高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题44《函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数的应用》单元测试卷(B)(原卷版+解析)

这是一份高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题44《函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数的应用》单元测试卷(B)(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了设函数.等内容，欢迎下载使用。

命题范围：
第一章，第二章，第三章，第四章，第五章.
高考真题：
1．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
2．（2020·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
3．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知f(1+sinx)=cs2x，则f(x)图像大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·上海·格致中学高一期中）将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·山东山东·高一期中）将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（ ）
A．15.4cmB．16.4cmC．17.4cmD．18.4cm
4．（2022·上海外国语大学附属大境中学高一期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
5．（2020·天津·高一期末）已知函数（其中）图像相邻两条对称轴的距离为，一个对称中心为，为了得到的图像，只需将的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
6．（2021·全国·高一单元测试）已知函数（为常数，）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．奇函数且它的图象关于点对称B．奇函数且它的图象关于点对称
C．偶函数且它的图象关于点对称D．偶函数且它的图象关于点对称
7．（2022·湖北·襄阳四中高一阶段练习）已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（ ）
A．米B．米C．米D．米
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．曲线关于点中心对称
C．的最大值为
D．曲线关于直线对称
10．（2022·湖北宜昌·高一阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．的图像关于点对称D．在上单调递减
11．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为2B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称D．的图像关于点对称
12．（2022·安徽·高一阶段练习）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．如图，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移（cm）和时间t（）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列是的单调区间的是（ ）
A．B．
C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高一课时练习）小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示的横截面为正弦型曲线的形状（雨棚的厚度忽略不计）．已知入口处高度AB和出口处高度CD均为H，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的，则雨棚横截面正弦型曲线振幅的最大值为______．
14．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数的图像相邻的两条对称轴之间的距离是______；
15．（2022·全国·高一课时练习）若将函数的图像向左平移个单位后所得图像关于轴对称，则的最小值为___________.
16．（2022·西藏拉萨·高一期末）已知函数，则下列结论中正确的是___________．
①函数的最小正周期为 ②时，取得最大值
③在上单调递增 ④的对称中心坐标是
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·河北张家口·高一阶段练习）已知.
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求的对称轴.
18．（2022·全国·高一课时练习）若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求图象的对称中心；
(2)若，求的值．
19．（2022·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高一阶段练习）已知函数的最大值为.
(1)求的最小正周期以及实数的值；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若，求的值.
20．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数的部分图象如图．
(1)求f（x）的表达式；
(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
21．（2022·全国·高一课时练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据．
(1)求函数的解析式，并补全表中数据；
(2)将图象上所有点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
22．（2022·湖北·襄阳四中高一阶段练习）已知函数.
(1)求函数在区间上的单调减区间；
(2)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求的取值范围.
第五章 专题44 《函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数的应用》单元测试卷(B）
命题范围：
第一章，第二章，第三章，第四章，第五章.
高考真题：
1．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴
∴
故答案为：1，
2．（2020·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
【答案】（均可）
【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.
【详解】因为，
所以，解得，故可取.
故答案为：（均可）.
3．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知f(1+sinx)=cs2x，则f(x)图像大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由同角三角函数的基本关系可得，则有，即可求解
【详解】因为，
所以，
结合图象可知B正确，
故选：B
2．（2022·上海·格致中学高一期中）将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得，，从而可求得，结合平移后的函数图象可确定的取值范围，继而可得的值，最后得函数的解析式．
【详解】解：函数的图象向左平移个单位，为，
由图象得：①，
解得：，又有图可知，最小正周期满足，即②
结合①②得：
平移后的图象所对应的函数的解析式为：.
故选：C．
3．（2022·山东山东·高一期中）将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（ ）
A．15.4cmB．16.4cmC．17.4cmD．18.4cm
【答案】C
【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到的关系式即可求解.
【详解】由，得.
由函数的图象可知函数的周期为，
所以，即.
故选：C.
4．（2022·上海外国语大学附属大境中学高一期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
【答案】D
【分析】化简得到，根据图象的平移得到答案.
【详解】.
故向左平移个单位长可以得到的图像.
故选：D.
5．（2020·天津·高一期末）已知函数（其中）图像相邻两条对称轴的距离为，一个对称中心为，为了得到的图像，只需将的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】C
【分析】根据三角函数的性质得，再根据平移变换求解即可.
【详解】解：由题设，所以，
所以，，
因为一个对称中心为，且，
所以，将代入可得，解得,
所以，,
所以，函数的图像向右平移个单位可得到的图像.
故选：C
6．（2021·全国·高一单元测试）已知函数（为常数，）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．奇函数且它的图象关于点对称B．奇函数且它的图象关于点对称
C．偶函数且它的图象关于点对称D．偶函数且它的图象关于点对称
【答案】A
【分析】由题意先求出的最简形式，即可得到函数，再根据三角函数性质对选项逐一判断
【详解】，其中，
若在处取得最小值，则，
所以即，
所以，
所以，
可得函数是奇函数，且图象关于点对称．
故选：A
7．（2022·湖北·襄阳四中高一阶段练习）已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由第4个正零点小于1，第4个正最值点大于等于1可解
【详解】，
因为，所以，
又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，
由图像得：，解得：，
所以实数的取值范围是.
故选：A
8．（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】C
【分析】角速度为，游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，进而甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和，再利用三角函数值域的研究方法求解即可
【详解】因为角速度为，
所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，
由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和
，
因为，
所以，
所以，，
所以，
所以，即他们所在的高度之和的最大值约为，
故选：C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．曲线关于点中心对称
C．的最大值为
D．曲线关于直线对称
【答案】ACD
【分析】化简.利用周期公式求出周期可判断A；计算可判断B；
利用可判断C；计算可判断D
【详解】.
对于A，的最小正周期，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，为函数的最大值，故D正确.
故选：ACD.
10．（2022·湖北宜昌·高一阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．的图像关于点对称D．在上单调递减
【答案】ABD
【分析】利用函数图像先把解析式求出来，然后逐项分析即可
【详解】由图像可知函数 的最大值为2，最小值为，所以，
，
又
又
所以
又，所以
所以，故A正确，
将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得
，故B选项正确，
由
所以的图像关于点对称，故C错误.
由
即
所以选项D正确
故选：ABD.
11．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为2B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称D．的图像关于点对称
【答案】ABC
【分析】将解析式经过恒等变换后化为，再对其性质逐一判断即可.
【详解】因为，
所以的最大值为2，故A正确.
最小正周期是，故B正确.
将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确.
当时，，所以的图像关于点对称．故D错误.
故选: ABC.
12．（2022·安徽·高一阶段练习）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．如图，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移（cm）和时间t（）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列是的单调区间的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据，，得到周期和是函数的一条对称轴方程，进而求得函数的解析式，然后求得其单调区间判断.
【详解】因为且，，
所以，，
由，得是函数的一条对称轴方程，
则，
即，取，
所以，
由，
解得，
故其单调增区间是，则减区间是，
故选：AC.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高一课时练习）小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示的横截面为正弦型曲线的形状（雨棚的厚度忽略不计）．已知入口处高度AB和出口处高度CD均为H，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的，则雨棚横截面正弦型曲线振幅的最大值为______．
【答案】
【分析】根据雨棚的最低点和最高点到地面的距离，结合题意得到，即可求解.
【详解】设雨棚横截面正弦型曲线振幅为A，则雨棚的最低点到地面的距离为H－A，雨棚的最高点到地面的距离为H＋A，
由题意有，解得，
所以雨棚横截面正弦型曲线振幅的最大值为．
故答案为：．
14．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数的图像相邻的两条对称轴之间的距离是______；
【答案】
【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数式，求出其最小正周期，最小正周期的一半即为两相邻对称轴间的距离．
【详解】由已知，
它的周期是，相邻两条对称轴间距离为．
（也可求出对称轴方程后求解）．
故答案为：．
15．（2022·全国·高一课时练习）若将函数的图像向左平移个单位后所得图像关于轴对称，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的平移变换及余弦函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，
将的图像向左平移个单位，得到，
又关于轴对称，
所以，，所以，
所以当时取最小值；
故答案为：
16．（2022·西藏拉萨·高一期末）已知函数，则下列结论中正确的是___________．
①函数的最小正周期为 ②时，取得最大值
③在上单调递增 ④的对称中心坐标是
【答案】①③
【分析】利用二倍角和辅助角公式化简可得，根据正弦型函数最小正周期、最值点、单调性和对称中心的求法依次判断各个选项即可.
【详解】；
对于①，的最小正周期，①正确；
对于②，当时，，此时不取最大值，②错误；
对于③，当时，，此时单调递增，③正确；
对于④，令，解得：，此时，
的对称中心为，④错误.
故答案为：①③.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·河北张家口·高一阶段练习）已知.
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求的对称轴.
【答案】(1)最小正周期为，
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式结合辅助角公式化简可得，进而求得周期，并代入单调递减区间求解即可；
（2）根据函数图象平移的性质可得，再代入正弦函数的对称轴方程求解即可.
【详解】（1）
，所以的最小正周期为.
由，解得，
所以的单调递减区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，所以
所以函数的对称轴为，
解得
18．（2022·全国·高一课时练习）若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求图象的对称中心；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由三角函数的图象变换得到，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由，得出，即可求得的值.
（1）
解：由题意将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得，
由，可得，
故图象的对称中心为．
（2）
解：由，，
因为，
可得，
所以．
19．（2022·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高一阶段练习）已知函数的最大值为.
(1)求的最小正周期以及实数的值；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若，求的值.
【答案】(1)，
(2)或2．
【分析】（1）首先根据题意得到，再结合函数最大值求解即可.
（2）首先根据题意得到，根据得到，再利用同角三角函数关系求解即可.
（1）
所以，解得，的最小正周期．
（2）
因为，
所以，
所以，
所以，
解得或2．
20．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数的部分图象如图．
(1)求f（x）的表达式；
(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由图象结合五点法求出函数解析式；
（2）由三角函数图象变换得，换元后结合在上的图象可得参数范围．
【详解】（1）根据图象，可得，，
∴
∴，将代入f（x），得，
即，，
又，∴，
∴．
（2）将函数（x）的图象向右平移个单位长度，得曲线C，
由题得，
∵在[0，]上有两个不同的实数解，
∴在[0，]上有两个不同的实数解．
∵，
令，
∴，
则需直线与的图象在有两个不同的公共点．
画出在时的简图如下：
∴实数m的取值范围是．
21．（2022·全国·高一课时练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据．
(1)求函数的解析式，并补全表中数据；
(2)将图象上所有点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
【答案】(1)，表格见解析
(2)
【分析】（1）由表格数据可得和最小正周期，由此可得；利用可求得，从而得到解析式；根据五点作图法可补全表格数据；
（2）根据三角函数平移和伸缩变换原则可得解析式，利用代入检验法，根据对称中心坐标可构造方程求得，进而得到最小值.
（1）
由表格数据知：，最小正周期，；
，，解得：；
又，，则；
补全表格如下：
（2）
由题意得：，
是的一个对称中心，，解得：；
又，.
22．（2022·湖北·襄阳四中高一阶段练习）已知函数.
(1)求函数在区间上的单调减区间；
(2)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简，再利用正弦函数的性质即可得到答案；
（2）先利用题意的图象变换得到，再根据的性质得到不等式即可求解
【详解】（1）依题意可得
，
当时，，则由得，
即在上单调递减，
所以函数在区间上的单调递减区间是；
（2）由（1）知，，将函数图像向右移动个单位所得函数为，
于是得，
因为，，又在轴右侧的第50个最大值点为，在轴左侧的第50个最大值点为，
故，解得，所以.
所以的取值范围.