2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市阿城区八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市阿城区八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（每小题3分，共计24分）
1．下列运算结果最大的是（ ）
A．B．C．D．
2．下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，河道m的同侧有M、N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至M，N两地．下面的四个方案中，管道长度最短的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在和中，，，，，三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
7．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
8．如图，已知中，，，的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F（点E不与A、B重合），，过点F作于点H，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④当时，．上述结论中始终正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题：（每小题3分，共计24分）
9．某种秋冬流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为 ．
10．若分式有意义，则x的取值范围为 ．
11．如图，在中，，是角平分线，，，则的面积为 ．
12．计算的结果为 ．
13．把多项式分解因式的结果是 ．
14．已知，，则的值为 ．
15．已知，其中，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，然后再以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，则的度数为 度．
16．如图，在四边形中，、为对角线，，，，若，的面积为2，则的长为 ．

三、解答题（其中17—21题各8分，22—23题各10分；24题12分，共计72分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上．
(1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）；
(2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标．
20．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.请解答下列问题：
(1)图2中阴影部分的正方形的边长是_______；
(2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1：_______；方法2：_______；
(3)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_______；
(4)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积．
21．如图1，已知．以为边向形外作等边三角形，连接．

(1)求证：；
(2)如图2，若，点H为的中点，连接，请直接写出与全等的所有三角形．
22．乐乐超市准备购进甲、乙两种商品进行销售，已知，每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少元，且用元购进甲商品的数量与用元购进乙商品的数量相同．
(1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元?
(2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的倍还少个，甲、乙两种商品的售价分别是元个和元个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使总利润不少于元，那么商场至少购进乙商品多少个?
23．综合与实践
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、点B关于x轴对称，，，连接，点P从点B出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向原点O运动，同时，点Q从点C出发，沿x轴以每秒2个单位的速度向原点O运动，当点P到达原点，点Q也停止运动．
(1)连接、，设点P的运动时间为t秒，的面积为，用含t的式子表示S（不要求写出t的取值范围）；
(2)点M、点N在过A垂直于y轴的直线上，连接，，，，当是以为直角边的等腰直角三角形时，恰好，求此时点N的坐标．
24．综合与探究
如图，已知，中，，点D为边上一点，连接，将沿直线折叠，得到，作平分交于F．
【尝试发现】
（1）①若，则_______．
②若，则_______．
③若，则_______．（用含的式子表示）；
【简单应用】
（2）如图1，若，，求证：；
【拓展延伸】
（3）如图2，若，过点F作的垂线交延长线于点G，在延长线上取点H，使，，试探究，，三条线段之间的数量关系并证明．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题重点考查了幂的运算，掌握零指数幂，负指数幂的运算法则是解题的关键．将各数化简即可求出答案．
【详解】解：，，，，
∵，
∴最大，
故选：A．
2．D
【分析】此题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此逐项判断即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
3．D
【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
【详解】、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意；
、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意；
、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意；
、由，此选项三条线段能构成三角形，符合题意；
故选：．
4．B
【分析】根据幂的运算，单项式除以单项式，合并同类项法则逐项进行判断即可．
【详解】解：A. ，原选项不正确，不符合题意；
B. ，原选项正确，符合题意；
C. ，原选项不正确，不符合题意；
D. 与不能合并，原选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的运算，单项式除以单项式，合并同类项，解题关键是熟记相关法则，准确进行计算．
5．C
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作点M关于直线m的对称点M′，连接NM′交直线m于Q．
根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道，则所需管道最短．
故选：C．
【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
6．B
【分析】根据全等三角形的判定的方法，即可得到答案．
【详解】解：，
A、，满足的条件，能证明，不符合题意；
B、，不满足证明三角形全等的条件，符合题意；
C、，得到，满足，能证明，不符合题意；
D、，得到，满足，能证明，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的几种方法：．
7．B
【详解】解：棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，则这点所在的横线是x轴，
右下角方子的位置用（0，﹣1），则这点所在的纵线是y轴，
则当放的位置是（﹣1，1）时构成轴对称图形．
故选：B．
8．A
【分析】此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质．寻找条件证明，根据全等三角形的性质对①②③的结论逐一判断；延长交的延长线于点，利用等腰三角形的性质和判定以及三角形内角和定理证明，，，，据此求解即可．
【详解】解：如图，

，，
是等腰直角三角形，
，是中点，
，
、都是的余角，
，
在与中，
，
，
①由得到，故①正确；
②由得到，
是直角，
是等腰直角三角形，故②正确；
③由得到，
则，
∴，故③正确；
④延长交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，∴④正确；
∴正确结论为①②③④．
故选：A．
9．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】=
故答案为：.
【点睛】本题考查了科学记数法的表示形式，确定n的值是解题的关键.
10．
【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件为分母不为零，列不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：由题意可得，
解得，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据角平分线的定义得出，进而根据三角形的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】如图，过点作于点，
∵，
∴，
又∵是角平分线，，，，
∴，
∵，
∴的面积为：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是单项式除以单项式，按照单项式除以单项式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：
13．
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取，再根据平方差公式继续分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14．32
【分析】逆用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
15．或##或
【分析】本题考查了基本作图，掌握据线段的垂直平分线是解题的关键．先根据题意画出图形，再根据线段的垂直平分线求解．
【详解】解：由作图得：垂直平分，
垂直平分，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
故答案为：150或30．
16．
【分析】根据已知条件得出，过点作于点，设交于点，根据三角形的面积求得，构造等腰直角三角形，进而额电池的长，即可求解．
【详解】解：∵，设，，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴
如图所示，过点作于点，设交于点，

∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵
∴，
∵的面积为2，
∴
∴，则，
在中，，
如图所示，作关于的对称点，连接，交于点，

∵，则是等腰直角三角形，
则，
设，则，
在中，
解得：或（舍去）
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握是以上知识，得出解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）先算积的乘方，再算同底数幂相乘，最后合并同类项即可；
（2）利用完全平方公式以及多项式乘以多项式运算，再去括号，合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了积的乘方、同底数幂相乘、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂和零次幂．根据分式的运算法则先化简原式，然后将，代入化简后的式子求值即可．
【详解】解：
，
∵，，∴，，
∴原式．
19．(1)作图见解析；
(2)或．
【分析】（）根据题意，确定，，的位置，然后顺次连接即可；
（）根据网格及等腰直角三角形的性质作图即可；
此题考查了轴对称图形的作法及等腰三角形的定义，理解题意，结合图形求解是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，确定，，，的位置如图所示，然后顺次连接，
∴即为所求；
（2）取，连接，，
∵为小正方形的对角线，
∴；
取，连接，，
由图得，，
∴，
∴点的坐标为或．
20．(1)
(2)，
(3)
(4)的面积为．
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
（1）由拼图可直接得出答案；
（2）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去个长为，宽为的长方形面积即可；
（3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案；
（4）设，，则，，利用完全平方公式变形，计算即可．
【详解】（1）解：由拼图可得，图中阴影部分的正方形的边长为，
故答案为：；
（2）解：方法1：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
方法2：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去个长，宽为的长方形面积，即；
故答案为：，；
（3）解：由（2）得，，
故答案为：；
（4）解：设，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的面积．
故答案为：．
21．(1)见解析
(2)；；；
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，推出，证明，即可得到；
（2）根据直角三角形30度角的性质得到，再根据直角三角形斜边中线得到，进而证明三角形全等．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
∴，
，
，
，
；
（2）证明：∵，，
∴，
∵点H为的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴与全等的所有三角形有；；；．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质及直角三角形30度角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
22．(1)每件甲种商品的进价为元，每件乙种商品件的进价为元；
(2)商场最多购进乙商品个．
【分析】（）设每件乙种商品的进价为元，则每件甲种商品的进价为元，根据题意建立方程，求出其解并检验即可．
（）根据“使销售两种商品的总利润（利润售价进价）不少于元”可以得出关于利润的不等式，求出解集即可；
本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，解题的关键是准确地找出相等关系与不等关系．
【详解】（1）解：设每件乙种商品的进价为元，则每件甲种商品的进价为元，
根据题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，
则每件甲种商品的进价为：，
答：每件甲种商品的进价为元，每件乙种商品件的进价为元；
（2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，
由题意得：，
解得：，
答：商场最多购进乙商品个．
23．(1)；
(2)点N的坐标为或．
【分析】（1）由题意得，，，推出，，利用三角形面积公式即可求解；
（2）分点在y轴右侧时，点在y轴左侧时，两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质求解．
【详解】（1）解：∵点A、点B关于x轴对称，，
∴，则，，
由题意得，，则，，
∴的面积为；
（2）解：当点在y轴右侧时，如图，作于点，连接，
则四边形是矩形，，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴点N与点A重合，
∴此时点N的坐标为；
当点在y轴左侧时，如图，作于点，交的延长线于点，连接，
则四边形、是矩形，，，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴点N与点G重合，
∴此时点N的坐标为；
综上，点N的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．（1）①；②；③；（2）见解析；（3）．理由见解析
【分析】（1）根据折叠的性质得到，证明，推出，代入数据即可求解；
（2）证明是等腰直角三角形，求得，，利用含30度角的直角三角形的性质即可得证；
（3）证明是等边三角形，作于点，证明，设，，，，利用含30度角的直角三角形的性质结合图形即可得到，即．
【详解】解：（1）①∵将沿直线折叠，得到，
∴，
∴，，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴；
②∵，
∴，
解得；
③∵，
∴；
故答案为：①；②；③；
（2）∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）．理由如下：
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
作于点，
∴，
设，，则，，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．