人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数巩固练习

这是一份人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数巩固练习，共41页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1067" 【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 PAGEREF _Tc1067 \h 2
\l "_Tc20640" 【题型2 根据二次函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc20640 \h 2
\l "_Tc22869" 【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc22869 \h 3
\l "_Tc4324" 【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc4324 \h 3
\l "_Tc24929" 【题型5 根据二次函数的性质求最值】 PAGEREF _Tc24929 \h 4
\l "_Tc1503" 【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc1503 \h 4
\l "_Tc9262" 【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】 PAGEREF _Tc9262 \h 5
\l "_Tc31959" 【题型8 待定系数法求二次函数解析式】 PAGEREF _Tc31959 \h 5
\l "_Tc4943" 【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】 PAGEREF _Tc4943 \h 6
知识点1：二次函数的性质
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】
【例1】（23-24九年级·河北保定·期中）对于抛物线y=−2x−12+3，有下列四个判断：（1）抛物线的开口向下；（2）抛物线的顶点坐标是−1，3；（3）对称轴为直线x=1；（4）当x=3时，y>0．其中，正确的判断个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式1-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数y=−12x2，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象经过第一、三象限
B．函数图象有最高点
C．函数图象的对称轴是直线x=−12
D．当x<0时，y随x的增大而减小
【变式1-2】（23-24·天津滨海新·二模）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个
D．2个
【变式1-3】（23-24·安徽宿州·一模）对于抛物线y=x+32−1有下列说法：①顶点坐标为3,−1；②开口方向向上；③当x>−3时，y随x的增大减小；④与x轴有两个不同交点，其中说法正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【题型2 根据二次函数的性质比较大小】
【例2】（23-24·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系xOy中，点−1,m和点−2,n在抛物线y=ax2+bx上，若a<0，点．−3,y1，1,y2，4,y3在该抛物线上．若mA．y1<0C．y3<0【变式2-1】（23-24九年级·贵州黔东南·期末）二次函数y=−2x2−8x+m的图象上有两点Ax1,y1、Bx2,y2，若x1<−2x2+2，则（ ）
A．y1y2
C．y1=y2D．y1、y2的大小不确定
【变式2-2】（23-24九年级·福建漳州·期末）已知点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都在二次函数y=ax2−2ax−3aa≠0的图像上，若−13，则下列关于y1，y2，y3三者的大小关系判断一定正确的是（ ）
A．y1可能最大，不可能最小B．y3可能最大，也可能最小
C．y3可能最大，不可能最小D．y2不可能最大，可能最小
【变式2-3】（23-24·浙江宁波·二模）已知点Ax1，y1，Bx2，y2在抛物线y=−(x−4)2+m（m是常数）上．若x1<48，则下列大小比较正确的是（ ）
A．y1>y2>mB．y2>y1>mC．m>y1>y2D．m>y2>y1
【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级·福建福州·期末）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当x1＝1，x2＝3时，y1=y2．若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则c的范围是（ ）
A．c≥5B．c≥6C．c＜5或c＞6D．5＜c＜6
【变式3-1】（23-24·福建莆田·一模）已知点Mx1,y1，Nx2,y2在抛物线y=mx2−2m2−mx+m上，当x1+x2>4且x1A．0【变式3-2】（23-24九年级·北京东城·期中）已知抛物线y=ax2+bx+ca>0经过A(2,0)，B(4,0)两点．若P5,y1，Qm,y2是抛物线上的两点，且y1【变式3-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）已知点A4m+t−1,n，点Bt+3,n都在关于x的函数y=−14x2+mx−m2−4m+3的图象上，且−2【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】
【例4】（23-24·上海·模拟预测）已知抛物线y=x2−2m−4x+m2−3的对称轴在y轴右侧，当x≥1时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标t≥2，则m的取值范围为
【变式4-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）已知y=−3x2+2m−1x+1，当x>2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【变式4-2】（23-24九年级·吉林长春·期中）对于二次函数y=x2−4ax+a2+1，当x≥2时，y随x的增大而增大、已知此二次函数的图象上有一点A1,m，则m的取值范围为 .
【变式4-3】（23-24·福建厦门·模拟预测）抛物线 y=ax2−2ax−1过四个点(0，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)，若y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（ ）
A．a<18B．a≥13C．18【题型5 根据二次函数的性质求最值】
【例5】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）设二次函数y=ax+mx+m−k（a<0，m，k是实数），则（ ）
A．当k=2时，函数y的最大值为−4aB．当k=2时，函数y的最大值为−2a
C．当k=4时，函数y的最大值为−4aD．当k=4时，函数y的最大值为−2a
【变式5-1】（23-24·山东枣庄·二模）点Pt,n在以直线x=1为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则t−n的最大值等于 ．
【变式5-2】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）若二次函数y=ax2+bx+3的最大值是5，则y=−ax+20232−bx+2023+1的最小值为 ．
【变式5-3】（23-24·浙江杭州·二模）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象经过点A−4,k−2，B−2,k，C2,k．当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，则p−q（ ）
A．有最大值124B．无最大值C．有最小值124D．无最小值
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】
【例6】（23-24·河北邢台·三模）点Aa,b1，Ba+2,b2在函数y=−x2+2x+3的图像上，当a≤x≤a+2时，函数的最大值为4，最小值为b1，则a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤2B．−1≤a≤2C．−1≤a≤1D．−1≤a≤0
【变式6-1】（23-24·吉林长春·模拟预测）已知二次函数y=ax2+4ax−4(a>0)，当m【变式6-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）已知二次函数y=x2−2ax+2x+a−2，在0≤x≤4有最大值7，则所有满足条件的实数a的值为 ．
【变式6-3】（23-24·河北石家庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+4x+c a≠0的图象上有且只有一个完美点32,32，且当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c−34 a≠0的最小值为−3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．−1≤m≤0B．2≤m≤4C．2≤m<72D．−92≤m≤72
【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】
【例7】（23-24九年级·陕西西安·期中）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点Am,n，Bm−2,n，则n的值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【变式7-1】（23-24九年级·福建龙岩·阶段练习）抛物线y=x2−2x+m与x轴的一个交点为−3,0，则另一个交点坐标为 ．
【变式7-2】（23-24九年级·山东济宁·期中）已知二次函数y=(x+1)(x−m)的对称轴为直线x=1，则m的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式7-3】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为−2,1、1,1，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为x1、x2，且x1【题型8 待定系数法求二次函数解析式】
【例8】（23-24九年级·江苏苏州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c图像经过点A(1,0),B(3,0),C(0,3)
(1)a= ；b= ；c= ；
(2)连接AC，将抛物线沿着直线AC方向平移后经过点D2,3，求平移后新抛物线的顶点．
【变式8-1】（23-24九年级·河北邯郸·期末）抛物线y1顶点3,2，与x轴交于A、B两点，且A1,0．

(1)求y1的解析式及A、B间距离．
(2)将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、D两点，且CD=8．求出新坐标系下抛物线y2的解析式及n值．
【变式8-2】（23-24九年级·福建福州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c自变量x与函数y的部分对应值如下表：
(1)求二次函数解析式及顶点坐标；
(2)点P为抛物线上一点，抛物线与x轴交于A、B两点，若S△PAB=12，求出此时点P的坐标．
【变式8-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）已知二次函数y=x2+bx+c．
(1)当b=2，c=−5时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当y≥−2时，求x的取值范围．
(2)当x<0时，y的最小值为−2；当x≥0时，y的最小值为3，求二次函数的表达式．
【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】
【例9】（23-24九年级·四川德阳·期中）如图，二次函数y=−x2−2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接EC和EA，则EC+EA的最小值是 ．
【变式9-1】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，抛物线y=ax+1x−3与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A，B重合），BD为△ABC的AC边上的高线，抛物线顶点E与点D的最小距离为1，则抛物线解析式为 ．
【变式9-2】（23-24九年级·山东济宁·期末）如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0图象与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与y轴交于点C0,−3，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求线段MN的最大值，及此时点M的坐标．
【变式9-3】（23-24九年级·江苏连云港·期末）如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、B(6,0)．

（1）求抛物线的函数关系式．
（2）如图1，点C是抛物线在第四象限内图像上的一点，过点C作CP⊥y轴，P为垂足，求CP+OP的最大值；
（3）如图2，设抛物线的顶点为点D，点N的坐标为−2,−16，问在抛物线的对称轴上是否存在点M，使线段MN绕点M顺时针旋转90°得到线段MN'，且点N'恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
x=−b2a
顶点
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
（−b2a，4ac−b24a）
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或4ac−b24a)。
增
减
性
a>0
x<0(h或−b2a)时，y随x的增大而减小；x>0(h或−b2a)时，y随x的增大而增大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
a<0
x<0(h或−b2a)时，y随x的增大而增大；x>0(h或−b2a)时，y随x的增大而减小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
x
…
−2
−1
0
2
3
…
y
…
5
0
−3
−3
0
…
专题22.3 二次函数的性质【九大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1067" 【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 PAGEREF _Tc1067 \h 2
\l "_Tc20640" 【题型2 根据二次函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc20640 \h 4
\l "_Tc22869" 【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc22869 \h 7
\l "_Tc4324" 【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc4324 \h 9
\l "_Tc24929" 【题型5 根据二次函数的性质求最值】 PAGEREF _Tc24929 \h 12
\l "_Tc1503" 【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc1503 \h 15
\l "_Tc9262" 【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】 PAGEREF _Tc9262 \h 18
\l "_Tc31959" 【题型8 待定系数法求二次函数解析式】 PAGEREF _Tc31959 \h 21
\l "_Tc4943" 【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】 PAGEREF _Tc4943 \h 25
知识点1：二次函数的性质
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】
【例1】（23-24九年级·河北保定·期中）对于抛物线y=−2x−12+3，有下列四个判断：（1）抛物线的开口向下；（2）抛物线的顶点坐标是−1，3；（3）对称轴为直线x=1；（4）当x=3时，y>0．其中，正确的判断个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知对于二次函数y=ax−ℎ2+ka≠0，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为直线x=ℎ，顶点坐标为ℎ，k．
【详解】解：∵抛物线解析式为y=−2x−12+3，−2<0，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为1，3，对称轴为直线x=1，故（1）（3）正确，（2）错误，
当x=3时，y=−23−12+3=−8+3=−5<0，故（4）错误，
故选C．
【变式1-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数y=−12x2，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象经过第一、三象限
B．函数图象有最高点
C．函数图象的对称轴是直线x=−12
D．当x<0时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】∵y=−12x2，
∴a=−12<0，抛物线的开口向下，顶点坐标是0，0，经过三、四象限，故选项A错误；
函数图象有最高点0，0，故选项B正确；
对称轴是x=0，故选项C错误；
抛物线的开口向下，对称轴是x=0，当x<0时，y随x的增大而增大，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=ax2中，对称轴为x=0，顶点坐标为0，0．
【变式1-2】（23-24·天津滨海新·二模）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个
D．2个
【答案】B
【分析】根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解．
【详解】①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确；
③抛物线的对称轴x=−b2a=0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图象与系数关系是关键.
【变式1-3】（23-24·安徽宿州·一模）对于抛物线y=x+32−1有下列说法：①顶点坐标为3,−1；②开口方向向上；③当x>−3时，y随x的增大减小；④与x轴有两个不同交点，其中说法正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据二次函数图像和判别式的性质，依次对各个选项分析，即可得到答案．
【详解】∵y=x+32−1顶点坐标为：−3,−1
∴①的结论错误；
∵y=x+32−1的二次项系数为：1
∴开口方向向上，②结论正确；
∵当x>−3时，y随x的增大而增大
∴③的结论错误；
∵判断y=x+32−1和x轴有两个不同交点，即判断x+32−1=0有两个不相等的实数根
∵Δ=62−4×8=4>0
∴x+32−1=0有两个不相等的实数根
∴y=x+32−1与x轴有两个不同交点
∴④的结论正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程判别式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．
【题型2 根据二次函数的性质比较大小】
【例2】（23-24·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系xOy中，点−1,m和点−2,n在抛物线y=ax2+bx上，若a<0，点．−3,y1，1,y2，4,y3在该抛物线上．若mA．y1<0C．y3<0【答案】D
【分析】
本题考查抛物线的性质，根据点−1,m和点−2,n在抛物线y=ax2+bx上得到a−b=m，4a−2b=n，表示出y1−y2 ，y1−y3， y2−y3，y1−0，y2−0，结合m【详解】解：∵点−1,m和点−2,n在抛物线y=ax2+bx上，
∴a−b=m，4a−2b=n，
∵m∴b−3a<0，b<3a∵−3,y1，1,y2，4,y3在该抛物线上，
∴y1−0=9a−3b−0=9a−3b>0，y2−0=a+b−0=a+b<0 y1−y2=9a−3b−(a+b)=8a−4b=12a−4b−4a>0，
y1−y3=9a−3b−(14a+4b)=−5a−7b>0，y2−y3=a+b−(14a+4b)=−13a−3b>0，
∴y1>y2，y1>y3，y2>y3，y1<0，
∴y3故选：D．
【变式2-1】（23-24九年级·贵州黔东南·期末）二次函数y=−2x2−8x+m的图象上有两点Ax1,y1、Bx2,y2，若x1<−2x2+2，则（ ）
A．y1y2
C．y1=y2D．y1、y2的大小不确定
【答案】A
【分析】由题意易得二次函数的对称轴为直线x=−2，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由二次函数y=−2x2−8x+m可知对称轴为直线x=−−82×−2=−2，
∵x1<−2x2+2，
∴x1−−2>x2−−2，
∴点A离二次函数的对称轴更远，
∵二次函数的开口向下，离抛物线对称轴越近其所对的函数值越大，
∴y1故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·福建漳州·期末）已知点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都在二次函数y=ax2−2ax−3aa≠0的图像上，若−13，则下列关于y1，y2，y3三者的大小关系判断一定正确的是（ ）
A．y1可能最大，不可能最小B．y3可能最大，也可能最小
C．y3可能最大，不可能最小D．y2不可能最大，可能最小
【答案】B
【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分a>0和a<0两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，结合开口方向分析即可．
【详解】解：在y=ax2−2ax−3aa≠0中，
对称轴为直线x=−−2a2a=1，
令ax2−2ax−3a=0，解得：x1=−1，x2=3，
∴函数图像与x轴交于−1,0，3,0，
∵−13，
∴(x3,y3)离对称轴最远，(x2,y2)离对称轴最近，
当a>0时，开口向上，
∴y3>y1>y2；
当a<0时，开口向下，
∴y3∴y2和y3可能最大，也可能最小，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴交点，利用性质进行分析．
【变式2-3】（23-24·浙江宁波·二模）已知点Ax1，y1，Bx2，y2在抛物线y=−(x−4)2+m（m是常数）上．若x1<48，则下列大小比较正确的是（ ）
A．y1>y2>mB．y2>y1>mC．m>y1>y2D．m>y2>y1
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=−(x−4)2+m的开口向下，有最大值为m，对称轴为直线x=4，根据x1<48，设Ax1,y1的对称点为A1(x0，y1)，得出x1+x0=8，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则当4y1>y2．
【详解】解：∵y=−x−42+m，
∴a=−1<0，
∴当x=4时，有最大值为y=m，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线y=−x−42+m对称轴为直线x=4，
设Ax1,y1的对称点为A1(x0，y1)，即x0>4，
∴x1+x02=4，
∴x1+x0=8，
∵x1+x2>8，
∴x1+x2>x1+x0，
∴x2>x0，
∴4∴m>y1>y2．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a<0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=−b2a，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小．
【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级·福建福州·期末）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当x1＝1，x2＝3时，y1=y2．若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则c的范围是（ ）
A．c≥5B．c≥6C．c＜5或c＞6D．5＜c＜6
【答案】A
【分析】由当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得抛物线解析式，将函数解析式化为顶点式可得y1＋y2的最小值，进而求解．
【详解】∵当x1＝1，x2＝3时，y1=y2．
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣b2＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x＋c＝x−22＋c﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4），
∴当y1＝y2＝c﹣4时，y1＋y2取最小值为2c﹣8，
∴2c﹣8≥2，
解得c≥5．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【变式3-1】（23-24·福建莆田·一模）已知点Mx1,y1，Nx2,y2在抛物线y=mx2−2m2−mx+m上，当x1+x2>4且x1A．0【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质．根据题意和二次函数的性质，可以求得m的取值范围本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线y=mx2−2m2−mx+m，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−2m2−m2m=2m2−m2m=2m−12，
∵当x1+x2>4且x1∴2−x1∴m>0且2m−12≤2，解得0∴m的取值范围为0故选：D．
【变式3-2】（23-24九年级·北京东城·期中）已知抛物线y=ax2+bx+ca>0经过A(2,0)，B(4,0)两点．若P5,y1，Qm,y2是抛物线上的两点，且y1【答案】m<1或m>5
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解答本题的关键．
根据抛物线y=ax2+bx+ca>0经过点A2,0，B4,0，求出对称轴2+42=3，再根据抛物线性质即可解答．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+ca>0经过点A2,0，B4,0，
∴对称轴为x=2+42=3，
∵a>0，
∴当x<3时，y随x增大而减小，当x>3时，y随x增大而增大，
∵P5,y1，Qm,y2是抛物线上的两点是该抛物线上的两点，且y1∴根据对称性可得P点对称点P'1,y1，
∴m<1或m>5．
故答案为：m<1或m>5．
【变式3-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）已知点A4m+t−1,n，点Bt+3,n都在关于x的函数y=−14x2+mx−m2−4m+3的图象上，且−2【答案】−13−13
【分析】根据抛物线的对称轴，求出t的值，进而得到n关于m的二次函数，再根据二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵y=−14x2+mx−m2−4m+3，
∴对称轴为：x=−m−12=2m，
∵点A4m+t−1,n，点Bt+3,n都在抛物线上，且函数值相同，
∴两个点关于对称轴对称，
∴4m+t−1+t+3=2⋅2m，解得：t=−1；
∴B2,n，
∴n=−14×22+2m−m2−4m+3=−m+12+3，
∵−1<0，对称轴为m=−1，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵−2∴当m=−1时，n有最大值为3，当m=3时，n有最小值为：−16+3=−13；
∴−13故答案为：−13【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性求出t的值．
【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】
【例4】（23-24·上海·模拟预测）已知抛物线y=x2−2m−4x+m2−3的对称轴在y轴右侧，当x≥1时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标t≥2，则m的取值范围为
【答案】2【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出0【详解】解：∵y=x2−2m−4x+m2−3
=x2−2m−4x+m−22−m−22+m2−3
=[x−m−2]2−m2+4m−4+m2−3
=[x−m−2]2+4m−7，
∴对称轴为x=m−2，
∵对称轴在y轴右侧，当x≥1时，y随x增大而增大，开口向上，
∴0∴2∵t≥2，
∴4m−7≤2，
∴m≤94，
∴2故答案为：2【变式4-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）已知y=−3x2+2m−1x+1，当x>2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤132
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性．先求出对称轴，再根据当x>2时，y随x的增大而减小，得出2m−16≤2，求出结果即可．
【详解】解：∵y=−3x2+2m−1x+1，
∴对称轴为x=2m−16，且抛物线开口向下，
∴当x>2m−16时，y随x的增大而减小，
∵当x>2时，y随x的增大而减小，
∴2m−16≤2，
解得：m≤132．
故答案为：m≤132．
【变式4-2】（23-24九年级·吉林长春·期中）对于二次函数y=x2−4ax+a2+1，当x≥2时，y随x的增大而增大、已知此二次函数的图象上有一点A1,m，则m的取值范围为 .
【答案】m≥−1/−1≤m
【分析】本题考查了二次函数的性质，先得出抛物线的对称轴为直线x=2a，再根据当x≥2时，y随x的增大而增大，可得a≤1．根据题意有m=12−4a×1+a2+1，即m=12−4a×1+a2+1=a−22−2，问题随之得解．
【详解】解：y=x2−4ax+a2+1=x−2a2−3a2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2a，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴2a≤2，即a≤1．
∵点A1,m在二次函数y=x2−4ax+a2+1的图象上，
∴m=12−4a×1+a2+1，即m=12−4a×1+a2+1=a−22−2，
∵a≤1，
∴a−2≤−1，
∴a−22≥1，
∴m=a−22−2≥−1，
故答案为：m≥−1．
【变式4-3】（23-24·福建厦门·模拟预测）抛物线 y=ax2−2ax−1过四个点(0，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)，若y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（ ）
A．a<18B．a≥13C．18【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
依据题意，可得抛物线的对称轴是直线x=−−2a2a=1，又当x=0时，，y=−1，从而y1=−1，且当x=1+1=2时，y=−1，故y2=−1，然后分a>0和a<0两种情形讨论，结合y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，即可判断得解．
【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线x=−−2a2a=1．
又当x=0时，y=−1，
∴y1=−1，且当x=1+1=2时，y=−1．
∴y2=−1．
①若a>0，则当x>1时，y随x的增大而增大．
∵3<4，
∴y3∵y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，
又y1=y2=−1<0，
∴y3≤0，y4>0．
∴9a−6a−1≤016a−8a−1>0．
∴18②若a<0，
则当x>1时，y随x的增大而减小．
∵2<3<4，
∴y1=y2=−1>y3>y4．
∴y1，y2，y3，y4四个数中没有一个大于0，不合题意．
故选：D．
【题型5 根据二次函数的性质求最值】
【例5】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）设二次函数y=ax+mx+m−k（a<0，m，k是实数），则（ ）
A．当k=2时，函数y的最大值为−4aB．当k=2时，函数y的最大值为−2a
C．当k=4时，函数y的最大值为−4aD．当k=4时，函数y的最大值为−2a
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数y=ax+m(x+m−k)与x轴的交点坐标是−m，0,−m+k，0．得到二次函数的对称轴是直线x=−m−m+k2=−2m+k2．根据开口方向进一步求出最值即可．
【详解】解：由题意，令y=0，
∴ax+m(x+m−k)=0，
∴x1=−m，x2=−m+k．
∴二次函数y=ax+m(x+m−k)与x轴的交点坐标是−m，0,−m+k，0．
∴二次函数的对称轴是：直线x=−m−m+k2=−2m+k2．
∵a<0，
∴y有最大值．
当x=−2m+k2，y最大，
即y=a−2m+k2+m(−2m+k2+m−k)=−k24a
当k=4时，函数y的最大值为−4a；
当k=2时，函数y的最大值为−a．
综上，C选项正确．
故选：C．
【变式5-1】（23-24·山东枣庄·二模）点Pt,n在以直线x=1为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则t−n的最大值等于 ．
【答案】−74
【分析】本题考查二次函数的最值．根据对称轴公式求出a=−2，把Pt,n代入解析式得n=t2−2t+4，用含t的式子表示出t−n，找到最大值即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2+ax+4的对称轴为直线x=1，
∴−a2=1，
∴a=−2，
∴y=x2−2x+4，
把Pt,n代入y=x2−2x+4，得n=t2−2t+4，
∴t−n
=t−t2−2t+4
=−t2+3t−4
=−t−322−74，
∴当t=32时，t−n取最大值，最大值为−74，
故答案为：−74．
【变式5-2】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）若二次函数y=ax2+bx+3的最大值是5，则y=−ax+20232−bx+2023+1的最小值为 ．
【答案】−1
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值，由题意得出a<0，当x=−b2a时，y最大，为−b24a+3，从而得出b24a=−2，将y=−ax+20232−bx+2023+1化为y=−ax+2023+b2a2+b24a+1，利用二次函数的性质即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+3有最大值，
∴a<0，
∵y=ax2+bx+3=ax+b2a2−b24a+3，
∴当x=−b2a时，y最大，为−b24a+3，
∵二次函数y=ax2+bx+3的最大值是5，
∴−b24a+3=5，
∴b24a=−2，
∵y=−ax+20232−bx+2023+1=−ax+2023+b2a2+b24a+1，
∴−a>0，抛物线开口向上，
∴当x+2023=−b2a时，y最小，为b24a+1=−2+1=−1，
故答案为：−1．
【变式5-3】（23-24·浙江杭州·二模）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象经过点A−4,k−2，B−2,k，C2,k．当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，则p−q（ ）
A．有最大值124B．无最大值C．有最小值124D．无最小值
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，求得抛物线开口向下，对称轴为y轴是解题的关键．
由题意可知对称轴为y轴，则函数为y=ax2+c，利用待定系数法求得y=−16x2+k+23，由当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，即可得出p=−16m2+k+23，q=−16m+12+k+23，进一步求的p−q=−16m2+16m+12=13m+16，
得到p−q的最小值为16，无最大值．
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象经过点A−4,k−2，B−2,k，C2,k，
∴对称轴为直线x=−2+22=0，
∴ −b2a=0，b=0，
∴ y=ax2+c，
把A−4,k−2，B−2,k代入得16a+c=k−24a+c=k，
解得：y=−16x2+k+23．
∵当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，
∴ x=m时，取最大值p=−16m2+k+23，
x=m+1时，取最小值q=−16m+12+k+23，
∴ p−q=−16m2+16m+12=13m+16，
又∵ m≥0，
∴ 13m+16≥16
∴ p−q的最小值为16，无最大值．
故选B．
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】
【例6】（23-24·河北邢台·三模）点Aa,b1，Ba+2,b2在函数y=−x2+2x+3的图像上，当a≤x≤a+2时，函数的最大值为4，最小值为b1，则a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤2B．−1≤a≤2C．−1≤a≤1D．−1≤a≤0
【答案】D
【分析】先求出抛物线的对称轴及顶点坐标，然后分三种情况讨论：①点B与顶点1,4重合时；②当点A，B对称时；③当点A，B不对称时；分别求出a的范围，最后可得a的取值范围．
本题主要考查了在一定范围内讨论二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图像的特征是解题的关键．
【详解】由y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，得抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为(1,4)．
由题意得A点在B点的左边．
如图3，当点B与顶点1,4重合时，a+2=1，解得a=−1；
当点A，B对称时，a=0．此时若函数的最大值为4，最小值为b1；
当点A，B不对称时，A点离对称轴远，B点离对称轴近，
∴1−a>(a+2)−1，
解得a<0，
∴a的取值范围是−1≤a≤0．
故选D．
【变式6-1】（23-24·吉林长春·模拟预测）已知二次函数y=ax2+4ax−4(a>0)，当m【答案】−4≤m<0
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先求出对称轴，再求出0,−4对称点−4,−4，根据二次函数的性质求出m的取值范围．
【详解】解：二次函数的对称轴x=−4a2a=−2，
令y=0，y=−4，
∴点0,−4关于直线x=−2的对称点为−4,−4，
如图：

∵a>0，
∴开口向上，
∵当m∴−4≤m<0，
故答案为：−4≤m<0．
【变式6-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）已知二次函数y=x2−2ax+2x+a−2，在0≤x≤4有最大值7，则所有满足条件的实数a的值为 ．
【答案】9或157
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．先求出抛物线的对称轴，然后结合抛物线的性质四种情况讨论，即可求解．
【详解】解：y=x2−2ax+2x+a−2
=x2−2a−2x+a−2
=x−a+12−a2+3a−3，
∴抛物线的对称轴为直线x=a−1，
当x=0时，y=0−a+12−a2+3a−3=a−2，
当x=4时，y=4−a+12−a2+3a−3=−7a+22，
∵在0≤x≤4有最大值7，抛物线开口向上，
∴当a−1<0，即a<1时，−7a+22=7，
此时，a=157（舍去）；
当0≤a−1<4，即1≤a<5时，
若a−1−0≥4−a−1，即3≤a<5，
此时a−2=7，解得：a=9（舍去）；
若a−1−0<4−a−1，即1≤a<3，
此时a−2=7，解得：a=9（舍去）；
此时−7a+22=7，解得：a=157；
当a−1≥4，即a≥5时，
此时a−2=7，解得：a=9；
综上所述，a的值为9或157．
故答案为：9或157
【变式6-3】（23-24·河北石家庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+4x+c a≠0的图象上有且只有一个完美点32,32，且当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c−34 a≠0的最小值为−3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．−1≤m≤0B．2≤m≤4C．2≤m<72D．−92≤m≤72
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式等知识，利用数形结合和分类讨论是解题的关键．
由完美点的概念和根的判别式求出a和c的值，再由抛物线的解析式求出顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，根据函数值，即可求得x的取值范围．
【详解】解：令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，
由题意可得，图象上有且只有一个完美点，
∴Δ=9−4ac=0，则4ac=9，
又方程根为x=−b2a=−32a=32，
∴a=−1，c=−94，
∴函数y=ax2+4x+c−34=−x2+4x−3，
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为2,1，
与y轴交点为0,−3，根据对称规律，点4,−3也是该二次函数图象上的点，
在x=2左侧，y随x的增大而增大；在x=2右侧，y随x的增大而减小；且当0≤x≤m时，函数y=−x2+4x−3的最大值为1，最小值为−3，则2≤m≤4．
故选：B．
【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】
【例7】（23-24九年级·陕西西安·期中）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点Am,n，Bm−2,n，则n的值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x=m−1．故设抛物线解析式为y=(x−m+1)2，直接将A(m,n)代入，通过解方程来求n的值．
【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A(m,n)、B(m−2,n)，
∴对称轴是直线x=m−1，
又∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴顶点为(m−1,0)，
∴设抛物线解析式为y=(x−m+1)2，
把A(m,n)代入，得：
n=(m−m+1)2=1，
即n=1．
故选：A．
【变式7-1】（23-24九年级·福建龙岩·阶段练习）抛物线y=x2−2x+m与x轴的一个交点为−3,0，则另一个交点坐标为 ．
【答案】5,0
【分析】根据题意，得出该抛物线的对称轴为直线x=1，再根据二次函数的对称性即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
该抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−−21×2=1，
设另一个交点横坐标为a，
∵抛物线与x轴的一个交点为−3,0，
∴−3+a2=1，
解得：a=5，
∴另一个交点坐标为5,0，
故答案为：5,0．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，解题的关键是掌握二次函数图象的对称轴为直线x=−b2a．
【变式7-2】（23-24九年级·山东济宁·期中）已知二次函数y=(x+1)(x−m)的对称轴为直线x=1，则m的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的对称性；先求得与x轴的两个交点坐标，进而根据对称性得出对称轴，根据题意建立方程，即可求解．
【详解】解：当y=0时，x+1x−m=0
解得：x1=−1,x2=m，即抛物线与x轴的交点坐标为−1,0，m,0，
∵抛物线的对称轴为直线−1+m2=1
∴m=3
故选：B．
【变式7-3】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为−2,1、1,1，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为x1、x2，且x1【答案】2
【分析】根据题意得出当P与A点重合时，x1取得最小值−3，即−2,1是该抛物线的顶点，且经过点−3,0，求得该抛物线的解析式的对称轴与CD的长度，同理得出当P与B点重合时，x2取得最大值，利用二次函数与x轴的交点及对称性，即可求解．
【详解】解：当抛物线的顶点与A点重合时，x1的最小值是−3，
根据题意知−2,1是该抛物线的顶点，且经过点−3,0，
此时，设抛物线的解析式为y=ax+22+1，抛物线的对称轴为直线x=−2，
∴此时x2=−1，
∴CD=x2−x1=−1−−3=2，
当抛物线的顶点与B点重合时，x2取得最大值，
根据题意知1,1是该抛物线的顶点，
∴此时抛物线的解析式为y=ax−12+1，抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x2=1+1=2，
∴x2的最大值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值，利用抛物线的对称性解题是关键．
【题型8 待定系数法求二次函数解析式】
【例8】（23-24九年级·江苏苏州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c图像经过点A(1,0),B(3,0),C(0,3)
(1)a= ；b= ；c= ；
(2)连接AC，将抛物线沿着直线AC方向平移后经过点D2,3，求平移后新抛物线的顶点．
【答案】(1)1；−4；3
(2)(1,2)或(6,−13)
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移：
（1）把A(1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c，求出a,b,c的值即可；
（2）先求出直线AC的解析式y=−3x+3，则平移时的抛物线的顶点在与直线AC平行的直线上，求出解析式为y=−3x+5，设平移后的顶点坐标为m,−3m+5，得抛物线的解析式为y'=(x−m)2−3m+5，代入D(2,3)，求出m的值即可．
【详解】（1）解：把A(1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c，得：
a+b+c=09a+3b+c=0c=3，
解得，a=1b=−4c=3，
故答案为：1；−4；3；
（2）解：设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A1,0，C0,3代入得，
k+b=0b=3，
解得，k=−3b=3，
∴直线AC的解析式为：y=−3x+3，
又由（1）得原抛物线的解析式为y=x2−4x+3=x−22−1，
∴原抛物线顶点(2,−1)，
∵平移时的抛物线的顶点在与直线AC平行的直线上，
∴设平移时的抛物线的顶点所在直线解析式为y=−3x+p，
把(2,−1)代入得，−6+p=−1，
∴p=5，
∴平移时的抛物线的顶点所在直线解析式为y=−3x+5，
设平移后的顶点坐标为m,−3m+5，
∴新抛物线的解析式为y'=(x−m)2−3m+5，
把D(2,3)代入y'=(x−m)2−3m+5得：(2−m)2−3m+5=3，
解得，m=1或6，
∴平移时的抛物线的顶点坐标为(1,2)或(6,−13)．
【变式8-1】（23-24九年级·河北邯郸·期末）抛物线y1顶点3,2，与x轴交于A、B两点，且A1,0．

(1)求y1的解析式及A、B间距离．
(2)将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、D两点，且CD=8．求出新坐标系下抛物线y2的解析式及n值．
【答案】(1)y=−12x−32+2，AB=4
(2)y2=−12x−32+8，n=6
【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点，熟悉二次函数的性质和平移的特点是解题的关键．
（1）由待定系数法求出函数的表达式，进而求出点B的坐标，最后根据两点间的距离公式，即可求解；
（2）由题意得y2=−12x−32+2+n，令y2=0，求出x=3±2n+4，则CD=22n+4=8，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线y1的表达式为：y1=ax−32+2，
将点A1,0代入得：0=4a+2，
解得：a=−12，
则抛物线的表达式为：y=−12x−32+2，
根据函数的对称性，点B5,0，
则AB=5−1=4；
（2）由题意得，y2=−12x−32+2+n，
令y2=0，则−12x−32+2+n=0，
则x=3±2n+4，
则CD=22n+4=8，
解得：n=6，
则y2=−12x−32+8．
【变式8-2】（23-24九年级·福建福州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c自变量x与函数y的部分对应值如下表：
(1)求二次函数解析式及顶点坐标；
(2)点P为抛物线上一点，抛物线与x轴交于A、B两点，若S△PAB=12，求出此时点P的坐标．
【答案】(1)二次函数解析式为y=x2−2x−3，顶点坐标为1,−4
(2)1+10,6或1−10,6
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、求二次函数解析式及顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据“当x=−1和x=3时，y=0”，设二次函数y=ax+1x−3，根据x=0时，y=−3，代入y=ax+1x−3求出a=1，得出二次函数解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）根据−1,0和3,0，求出AB=3−−1=4，根据三角形面积公式、坐标与图形，得出点P的纵坐标为6或−6，当点P的纵坐标为6时，x2−2x−3=6，求解得出点P的坐标即可；根据二次函数解析式为y=x2−2x−3，顶点坐标为1,−4，是最低点，判断当点P的纵坐标为−6时的情况不存在．
【详解】（1）解：∵当x=−1和x=3时，y=0，
∴设二次函数y=ax+1x−3，
∵x=0时，y=−3，
∴代入y=ax+1x−3得：a0+10−3=−3，即−3a=−3，
解得：a=1，
∴二次函数解析式为y=x+1x−3，即y=x2−2x−3，
∴−b2a=−−22=1，4ac−b24a=−12−44=−4，
∴顶点坐标为1,−4；
（2）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，由表格得−1,0和3,0，
∴AB=3−−1=4，
∵S△PAB=12，
∴点P到AB的距离=12×2÷4=6，
∴点P的纵坐标为6或−6，
∵点P为抛物线y=x2−2x−3上一点，
∴当点P的纵坐标为6时，x2−2x−3=6，即x2−2x−9=0，
解得：x=2±4+362=1±10，
∴点P的坐标为1+10,6或1−10,6；
∵二次函数解析式为y=x2−2x−3，顶点坐标为1,−4，
当点P的纵坐标为−6时的情况不存在；
综上所述，点P的坐标为1+10,6或1−10,6．
【变式8-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）已知二次函数y=x2+bx+c．
(1)当b=2，c=−5时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当y≥−2时，求x的取值范围．
(2)当x<0时，y的最小值为−2；当x≥0时，y的最小值为3，求二次函数的表达式．
【答案】(1)①−1,−6；②x≥1或x≤−3
(2)y=x2+25x+3
【分析】本题考查了二次函数的性质，（1）①将b=2，c=−5代入解析式再平方成顶点式即可得到答案；②根据抛物线开口方向解答y≥−2时，自变量取值范围即可．
（2）根据a=1＞0确定开口方向，再根据x≥0时，y的最小值为3得到c值，从对称轴x=−b2代入解析式解出b值即可．
【详解】（1）解：①当b=2，c=−5时，解析式为y=x2+2x−5=（x+1）2−6，
该函数的顶点坐标为（−1，−6）；
②抛物线y=（x+1）2−6，开口向上，对称轴为直线x=−1，
当y≥−2时，即（x+1）2−6≥−2，
解不等式得：x≥1或x≤−3，
（2）∵二次函数y=x2+bx+c开口向上，当x≥0时，y的最小值为3，
∴x=0时，c=3，
∵当x＜0时，y的最小值为−2；
∴x=−b2时，y最小=−2，代入y=x2+bx+3得：
b24+b·（−b2）+3=−2 ，
−b24=−5，
∴b=25或b=−25，
∵对称轴在y轴左侧，a、b同号，a>0，
∴b=25，
故抛物线解析式为：y=x2+25x+3．
【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】
【例9】（23-24九年级·四川德阳·期中）如图，二次函数y=−x2−2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接EC和EA，则EC+EA的最小值是 ．
【答案】32
【分析】
本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求对称轴，先作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接ED，连接AD，根据EC+EA=ED+EA≥AD确定最小值，再求出点A，C的坐标，然后根据对称性求出点D的坐标，最后根据两点之间距离公式求出答案．
【详解】
解：如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接ED，连接AD E'，
则EC+EA=ED+EA≥AD，
令y=−x2−2x+3=0，
解得x1=1，x2=−3，
∴A(1，0)．
令x=0，则y=3，
∴C(0，3)．
又∵抛物线对称轴为直线x=−−22×(−1)=−1，点C与点D关于对称轴对称，
∴D(−2,3)，
∴AD=(−2−1)2+(3−0)2=32，
∴EC+EA的最小值是32．
故答案为：32．
【变式9-1】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，抛物线y=ax+1x−3与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A，B重合），BD为△ABC的AC边上的高线，抛物线顶点E与点D的最小距离为1，则抛物线解析式为 ．
【答案】y=34x2−32x−94
【分析】根据题意可确定出A，B两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE最小则D点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可．
【详解】解：如图所示，使DE最小则D点必在对称轴x=1上，过点E作EF⊥AB，则AF=BF，
∴AD=BD，
∵BD为△ABC的AC边上的高线，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBF=∠BDF=45°，
∴DF=BF=2．
当x=1时，y=-4a，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴EF=4a．
∵DE=1，
∴4a-2=1
解得：a=34．
∴抛物线解析式为y=34(x+1)(x−3)
即y=34x2−32x−94
故答案为：y=34x2−32x−94．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．
【变式9-2】（23-24九年级·山东济宁·期末）如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0图象与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与y轴交于点C0,−3，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求线段MN的最大值，及此时点M的坐标．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)存在，P1,−2
(3)MN取得最大值为94，M32,−154
【分析】（1）直接将三点坐标代入解析式求解，即可求得解析式；
（2）周长最小即要使得PA+PC最小，A点关于对称轴的对称点是B点，连接CB交对称轴于P点，此时的PA+PC即为最小值；
（3）设Q（m，0），再把m代入BC所在一次函数解析式和二次函数解析式，把两者相减，得到一个代数式，再求这个代数式的最大值即可．
【详解】（1）将A−1,0，B3,0，C0,−3代入y=ax2+bx+ca≠0得：
a−b+c=09a+3b+c=0c=−3
解得：a=1b=−2c=−3
∴二次函数的解析式为：y=x2−2x−3；
（2）存在点P，使△PAC的周长最小
连接BC交抛物线对称轴于P，连接AP，如图：
∵ A−1,0，C0,−3
∴AC=10
由y=x2−2x−3得抛物线对称轴是x=1
∵ A−1,0，B3,0关于抛物线对称轴对称
∴PA=PB
∴PA+CP=BP+CP
而当B、P、C共线时，PB+CP最小，此时PA+CP也最小，
因AC=10，故此时△PAC的周长最小
设直线BC为y=kx+b，将B3,0，C0,−3代入得：
3k+b=0b=−3
解得：k=1b=−3
∴直线BC解析式为：y=x−3
令x＝1时，得y＝－2
∴ P1,−2
（3）如图：
设Qm,0，Mm,m2−2m−3，Nm,m−3
MN=m−3−m2−2m−3=−m2+3m
该函数为开口向下的二次函数，且在m=−b2a=32时取得最大值
又Q在OB上，
∴0∴m可取的值包括了32
m=32时，
MN取得最大值为MN=−322+332=94，
当x=32时，y=322−2×32−3=−154
故M点坐标为：M32,−154．
【点睛】本题考查二次函数交点式解析式的应用，考查一个点动点到两个顶点距离最小值的将军饮马模型，考查两点之间距离的最小值，掌握这些知识和模型是解题关键．
【变式9-3】（23-24九年级·江苏连云港·期末）如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、B(6,0)．

（1）求抛物线的函数关系式．
（2）如图1，点C是抛物线在第四象限内图像上的一点，过点C作CP⊥y轴，P为垂足，求CP+OP的最大值；
（3）如图2，设抛物线的顶点为点D，点N的坐标为−2,−16，问在抛物线的对称轴上是否存在点M，使线段MN绕点M顺时针旋转90°得到线段MN'，且点N'恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2−4x−12；（2）734；（3）存在，M2,−31+172或M2,−31−172．
【分析】（1）由抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、B(6,0)，可得36+6b+c=0,4−2b+c=0.解得b=−4,c=−12.即可；
（2）设点C坐标为a,a2−4a−12，由点C在第四象限，a>0,a2−4a−12<0，由PC⊥y轴可得点P0,a2−4a−12，可求CP+OP=−a−522+734，当a=52时，CP+OP最大值为734 ；
（3）根据抛物线函数关系式可知D2,−16，分两种情况，当点M在D点下方时，过点M作x轴平行线，分别过点N、N'，向所画直线作垂线，分别交于E、F，同理可知当点M在D点上方时，过N′作N′G⊥对称轴于G，可证△ENM≌△FMN'（AAS），求出N'坐标为(−14−m,4+m)，代入抛物线函数关系式解方程，求出点M坐标综合即可．
【详解】解：（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、B(6,0)，
由题意得36+6b+c=0,4−2b+c=0.
解得b=−4,c=−12.
所以函数关系式为y=x2−4x−12；
（2）设点C坐标为a,a2−4a−12，点C在第四象限，a>0,a2−4a−12<0，
∴点P0,a2−4a−12，
CP+OP=−a2+5a+12=−a−522+734，
∴a=52时，CP+OP最大值为734 ；
（3）根据抛物线函数关系式可知D2,−16，
当点M在D点下方时，过点M作x轴平行线，分别过点N、N'，向所画直线作垂线，分别交于E、F，
∵∠NEM=∠DFN′=90°∠NMN′=90º，
∴∠N+∠NME=90°，∠NME+∠N′MF=90°，
∴∠N=∠N′MF，
∵NM=N′M，
∴△ENM≌△FMN'（AAS），
设点M(2,m)，EM=FN'=4，EN=DM=MF=−16−m，
则N'坐标为(−14−m,4+m)，代入抛物线函数关系式，
4+m=−14−m2−4−14−m−12，
m2+31m+236=0，
△=312-4×236=17，
解得m1=−31+172（舍去），m2=−31−172 ，

同理可知当点M在D点上方时，设点M(2,m)，ND=MG=4，GN'=DM=m+16，
则N'坐标为(−m−14,m+4)，代入抛物线函数关系式，
4+m=−m−142−4−m−14−12，
m2+31m+236=0，
△=312-4×236=17，
m1=−31+172,m2=−31−172（舍去），
综上可知M2,−31+172或M2,−31−172．
【点睛】本题考查抛物线的解析式，配方法，二次函数最值问题，图形旋转，三角形全等的判定与性质，一元二次方程及其解法，掌握抛物线的解析式，配方法，二次函数最值问题，图形旋转，三角形全等的判定与性质，一元二次方程及其解法，关键是引辅助线构造图形是解题关键．y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
x=−b2a
顶点
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
（−b2a，4ac−b24a）
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或4ac−b24a)。
增
减
性
a>0
x<0(h或−b2a)时，y随x的增大而减小；x>0(h或−b2a)时，y随x的增大而增大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
a<0
x<0(h或−b2a)时，y随x的增大而增大；x>0(h或−b2a)时，y随x的增大而减小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
x
…
−2
−1
0
2
3
…
y
…
5
0
−3
−3
0
…