=−m−m2+m2+1=4，
即m2+1=4，
解得m=3或m=−3，
∵−2≤m≤1，
∴m=−3符合题意，
综上可知，m=2或−3，
故答案为：2或−3
【点睛】此题考查了二次函数的最值问题，能根据二次函数的顶点式确定最值是解答本题的关键．
【变式3-3】（2023春·浙江温州·九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+4ax+3a−1的图象开口向下.
(1)若点m,−9和1,−9是该图象上不同的两点，求m的值．
(2)当−4≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为6，求a的值．
【答案】(1)m=−5；
(2)a=−16．
【分析】（1）先求出二次函数的对称轴是直线x=−2，根据m,−9和1,−9关于对称轴对称，即可得出答案；
（2）根据二次函数的性质可知：当x=−2时，y取到最大值：−a−1，当x=4时，y取到最小值：35a−1，进而得出−a−1−35a−1=6，求解即可．
【详解】（1）解：∵−b2a=−4a2a=−2，
∴对称轴是直线x=−2，
∵m,−9和1,−9关于对称轴对称，
∴m=−2×2−1=−5；
（2）解：∵开口向下，对称轴是直线x=−2，
∴当x=−2时，y取到最大值：−a−1，
当x=4时，y取到最小值：35a−1，
∵−a−1−35a−1=6，
∴a=−16．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【题型4 根据二次函数的性质求字母取值范围】
【例4】（2023春·江西九江·九年级校考期中）已知三个不重合的点An,y1,B1−n,y2,C−1,y3均在抛物线y=ax2+bx+ca≠0上，且2an+b=0，点B，C在抛物线对称轴同侧．若y1>y2>y3，则n的取值范围为（ ）
A．n>2B．n<2C．12−32
【答案】C
【分析】根据2an+b=0，推出抛物线的对称轴为：x=n，得到An,y1，为抛物线的顶点，再根据y1>y2>y3，和二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵2an+b=0，
∴b=−2an，
∴抛物线的对称轴为：x=−−2an2a=n，
∴An,y1，为抛物线的顶点，
∵y1>y2>y3，
∴a<0，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵点B，C在抛物线对称轴同侧，
当点B，C在抛物线对称轴的左侧时，则：−1<1−n解得：12当点B，C在抛物线对称轴的右侧时，则：n<1−n<−1，
此不等式组无解；
∴12故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是求出对称轴，确定抛物线开口向下，An,y1，为抛物线的顶点．
【变式4-1】（2023春·浙江杭州·九年级校联考期末）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．则S＝a+b+c的值的变化范围是 ．
【答案】0＜S＜2
【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，得出c的值及a、b的关系式，代入S=a+b+c中消元，再根据对称轴的位置判断S的取值范围即可．
【详解】解：将点（0，1）和（﹣1，0）分别代入抛物线解析式，得c＝1，a＝b﹣1，
∴S＝a+b+c＝2b，
由题设知，对称轴x＝−b2a>0且a<0，
∴2b＞0．
又由b＝a+1及a＜0可知2b＝2a+2＜2．
∴0＜S＜2．
故答案为：0＜S＜2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，运用了消元法的思想，对称轴的性质，需要灵活运用这些性质解题．
【变式4-2】（2023春·云南德宏·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
则当−2【答案】−4≤y<5
【分析】运用待定系数法求出二次函数解析式，判断图象开口方向，求出x=−2,x=2对应的函数值，从而可判断出y的取值范围．
【详解】解：取（-3，0），（-2，-3），（0，-3）代入y=ax2+bx+c，得
9a−3b+c=04a−2b+c=−3c=−3
解得，a=1b=2c=−3
∴y=x2+2x−3
∵a=1>0
∴函数图象开口向上，对称轴为直线x=−1，顶点坐标为（-1，-4）
当x=2时，y=5
∴当−2故答案为：−4≤y<5
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．数形结合是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数y＝−（x－m）2＋m2＋1，且−2≤x≤32．
（1）当m＝1时，函数y有最大值 ．
（2）当函数值y恒不大于4时，实数m的范围为 ．
【答案】 2 −3≤m≤74
【分析】（1）根据顶点式将m=1代入解析式即可求得最大值；
（2）根据顶点式求得最大值，根据顶点的位置以及自变量的取值范围，分情况讨论求得最值，进而求得m的范围．
【详解】（1）当m＝1时，二次函数y＝−（x－1）2＋12＋1=−x−12+2，则顶点为1,2
则函数有最大值2，
故答案为：2
（2）∵二次函数y＝−（x－m）2＋m2＋1，且−2≤x≤32．
对称轴为x=m，顶点坐标为m,m2+1
①当m<−2时，x=−2时，函数取得最大值
即−(−2−m)2+m2+1≤4
解得m≥−74，不符合题意，舍去
②当−2≤m≤32，x=m时，函数取得最大值
m2+1≤4
解得−3≤m≤3
∴−3≤m≤32
③当m>32时，x=32时，函数取得最大值
−32−m2+m2+1≤4
解得m≤74
∴32综上所述，−3≤m≤74
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握y=a(x−ℎ)2+k的性质是解题的关键．
【题型5 二次函数的平移】
【例5】（2023春·甘肃兰州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−12x2+b的图象经过正方形ABOC的顶点A,B,C，且A点为顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为C点，则平移后抛物线的表达式为（ ）

A．y=−12x−22+2B．y=−12x+22+2
C．y=2x+22−2D．y=2x−22+2
【答案】A
【分析】根据二次函数的表达式求出点A的坐标为0,b，根据正方形的性质可以求出点C的坐标，进而求出点C的坐标，进而求解．
【详解】解：当x=0时，y=b，故A点坐标为0,b，
过点C作CD⊥AO交AO于D，

则OD=CD=b2，
∴C点坐标为b2,b2
∵二次函数的图象y=−12x2+b经过正方形ABOC的顶点C，
∴b2=−12×b22+b ，
解得b=4或b=0（舍去）
∴C点坐标为2,2，
∴平移后抛物线的表达式为y=−12x−22+2，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，解题的关键是求出b的值．
【变式5-1】（2023春·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）将抛物线y=−x2−2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点是（ ）
A．(−1,4)B．(1,−2)C．(0,−2)D．(0,2)
【答案】D
【分析】根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线y=−x2−2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，求顶点坐标即可.
【详解】解：将抛物线y=−x2−2x+3化为顶点式，
即：y=−x2−2x+3
=−x2+2x+3
=−x+12+4，
将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：
y=−x+1−12+4−2=−x2+2，
顶点坐标为(0,2)，
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即y=a(x−ℎ)2+k的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键．
【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）将抛物线y=x2+3x−6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限，则m的值可能是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】D
【分析】根据将抛物线y=x2+3x−6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限可知−6+m≥0，即可得出结果．
【详解】解：∵将抛物线y=x2+3x−6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限，
∴−6+m≥0，
∴m≥6，
∴m的值可能是7，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·河北张家口·九年级张家口市实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点A(1,3)，B(3,5)，C(3,−7)，直线l:y=x+m经过点A，抛物线L:y=ax2+bx+2恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线l上，并说明理由；
(2)求a,b的值；
(3)平移抛物线L，
①使其顶点为B，求此时抛物线与y轴交点的坐标；
②使其顶点仍在直线l上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【答案】(1)点B在直线l上，理由见解析，
(2)a=−2，b=3
(3)①0，−13；②178
【分析】（1）先将A代入y=x+m，求出直线解析式，然后将x=3代入解析式即可求解；
（2）先根据抛物线y=ax2+bx+2与直线AB都经过(0，2)点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入y=ax2+bx+2得出关于a，b的二元一次方程组；
（3）①根据题意，可得抛物线解析式为y=−2x−32+5，令x=0，即可求解；
②设平移后所得抛物线的对应表达式为y=−2(x−ℎ)2+k，根据顶点在直线y=x+2上，得出k=ℎ+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为−2ℎ2+ℎ+1，再将式子配方即可求出最大值．
【详解】（1）解：∵直线l:y=x+m经过点A(1,3)，
∴3=1+m，解得：m=2，
∴直线l：y=x+2，
当x=3时，y=3+2=5，
∴B(3,5) 在直线l上，
（2）∵抛物线y=ax2+bx+2与直线AB都经过(0,2)点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入y=ax2+bx+2
得a+b+2=39a+3b+2=−7，
解得：a=−2，b=3；
（3）解：①依题意，点B3,5，
则抛物线解析式为y=−2x−32+5，
令x=0，解得：y=−13，
∴抛物线与y轴交点的坐标为0，−13；
②设平移后所得抛物线的对应表达式为y=−2(x−ℎ)2+k，
∵顶点在直线y=x+2上，
∴k=ℎ+2，
令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为−2ℎ2+ℎ+2，
∵−2ℎ2+ℎ+2=−2ℎ−142+178，
∴当ℎ=14时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值178．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．
【题型6 利用二次函数的图象解一元二次方程】
【例6】（2023春·河南周口·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（ ）

A．−3B．3C．−5D．9
【答案】B
【分析】有意义得到y=ax2+bx与y=−m有交点，即−m≥−3，从而得出m的取值范围，得到答案．
【详解】解：由于一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
可以理解为y=ax2+bx与y=−m有交点，
∴−m≥−3，
∴m≤3，
故m的最大值为3，
故选：B．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意得到y=ax2+bx与y=−m有交点是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·宁夏石嘴山·九年级校考期中）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．
(1)方程ax2+bx+c＝0的根为 ；
(2)方程ax2+bx+c＝﹣3的根为 ；
(3)方程ax2+bx+c＝﹣4的根为 ；
【答案】(1)x1=−1，x2=3
(2)x1=0，x2=2
(3)x1=x2=1
【分析】（1）根据图象，利用抛物线与x轴交点的横坐标是方程的根求解即可；
（2）根据图象，利用抛物线与直线y=-3交点的横坐标是方程的根求解即可；
（3）根据图象，利用抛物线与直线y=-4交点的横坐标是方程的根求解即可．
【详解】（1）解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为(-1,0)，(3,0)，
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1=−1，x2=3，
故答案为：x1=−1，x2=3；
（2）解：由图象可得：抛物线与直线y=-3的两个交点为(0,-3)，(2,-3)，
∴方程ax2+bx+c＝-3的根为x1=0，x2=2，
故答案为：x1=0，x2=2；
（3）解：由图象可得：抛物线与直线y=-4的一个交点为(1,-4)，
∴方程ax2+bx+c＝-4的根为x1=x2=1，
故答案为：x1=x2=1．
【点睛】本题考查利用图象法求一元二次方程的根，熟练掌握方程ax2+bx+c＝0的根为抛物线与x轴交点的横坐标，方程ax2+bx+c＝m的根为抛物线与直线y=m交点的横坐标是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）二次函数y=ax2−bx−5的图象与x轴交于(1,0)、(−3,0)，则关于x的方程ax2−bx=5的解为（ ）
A．1，3B．1，−5 C．−1，3D．1，−3
【答案】D
【分析】把方程ax2−bx=5变形为ax2−bx−5=0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根即为二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标即可．
【详解】解：∵ax2−bx=5，
∴ax2−bx−5=0，
又二次函数y=ax2−bx−5的图象与x轴交于(1,0)、(−3,0)，
∴方程ax2−bx−5=0的两根为x1=1,x2=−3，
即方程ax2−bx=5的解为x1=1,x2=−3，
故选：D
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根即为二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标是解答本题的关键．
【变式6-3】（2023春·浙江丽水·九年级期末）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值列表如下：
则一元二次方程a(2x−1)2+b(2x−1)+c=7的解为 ．
【答案】x1=−1,x2=3
【分析】利用x=−3时，y=7；x=5时，y=7得到二方程一元二次方程ax2+bx+c=7的两根为x1=−3,x2=5，由于把一元二次方程a(2x−1)2+b(2x−1)+c=7可看作关于2x−1的一元二次方程，则2x−1=−3或2x−1=5，然后解一次方程即可．
【详解】解：对于二次函数y=ax2+bx+c，
∵x=−3时，y=7；x=5时，y=7，
即方程一元二次方程ax2+bx+c=7的两根为x1=−3,x2=5，
把一元二次方程a(2x−1)2+b(2x−1)+c=7看作关于2x−1的一元二次方程，
∴2x−1=−3或2x−1=5，
解得x1=−1,x2=3．
故答案为：x1=−1,x2=3．
【点睛】本题考查通过表格确定二次函数图象与y=7的交点坐标解一元二次方程．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和整体思想进行求解是解题的关键．
【题型7 估算一元二次方程的近似根】
【例7】（2023春·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期末）根据下面表格中的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3.22C．3.24【答案】C
【分析】根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=−0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.03，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c=0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是3.24【详解】解：∵x=3.24时，ax2+bx+c=−0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是3.24故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
【变式7-1】（2023春·福建厦门·九年级厦门一中校考期中）如图，以直线x=1为对称轴的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（ ）．

A．2【答案】C
【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x=1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是−3∴右侧交点横坐标的取值范围是4故选：C．
【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．
【变式7-2】（2023春·北京丰台·九年级统考期中）在关于的x二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值：
根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 （结果保留小数点后一位）．
【答案】5.8
【分析】根据题意和表格中的数据可以写出一个符合题意的值，注意本题答案不唯一，但要接近x=6．
【详解】由表格可知，
当x=5时，y=-2.20＜0，当x=6时，y=0.75＞0，
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于5.8（5.6至5.9均可），
故答案为：5.8．
【点睛】本题考查了图象法确定一元二次方程的近似根，解答本题的关键是明确题意，写出一个符合要求的即可，本题答案不唯一．
【变式7-3】（2023春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期中）二次函数y=2x2+4x−1的图象如图所示，若方程2x2+4x−1=0的一个近似根是x=−2.2，则方程的另一个近似根为 ．（结果精确到0.1）
【答案】0.2．
【分析】利用抛物线的对称性进行求解即可．
【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为：x=-1，
∵方程2x2+4x−1=0的一个根为x=-2.2，
∴另一个根为：-1×2-（-2.2）=0.2，
故答案为：0.2．
【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清题中的数据关系是解本题的关键．
【题型8 探究二次函数与不等式之间的关系】
【例8】（2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是（ ）
A．x>−1B．x<−1C．−13
【答案】C
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为3,0，然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为−1,0，对称轴是直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为3,0，
∵抛物线开口向下，
∴当−10．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质以及图象法解一元二次方程．
【变式8-1】（2023春·北京石景山·九年级校考期中）已知二次函数y=x2+2x−3
(1)用配方法将其化为y=ax−ℎ2+k的形式；
(2)结合函数图象直接写出当y>−3时，x的取值范围．
【答案】(1)y=x+12−4
(2)x<−2或x>0
【分析】（1）用配方法把二次函数化为顶点式即可
（2）根据解析式画出函数的图象，再结合函数图象即可求得x的范围
【详解】（1）y=x2+2x−3
=x2+2x+1−4
=x+12−4
（2）二次函数y=x2+2x−3的图象如下图所示：
∴观察函数图象当y>−3时，x<−2或x>0
【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点及配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键
【变式8-2】（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知，在同一坐标系中二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图，它们相交于点B（0，2），C（3，8），抛物线的顶点D（1，0），直线BC交x轴于点A．
（1）当y1＜y2时，x的取值范围是 ．
（2）当y1y2＞0时，x的取值范围是 ．
【答案】 0−1且x≠1
【分析】（1）根据函数与不等式的关系可知，使得y1＜y2成立的x的取值范围就是直线y2＝mx+n落在二次函数y1＝ax2+bx+c的图像上方的部分对应的x的取值范围．
（2）由于y1≥0，故当y1y2＞0时，必有y1≠0且y2>0，利用点B（0，2），C（3，8）求出一次函数解析式，求得A点坐标，最后利用函数与不等式的关系，求得x的取值范围．
【详解】（1）根据图像可得：当y1＜y2时，x的取值范围是0（2）∵y1y2＞0，且y1≥0，
∴ y1≠0且y2>0，
∵点B（0，2），C（3，8）在一次函数y2＝mx+n上，
∴2=0×m+n8=3m+n 故解得m=2n=2
∴y2=2x+2．
当y2=0时，有0=2x+2 解得x=−1．
∴A点坐标为（-1,0）
∵ y1≠0且y2>0，抛物线的顶点D的坐标为（1，0）
∴ x>−1且x≠1．
故答案为：（1）0−1且x≠1．
【点睛】本题主要是考查了二次函数的性质以及一次函数求解解析式，利用“数形结合”的思想求解不等式的解集，是求解该类题目的关键，需要重点掌握好．
【变式8-3】（2023春·广西南宁·九年级南宁二中校考期中）如图，直线y1=kx+b与抛物线y2=ax2+bx+c交于点A−2,3和点B2,−1，若y2【答案】1【分析】设AB与x轴交于点C，根据题意，当y2【详解】解；如图，设AB与x轴交于点C，
∵直线y1=kx+b与抛物线y2=ax2+bx+c交于点A−2,3和点B2,−1，
∴ −2k+b=32k+b=−1，
解得k=−1b=1，
∴y1=−x+1，
令y=0，得x=1，
即C1,0，
根据题意，当y2故答案为：1【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，求不等式组的解集，数形结合是解题的关键．
【题型9 二次函数的应用】
【例9】（2023春·辽宁鞍山·九年级统考期末）某校数学兴趣小组对我市某大型商场的停车场车流量进行了调查，某天上午从开业开始一小时内累计进入商场停车场的车数y（单位：辆）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合二次函数关系式：y=ax2+bx+c0≤x≤60，数据如表．
(1)求a，b，c的值；
(2)如果平均每辆车载入停车场2名顾客，顾客需下车排队“测体温”，体温正常可以从停车场进入商场，若所有驾车的顾客都体温正常，且平均每分钟有16名顾客经过“测体温”进入商场，求排队人数的最大值．（排队人数＝累计人数－已进入商场人数）
【答案】(1)a=−110b=12c=0
(2)80人
【分析】（1）根据题意列方程，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据排队人数＝累计人数－已进入商场人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人
【详解】（1）解：由题意，得：
c=0100a+10b+c=1103600a+60b+c=360，
解得：a=−110b=12c=0，
∴y=−110x2+12x
（2）设排队人数为w人
w=2y−16x，
即w=−15x2+8x，
∵a=−15<0，开口向下，w有最大值，
∴当x=−b2a=20，w最大值=−15×400+8×20=80（人）
答：排队人数的最大值为80人．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．
【变式9-1】（2023春·辽宁盘锦·九年级统考期末）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有______棵橙子树；这时平均每棵树结______个橙子．
(2)在（1）的条件下，求增种多少棵橙子树，可以使果园橙子总产量最大？最大产量是多少？
【答案】(1)100+x，600−5x
(2)增种10棵橙子树，可以使果园橙子总产量最大，最大产量是60500个
【分析】（1）根据题意列出对应的代数式即可；
（2）设增种m棵橙子树时果园橙子的总产量为y个，根据总产量=橙子树的数量×平均每棵树的结果数，列出y关于m的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有100+x棵橙子树，
∴这时平均每棵树结600−5x个橙子，
故答案为：100+x，600−5x；
（2）解：设增种m棵橙子树时果园橙子的总产量为y个，
根据题意，得y=100+m600−5m
=−5m2+100m+60000
=−5m−102+60500，
∵a=−5<0，
∴抛物线开口向下，y有最大值．
∴当m=10时，y有最大值是60500．
答：增种10棵橙子树，可以使果园橙子总产量最大，最大产量是60500个．
【点睛】本题主要考查了列代数式，二次函数的应用，正确列出对应的代数式和函数关系式是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·辽宁盘锦·九年级校考期中）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元． 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？
【答案】(1)0(2)每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元
(3)36元或37元
【分析】（1）根据利润等于售价减去进价再乘以销量，列出函数关系式，即可求解；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（3）根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：
y=30+x−20230−x2×20=−10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0（2）解：当y=2520时，得−10x2+130x+2300=2520，
解得x1=2，x2=11（不合题意，舍去），
当x=2时，30+x=30+2=32，
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；
（3）解：根据题意得：
y=−10x2+130x+2300=−10x−6.52+2722.5，
∵a=−10<0，
∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），
当x=7时，30+x=37，y=2720（元），
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，列出函数关系式是解题的关键．
【变式9-3】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）自新冠疫情防控“新十条”发布以来，市场上对日常居民所用消毒液的需求量日益加大，某消毒液厂为满足市场需求，改造了10条消毒液生产线，每条生产线每天可生产消毒液300吨．由于人员和资金限制，如果每增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产20吨消毒液．设增加x条生产线(x为正整数)，每条生产线每天可生产消毒液y吨
(1)y与x之间的函数关系式为___________；
(2)设该厂每天可以生产消毒液w吨，请求出w与x的函数关系式，并求出当x为多少时，每天生产的消毒液最多？最多为多少吨？
【答案】(1)y=300−20x(1≤x≤15，且x为正整数)
(2)w=−20x2+100x+3000，当增加2或3条生产线时，每天生产的消毒液最多，为3120吨
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量取值范围即可；
（2）先根据每天可以生产的消毒液w等于生产线条数乘以每条生产线每天可生产消毒液的吨数，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及x为整数可得答案．
【详解】（1）解∶根据题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y=300−20x；
故y与x之间的函数关系式为y=300−20x(1≤x≤15，且x为正整数)；
（2）解：根据题意得w=10+x300−20x
=−20x2+100x+3000
=−20x−522+3125
∵a=−20<0，开口向下，
∴当x=2.5时，w最大，
又∵x为整数，
∴当x=2或3时，w最大，最大值为3120．
答：当增加2或3条生产线时，每天生产的消毒液最多，为3120吨．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，熟练掌握一次函数和二次函数的解析式求法、利用配方法对二次函数进行变形的方法、由二次函数的顶点式求二次函数最大值的方法是解题关键．
x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
−3
−4
−3
0
5
12
…
x
…
−3
0
1
3
5
…
y
…
7
−8
−9
−5
7
…
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
x
…
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y=ax2+bx+c
…
−1.78
−3.70
−4.42
−3.91
−2.20
0.75
4.88
10.27
…
时间x（分钟）
0
10
…
60
累计车数y（辆）
0
110
…
360
x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
−3
−4
−3
0
5
12
…
x
…
−3
0
1
3
5
…
y
…
7
−8
−9
−5
7
…
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
x
…
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y=ax2+bx+c
…
−1.78
−3.70
−4.42
−3.91
−2.20
0.75
4.88
10.27
…
时间x（分钟）
0
10
…
60
累计车数y（辆）
0
110
…
360