黑龙江省哈尔滨市双城区哈尔滨市双城区第二中学2024-2025学年八年级上学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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考生须知：
1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内．
3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效．
4、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据定义逐项判断即可．含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做二元一次方程．
【详解】解：A选项不是二元一次方程，所以不符合题意；
B选项不是整式方程，所以C不符合题意；
C选项不是二元一次方程，所以B不符合题意；
D选项二元一次方程，所以D符合题意．
故选：D
2. 在，3.14，，，，这6个数中，无理数共有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数、立方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键，根据无理数的三种形式解答即可。无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
【详解】解：，
∴在，3.14，，，，这6个数中，，3.14， ，是有理数， ， 是无理数，无理数有2个，
故选：C
3. 下列图案中的阴影部分可以由图案中的一部分平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用平移设计图案，根据图形平移与翻折变换性质解答即可，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键．
【详解】解：、由图可知，可以通过轴对称得到，不可以通过平移得到，此选项不符合题意，
、由图可知，可以通过轴对称得到，不可以通过平移得到，此选项不符合题意，
、由图可知，可以通过平移得到，此选项符合题意，
、由图可知，可以通过轴对称得到，不可以通过平移得到，此选项不符合题意，
故选：．
4. 设，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是看不等号方向的变化．根据不等式的基本性质逐个判定即可．
【详解】解： A、∵， ∴，故原不等式不成立，不符合题意；
B、∵， ∴，故原不等式不成立，不符合题意；
C、∵，∴ ，故原不等式成立，符合题意；
D、∵， ，故原不等式不成立，不符合题意；
故选：C．
5. 下列各式不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】此题考查了立方根、算术平方根、平方根等知识，根据相关法则计算即可得到答案.
【详解】A. ，故选项正确，不符合题意；
B. ，故选项错误，符合题意；
C. 故选项正确，不符合题意
D. 故选项正确，不符合题意
故选：B
6. 如图，中，，平分交于，过点作交于，下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．由角平分线的定义得，然后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，平分
∴．
∵，
∴，，，故A，B，C正确；
无法说明．
故选D．
7. 如果点在第二象限，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，根据点）在第二象限，可以得到，然后求解即可．
【详解】∵点在第二象限，
∴，
解得，
故选：A．
8. 下列调查中：（1）为了检测一批手机的使用寿命；（2）为了调查全市中学生对亚东会的了解情况；（3）为了解某批汽车的抗撞击能力；（4）为了解全班同学的睡眠情况．其中适合用抽样调查的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：（1）为了检测一批手机的使用寿命，适合用抽样调查方法；
（2）为了调查全市中学生对亚东会的了解情况，适合用抽样调查方法；
（3）为了解某批汽车的抗撞击能力，适合用抽样调查方法；
（4）为了解全班同学的睡眠情况，适合用全面调查方法；
故选：C．
9. 端午节来临之际某兴趣小组的10位同学在实践课上共制作了42个葫芦装点班级，其中男生每人制作了3个，女生每人制作了5个．设男生有人，女生有人，根据题意，列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列二元一次方程组，因为设男生有人，女生有人，且“10位同学在实践课上共制作了42个葫芦装点班级，其中男生每人制作了3个，女生每人制作了5个”进行列式，即可作答．
【详解】解：∵设男生有人，女生有人
依题意，
故选：C
10. 在下列命题中，①带根号的数都是无理数．②有公共顶点且相等的两个角是对顶角．③立方根等于本身的数只有0．④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．其中正确命题的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了无理数、对顶角、立方根、垂线的性质等知识，根据相关知识进行判断即可．
【详解】①带根号的数不都是无理数．故选项错误；
②有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角．故选项错误；
③立方根等于本身的数是0和．故选项错误
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故选项正确；
故选：A
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共计24分）
11. ＝______．
【答案】3﹣
【解析】
【分析】本题需先判断出﹣3的符号，再求出||的结果即可．
【详解】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴﹣3＜0，
∴|﹣3|＝3﹣
故答案为：3﹣.
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
12. “的3倍与5的差大于2”用不等式表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列不等式，正确的翻译句子，列出不等式即可．
【详解】解：由题意，不等式表示为：；
故答案为：
13. 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，先分别求出算术平方根，立方根，然后再进行加减运算．
【详解】解：，
故答案为：
14. 用“”定义一种运算，规定，其中a、b为常数，若，，则______．
【答案】20
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法、代数式求值等知识点，掌握“”的运算法则成为解题的关键．
先根据新运算法则列方程组求得a、b的值，再将a、b的值代入经新运算法则化简后的代数式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，解得：，
∴．
故答案为：20．
15. 已知点的坐标，且点为轴上的一点，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标的特征，熟悉x轴上的点的坐标的特征是解题关键，根据x轴上的点的纵坐标是0求出a的值，进而即可求出P的坐标．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，已知，，，则的度数为______．
【答案】##35度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和定理等知识．熟练掌握平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和定理是解题的关键．
如图，由，，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
17. 已知点，点在轴上，的面积为6，则点的坐标为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，三角形面积的计算，分类讨论是解题的关键．先根据点C在y轴上，设出C的坐标，有两种情况进行讨论，再根据三角形的面积公式，即可求出点C的坐标．
【详解】解： ∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为：，
又∵，，
∴，
，
，即，
，
解得：或，
C点坐标为或，
故答案为：或．
18. 已知四边形中，，于，于，平分，，，则的度数为______．
【答案】##135度
【解析】
【分析】设，则，根据角平分线定义，垂线定义，三角形内角和定理得出方程，求出x的值，得出，，再根据垂线定义结合求出，最后根据三角形内角和定理得出答案即可．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，垂线的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义与性质，求出，．
三、解答题（19、20、21、22、23题各6分，24、25题各8分，26、27题各10分）
19. 解方程组
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组方法，是解题的关键．
（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）先将方程组进行变形，然后再用加减消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：，
由②得，
把③代入①得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为：；
【小问2详解】
解：，
原方程组可变为：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
20. 解不等式和不等式组
（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组
【答案】（1），画图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式（组）的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
在数轴上表示不等式的解集如下：
；
【小问2详解】
解：，
由①得：，
∴，
解得：；
由②得：，
解得：，
∴不等式组的解集为：；
21. 阅读下列材料：问题“已知，且，，试确定的取值范围．”解法如下：
解：，，，，，又，
①
，，，，，又，
②，
由①+②得，，
请用上述方法，完成下列问题：
（1）已知关于、的方程组，若点在第四象限内，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若，求的取值范围：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，第四象限内点的坐标特点：
（1）先解方程组得到，再根据第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负列出不等式组求解即可；
（2）先根据题意得到，则，据此求出b的取值范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：解方程组得，
在第四象限内，
∴a-1>0a-3<0，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
．
22. 在平面直角坐标系中，已知，，．
（1）请在图中画出；
（2）将先向右平移6个单位，再向下平移5个单位得到，请在图中画出平移后的；
（3）连接，，请直接写出的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了描点，平移的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握描点，平移的性质，坐标与图形是解题的关键．
（1）描点、连线即可；
（2）由平移的性质作图即可；
（3）根据网格特点，利用割补法，计算求解即可．
【小问1详解】
解：描点、连线，如图1，即为所作；
图1
【小问2详解】
解：由平移的性质作图，如图1，即为所作；
【小问3详解】
解：如图1，由题意知，，
∴的面积为．
23. 哈尔滨亚东会将于2025年2月7日至2月14日举行，这是每一名哈市市民的骄傲，某中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰球、冰壶、滑冰、滑雪、四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢滑冰的学生人数占所调查人数的，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若该中学共有1800名学生，请你估计该中学最喜欢滑雪的学生共有多少名．
【答案】（1）一共抽取了50名学生
（2）图见解析 （3）估计该中学最喜欢滑雪的学生共有432名
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．
（1）用最喜欢滑冰的学生人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数；
（2）用总人数减去其它项目的人数，求出最喜欢冰球项目的人数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以最喜欢滑雪的学生所占的百分比，即可得出答案．
【小问1详解】
（名）；
答：一共抽取了50名学生；
【小问2详解】
喜欢冰球的人数：（人），
补图如图所示：
【小问3详解】
根据题意得：，
答：估计该中学最喜欢滑雪的学生共有432名．
24. 如图，已知四边形中，，点E、F分别为边延长线上的点，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，，请直接写出图2中与互余的所有角．
【答案】（1）详见解析
（2），，，
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，互余关系：
（1）根据，得到，进而得到，得到，即可得证；
（2）易得，再根据已知条件，和平行线的性质，进行推导即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与互余的角为：，，，．
25. 2024年哈市全力打造旅游城市，哈市某旅行社为了提高服务质量，准备为顾客免费提供A、B两种品牌的饮品，经市场调查发现，若购买4瓶A品牌饮品和3瓶B品牌饮品共需120元，若购买2瓶A品牌的饮品和5瓶B品牌的饮品共需130元．
（1）求A、B两种品牌的饮品每瓶各多少元？
（2）若该旅行社准备购进A、B两种品牌的饮品共200瓶，恰逢超市进行促销优惠活动，B种品牌的饮品打八五折销售，A种品牌的饮品售价不变，若该旅行社准备用不超过3240元的资金购买两种饮品，则该旅行社最少购进A品牌的饮品多少瓶？
【答案】（1）A种品牌的饮品每瓶15元，B种品牌的饮品每瓶20元
（2）该旅行社最少购进A品牌的饮品80瓶
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设A种品牌的饮品每瓶x元，B种品牌的饮品每瓶y元，根据购买4瓶A品牌饮品和3瓶B品牌饮品共需120元，若购买2瓶A品牌的饮品和5瓶B品牌的饮品共需130元，再建立方程组解题即可；
（2）设该旅行社购进A品牌的饮品瓶，根据该旅行社准备用不超过3240元的资金购买两种饮品，再建立不等式解题即可．
【小问1详解】
解：设A种品牌的饮品每瓶x元，B种品牌的饮品每瓶y元，
根据题意得，解得，
答：A种品牌的饮品每瓶15元，B种品牌的饮品每瓶20元．
【小问2详解】
解：设该旅行社购进A品牌的饮品瓶，
根据题意得，
解得，
为整数，
的最小值为80，
答：该旅行社最少购进A品牌的饮品80瓶．
26. 数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点，
（1）初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论；
（2）大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______．
（3）思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）详见解析
（2）
（3），证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1），过点P作，则，由平行线的性质得到，据此根据角之间的关系可得答案；
（2）根据，即可得到答案；
（3）同理可得过点P作，则，可得，，则，再由角平分线的定义得到；由平角的定义得到，则．
【小问1详解】
证明：如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：猜想，理由如下：
∵，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：，证明如下；
同理可得
过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵分别平分，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
27. 已知，在平面直角坐标系中，点Aa,0，，其中a、b是方程组的解，点M为线段的中点，点C为x轴负半轴上一点，，连接，．

（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点P从点O出发，沿的方向以每秒2个单位的速度向终点A运动，连接，设的面积为S，点P运动的时间为t，请用含t的式子表示的面积S，并直接写出t的取值范围：
（3）在（2）的条件下，在点P运动过程中，当的面积等于的面积时，求t的值．
【答案】（1），，
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查了图形和坐标、求函数解析式、解二元一次方程组等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）解方程组求出点A和点B的坐标，进而求出，即可得到点C的坐标；
（2）分两种情况分别进行解答即可；
（3）画出图形，分两种情况分别进行求解即可．
【小问1详解】
解：解方程组得，
，，
为的中点，
，
，
【小问2详解】
①当时，，，，
，

②当时，，
作，
，
，
，
，
【小问3详解】
①当时，，
，
，

②当时，作于，
由面积，
，
，
，
，