2025年高考数学精品教案第一章 集合 常用逻辑用语与不等式 第2讲 常用逻辑用语

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学生用书P004
1.充分条件、必要条件与充要条件
常用结论
充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}.
（1）若p是q的充分条件，则A⊆B；若p是q的必要条件，则A⊇B.
（2）若p是q的充分不必要条件，则A⫋B；若p是q的必要不充分条件，则A⫌B.
（3）若p是q的充要条件，则A＝B.
2.全称量词与存在量词
（1）全称量词与存在量词
（2）全称量词命题与存在量词命题
注意 1.¬p（x）表示p（x）不成立.
2.含有一个量词的命题的否定规律是：改写量词，否定结论.对于省略了量词的命题，则需要根据命题的含义加上量词，再改写.
3.命题p与¬p（p的否定）真假相反.
1.下列说法不正确的是（ D ）
A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件
B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题
C.已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B
D.命题“∃x∈R，sin2x2＋cs2x2＝12”是真命题
2.“x是整数”是“2x＋1是整数”的（ A ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若x是整数，则2x＋1是整数；当x＝12时，2x＋1是整数，但x不是整数，所以“x是整数”是“2x＋1是整数”的充分不必要条件.故选A.
3.已知命题p：所有的三角函数都是周期函数，则¬p为 有些三角函数不是周期函数 .
学生用书P005
命题点1 充分条件与必要条件
角度1 充分条件与必要条件的判断
例1 （1）[2023天津高考]“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（ B ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
解析 因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”， “a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B.
（2）[2023全国卷甲]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cs β＝0，则（ B ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析 甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cs2β，等价于sin α＝±cs β，所以由甲不能推导出sin α＋cs β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cs β＝0，得sin α＝－cs β，两边同时平方可得sin2α＝cs2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.综上，选B.
角度2 充分条件、必要条件中的含参问题
例2 （1）若x＞0，则x＋2 025x≥a恒成立的一个充分条件是（ B ）
A.a＞80B.a＜80C.a＞100D.a＜100
解析 当x＞0时，x＋2 025x≥22 025，当且仅当x＝2 025时，“＝”成立，因为x＋2 025x≥a（x＞0）恒成立，所以a≤22 025，80＜22 025＜100，结合各选项知x＋2 025x≥a恒成立的一个充分条件为a＜80.（注意区分“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”）
故选B.
（2）已知p：｜1－x－13｜≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 [9，＋∞） .
解析 由｜1－x－13｜≤2，得－2≤x≤10，故p对应的集合为N＝{x｜－2≤x≤10}.由x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），得1－m≤x≤1＋m，故q对应的集合为M＝{x｜1－m≤x≤1＋m，m＞0}.
因为q是p的必要不充分条件，所以N⫋M，所以m>0，1－m≤－2，1+m≥10，（1－m＝－2与1＋m＝10不会同时成立）
解得m≥9，所以实数m的取值范围为[9，＋∞）.
方法技巧
1.充分条件与必要条件的判断方法
（1）定义法：根据“若p，则q”及“若q，则p”的真假进行判断，适用于定义、定理等判断性问题.
（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断.
2.已知充分、必要条件求参数取值范围的方法
把充分、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式（组）求解.
注意 （1）条件的等价变形；（2）区间端点值的检验.
训练1 （1）[2024湖北部分重点中学联考]设m∈R，a＝（m，1），b＝（4，m），c＝（1，－2），则b⊥c是a∥b的（ A ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若b⊥c，则4－2m＝0，得m＝2，即b⊥c⇔m＝2；若a∥b，则m2＝4，得m＝±2，即a∥b⇔m＝±2.因为m＝2是m＝±2的充分不必要条件，所以b⊥c是a∥b的充分不必要条件，故选A.
（2）[多选/2023沈阳市三检]已知空间中的两条直线m，n和两个平面α，β，则α⊥β的充分条件是（ ACD ）
A.m⊥α，m∥βB.m⊂α，n⊂β，m⊥n
C.m⊂α，m∥n，n⊥βD.m⊥n，m⊥α，n⊥β
解析 对A，因为m∥β，所以在平面β内存在直线l，使得m∥l，又m⊥α，所以l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，所以选项A符合题意；
对B，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则平面α，β不一定垂直，例如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，B1C1⊂平面A1B1C1D1，且AB⊥B1C1，但平面ABCD与平面A1B1C1D1不垂直，所以选项B不符合题意；
对C，因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β，又m⊂α，所以α⊥β，所以选项C符合题意；
对D，因为m⊥α，n⊥β，所以直线m，n对应的方向向量分别为平面α，β的法向量，又m⊥n，所以平面α，β的法向量垂直，所以α⊥β，所以选项D符合题意.
综上，选ACD.
命题点2 全称量词与存在量词
角度1 全称量词命题和存在量词命题的否定及真假判断
例3 （1）[2023辽宁名校联考]已知命题p：∃x＜－1，2x－x－1＜0，则¬p为（ B ）
A.∀x≥－1，2x－x－1≥0B.∀x＜－1，2x－x－1≥0
C.∃x＜－1，2x－x－1≥0D.∃x≥－1，2x－x－1≥0
解析 因为命题p：∃x＜－1，2x－x－1＜0，则¬p：∀x＜－1，2x－x－1≥0.故选B.
（2）[2023湖北模拟]下列命题为真命题的是（ C ）
A.∀x∈R，x2－｜x｜＋1≤0B.∀x∈R，－1≤1csx≤1
C.∃x∈R，（ln x）2≤0D.∃x∈R，sin x＝3
解析 因为x2－｜x｜＋1＝（｜x｜－12）2＋34＞0恒成立，所以∀x∈R，x2－｜x｜＋1≤0是假命题；当x＝π3时，1csx＝2，所以∀x∈R，－1≤1csx≤1是假命题；当x＝1时，ln x＝0，所以∃x∈R，（ln x）2≤0是真命题；因为－1≤sin x≤1，所以∃x∈R，sin x＝3是假命题.故选C.
角度2 已知全称（存在）量词命题的真假求参数的取值范围
例4 （1）若命题“∀x＞0，ln x－12x2－a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是（ D ）
A.（－∞，e]B.（－∞，1]
C.（－∞，12]D.（－∞，－12]
解析 命题“∀x＞0，ln x－12x2－a＜0”为假命题，则命题“∃x＞0，ln x－12x2－a≥0”为真命题.由ln x－12x2－a≥0，得a≤ln x－12x2.设g（x）＝ln x－12x2，则原问题可转化为a≤g（x）max，g'（x）＝1x－x＝1－x2x.令g'（x）＞0，得0＜x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1，则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，从而g（x）≤g（1）＝－12，故a≤－12.故选D.
（2）[2024江苏南通学业质量监测]设命题p：∃x∈R，ax2－x＋1≤0.写出一个实数a＝
0（答案不唯一） ，使得p为真命题.
解析 当a＝0时，－x＋1≤0有解；当a≠0时，a>0，Δ≥0或a＜0，所以a∈（0，14]∪
（－∞，0）.综上，a≤14，即a≤14中任取一个值都可以.
方法技巧
1.判定全称量词命题是真命题，需证明所有对象使命题成立；判定存在量词命题是真命题，只要找到一个对象使命题成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
2.由命题真假求参数的范围，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式（组），再通过解方程或不等式（组）求解.
训练2 （1）[2023河北省盐山中学三模]已知命题p：∃x≥0，ln（x＋1）≥0且tan x＜1，则¬p为（ C ）
A.∀x＜0，ln（x＋1）＜0且tan x≥1
B.∀x＜0，ln（x＋1）＜0或tan x≥1
C.∀x≥0，ln（x＋1）＜0或tan x≥1
D.∀x≥0，ln（x＋1）＜0且tan x≥1
解析 由含有一个量词的命题的否定规律易知C正确.
（2）若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为（ C ）
A.[－1，4]B.[0，53]
C.[－1，0]∪[53，4]D.[－1，0）∪（53，4]
解析 命题“∃a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”为假命题，则其否定为真命题，（命题与命题的否定真假相反）
即“∀a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a≥0”为真命题.令g（a）＝ax2－（2a－1）x＋3－a＝（x2－2x－1）a＋x＋3，a∈[－1，3]，则g（a）≥0恒成立，所以g（－1）≥0，g（3）≥0，即－x2+3x+4≥0，3x2－5x≥0，得－1≤x≤4，x≥53或x≤0，所以实数x的取值范围为[－1，0]∪[53，4].故选C.
（3）[多选/2024重庆市合川区模拟]已知命题p：∃x∈R，x2＋1＜2x；命题q：若mx2－mx－1≠0恒成立，则－4＜m＜0.则（ BC ）
A.p的否定是假命题B.q的否定是真命题
C.p与q都是假命题D.p与q都是真命题
解析 对于命题p：因为x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以x2＋1≥2x，即不存在x，使x2＋1＜2x，故命题p是假命题，则命题p的否定是真命题.对于命题q：若mx2－mx－1≠0恒成立，则当m＝0时，－1≠0，原不等式恒成立；当m≠0时，Δ＝m2＋4m＜0，得－4＜m＜0.综合得－4＜m≤0，故命题q是假命题，则命题q的否定是真命题.综上所述，选项A错误、B正确、C正确、D错误.故选BC.
学生用书P007
突破双变量“存在性”或“任意性”问题
角度1 双变量“存在性”或“任意性”的等式问题
例5 [2023江苏省宿迁市模拟]定义域为R的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），[f（x）]4－（4＋x2)[f（x)]2＋4x2＝0对任意的实数x都成立，且值域为[0，2].设函数g（x）＝2x－m－2，x≤2，－m+2，x>2，若对任意的x1∈（－4，－1），都存在x2＞－1，使 g（x2）＝f（x1）成立，则实数m的取值范围为（ A ）
A.[－5，0]B.[－2，0]
C.（－1，0）D.（0，1]
解析 由[f（x）]4－（4＋x2）[f（x）]2＋4x2＝0，
得{[f（x）]2－4}{[f（x）]2－x2}＝0，解得f（x）＝±x或f（x）＝±2.
因为f（x）为偶函数，且值域为[0，2]，
所以f（x）＝2，x≤－2，｜x｜,－2若对任意x1∈（－4，－1），都存在x2＞－1，使g（x2）＝f（x1）成立，则f（x）在
（－4，－1）上的值域是g（x）在（－1，＋∞）上的值域的子集.
易知当x∈（－4，－1）时，f（x）∈（1，2]；当x∈（－1，＋∞）时，g（x）∈（－4－m，2－m]，所以－4－m≤1，2－m≥2，所以m∈[－5，0].
例6 [2023黑龙江省哈尔滨市第一中学模拟]已知函数f（x）＝lg1－xx+1，函数g（x）＝2－ax（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈（0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围为 （2，＋∞） .
解析 函数g（x）＝2－ax（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈（0，1），使得f（x1）＝
g（x2）成立，则f（x）和g（x）在x∈（0，1）上的值域的交集不为空集.当0＜x＜1时，
f（x）＝lg1－xx+1＝lg（－1＋2x+1）显然单调递减，所以其值域为（－∞，0）.若a＞1，则
g（x）＝2－ax在（0，1）上单调递减，所以g（x）的值域为（2－a，1），此时只需2－
a＜0，即a＞2，所以a＞2；若0＜a＜1，则g（x）＝2－ax在（0，1）上单调递增，可得
g（x）的值域为（1，2－a），此时（1，2－a）与（－∞，0）的交集显然为空集，不满足题意.综上，实数a的取值范围是（2，＋∞）.
方法技巧
1.解决双变量“存在性”或“任意性”的等式问题的关键：一是理解量词的含义，“脱去”量词，转化为两个函数的值域之间的问题；二是会利用函数的单调性，求函数的值域.
2.常见的转化形式
（1）∀x1∈M，∃x2∈N，f（x1）＝g（x2）⇔f（x）的值域为g（x）的值域的子集；
（2）∃x1∈M，x2∈N，f（x1）＝g（x2）⇔f（x）的值域与g（x）的值域的交集不为空集.
训练3 [2023上海市华东师范大学松江实验高级中学模拟]已知函数f（x）＝3×2x＋2，对于任意的x1∈[0，1]，都存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＋32f（x2＋m）＝20成立，则实数m的取值范围为 [lg243，1] .
解析 x1∈[0，1]，故f（x1）∈[3＋2，3×2＋2]＝[5，8]，由f（x1）＋32f（x2＋m）＝20得
f（x1）＝20－32f（x2＋m），因为x2∈[0，1]，所以20－32f（x2＋m）∈[17－9×2m，
17－9×2m－1]，若对于任意的x1∈[0，1]，都存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＋32f（x2＋m）＝20成立，则[5，8]⊆[17－9×2m，17－9×2m－1]，所以17－9×2m≤5，17－9×2m－1≥8，解得m≤1，m≥lg243，故m∈[lg243，1].
角度2 双变量“存在性”或“任意性”的不等式问题
例7 [2024四川仁寿第一中学模拟]已知函数 f（x）＝x＋4x，g（x）＝2x＋a，若∀x1∈[12，1]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是 [12，＋∞） .
解析 依题意知f（x）max（x∈[12，1]）≤g（x）max（x∈[2，3]）.因为f（x）在[12，1]上是减函数，所以当x∈[12，1]时f（x）max＝f（12）＝172.又g（x）在[2，3]上是增函数，所以当x∈[2，3]时，g（x）max＝g（3）＝8＋a.因此172≤8＋a，即a≥12，所以a的取值范围是[12，
＋∞）.
方法技巧
（1）∀x1∈M，x2∈N，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）max；
（2）∃x1∈M，x2∈N，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）min；
（3）∀x1∈M，∃x2∈N，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）min；
（4）∃x1∈M，∀x2∈N，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）max.
训练4 [2024河北省唐县第一中学模拟]已知函数f（x）＝x2－2x－1，g（x）＝lgax（a＞0且a≠1），若对任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f（x1）＜g（x2）成立，则实数a的取值范围是 （1，2） .
解析 f（x）＝（x－1）2－2，当x∈[－1，2]时，f（x）max＝f（－1）＝2.因为对任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f（x1）＜g（x2）成立，因此函数f（x）在[－1，2]上的最大值小于函数g（x）在[2，4]上的最大值，而当0＜a＜1，x∈[2，4]时，lgax＜0，不符合题意，于是a＞1，函数g（x）＝lgax在[2，4]上单调递增，则lga4＞2，即1＜a2＜4，解得1＜a＜2，所以实数a的取值范围是（1，2）.
1.[命题点1角度1/2024四川省成都市川大附中模拟]直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“｜AB｜＝2”是“k＝－1”的（ B ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 易得圆心到直线y＝kx＋1的距离d＝11+k2，且圆的半径为1.若｜AB｜＝2，则1－d2＝（｜AB｜2）2，即1－11+k2＝12，可得k＝±1，所以“｜AB｜＝2”是“k＝－1”的必要不充分条件.故选B.
2.[命题点1角度2/2024四川省阆中中学质量检测]设α：x≤－5或x＞2，β：x≤－2m－7或x≥4－3m，m∈R，若α是β的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 [－1，23） .
解析 ∵α是β的必要不充分条件，∴β对应的集合是α对应的集合的真子集，∴－2m－7≤－5，4－3m>2，解得－1≤m＜23.
3.[命题点2角度1/2023贵阳摸底]已知命题p：∃x∈N，ex≤sin x＋1，则命题p的否定是（ D ）
A.∀x∉N，ex＞sin x＋1
B.∃x∈N，ex＞sin x＋1
C.∀x∉N，ex≤sin x＋1
D.∀x∈N，ex＞sin x＋1
解析 由存在量词命题的否定为全称量词命题，得命题p的否定为∀x∈N，ex＞sin x＋1，故选D.
4.[命题点2/多选/2024江苏省高邮一中模拟]若“∀x∈
M，｜x｜＞x”为真命题，“∃x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是（ AB ）
A.（－∞，－5）B.（－3，－1）
C.（3，＋∞）D.[0，3]
解析 “∀x∈M，｜x｜＞x”为真命题，则x＜0，“∃x∈M，x＞3”为假命题，则“∀x∈M，x≤3”为真命题.因此集合M的元素均为负数，故选AB.
学生用书·练习帮P260
1.[2024福建南平模拟]若命题p：∃x＞0，x2－3x＋2＞0，则命题p的否定为（ C ）
A.∃x＞0，x2－3x＋2≤0B.∃x≤0，x2－3x＋2≤0
C.∀x＞0，x2－3x＋2≤0D.∀x≤0，x2－3x＋2≤0
解析 命题p：∃x＞0，x2－3x＋2＞0是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题p的否定为∀x＞0，x2－3x＋2≤0.故选C.
2.[2023辽宁名校联考]“点A的坐标是（kπ2，0），k∈Z”是“f（x）＝tan x的图象关于点A对称”的（ C ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若f（x）＝tan x的图象关于点A对称，可得点A的坐标是（kπ2，0），k∈Z，若点A的坐标是（kπ2，0），k∈Z，可得f（x）＝tan x的图象关于点A对称，故选C.
3.[2024河南名校联考]若直线l：Ax＋By＋C＝0的倾斜角为α，则“α不是钝角”是“A·B＜0”的（ B ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若A·B＜0，则l的斜率－AB＞0，则α不是钝角.若α＝0°或α＝90°，则A·B＝0.故“α不是钝角”是“A·B＜0”的必要不充分条件.故选B.
4.[2024长春市质量监测（一）]“a＞b＞1”是“lga2＜lgb2”的（ A ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若a＞b＞1，则有lg2a＞lg2b＞0，由不等式的性质得，1lg2a＜1lg2b，即lga2＜lgb2，充分性成立.若lga2＜lgb2，则当lga2和lgb2异号时，lga2＜0，lgb2＞0，所以0＜a＜1＜b；当lga2和lgb2同号时，a＞b＞1或0＜b＜a＜1.显然必要性不成立.所以“a＞b＞1”是“lga2＜lgb2”的充分不必要条件.故选A.
5.[2024江苏镇江模拟]命题“∀x∈[0，3]，x2－2x－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ A ）
A.a≥4B.a≥3
C.a≥2D.a≥1
解析 由∀x∈[0，3]，x2－2x－a≤0，得a≥x2－2x在x∈[0，3]恒成立.y＝x2－2x的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，则其在[0，3]上的最大值为32－2×3＝3，则a≥3，结合选项可知，a≥3的充分不必要条件为a≥4，故选A.
6.[2024山东聊城模拟]若存在x∈（0，2]，使不等式ax2－2x＋3a＜0成立，则实数a的取值范围是（ A ）
A.{a｜a＜33}B.{a｜0≤a≤47}
C.{a｜a＞33}D.{a｜a＞47}
解析 当x∈（0，2]时，由ax2－2x＋3a＜0，可得a（x2＋3）＜2x，则a＜（2xx2+3）max，因为2xx2+3＝2x＋3x≤22x·3x＝33，当且仅当x＝3x（x＞0），即x＝3时，等号成立，所以当x∈（0，2]时，2xx2+3的最大值为33，故a＜33.故选A.
7.[2024重庆模拟]“x＞2”是“2x－42x＞3”的（ C ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 令t＝2x，则t＞0，（提示：指数函数的值域为（0，＋∞））
由2x－42x＞3得t2－3t－4＞0（t＞0），解得t＞4.即2x＞4，解得x＞2.所以“x＞2”是“2x－42x＞3”的充要条件，故选C.
8.[2024江西分宜中学、临川一中等校联考]已知{an}是等比数列，则“a2＜a1＜0”是“{an}为递减数列”的（ A ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 设数列{an}的公比为q.充分性：若a2＜a1＜0，则a1q＜a1＜0，所以q＞1，所以an＝a1qn－1＜0，an+1an＝q＞1，所以an＋1＜an，所以{an}为递减数列，充分性成立.必要性：当a1＝12，q＝12时，an＝12n，满足数列{an}为递减数列，此时a1＞a2＞0，必要性不成立.所以“a2＜a1＜0”是“{an}为递减数列”的充分不必要条件，故选A.
9.[浙江高考]已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（ B ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若l，m，n在同一平面内，则可能有l，m，n两两平行，所以l，m，n可能没有公共点，所以不能推出l，m，n两两相交，充分性不成立；由l，m，n两两相交且l，m，n不经过同一点，可知必有三个交点，设为A，B，C，则A，B，C三点不共线，所以此三点确定唯一平面α，易得l，m，n均在α内，所以l，m，n在同一平面内，必要性成立.故选B.
10.[多选/2024广东广州模拟]下列命题中为真命题的是（ CD ）
A.∃x∈R，x2＋2x＋2＜0
B.∃x∈R，x2＋x＝－1
C.∀x∈R，x2－x＋14≥0
D.∀x∈R，－x2－1＜0
解析 对于A，∀x∈R，x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1≥1＞0，故A为假命题；对于B，当x2＋x＋1＝0时，Δ＝1－4＝－3＜0，故B为假命题；对于C，∀x∈R，x2－x＋14＝（x－12）2
≥0，故C为真命题；对于D，因为∀x∈R，x2≥0，所以－x2－1≤－1＜0，故D为真命题.故选CD.
11.[2024湖南模拟]已知“a≤x≤a2＋1”是“－2≤x≤5”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ C ）
A.[－2，＋∞） B.[－2，2]
C.（－2，2] D.（－2，2）
解析 设A＝{x｜a≤x≤a2＋1}，B＝{x｜－2≤x≤5}.若“a≤x≤a2＋1”是“－2≤x≤5”的充分不必要条件，则A⫋B，则a≥－2，a2+1≤5，且等号不同时成立，解得－2＜a≤2，故选C.
12.[2023安徽六安模拟]已知向量a＝（sin2θ，cs θ），b＝（1－sin θ，2cs θ），且θ∈[0，π]，则“θ＝π6”是“a∥b”的（ A ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 a＝（sin2θ，cs θ），b＝（1－sin θ，2cs θ），且θ∈[0，π].若a∥b，则
2cs θsin2θ＝cs θ·（1－sin θ），即cs θ（sin θ＋1）（2sin θ－1）＝0，解得θ＝π6或θ＝π2，故“θ＝π6”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.
13.[与物理综合/多选]设计如图所示的四个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是（ BD ）
解析 对于A，开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮不一定有开关S闭合，所以p⇒q，但q⇏p，所以p是q的充分不必要条件；
对于B，开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮，则开关S闭合，所以p是q的充要条件；对于C，开关S，S1与灯泡L串联，p⇏ q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮则开关S闭合，所以p⇔q，所以p是q的充要条件.故选BD.
14.已知函数f（x）＝3x2＋2x－a2－2a，g（x）＝196x－13.若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围为 [－2，0] .
解析 当x2∈[0，2]时，g（x2）∈[－13，6].
f（x）＝3x2＋2x－a2－2a，其图象的对称轴方程为x＝－13，所以当x∈[－1，1]时，
f（x）min＝f（－13）＝－a2－2a－13，f（x）max＝f（1）＝－a2－2a＋5.即当x1∈[－1，1]时，f（x1）的值域为[－a2－2a－13，－a2－2a＋5].又由题意可知，f（x1）的值域是[－13，6]的子集，所以－a2－2a－13≥－13，－a2－2a+5≤6，解得－2≤a≤0.即实数a的取值范围是[－2，0].课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.
2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.
3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
4.理解全称量词与存在量词的意义.
5.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
充分条件与必要条件
2023新高考卷ⅠT7；2023全国卷甲T7；2022北京T6；2022浙江T4；2022天津T2；2021全国卷甲T7；2021北京T3；2021浙江T3；2021天津T2；2020北京T9；2020浙江T6；2020天津T2；2019北京T7；2019浙江T5；2019天津T3
本讲主要以其他知识为情境考查充分条件、必要条件的判断及简单应用，全称量词命题与存在量词命题的真假判断及含有一个量词的命题的否定，对学生的逻辑推理素养要求较高.题型以选择题为主，难度中等偏易.预计2025年高考命题点变化不大，平时训练中应注重不同知识之间的综合.
全称量词与存在量词
2021全国卷乙T3
若p⇒q，则p是q的① 充分 条件，q是p的② 必要 条件
p是q的③ 充分不必要 条件
p⇒q且p ⇍q
p是q的④ 必要不充分 条件
p ⇏q且p⇐q
p是q的⑤ 充要 条件
p⇔q
p是q的⑥ 既不充分也不必要 条件
p⇏q且q⇏ p
量词名称
常见的量词
表示符号
全称量词
所有的、一切、任意一个、每一个、任给等
⑦ ∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有的、有些、对某些等
⑧ ∃
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，p（x）成立
存在M中的元素x，p（x）成立
简记
⑨ ∀x∈M，p（x）
⑩ ∃x∈M，p（x）
否定
∃x∈M，¬p（x）
⑪ ∀x∈M，¬p（x）