2024年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考一模数学试题（解析版）

这是一份2024年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考一模数学试题（解析版），共24页。

1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟．
2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码准确粘贴在条形码区域内．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效．
4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
一、选择题：(每小题3分，共计30分)
1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ）
A. 元B. 0元C. 元D. 元
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的意义可进行求解．
【详解】解：由把收入5元记作元，可知支出5元记作元；
故选A．
【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解．
【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项；
故选A．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
3. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率公式可直接进行求解．
【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为；
故选C．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
4. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依次对各个选项的主视图进行判断即可得到答案．
【详解】解：A：圆锥体的主视图为三角形，符合题意；
B：三棱柱的主视图为长方形，不符合题意；
C：圆柱体的主视图为长方形，不符合题意；
D：球体的主视图为圆，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查主视图的判断，解题的关键是熟练掌握常见几何体的主视图．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案．
【详解】解：A. 根据同底数幂的乘法法则可知：，故选项计算错误，不符合题意；
B. 和不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
C. 根据完全平方公式可得：，故选项计算错误，不符合题意；
D. ，根据单项式乘多项式法则可知选项计算正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．
6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出不等式组解集并在数轴上表示出来即可得到正确选项．
【详解】解：
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为：，在数轴上表示为：
故选A．
【点睛】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是正确求出不等式组的解集．
7. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A. 图象经过点（1，﹣5）
B. 图象位于第二、第四象限
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小
D. 当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：反比例函数y＝﹣，
A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
10. 如图（1），已知扇形AOB，点P从点O出发，沿O→A→B→O以的速度运动．设点P的运动时间为x s．OP的长为y cm，y随x变化的关系图象如图（2）所示，则扇形AOB的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据图象确定弧长和半径，然后再利用弧长公式求扇形圆心角，最后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：由图象可知：扇形的半径为3，弧长为2π
设扇形的圆心角为n，根据弧长公式可得：
，解得n=120°
由扇形的面积公式可得：扇形AOB的面积为cm2．
故选A．
【点睛】本题属于动点函数图象问题，主要考查了扇形的弧长、扇形的面积公式等知识点，根据图象确定扇形的半径和弧长是解答本题的关键．
二、填空题∶(每小题3分，共24分)
11. 新京报讯，2月15日晚，第二十五届哈尔滨冰雪大世界正式闭园，共计运营61天，累计接待游客万人次，将数据万用科学记数法表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可．
【详解】解：∵万
故答案为：
12. 计算：__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式，进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
13. 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值．
【详解】解：直线向上平移3个单位长度，
平移后的直线解析式为：．
平移后经过，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
14. 如图，是⊙O的直径，切⊙O于点A，交⊙O于点C，连接，若，则的度数为_______．
【答案】##34度
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，根据题意求出即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
∵切⊙O于点A，
∴
∴
故答案为：
15. 如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，继续排列下去，如果第n幅图中有个菱形，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，图形的规律探究．根据图形推导一般性规律是解题的关键．
由题意知，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有个菱形，第3幅图中有个菱形，……可推导一般性规律为第幅图中有个菱形，由题意得，然后求解作答即可．
【详解】解：由题意知，第1幅图中有1个菱形，
第2幅图中有个菱形，
第3幅图中有个菱形，
……
∴可推导一般性规律为第幅图中有个菱形，
∴，
解得，，
故答案为：．
16. 如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约______m（结果取整数）．（参考数据：，，）

【答案】21
【解析】
【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵是等腰三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴共需钢材约为；
故答案为21．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
17. 已知正方形，分别以点A、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E、F，然后再以A为圆心，长为半径作弧，与直线交于点M，连接，则的度数为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形，线段垂直平分线．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，含30°的直角三角形的判定，是解决问题的关键．
设交于点G，根据作图判定，，根据，得到，根据，得到，或．
【详解】设交于点G，
由作图知，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∴当点M在右侧时，，
当点M在左侧时，．
故答案为：或．

18. 如图，点E、F为正方形边的点，，点G、H分别为线段的中点，连接，若，，则的长为_____________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，设交于点，证得，设正方形的边长为，分别表示出即可求解．
【详解】解：设交于点，如图所示：
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
设正方形的边长为，
则
∵点G、H分别为线段的中点，
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
解得：
故答案为：
三、解答题(其中19—21题各8分，22—24题各10分；25题12分，共计66分)
19. 先化简，再求值：其中，
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则，将分式化简，根据特殊角三角函数值，零指数幂，求出的值，代入，即可求解，
本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数，零指数幂，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：
，
当时，
．
20. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为直邻四边形．
如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是直邻四边形，请在图1、图2中分别画出两个不同的直邻四边形．
（1）点D在小正方形的格点上；
（2）直接写出直邻四边形的周长．
【答案】（1）作图见解析；
（2）图1周长为，图2周长为．
【解析】
【分析】本题考查的是新定义的含义，勾股定理的应用．
（1）根据新定义作图；①，结合图形再确定满足；②，结合图形再确定满足的格点；
（2）利用勾股定理求得或的长，从而即可得解．
【小问1详解】
解：如图四边形所作图形：
；
【小问2详解】
解：图1周长为；
图2周长为．
21. 冰雪同梦，亚洲同心，云扬中学七、八年级开展了一次主题演讲活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：

八年级名学生活动成绩统计表
已知八年级名学生活动成绩的中位数为．请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 ，七年级活动成绩的平均数为 ；
（2） ， ；
（3）若活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，从优秀率的角度来判断哪个年级的成绩较好？
【答案】（1）1，8，
（2）2，3 （3）从优秀率的角度来看，八年级的成绩较好
【解析】
【分析】（1）由题意知，七年级活动成绩为7分的学生数是，同理，得8、9、分的学生数分别为5、2、2人，然后根据众数的定义，平均数的计算公式求解即可；
（2）由八年级名学生活动成绩的中位数为，可得成绩从小到大排序中的第5、6位分别为8、9，根据，，计算求解即可；
（3）由题意知，七年级的优秀率为 ，八年级的优秀率为 ，然后比较大小，进行作答即可．
【小问1详解】
解：由题意知，七年级活动成绩为7分的学生数是，
同理，得8、9、分的学生数分别为5、2、2人，
∴七年级活动成绩的众数为分，七年级活动成绩的平均数为分，
故答案为：1，8，；
【小问2详解】
解：八年级名学生活动成绩的中位数为，
∴成绩从小到大排序中的第5、6位分别为8、9，
∴，，
故答案为：2，3；
【小问3详解】
解：由题意知，七年级的优秀率为 ，
八年级的优秀率为 ，
∵，
∴从优秀率的角度来看，八年级的成绩较好．
【点睛】本题考查了扇形统计图，频率分布表，中位数，众数，平均数，用样本估计总体．从图表中获取正确的信息，熟练掌握中位数，众数，平均数，用样本估计总体是解题的关键．
22. 如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，．
（1）求的大小；
（2）过点C作交的延长线于点F，若，，求此圆直径的长．
【答案】（1）；
（2）圆的直径长是4．
【解析】
【分析】（1）证明，则，根据圆内接四边形的性质得到；
（2）证明是等边三角形，则，得到，则，则，再利用直角三角形的性质即可到答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴，，
∵四边形是圆内接四边形．
∴．
∴；
【小问2详解】
∵，
∴是圆的直径，
∵，
∴ ，
∴是等边三角形，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴
∴圆的直径长是4．
【点睛】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质等知识，得到是解题的关键．
23. 相约哈尔滨，逐梦亚冬会，云扬中学开展了以迎亚冬为主题的演讲活动，李老师对取得优异成绩的同学进行表彰．他到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，李老师决后再次购买两种笔记本35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果李老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，那么至多购买甲种笔记本多少个？
【答案】（1）购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．
（2）至多需要购买21个甲种笔记本．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出关系式．
（1）根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元”，“购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”，列出二元一次方程组，即可求解，
（2）根据“此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的”列出关系式，即可求解，
【小问1详解】
解：设购买一个甲种笔记本元，一个乙种笔记本元．
由题意得：，
解得：，
故答案为：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．
【小问2详解】
解：设需要购买个甲种笔记本，
根据题意得：，
解得：，
∴的最大整数值为21，
故答案为：至多需要购买21个甲种笔记本．
24. 综合实践
菱形中，点在对角线上，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角，连接．
【问题发现】
（1）如图，当点与点重合时，线段、、之间的数量关系为 ．
【类比探究】
（2）如图，当点在边上时，时，求证：
【拓展延伸】
（3）如图，点在延长线上，为中点，当，，时，设求与之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）用SAS法判定即可求解：
（2）由菱形的性质得到为等边三角形，由图形旋转得到为等边三角形，得，在 上截取，则为等边三角形，从而证明，得到，进而得以求证；
（3）在 的延长线上截取，构造中位线得到，用勾股定理求解，进而求解，过作交延长线于，结合菱形的性质用AAS法证明，得到，由得到由相似比计算，进而得以求证．
【详解】解：（1）由题可知，
∴，
又∵菱形中，，
∴在中
∴，
∴，
∴；
（2）∵菱形中

，
∵，
∴为等边三角形，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，为等边三角形 ，，
在 上截取，则为等边三角形，
∴，
∵，
∴；
∴，
∵，
∴；
（3）在 的延长线上截取，
又∵为中点，
∴，
∴，
∴°，
设，
，
，
解得 (舍)， ，
，
∴，
过作交延长线于，
在菱形中，，
∵， ，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即
∴解得，
∵， ，
∴ ．
【点睛】本题考查菱形的性质、三角形中位线性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，熟悉相关判定和性质很重要，根据题意正确做出辅助线是本题关键．
25. 综合探究
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：
（1）求a，b的值；
（2）如图1，D是第二象限抛物线上一个动点，轴交抛物线于点E，F为上方抛物上的点，连接，当点F的横坐标为t，点E的横坐标为时，求的值；
（3）在(2)的条件下，如图2，直线与x轴交于点G，与直线交于点M，点H在射线上，连接，过H作的垂线与过点G垂直于x轴的直线交于点N，连接，P为的中点，连接，当的最小值等于时，求点F的坐标．
【答案】（1），
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）由表格可知，抛物线经过，代入得，计算求解即可；
（2）由（1）可得，则对称轴为直线，由题意得，点E纵坐标为，点D的横坐标为，点F纵坐标为，如图1，过F作于点Q，则，则，，根据，计算求解即可；
（3）由题意知，，，则，为等腰直角三角形，如图2，作于，连接并延长交直线于点K，则，，，证明，则，，如图2，连接，作于，于，则四边形是矩形，在中，，证明四边形是正方形，，，为等腰直角三角形，则，由，可知当三点共线时，最小，为，且，，可求，由，整理得，，计算求出满足要求的，然后求解作答即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过，
∴，
解得：；
∴，；
【小问2详解】
解：由（1）可得，
∴对称轴为直线，
∵点E横坐标为，轴，
∴点E纵坐标为，点D的横坐标为，
∵点F的横坐标为t，
∴点F纵坐标为，
如图1，过F作于点Q，则，
∴，，
∴，
∴的值为1；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
如图2，作于，连接并延长交直线于点K，则，

∴，，
由题意知，，
∵，，，
∴，
∴，，
如图2，连接，作于，于，则四边形是矩形，
∴中，，
∴，即，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
由题意知，当三点共线时，最小，为，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，整理得，，
解得，，（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，正切，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，正切，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
成绩/分
6
7
8
9
人数
1
2
a
b
2
x

0
1
2
3

y

0
3
4
3
0