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高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲数列的概念与简单表示法(精讲)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲数列的概念与简单表示法(精讲)(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了数列的有关概念，数列的表示方法，与的关系，数列的分类等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18232" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc18232 \h 2
\l "_Tc8352" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc8352 \h 3
\l "_Tc3122" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc3122 \h 3
\l "_Tc1233" 高频考点一：利用与的关系求通项公式 PAGEREF _Tc1233 \h 3
\l "_Tc16611" 角度1：利用替换 PAGEREF _Tc16611 \h 3
\l "_Tc21259" 角度2：利用替换 PAGEREF _Tc21259 \h 4
\l "_Tc24807" 角度3：作差法求通项 PAGEREF _Tc24807 \h 4
\l "_Tc25612" 高频考点二：利用递推关系求通项公式 PAGEREF _Tc25612 \h 6
\l "_Tc10083" 角度1：累加法 PAGEREF _Tc10083 \h 6
\l "_Tc15926" 角度2：累乘法 PAGEREF _Tc15926 \h 6
\l "_Tc16808" 角度3：构造法 PAGEREF _Tc16808 \h 7
\l "_Tc24648" 角度4：倒数法 PAGEREF _Tc24648 \h 7
\l "_Tc18290" 高频考点三：数列的性质及其应用 PAGEREF _Tc18290 \h 9
\l "_Tc20226" 角度1：数列的周期性 PAGEREF _Tc20226 \h 9
\l "_Tc11930" 角度2：数列的单调性 PAGEREF _Tc11930 \h 9
\l "_Tc25765" 角度3：数列的最值 PAGEREF _Tc25765 \h 10
\l "_Tc23809" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc23809 \h 11
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第一部分：知识点必背
1、数列的有关概念
2、数列的表示方法
（1）列表法
列出表格来表示序号与项的关系．
（2）图象法
数列的图象是一系列孤立的点．
（3）公式法
①通项公式法：把数列的通项用公式表示的方法，如．
②递推公式法：使用初始值和或，和来表示数列的方法．
3、与的关系
若数列的前项和为，则．
4、数列的分类
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国（乙卷理）·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·统考高考真题节选）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用与的关系求通项公式
角度1：利用替换
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和满足（），且．求数列的通项公式；
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和满足：.求的通项公式；
角度2：利用替换
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ）
B．
C．数列为等差数列D．－5050
例题2．（2023·江西九江·统考三模）已知数列的前项和为，且满足，.
求数列的通项公式；
角度3：作差法求通项
典型例题
例题1．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数列满足，则数列的通项公式为________.
例题2．（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
练透核心考点一
1．（2023春·江苏南京·高二江苏省溧水高级中学校考期中）已知数列的前项和为，，，则________.
2．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知在数列中，，，则_____ .
3．（2023春·北京·高二北京市八一中学校考阶段练习）数列满足，则______.
4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列{an}的前n项和，求{an}的通项公式．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，且，．
(1)求数列的通项公式；
6．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的各项均为正数,前项和为,且（）,求数列的通项公式;
7．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知数列，满足，且，数列是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
高频考点二：利用递推关系求通项公式
角度1：累加法
典型例题
例题1．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期中）已知数列满足，则=（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·北京·高二北京八中校考期中）若数列满足，则通项公式为__________.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，，求通项公式．
角度2：累乘法
典型例题
例题1．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）在数列中，，，则数列的通项公式为______.
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为．求数列的通项公式；
角度3：构造法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为_____________.
例题2．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列中，，，则此数列的通项公式_________.
角度4：倒数法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，且，则为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知数列满足，则__________.
例题3．（2023春·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知数列的递推公式，且首项，则_________.
练透核心考点二
1．（2023·全国·高三专题练习）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是______.
2．（2023春·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考阶段练习）已知数列，，且，，则____________．
3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则的通项公式为___________．
4．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，则的通项公式为______．
5．（2023·全国·高二专题练习）数列中，若，，则___________．
6．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，则的通项公式为______．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知首项为2的数列对满足，则数列的通项公式______.
8．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，，则该数列的通项公式______．
9．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多越漂亮，按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．
(1)求的值；
(2)求出的表达式．
（2023·全国·高二专题练习）在数列中，，．求数列的通项公式.
高频考点三：数列的性质及其应用
角度1：数列的周期性
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：、、、、、、、、、、，即，，且.则洛卡斯数列的第项除以的余数是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）数列满足：，，，记数列的前项和为，则______．
角度2：数列的单调性
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）对于数列，“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明：数列单调递减.
例题3．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）设且，已知数列满足，且是递增数列，则的取值范围是__________．
角度3：数列的最值
典型例题
例题1．（2023春·河南洛阳·高二洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知数列的通项公式，则数列的前30项中最大值和最小值分别是（ ）
A．，B．，C．， D．，
例题2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知等差数列为单调递增数列，且前三项和为，前三项积为，数列的前项和为且，则（ ）
A．当时，的值最小B．当时，的值最大
C．当时，的值最小D．无最值
例题3．（2023春·江西南昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的最小值为______.
练透核心考点三
1．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）若数列满足，则（ ）
A．2B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为________.
3．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的通项公式为，前n项和为，则取最小值时n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．（2023·高二课时练习）数列的通项公式为，且都有恒成立，求实数的取值范围.
5．（2023·高三课时练习）数列的通项公式为若是中的最大项，则a的取值范围是______．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式，前n项和是，对于，都有，则k＝______．
第四部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为.记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数：；正方形数：；五边形数：；六边形数：，可以推测的表达式，由此计算（ ）
A．4020B．4010C．4210D．4120
2．（2023·全国·高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，则三角形数、正方形数所构成的数列的第5项分别为（ ）
A．14，20B．15，25C．15，20D．14，25
3．（2023·全国·高三专题练习）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．289B．1024C．1225D．1378
4．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形1，3，6，10，…，第个三角形数为，记第个边形为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数；正方形；五边形数；六边形数.可以推测的表达式，由此计算__________.
5．（2023·全国·高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子来研究数．他们根据小石子所排列的形状把数分成许多类，如图（1）可得到三角形数1，3，6，10，…，图（2）可得到四边形数1，4，9，16，…，图（3）可得到五边形数1，5，12，22，…，图（4）可得到六边形数1，6，15，28，…．进一步可得，六边形数的通项公式______，前n项和______．
（参考公式：）
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列的第项
通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系能用公式表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列中，叫做数列的前项和
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
其中
递减数列
常数列
第01讲 数列的概念与简单表示法
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18232" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc18232 \h 1
\l "_Tc8352" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc8352 \h 2
\l "_Tc3122" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc3122 \h 6
\l "_Tc1233" 高频考点一：利用与的关系求通项公式 PAGEREF _Tc1233 \h 6
\l "_Tc16611" 角度1：利用替换 PAGEREF _Tc16611 \h 6
\l "_Tc21259" 角度2：利用替换 PAGEREF _Tc21259 \h 7
\l "_Tc24807" 角度3：作差法求通项 PAGEREF _Tc24807 \h 8
\l "_Tc25612" 高频考点二：利用递推关系求通项公式 PAGEREF _Tc25612 \h 12
\l "_Tc10083" 角度1：累加法 PAGEREF _Tc10083 \h 12
\l "_Tc15926" 角度2：累乘法 PAGEREF _Tc15926 \h 13
\l "_Tc16808" 角度3：构造法 PAGEREF _Tc16808 \h 14
\l "_Tc24648" 角度4：倒数法 PAGEREF _Tc24648 \h 15
\l "_Tc18290" 高频考点三：数列的性质及其应用 PAGEREF _Tc18290 \h 20
\l "_Tc20226" 角度1：数列的周期性 PAGEREF _Tc20226 \h 20
\l "_Tc11930" 角度2：数列的单调性 PAGEREF _Tc11930 \h 21
\l "_Tc25765" 角度3：数列的最值 PAGEREF _Tc25765 \h 22
\l "_Tc23809" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc23809 \h 26
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
第一部分：知识点必背
1、数列的有关概念
2、数列的表示方法
（1）列表法
列出表格来表示序号与项的关系．
（2）图象法
数列的图象是一系列孤立的点．
（3）公式法
①通项公式法：把数列的通项用公式表示的方法，如．
②递推公式法：使用初始值和或，和来表示数列的方法．
3、与的关系
若数列的前项和为，则．
4、数列的分类
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
2．（2022·全国（乙卷理）·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
3．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
4．（2022·全国·统考高考真题节选）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用与的关系求通项公式
角度1：利用替换
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和满足（），且．求数列的通项公式；
【答案】
【详解】∵当时，，
∴，得或．
∵，故．
当时，，
∴，即，
∴，而，
∴，即，
所以是首项为，公差为的等差数列，则．
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和满足：.求的通项公式；
【答案】
【详解】由已知，
当时，，解得，
当时，，
则，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
角度2：利用替换
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ）
B．
C．数列为等差数列D．－5050
【答案】A
【详解】是数列的前n项和，且，
则， 整理得－＝－1（常数），
所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确；
所以，故．
所以当时，－，不适合上式，
故故B正确，A错误；
所以， 故D正确．
故选：A.
例题2．（2023·江西九江·统考三模）已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）当时，，
当时，，，即，
，，，
是首项为2，公差为1的等差数列，
，，
，
综上，
角度3：作差法求通项
典型例题
例题1．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数列满足，则数列的通项公式为________.
【答案】
【详解】由题意 …①， ， …②，
②①得： ，
则当时，，
当，不适合上式.
；
故答案为： .
例题2．（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由题意，①
当时，；
当时，用代替，②，
①－②得：，
所以，当时不成立．
所以数列的通项公式；
练透核心考点一
1．（2023春·江苏南京·高二江苏省溧水高级中学校考期中）已知数列的前项和为，，，则________.
【答案】
【详解】因为，
所以当时，，即，
若，则，故，显然与矛盾，故，
所以，又，
所以是以首项为，公差为的等差数列，
所以，故.
故答案为：.
2．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知在数列中，，，则_____ .
【答案】
【详解】①，
当时，②，
①-②得，整理得，
当时，，得，
.
故答案为：.
3．（2023春·北京·高二北京市八一中学校考阶段练习）数列满足，则______.
【答案】
【详解】由可得，
当时，，
当时，，
两式相减得，解之得
故答案为：
4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列{an}的前n项和，求{an}的通项公式．
【答案】
【详解】由题可得，
当时，，
时也适合此式，
∴.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，且，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1），
∴，为首项，公差的等差数列，
∴，，当时，，因此
6．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的各项均为正数,前项和为,且（）,求数列的通项公式;
【答案】
【详解】因为（）,
当时，,得,
当时,由,得①,
∴②,
①﹣②得:,
∴,
,
,
∴,,
∴数列是以为首项,为公差的等差数列,
∴,
即.
7．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知数列，满足，且，数列是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由题设，又是公差为1的等差数列，
所以，故，
又且，则，
故，显然也满足，
综上，.
高频考点二：利用递推关系求通项公式
角度1：累加法
典型例题
例题1．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期中）已知数列满足，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意，，
所以
.
故选：C.
例题2．（2023春·北京·高二北京八中校考期中）若数列满足，则通项公式为__________.
【答案】
【详解】因为，
所以当时，
，
当时，，满足，所以，
故答案为：.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，，求通项公式．
【答案】.
【详解】因为，
所以，
所以，
，
，
……，
，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为满足上式，
所以.
角度2：累乘法
典型例题
例题1．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）在数列中，，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【详解】因为，
所以，
所以，，，……，，，
所以，
所以，
因为，所以符号该式，
故答案为：
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为．求数列的通项公式；
【答案】
【详解】由于，所以①，
当时，②，
①-②得，
整理得，
所以，
累乘可得，且，所以，
经检验可得，也满足上式，
所以数列的通项公式为.
角度3：构造法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为_____________.
【答案】
【详解】因为，
设，即，
根据对应项系数相等则，解得，故，
所以是为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
故答案为：
例题2．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列中，，，则此数列的通项公式_________.
【答案】
【详解】因为，所以，又，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
故答案为：
角度4：倒数法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，且，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由得：，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，，
，.
故选：A.
例题2．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知数列满足，则__________.
【答案】
【详解】因为，，所以，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
例题3．（2023春·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知数列的递推公式，且首项，则_________.
【答案】/
【详解】因为，且，则，，
以此类推可知，对任意的，，
在等式两边取倒数可得，则，
所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，
，故对任意的，.
故答案为：.
练透核心考点二
1．（2023·全国·高三专题练习）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是______.
【答案】66
【详解】依题意，设三角形数按从小到大排列构成数列，则，，
所以，
上式相加得，
所以，
则第11个三角形数是.
故答案为：66.
2．（2023春·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考阶段练习）已知数列，，且，，则____________．
【答案】
【详解】由题意得，则，
故时，，，，，
所以以上式子相加得，，
时，也符合上式，
.
故答案为：.
3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则的通项公式为___________．
【答案】
【详解】因为数列满足，，则，
所以，当时，，
也满足，所以，对任意的，．
故答案为：
4．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，则的通项公式为______．
【答案】
【详解】由题意知，故，
故
，
故答案为：
5．（2023·全国·高二专题练习）数列中，若，，则___________．
【答案】
【详解】由可得，
所以,
所以，
因为，所以，所以，
故答案为:.
6．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，则的通项公式为______．
【答案】
【详解】由，
两边取倒数得，
即，
又因为，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，
故，
故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）已知首项为2的数列对满足，则数列的通项公式______.
【答案】
【详解】设，即，故，解得：，
故变形为，，
故是首项为4的等比数列，公比为3，
则，
所以，
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，，则该数列的通项公式______．
【答案】
【详解】因为数列中，，即，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则，解得.
故答案为：.
9．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多越漂亮，按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．
(1)求的值；
(2)求出的表达式．
【答案】(1)61
(2)
【详解】（1）由题意可得：，
则，，
依此类推可得，可得，
，可得.
（2）由（1）可得：，
当时，则
，
显然当时，符合上式，
所以.
10．（2023·全国·高二专题练习）在数列中，，．求数列的通项公式.
【答案】
【详解】因为，所以.
由可得，所以.
又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以.
高频考点三：数列的性质及其应用
角度1：数列的周期性
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：、、、、、、、、、、，即，，且.则洛卡斯数列的第项除以的余数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设数列各项除以所得余数所形成的数列为，
则数列为：、、、、、、、、、、，
由上可知，数列是以为周期的周期数列，即对任意的，，
因为，所以.
故选：D.
例题2．（2023春·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）数列满足：，，，记数列的前项和为，则______．
【答案】
【详解】因为，，，
所以，，
，，，
，，
，，……，
故为周期数列，最小正周期为8，且，
所以
.
故答案为：
角度2：数列的单调性
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）对于数列，“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】充分性:若成立，则，所以必为递减数列．
必要性:若为递减数列，但可能不成立．如：，，，，，…．必要性不成立
所以“”是“为递减数列”的充分不必要条件．综上可知，
故选:A．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明：数列单调递减.
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为恒成立，
所以数列单调递减.
例题3．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）设且，已知数列满足，且是递增数列，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】因为是递增数列，所以解得，
故答案为: .
角度3：数列的最值
典型例题
例题1．（2023春·河南洛阳·高二洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知数列的通项公式，则数列的前30项中最大值和最小值分别是（ ）
A．，B．，C．， D．，
【答案】A
【详解】＝
当 时， ，为正值且随n的增大而减小，则单调递减，故数列的前30项中最大值是 ，
当时， ，为负值且随n增大而减小，则单调递减，故数列的前30项中最小值是
∴数列的前30项中最大值和最小值分别是；
故选：A.
例题2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知等差数列为单调递增数列，且前三项和为，前三项积为，数列的前项和为且，则（ ）
A．当时，的值最小B．当时，的值最大
C．当时，的值最小D．无最值
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，或，
即或，
又数列为单调递增数列，
则，
所以，
所以数列在和时分别单调递减，
所以，当时，，当时，，且，
所以当时，得值最大为，故B，D选项错误；
当时，得值最小，A选项错误，C选项正确；
故选：C.
例题3．（2023春·江西南昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的最小值为______.
【答案】6
【详解】由数列满足，可得
，则，
因为函数，当且仅当时等号成立，
故当时，取最小值为6.
故答案为：6.
练透核心考点三
1．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）若数列满足，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以.又因为，
所以，
所以是周期为4的数列，故.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为________.
【答案】
【详解】由数列，，，，，，，，，，各项除以的余数，
可得数列为，，，，，，，，，，，，，，1，，
所以数列是周期为的数列，
一个周期中八项和为，
又因为，
所以数列的前项的和.
故答案为：.
3．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的通项公式为，前n项和为，则取最小值时n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【详解】解可得，或，即或.
所以，当时，.
又，
所以，当时，取最小值.
故选：C.
4．（2023·高二课时练习）数列的通项公式为，且都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】，即，化简得，
对任意正整数成立，故，，故
5．（2023·高三课时练习）数列的通项公式为若是中的最大项，则a的取值范围是______．
【答案】
【详解】当时，单调递增，
因此时，取得最大值为，
当时，，
因为是中的最大项，
所以解得，
故答案为: .
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式，前n项和是，对于，都有，则k＝______．
【答案】5
【详解】
如图，为和的图象，设两个交点为，，
因为，所以，
因为，，所以，
结合图象可得，当时，，即，
当时，，即，所以当时，取得最大值，即.
故答案为：5.
第四部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为.记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数：；正方形数：；五边形数：；六边形数：，可以推测的表达式，由此计算（ ）
A．4020B．4010C．4210D．4120
【答案】B
【详解】由题意可得：，，
，.
由此可归纳，
所以，
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，则三角形数、正方形数所构成的数列的第5项分别为（ ）
A．14，20B．15，25C．15，20D．14，25
【答案】B
【详解】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10，第五个数1+2+3+4+5=15．
正方形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数．
故选:B．
3．（2023·全国·高三专题练习）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．289B．1024C．1225D．1378
【答案】C
【详解】观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为，
则，，，，，把这些式子的两边分别相加，
得，又也满足，所以，
观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为，则，
对于选项A，由，此时方程没有正整数解，可排除；
对于选项B，由，此时方程没有正整数解，可排除；
对于选项C，由，得，即，且，符合题意；
对于选项D，不是一个完全平方数，可排除.
故选:C．
4．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形1，3，6，10，…，第个三角形数为，记第个边形为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数；正方形；五边形数；六边形数.可以推测的表达式，由此计算__________.
【答案】
【详解】原已知式子可化为：
；
；
；
；
可推测.
故.
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子来研究数．他们根据小石子所排列的形状把数分成许多类，如图（1）可得到三角形数1，3，6，10，…，图（2）可得到四边形数1，4，9，16，…，图（3）可得到五边形数1，5，12，22，…，图（4）可得到六边形数1，6，15，28，…．进一步可得，六边形数的通项公式______，前n项和______．
（参考公式：）
【答案】 ； ．
【详解】由题设易知是首项为5，公差为4的等差数列，
设，则是首项为5，公差为4的等差数列，
所以，
所以
因为，，...，
所以，
即，
所以，
当时，符合该式，
所以，
由，
所以，
即，
因为，，
所以．
故答案为：；.
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列的第项
通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系能用公式表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列中，叫做数列的前项和
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
其中
递减数列
常数列
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18232" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc18232 \h 2
\l "_Tc8352" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc8352 \h 3
\l "_Tc3122" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc3122 \h 3
\l "_Tc1233" 高频考点一：利用与的关系求通项公式 PAGEREF _Tc1233 \h 3
\l "_Tc16611" 角度1：利用替换 PAGEREF _Tc16611 \h 3
\l "_Tc21259" 角度2：利用替换 PAGEREF _Tc21259 \h 4
\l "_Tc24807" 角度3：作差法求通项 PAGEREF _Tc24807 \h 4
\l "_Tc25612" 高频考点二：利用递推关系求通项公式 PAGEREF _Tc25612 \h 6
\l "_Tc10083" 角度1：累加法 PAGEREF _Tc10083 \h 6
\l "_Tc15926" 角度2：累乘法 PAGEREF _Tc15926 \h 6
\l "_Tc16808" 角度3：构造法 PAGEREF _Tc16808 \h 7
\l "_Tc24648" 角度4：倒数法 PAGEREF _Tc24648 \h 7
\l "_Tc18290" 高频考点三：数列的性质及其应用 PAGEREF _Tc18290 \h 9
\l "_Tc20226" 角度1：数列的周期性 PAGEREF _Tc20226 \h 9
\l "_Tc11930" 角度2：数列的单调性 PAGEREF _Tc11930 \h 9
\l "_Tc25765" 角度3：数列的最值 PAGEREF _Tc25765 \h 10
\l "_Tc23809" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc23809 \h 11
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第一部分：知识点必背
1、数列的有关概念
2、数列的表示方法
（1）列表法
列出表格来表示序号与项的关系．
（2）图象法
数列的图象是一系列孤立的点．
（3）公式法
①通项公式法：把数列的通项用公式表示的方法，如．
②递推公式法：使用初始值和或，和来表示数列的方法．
3、与的关系
若数列的前项和为，则．
4、数列的分类
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国（乙卷理）·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·统考高考真题节选）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用与的关系求通项公式
角度1：利用替换
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和满足（），且．求数列的通项公式；
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和满足：.求的通项公式；
角度2：利用替换
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ）
B．
C．数列为等差数列D．－5050
例题2．（2023·江西九江·统考三模）已知数列的前项和为，且满足，.
求数列的通项公式；
角度3：作差法求通项
典型例题
例题1．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数列满足，则数列的通项公式为________.
例题2．（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
练透核心考点一
1．（2023春·江苏南京·高二江苏省溧水高级中学校考期中）已知数列的前项和为，，，则________.
2．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知在数列中，，，则_____ .
3．（2023春·北京·高二北京市八一中学校考阶段练习）数列满足，则______.
4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列{an}的前n项和，求{an}的通项公式．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，且，．
(1)求数列的通项公式；
6．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的各项均为正数,前项和为,且（）,求数列的通项公式;
7．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知数列，满足，且，数列是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
高频考点二：利用递推关系求通项公式
角度1：累加法
典型例题
例题1．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期中）已知数列满足，则=（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·北京·高二北京八中校考期中）若数列满足，则通项公式为__________.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，，求通项公式．
角度2：累乘法
典型例题
例题1．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）在数列中，，，则数列的通项公式为______.
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为．求数列的通项公式；
角度3：构造法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为_____________.
例题2．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列中，，，则此数列的通项公式_________.
角度4：倒数法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，且，则为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知数列满足，则__________.
例题3．（2023春·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知数列的递推公式，且首项，则_________.
练透核心考点二
1．（2023·全国·高三专题练习）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是______.
2．（2023春·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考阶段练习）已知数列，，且，，则____________．
3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则的通项公式为___________．
4．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，则的通项公式为______．
5．（2023·全国·高二专题练习）数列中，若，，则___________．
6．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，则的通项公式为______．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知首项为2的数列对满足，则数列的通项公式______.
8．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，，则该数列的通项公式______．
9．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多越漂亮，按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．
(1)求的值；
(2)求出的表达式．
（2023·全国·高二专题练习）在数列中，，．求数列的通项公式.
高频考点三：数列的性质及其应用
角度1：数列的周期性
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：、、、、、、、、、、，即，，且.则洛卡斯数列的第项除以的余数是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）数列满足：，，，记数列的前项和为，则______．
角度2：数列的单调性
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）对于数列，“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明：数列单调递减.
例题3．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）设且，已知数列满足，且是递增数列，则的取值范围是__________．
角度3：数列的最值
典型例题
例题1．（2023春·河南洛阳·高二洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知数列的通项公式，则数列的前30项中最大值和最小值分别是（ ）
A．，B．，C．， D．，
例题2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知等差数列为单调递增数列，且前三项和为，前三项积为，数列的前项和为且，则（ ）
A．当时，的值最小B．当时，的值最大
C．当时，的值最小D．无最值
例题3．（2023春·江西南昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的最小值为______.
练透核心考点三
1．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）若数列满足，则（ ）
A．2B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为________.
3．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的通项公式为，前n项和为，则取最小值时n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．（2023·高二课时练习）数列的通项公式为，且都有恒成立，求实数的取值范围.
5．（2023·高三课时练习）数列的通项公式为若是中的最大项，则a的取值范围是______．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式，前n项和是，对于，都有，则k＝______．
第四部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为.记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数：；正方形数：；五边形数：；六边形数：，可以推测的表达式，由此计算（ ）
A．4020B．4010C．4210D．4120
2．（2023·全国·高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，则三角形数、正方形数所构成的数列的第5项分别为（ ）
A．14，20B．15，25C．15，20D．14，25
3．（2023·全国·高三专题练习）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．289B．1024C．1225D．1378
4．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形1，3，6，10，…，第个三角形数为，记第个边形为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数；正方形；五边形数；六边形数.可以推测的表达式，由此计算__________.
5．（2023·全国·高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子来研究数．他们根据小石子所排列的形状把数分成许多类，如图（1）可得到三角形数1，3，6，10，…，图（2）可得到四边形数1，4，9，16，…，图（3）可得到五边形数1，5，12，22，…，图（4）可得到六边形数1，6，15，28，…．进一步可得，六边形数的通项公式______，前n项和______．
（参考公式：）
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列的第项
通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系能用公式表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列中，叫做数列的前项和
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
其中
递减数列
常数列
第01讲 数列的概念与简单表示法
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18232" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc18232 \h 1
\l "_Tc8352" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc8352 \h 2
\l "_Tc3122" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc3122 \h 6
\l "_Tc1233" 高频考点一：利用与的关系求通项公式 PAGEREF _Tc1233 \h 6
\l "_Tc16611" 角度1：利用替换 PAGEREF _Tc16611 \h 6
\l "_Tc21259" 角度2：利用替换 PAGEREF _Tc21259 \h 7
\l "_Tc24807" 角度3：作差法求通项 PAGEREF _Tc24807 \h 8
\l "_Tc25612" 高频考点二：利用递推关系求通项公式 PAGEREF _Tc25612 \h 12
\l "_Tc10083" 角度1：累加法 PAGEREF _Tc10083 \h 12
\l "_Tc15926" 角度2：累乘法 PAGEREF _Tc15926 \h 13
\l "_Tc16808" 角度3：构造法 PAGEREF _Tc16808 \h 14
\l "_Tc24648" 角度4：倒数法 PAGEREF _Tc24648 \h 15
\l "_Tc18290" 高频考点三：数列的性质及其应用 PAGEREF _Tc18290 \h 20
\l "_Tc20226" 角度1：数列的周期性 PAGEREF _Tc20226 \h 20
\l "_Tc11930" 角度2：数列的单调性 PAGEREF _Tc11930 \h 21
\l "_Tc25765" 角度3：数列的最值 PAGEREF _Tc25765 \h 22
\l "_Tc23809" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc23809 \h 26
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第一部分：知识点必背
1、数列的有关概念
2、数列的表示方法
（1）列表法
列出表格来表示序号与项的关系．
（2）图象法
数列的图象是一系列孤立的点．
（3）公式法
①通项公式法：把数列的通项用公式表示的方法，如．
②递推公式法：使用初始值和或，和来表示数列的方法．
3、与的关系
若数列的前项和为，则．
4、数列的分类
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
2．（2022·全国（乙卷理）·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
3．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
4．（2022·全国·统考高考真题节选）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用与的关系求通项公式
角度1：利用替换
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和满足（），且．求数列的通项公式；
【答案】
【详解】∵当时，，
∴，得或．
∵，故．
当时，，
∴，即，
∴，而，
∴，即，
所以是首项为，公差为的等差数列，则．
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和满足：.求的通项公式；
【答案】
【详解】由已知，
当时，，解得，
当时，，
则，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
角度2：利用替换
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ）
B．
C．数列为等差数列D．－5050
【答案】A
【详解】是数列的前n项和，且，
则， 整理得－＝－1（常数），
所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确；
所以，故．
所以当时，－，不适合上式，
故故B正确，A错误；
所以， 故D正确．
故选：A.
例题2．（2023·江西九江·统考三模）已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）当时，，
当时，，，即，
，，，
是首项为2，公差为1的等差数列，
，，
，
综上，
角度3：作差法求通项
典型例题
例题1．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数列满足，则数列的通项公式为________.
【答案】
【详解】由题意 …①， ， …②，
②①得： ，
则当时，，
当，不适合上式.
；
故答案为： .
例题2．（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由题意，①
当时，；
当时，用代替，②，
①－②得：，
所以，当时不成立．
所以数列的通项公式；
练透核心考点一
1．（2023春·江苏南京·高二江苏省溧水高级中学校考期中）已知数列的前项和为，，，则________.
【答案】
【详解】因为，
所以当时，，即，
若，则，故，显然与矛盾，故，
所以，又，
所以是以首项为，公差为的等差数列，
所以，故.
故答案为：.
2．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知在数列中，，，则_____ .
【答案】
【详解】①，
当时，②，
①-②得，整理得，
当时，，得，
.
故答案为：.
3．（2023春·北京·高二北京市八一中学校考阶段练习）数列满足，则______.
【答案】
【详解】由可得，
当时，，
当时，，
两式相减得，解之得
故答案为：
4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列{an}的前n项和，求{an}的通项公式．
【答案】
【详解】由题可得，
当时，，
时也适合此式，
∴.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，且，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1），
∴，为首项，公差的等差数列，
∴，，当时，，因此
6．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的各项均为正数,前项和为,且（）,求数列的通项公式;
【答案】
【详解】因为（）,
当时，,得,
当时,由,得①,
∴②,
①﹣②得:,
∴,
,
,
∴,,
∴数列是以为首项,为公差的等差数列,
∴,
即.
7．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知数列，满足，且，数列是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由题设，又是公差为1的等差数列，
所以，故，
又且，则，
故，显然也满足，
综上，.
高频考点二：利用递推关系求通项公式
角度1：累加法
典型例题
例题1．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期中）已知数列满足，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意，，
所以
.
故选：C.
例题2．（2023春·北京·高二北京八中校考期中）若数列满足，则通项公式为__________.
【答案】
【详解】因为，
所以当时，
，
当时，，满足，所以，
故答案为：.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，，求通项公式．
【答案】.
【详解】因为，
所以，
所以，
，
，
……，
，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为满足上式，
所以.
角度2：累乘法
典型例题
例题1．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）在数列中，，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【详解】因为，
所以，
所以，，，……，，，
所以，
所以，
因为，所以符号该式，
故答案为：
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为．求数列的通项公式；
【答案】
【详解】由于，所以①，
当时，②，
①-②得，
整理得，
所以，
累乘可得，且，所以，
经检验可得，也满足上式，
所以数列的通项公式为.
角度3：构造法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为_____________.
【答案】
【详解】因为，
设，即，
根据对应项系数相等则，解得，故，
所以是为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
故答案为：
例题2．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列中，，，则此数列的通项公式_________.
【答案】
【详解】因为，所以，又，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
故答案为：
角度4：倒数法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，且，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由得：，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，，
，.
故选：A.
例题2．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知数列满足，则__________.
【答案】
【详解】因为，，所以，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
例题3．（2023春·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知数列的递推公式，且首项，则_________.
【答案】/
【详解】因为，且，则，，
以此类推可知，对任意的，，
在等式两边取倒数可得，则，
所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，
，故对任意的，.
故答案为：.
练透核心考点二
1．（2023·全国·高三专题练习）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是______.
【答案】66
【详解】依题意，设三角形数按从小到大排列构成数列，则，，
所以，
上式相加得，
所以，
则第11个三角形数是.
故答案为：66.
2．（2023春·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考阶段练习）已知数列，，且，，则____________．
【答案】
【详解】由题意得，则，
故时，，，，，
所以以上式子相加得，，
时，也符合上式，
.
故答案为：.
3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则的通项公式为___________．
【答案】
【详解】因为数列满足，，则，
所以，当时，，
也满足，所以，对任意的，．
故答案为：
4．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，则的通项公式为______．
【答案】
【详解】由题意知，故，
故
，
故答案为：
5．（2023·全国·高二专题练习）数列中，若，，则___________．
【答案】
【详解】由可得，
所以,
所以，
因为，所以，所以，
故答案为:.
6．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，则的通项公式为______．
【答案】
【详解】由，
两边取倒数得，
即，
又因为，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，
故，
故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）已知首项为2的数列对满足，则数列的通项公式______.
【答案】
【详解】设，即，故，解得：，
故变形为，，
故是首项为4的等比数列，公比为3，
则，
所以，
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，，则该数列的通项公式______．
【答案】
【详解】因为数列中，，即，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则，解得.
故答案为：.
9．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多越漂亮，按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．
(1)求的值；
(2)求出的表达式．
【答案】(1)61
(2)
【详解】（1）由题意可得：，
则，，
依此类推可得，可得，
，可得.
（2）由（1）可得：，
当时，则
，
显然当时，符合上式，
所以.
10．（2023·全国·高二专题练习）在数列中，，．求数列的通项公式.
【答案】
【详解】因为，所以.
由可得，所以.
又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以.
高频考点三：数列的性质及其应用
角度1：数列的周期性
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：、、、、、、、、、、，即，，且.则洛卡斯数列的第项除以的余数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设数列各项除以所得余数所形成的数列为，
则数列为：、、、、、、、、、、，
由上可知，数列是以为周期的周期数列，即对任意的，，
因为，所以.
故选：D.
例题2．（2023春·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）数列满足：，，，记数列的前项和为，则______．
【答案】
【详解】因为，，，
所以，，
，，，
，，
，，……，
故为周期数列，最小正周期为8，且，
所以
.
故答案为：
角度2：数列的单调性
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）对于数列，“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】充分性:若成立，则，所以必为递减数列．
必要性:若为递减数列，但可能不成立．如：，，，，，…．必要性不成立
所以“”是“为递减数列”的充分不必要条件．综上可知，
故选:A．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明：数列单调递减.
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为恒成立，
所以数列单调递减.
例题3．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）设且，已知数列满足，且是递增数列，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】因为是递增数列，所以解得，
故答案为: .
角度3：数列的最值
典型例题
例题1．（2023春·河南洛阳·高二洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知数列的通项公式，则数列的前30项中最大值和最小值分别是（ ）
A．，B．，C．， D．，
【答案】A
【详解】＝
当 时， ，为正值且随n的增大而减小，则单调递减，故数列的前30项中最大值是 ，
当时， ，为负值且随n增大而减小，则单调递减，故数列的前30项中最小值是
∴数列的前30项中最大值和最小值分别是；
故选：A.
例题2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知等差数列为单调递增数列，且前三项和为，前三项积为，数列的前项和为且，则（ ）
A．当时，的值最小B．当时，的值最大
C．当时，的值最小D．无最值
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，或，
即或，
又数列为单调递增数列，
则，
所以，
所以数列在和时分别单调递减，
所以，当时，，当时，，且，
所以当时，得值最大为，故B，D选项错误；
当时，得值最小，A选项错误，C选项正确；
故选：C.
例题3．（2023春·江西南昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的最小值为______.
【答案】6
【详解】由数列满足，可得
，则，
因为函数，当且仅当时等号成立，
故当时，取最小值为6.
故答案为：6.
练透核心考点三
1．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）若数列满足，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以.又因为，
所以，
所以是周期为4的数列，故.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为________.
【答案】
【详解】由数列，，，，，，，，，，各项除以的余数，
可得数列为，，，，，，，，，，，，，，1，，
所以数列是周期为的数列，
一个周期中八项和为，
又因为，
所以数列的前项的和.
故答案为：.
3．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的通项公式为，前n项和为，则取最小值时n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【详解】解可得，或，即或.
所以，当时，.
又，
所以，当时，取最小值.
故选：C.
4．（2023·高二课时练习）数列的通项公式为，且都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】，即，化简得，
对任意正整数成立，故，，故
5．（2023·高三课时练习）数列的通项公式为若是中的最大项，则a的取值范围是______．
【答案】
【详解】当时，单调递增，
因此时，取得最大值为，
当时，，
因为是中的最大项，
所以解得，
故答案为: .
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式，前n项和是，对于，都有，则k＝______．
【答案】5
【详解】
如图，为和的图象，设两个交点为，，
因为，所以，
因为，，所以，
结合图象可得，当时，，即，
当时，，即，所以当时，取得最大值，即.
故答案为：5.
第四部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为.记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数：；正方形数：；五边形数：；六边形数：，可以推测的表达式，由此计算（ ）
A．4020B．4010C．4210D．4120
【答案】B
【详解】由题意可得：，，
，.
由此可归纳，
所以，
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，则三角形数、正方形数所构成的数列的第5项分别为（ ）
A．14，20B．15，25C．15，20D．14，25
【答案】B
【详解】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10，第五个数1+2+3+4+5=15．
正方形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数．
故选:B．
3．（2023·全国·高三专题练习）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．289B．1024C．1225D．1378
【答案】C
【详解】观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为，
则，，，，，把这些式子的两边分别相加，
得，又也满足，所以，
观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为，则，
对于选项A，由，此时方程没有正整数解，可排除；
对于选项B，由，此时方程没有正整数解，可排除；
对于选项C，由，得，即，且，符合题意；
对于选项D，不是一个完全平方数，可排除.
故选:C．
4．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形1，3，6，10，…，第个三角形数为，记第个边形为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数；正方形；五边形数；六边形数.可以推测的表达式，由此计算__________.
【答案】
【详解】原已知式子可化为：
；
；
；
；
可推测.
故.
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子来研究数．他们根据小石子所排列的形状把数分成许多类，如图（1）可得到三角形数1，3，6，10，…，图（2）可得到四边形数1，4，9，16，…，图（3）可得到五边形数1，5，12，22，…，图（4）可得到六边形数1，6，15，28，…．进一步可得，六边形数的通项公式______，前n项和______．
（参考公式：）
【答案】 ； ．
【详解】由题设易知是首项为5，公差为4的等差数列，
设，则是首项为5，公差为4的等差数列，
所以，
所以
因为，，...，
所以，
即，
所以，
当时，符合该式，
所以，
由，
所以，
即，
因为，，
所以．
故答案为：；.
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列的第项
通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系能用公式表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列中，叫做数列的前项和
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
其中
递减数列
常数列
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