江苏省震泽中学2024-2025学年高三上学期滚动练习卷1（开学考试）数学试题

这是一份江苏省震泽中学2024-2025学年高三上学期滚动练习卷1（开学考试）数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．设集合，集合，若中含有一个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，若，则实数（ ）
A．2B．1C．0D．
5．已知函数，满足为正实数，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
6．已知定义在R上的函数满足，且f-1=2，则（ ）
A．B．-2C．4D．2
7．若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．满足的互不相似的的个数为（ ）
A．0B．1个C．2个D．前三个答案都不对
二、多选题
9．已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的一组是（ ）
A．和B．和C．和D．和
10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若这两函数图象的对称轴都相同，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．与的零点相同D．与的单调递增区间相同
11．已知函数，设为实数，且．下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．不等式的解集为
C．若，则
D．若，则
三、填空题
12．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为 .
13．已知矩形满足，若分别是线段上的动点，且，则的最小值为 .
(*）14.设三角形的外心为，重心为，且满足，则的最大值为 .
四、解答题
15．已知向量，设函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)已知在中，内角的对边分别为，若 ，且，求面积的最大值.
16．已知函数
(1)求函数的值域；
(2)若时，恒有，求实数a的取值范围．
17．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若是上的一点，且，求的最小值．
(*）18．已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）设，恒成立，求的最大值；
（2）设，讨论函数在上的零点个数.
（参考数据：）
高三数学滚动练习卷1
一、单选题
1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】判断两个等式的、关系，利用充分必要条件判断即可.
【详解】，由等价于；若等价于；
所以，则“”是“”的充分必要条件.
故选：C
2．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用导数几何意义去求切线方程即可.
【详解】由，得，
所以该曲线在点处的切线斜率为，
故所求切线方程为，
即．
故选：C.
3．设集合，集合，若中含有一个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出中不等式的解集确定出，由与交集中恰有一个整数，得到且，解不等式即得解．
【详解】由解得或，故或，
因为的开口向上，对称轴为，，
根据对称性可知：要使中含有一个整数，则这个整数解为2，
所以且，即，解得：．
故选：A．
4．已知向量，若，则实数（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】D
【分析】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.
【详解】，，
由，则有，
解得.
故选：D.
5．已知函数，满足为正实数，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】B
【分析】由已知构造函数，探讨函数的单调性、奇偶性，进而求得，再利用基本不等式求解即得.
【详解】令，由，得定义域为，
，即函数是奇函数，
而，
当时，函数是增函数，又是增函数，于是函数在上单调递减，
由奇函数的性质知，函数在上单调递减，
因此函数在上单调递减，由，
得，即，
所以，则，即，又，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最小值为2.
故选：B.
6．已知定义在R上的函数满足，且f-1=2，则（ ）
A．B．-2C．4D．2
【答案】B
【分析】根据题意，求得且，结合函数的周期性，即可求解.
【详解】因为且f-1=2，可得，
由，可得，
所以函数的一个周期为，则.
故选：B.
7．若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由知，由两角和的正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得.
【详解】若，则，
所以，
所以，即，
，
若使得取得最大值，不妨设，
则，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
【点睛】方法点睛：三角函数中的凑角技巧
；
；
.
8．满足的互不相似的的个数为（ ）
A．0B．1个C．2个D．前三个答案都不对
【答案】B
【分析】根据三角变换公式可得，令，利用导数判别其单调性后可得零点个数.
【详解】根据题意，有，
于是．因此．
考虑函数，，
其导函数，
因此函数单调递增．又，，
于是函数在上有且仅有1个零点，
所以只有一组解符合题意．
故选：B
二、多选题
9．已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的一组是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】ACD
【分析】根据定义由待定系数法判断每组向量是否共线，判断.
【详解】因为，则和共线，不满足条件；
设，则，无解，故和不共线，能作为基底；
同理可知和不共线，和也不共线，CD选项均能作为基底．
故选：ACD．
10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若这两函数图象的对称轴都相同，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．与的零点相同D．与的单调递增区间相同
【答案】BC
【分析】求出函数，求出对称轴判断AB；探讨与的关系判断C；举例说明判断D.
【详解】对于AB，，函数图象的对称轴满足，
函数图象的对称轴满足，两式相减得，
因此，A错误，B正确；
对于C，，因此与的零点相同，C正确；
对于D，取，函数的递增区间为，
函数的递增区间为，D错误.
故选：BC
11．已知函数，设为实数，且．下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．不等式的解集为
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【分析】对A，由可判断；对B，根据函数单调递增可求解；对CD，根据的性质画出函数图象，表示出直线的方程，根据均在直线上方建立不等关系可得.
【详解】对A，，函数的图象关于点对称，故A正确；
对B，在上单调递增，且，则化为，则，解得，故不等式的解集为，故B正确；
对CD，，则可得，且关于点对称，在上单调递增，可得函数图象如下：
均在直线上方，其中直线的方程为，
则可得，，
所以，
，
，即，故C错误，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出函数的对称性和单调性画出函数图象，数形结合求解.
三、填空题
12．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据函数奇偶性并求导可得，因此可得，可构造函数并求得其单调性即可得在上大于零，在上小于零，即可得出结论.
【详解】因为为奇函数，定义域为，
所以，两边同时求导可得，即且，
又因为当时，，所以.
构造函数，则，
所以当时，在上单调递增，
又因为，所以在上大于零，在上小于零，
又因为，所以在上大于零，在上小于零，
因为为奇函数，所以在上小于零，在上大于零，
综上所述，的解集为.
故答案为：
13．已知矩形满足，若分别是线段上的动点，且，则的最小值为 .
【答案】.
【分析】以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，然后表示出点的坐标，从而可表示出，化简后结合基本不等式可求得结果.
【详解】解：以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，，
设，则，
由，知，所以，
由，知，
所以，
所以
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据题意建立平面直角坐标系，将数量积用坐标表示，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.
四、解答题
14．已知向量，设函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)已知在中，内角的对边分别为，若 ，且，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，整体法求解函数的值域；
（2）在（1）基础上，结合得到，由勾股定理和基本不等式得到，进而得到三角形面积的最大值.
【详解】（1），
，
当时，，
，
所以函数的值域为
（2）由（1）可知，
又，所以，
因为，所以，故，
因为，由可知，，
由基本不等式得，
解得，当且仅当时，等号成立，
故三角形面积，
即面积最大值为.
15．已知函数
(1)求函数的值域；
(2)若时，恒有，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和两种情况，结合指数函数的单调性即可求得值域；
（2）将化为，利用换元法结合参变分离的思想即可求得a的范围.
【详解】（1）的定义域为，
当时，，
因为，所以，所以；
当时，，
因为，，所以，
综上，可得函数的值域为．
（2）因为，，
，即
两边同时乘以的
即恒成立，
，
即，令，，
则，由二次函数图象与性质可知在上单调递减，
所以当时，，
所以，
所以实数a的取值范围是．
16．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若是上的一点，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理化简可得，再根据角度关系分析即可；
（2）根据平面向量基本定理可得，再两边平方可得，结合余弦定理可得，再令，结合函数单调性与最值求解即可.
【详解】（1），
又，则或，
若，则；
若，则，又，不符合题意，舍去，
综上所述.
（2）
①，又②，
①÷②得：
令，又，
，
令
令，
令，
当时，当时，
由对勾函数性质可得当时，为减函数，故，
同理当时，
所以当三角形为等边三角形时最小，最小值为
17．已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）设，恒成立，求的最大值；
（2）设，讨论函数在上的零点个数.
（参考数据：）
【答案】（1）3；（2）答案见解析.
【解析】（1）设函数，用导数求出的最小值，再由得出的范围，从而得其最大正整数值；
（2）先求出，， 设，用导数求得极大值，证明，即，然后分类求在上的零点个数和在上的零点个数．最终得出结论．
【详解】解：（1）设函数，
所以，令得，（a>0）
且当时，；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
因为要使得恒成立，只要恒成立
即 ①
设，且
，在上单调递减
又，，
且图象连续不断，所以满足①的的最大值为3.
（2），
设，则，
因为，所以在内必存在唯一的实数，使得
所以为增函数
，，为减函数
下面先证明：. 因为，所以，
当时，有，
，
下证，即证，即证.
.
接下来，求函数在上的零点个数
，且函数在上单调递减
在上有唯一零点，即函数在上的零点个数为1
最后，求函数在上的零点个数
，且函数在上单调递增
当时，，所以函数在上没有零点，
即函数在上的零点个数为0
当时，，所以函数在上有唯一零点，
即函数在上的零点个数为1
综上所述：当时，在上的零点个数为1 ；
当时，在上的零点个数为2．
【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题，研究函数的零点个数问题，本题中恒成立问题转化为求函数的最小值，利用导数求得最小值的表达式，再由最小值满足的不等关系得出参数范围．零点个数问题也是通过研究函数的极值，然后结合零点存在定理确定结论．本题旨在考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，转化与化归能力．属于难题．